§1.1集合的概念与运算 、知识导学 1.集合:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合 2.元素:集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元. 3.子集:如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若agA则a∈B),则称 集合A为集合B的子集,记为AcB或B→A;如果AcB,并且A≠B,这时集合A称为集合 B的真子集,记为AEB或B≠A 4.集合的相等:如果集合A、B同时满足A≌B、B2A,则A=B 5.补集:设AcS,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集,记 为C.A 6.全集:如果集合S包含所要研究的各个集合,这时S可以看做一个全集,全集通常 记作U. 7.交集:一般地,由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合,称为A与B的交集 记作A∩B. 8.并集:一般地,由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合,称为A与B的并 集,记作A∪B. 9.空集:不含任何元素的集合称为空集,记作Φ 10.有限集:含有有限个元素的集合称为有限集 11.无限集:含有无限个元素的集合称为无限集 12.集合的常用表示方法:列举法、描述法、图示法(ven图) 13.常用数集的记法:自然数集记作N,正整数集记作N或N,整数集记作Z,有理数 集记作Q,实数集记作R 二、疑难知识导析 1符号,,三,字,=,表示集合与集合之间的关系,其中“≌”包括“”和“ 两种情况,同样“三”包括“”和“=”两种情况.符号∈,∈表示元素与集合之间的关系 要注意两类不同符号的区别 2.在判断给定对象能否构成集合时,特别要注意它的“确定性”,在表示一个集合时, 要特别注意它的“互异性”、“无序性” 3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质 4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义,即元素指什么,是什么范围.用集合表 示不等式(组)的解集时,要注意分辨是交集还是并集,结合数轴或文氏图的直观性帮助思 维判断.空集是任何集合的子集,但因为不好用文氏图形表示,容易被忽视,如在关系式 B三A中,B=Φ易漏掉的情况 若集合中的元素是用坐标形式表示的,要注意满足条件的点构成的图形是什么,用数 形结合法解之 6.若集合中含有参数,须对参数进行分类讨论,讨论时既不重复又不遗漏 7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Ven图等将有关集合直观地表示出 来
§1.1 集合的概念与运算 一、知识导学 1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合. 2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元. 3.子集：如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素（若 a A 则 aB ），则称 集合 A 为集合 B 的子集，记为 A B 或 B A；如果 A B，并且 A B，这时集合 A 称为集合 B 的真子集，记为 A B 或 B A. 4.集合的相等：如果集合 A、B 同时满足 A B、B A，则 A=B. 5.补集：设 A S，由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集，记 为 Cs A. 6.全集：如果集合 S 包含所要研究的各个集合，这时 S 可以看做一个全集，全集通常 记作 U. 7.交集：一般地，由所有属于集合 A 且属于 B 的元素构成的集合，称为 A 与 B 的交集， 记作 A B. 8.并集：一般地，由所有属于集合 A 或者属于 B 的元素构成的集合，称为 A 与 B 的并 集，记作 A B. 9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作 . 10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集. 11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集. 12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）. 13.常用数集的记法：自然数集记作 N，正整数集记作 N+或 N * ，整数集记作 Z，有理数 集记作 Q，实数集记作 R. 二、疑难知识导析 1.符号 ， ，， ，=，表示集合与集合之间的关系，其中“ ”包括“ ”和“=” 两种情况，同样“ ”包括“ ”和“=”两种情况.符号 ， 表示元素与集合之间的关系. 要注意两类不同符号的区别. 2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时， 要特别注意它的“互异性”、“无序性”. 3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质. 4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表 示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思 维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式 中，B= 易漏掉的情况. 5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数 形结合法解之. 6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏. 7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出 来
8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用 9.含有n个元素的集合的所有子集个数为:2",所有真子集个数为:2n-1 经典例题导讲 [例1]已知集合M={yy=x+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则M∩N=() A.(0,1),(1,2)B.{(0,1),(1,2)} C.{yly=1,或y=2} D.{y|y≥1} 错解:求M∩N及解方程组=x2+1(x=0 或 选B y=x+1 y=1 错因:在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素 是什么.事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y),因此M、N是数集而不是点集, M、N分别表示函数y=x2+1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域,求M∩N即求两函数值域的交集 正解:M={y=x+1,x∈R}={yy≥1},N={yly=x+1,x∈R}={y|y∈R} M∩N={yy≥1}n{yl(y∈R)}={yy≥1}, 应选D. 注:集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x|y=x2+1}、{yly=x +1,x∈R}、{(x,y)|y=x2+1,x∈R},这三个集合是不同的 [例2]已知A={xx2-3x+2=0},B={xax-2=0)}且AUB=A,求实数a组成的集合 错解:由x2-3x+2=0得x=1或2 当x1时,a2,当x2时 错因:上述解答只注意了B为非空集合,实际上,B=中时,仍满足AU 当a=0时,B=中,符合题设,应补上,故正确答案为C={0,1,2}. 正解::AUB=A∴B=A又A={xx2-3x+2=0}={1,2} 或或2} [例3]已知m∈A,n∈B,且集合A={x|x=2a,a∈2},B={x|x=2a+1,a∈Z,又 C=|x=4a+1a∈2},则有: A.mrn∈AB.mr+n∈BC.m+n∈CD.mn不属于A,B,C中任意一个 错解:∵m∈A,∴m2a,a∈Z,同理r2a1,a∈Z,∴m4a1,故选C 错因是上述解法缩小了mn的取值范围 正解:∵m∈A,∴设m2ah,a∈Z,又∵n∈B,∴2a+1,a∈Z m+2(a+a)+1,而a1+a∈Z,∴mn∈B,故选B. [例4]已知集合A={x|x2-3x-10≤0},集合B={x|p+1≤x≤2p-1}.若BA,求实 数p的取值范围. 错解:由x2-3x-10≤0得-2≤x≤5 ≤D+1 欲使BsA,只须 2p-1≤5 3≤P≤3
8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用. 9.含有 n 个元素的集合的所有子集个数为： n 2 ，所有真子集个数为： n 2 -1 三、经典例题导讲 [例 1] 已知集合 M={y|y =x 2 ＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则 M∩N=（ ） A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）} C．{y|y=1,或 y=2} D．{y|y≥1} 错解：求 M∩N 及解方程组 = + = + 1 1 2 y x y x 得 = = 1 0 y x 或 = = 2 1 y x ∴选 B 错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素 是什么．事实上 M、N 的元素是数而不是实数对(x,y)，因此 M、N 是数集而不是点集, M、N 分别表示函数 y=x 2 ＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求 M∩N 即求两函数值域的交集． 正解：M={y|y=x 2 ＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}． ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1}, ∴应选 D． 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x 2 ＋1}、{y|y=x 2 ＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x 2 ＋1,x∈R}，这三个集合是不同的． [例 2] 已知 A={x|x 2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且 A∪B=A，求实数 a 组成的集合 C． 错解：由 x 2－3x＋2=0 得 x=1 或 2． 当 x=1 时，a=2， 当 x=2 时，a=1． 错因：上述解答只注意了 B 为非空集合，实际上，B= 时，仍满足 A∪B=A. 当 a=0 时，B= ，符合题设，应补上，故正确答案为 C={0，1，2}． 正解：∵A∪B=A ∴B A 又 A={x|x 2－3x＋2=0}={1，2} ∴B= 或 1或2 ∴C={0，1，2} [例 3]已知 m A,n B, 且集合 A= x | x = 2a,aZ，B= x | x = 2a +1,aZ ，又 C= x | x = 4a +1,aZ ，则有： （ ） A．m+n A B. m+n B C.m+n C D. m+n 不属于 A，B，C 中任意一个 错解：∵m A，∴m=2a,a Z ,同理 n=2a+1,a Z, ∴m+n=4a+1,故选 C 错因是上述解法缩小了 m+n 的取值范围. 正解：∵m A, ∴设 m=2a1,a1 Z, 又∵n B ,∴n=2a2+1,a2 Z , ∴m+n=2(a1+a2)+1,而 a1+a2 Z , ∴m+n B, 故选 B. [例 4］ 已知集合 A={x|x2－3x－10≤0}，集合 B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若 B A，求实 数 p 的取值范围． 错解：由 x 2－3x－10≤0 得－2≤x≤5． 欲使 B A，只须 3 3 2 1 5 2 1 − − − + p p p
∴p的取值范围是-3≤p≤3 错因:上述解答忽略了”空集是任何集合的子集"这一结论,即B=时,符合题设 正解:①当B≠中时,即p+1≤2p-1→p≥2. 由BsA得:-2≤p+1且2p-1≤5 由-3≤p≤3 ∴2≤p≤3 ②当B=中时,即p+1>2p-1→p<2. 由①、②得:p≤3 点评:从以上解答应看到:解决有关A∩B=中、AUB=中,A三B等集合问题易忽视空集 的情况而出现漏解,这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题. [例5]已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2).若A=B,求c的值 分析:要解决c的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两个集合 元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式 解:分两种情况进行讨论 (1)若a+b=ac且a+2b=ac2,消去b得:a+ac2-2ac=0, a=0时,集合B中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故a≠0 ∴c2-2c+1=0,即c=1,但c=1时,B中的三元素又相同,此时无解, (2)若a+b=ac2且a+2b=ac,消去b得:2ac2-ac-a=0, ∵a≠0,∵2c2-c-1 即(c-1)(2c+1)=0,又c≠1,故c= 点评:解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验. [例6]设A是实数集,满足若a∈A,则∈A,a≠1且1gA. (1)若2∈A,则A中至少还有几个元素?求出这几个元素 (2)A能否为单元素集合?请说明理由 (3若a∈A,证明:1-1 ∈A. (4)求证:集合A中至少含有三个不同的元素 解:(1)2∈A 1∈A→∈A→2∈A A中至少还有两个元素:-1和 (2)如果A为单元素集合,则a= 即a2-a+1=0 该方程无实数解,故在实数范围内,A不可能是单元素集 ∈A→ ∈A→一 1-a∈A,即 ∈A
∴ p 的取值范围是－3≤p≤3. 错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即 B= 时，符合题设． 正解：①当 B≠ 时，即 p＋1≤2p－1 p≥2. 由 B A 得：－2≤p＋1 且 2p－1≤5. 由－3≤p≤3. ∴ 2≤p≤3 ②当 B= 时，即 p＋1>2p－1 p＜2. 由①、②得：p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关 A∩B= 、A∪B= ，A B 等集合问题易忽视空集 的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． [例 5] 已知集合 A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2 }．若 A=B，求 c 的值． 分析：要解决 c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合 元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若 a＋b=ac 且 a＋2b=ac2，消去 b 得：a＋ac 2－2ac=0， a=0 时，集合 B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故 a≠0． ∴c 2－2c＋1=0，即 c=1，但 c=1 时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若 a＋b=ac2 且 a＋2b=ac，消去 b 得：2ac2－ac－a=0， ∵a≠0，∴2c2－c－1=0， 即(c－1)(2c＋1)=0，又 c≠1，故 c=－ 2 1 ． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. [例 6] 设 A 是实数集，满足若 a∈A，则 1− a 1 A， a 1 且 1A. ⑴若 2∈A，则 A 中至少还有几个元素？求出这几个元素. ⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若 a∈A，证明：1－ a 1 ∈A. ⑷求证：集合 A 中至少含有三个不同的元素. 解：⑴2∈A －1∈A 2 1 ∈A 2∈A ∴ A 中至少还有两个元素：－1 和 2 1 ⑵如果 A 为单元素集合，则 a＝ 1− a 1 即 1 2 a − a + ＝0 该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集 ⑶a∈A 1− a 1 ∈A − a − 1 1 1 1 ∈A 1 1 1 − − − a a A，即 1－ a 1 ∈A
(4)由(3)知a∈A时, ∈A,1--∈A.现在证明a,1 三数互不相等 ①若a= 即a2-a+1=0,方程无解 ②若a=1 即a2-a+1=0,方程无解∴a≠1 a ③若1 即a2-a+1=0,方程无解 综上所述,集合A中至少有三个不同的元素 点评:(4)的证明中要说明三个数互不相等,否则证明欠严谨 [例7]设集合A={a|a=n2+1,n∈N},集合B={b|b=k2-4k+5,k∈N},试证: 证明:任设a∈A, 则a=n2+1=(n+2)2-4(n+2)+5(n∈N), ∴n∈N*,∴n十2∈N ∴a∈B故4≤B 显然,1∈A={|a=n2+1,n∈N},而由 B={b|b=k2-4k+5,k∈N}={b|b=(k-2)2+1,k∈N}知1∈B,于是A≠B 由①、②得AEB 点评:(1)判定集合间的关系,其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系 (2)判定两集合相等,主要是根据集合相等的定义 四、典型习题导练 1.集合A={x|x2-3x-10≤0,x∈刀},B={x|2x2-x-6>0,x∈Z},则A∩B的非空真 子集的个数为() A.16 B.14 C.15 D.32 2.数集{1,2,x2-3}中的x不能取的数值的集合是() B.{-2,-√S C.{±2,+√5 3.若P={yly=x2,x∈R},Q={yly=x2+1,x∈R},则P∩Q等于() B.QC.中D.不知道 4.若P={y|y=x2,x∈R},Q={(x,y)ly=x2,x∈R},则必有() A.P∩Q=中B 5.若集合M={x|<1},N={x|x2≤x},则MlN=() A.{x|-1<x<1 C.-1<x<0}
⑷由⑶知 a∈A 时， 1− a 1 ∈A， 1－ a 1 ∈A .现在证明 a,1－ a 1 , 1− a 1 三数互不相等. ①若 a= 1− a 1 ,即 a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠ 1− a 1 ②若 a=1－ a 1 ，即 a 2 -a+1=0，方程无解∴a≠1－ a 1 ③若 1－ a 1 = 1− a 1 ，即 a2-a+1=0，方程无解∴1－ a 1 ≠ 1− a 1 . 综上所述，集合 A 中至少有三个不同的元素. 点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨. [例 7] 设集合 A={ a | a = 1 2 n + , n ∈N+ }，集合 B={ b | b = 4 5 2 k − k + , k ∈N+ }，试证： A B． 证明：任设 a ∈A， 则 a = 1 2 n + =( n ＋2)2－4( n ＋2)＋5 ( n ∈N+ ), ∵ n∈N*，∴ n＋2∈N* ∴ a∈B 故 ① 显然，1 2 * A = a | a = n +1,n N ，而由 B={ b | b = 4 5 2 k − k + , k ∈N+ }={ b | b = ( 2) 1 2 k − + ，k ∈N+ }知 1∈B，于是 A≠B ② 由①、② 得 A B． 点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系． （2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义． 四、典型习题导练 1．集合 A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0， x∈ Z}，则 A∩B 的非空真 子集的个数为（ ） A．16 B．14 C．15 D．32 2．数集{1，2，x 2－3}中的 x 不能取的数值的集合是（ ） A．{2，-2 } B．{－2，－ 5 } C．{±2，± 5 } D．{ 5 ， － 5 } 3. 若 P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则 P∩Q 等于（ ） A．P B．Q C． D．不知道 4. 若 P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ） A．P∩Q= B．P Q C．P=Q D．P Q 5．若集合 M＝｛ 1 1 | x x ｝，N＝{ x | 2 x ≤ x }，则 M N＝（ ） A．{x | −1 x 1} B． {x | 0 x 1} C． {x | −1 x 0} D．
6.已知集合A={x|x2+(m+2)x+1=0,x∈R},若A∩R+=中,则实数m的取值范围是 7.(06高考全国Ⅱ卷)设a∈R,函数∫(x)=ax2-2x-2a若f(x)>0的解集为A, B={x11<x<3},A∩B≠φ,求实数a的取值范围 8已知集合={x1x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0}满足 CA∩B={2},AnCB=④4},1=,求实数a,b的值
6.已知集合 A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若 A∩R＋= ，则实数 m 的取值范围是 _________． 7.（06 高考全国 II 卷）设 a R ，函数 2 f x ax x a ( ) 2 2 . = − − 若 f x( ) 0 的解集为 A， B x x A B = |1 3 , ，求实数 a 的取值范围。 8.已知集合 A= | 12 0 2 x x + ax + b = 和 B= | 0 2 x x − ax + b = 满足 CI A∩B= 2，A∩ CI B= 4，I=R，求实数 a,b 的值