第一章平稳时间序列模型及其特征 第一节模型类型及其表示 自回归模型(AR) 由于经济系统惯性的作用,经济时间序列往往存在着前后依存关 系。最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时 期的取值状况有关。用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回 归模型 X:=中X1 常记作AR(1)。其中{X}为零均值(即已中心化处理)平稳序列, φ为X对X-1的依赖程度,ε:为随机扰动项序列(外部冲击)。 如果X与过去时期直到X-的取值相关,则需要使用包含X- 1,…X-在内的p阶自回归模型来加以刻画。P阶自回归模型的 般形式为 X:=中1X1-1+φ2X1 pat→p"t (2.1.2) 为了简便运算和行文方便,我们引入滞后算子来简记模型。设B 为滞后算子,即BX=X1-,则B(B2x)=BX=X+B(C)=C(C为常数) 利用这些记号,(2.1.2)式可化为 φBX+φ2B2X2+φ3BX φBX 从而有: (1-φ1B-φ2B2 记算子多项式φ(B)=(1-φB中2B2-……-中B2),则模型可以表 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
第一章 平稳时间序列模型及其特征 第一节 模型类型及其表示 一、自回归模型（AR） 由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关 系。最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时 期的取值状况有关。用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回 归模型： Xt=φXt-1+εt （2.1.1） 常记作 AR(1)。其中｛Xt｝为零均值（即已中心化处理）平稳序列， φ为 Xt对 Xt－1的依赖程度，εt为随机扰动项序列（外部冲击）。 如果 Xt 与过去时期直到 Xt-p 的取值相关，则需要使用包含 Xt－ 1 ，……Xt-p在内的 p 阶自回归模型来加以刻画。P 阶自回归模型的一 般形式为： Xt=φ1 Xt－1+φ2 Xt－2+…+φp Xt－p+εt （2.1.2） 为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。设 B 为滞后算子，即 BXt=Xt-1, 则 B(Bk-1Xt)=Bk Xt=Xt-k B(C)=C(C 为常数)。 利用这些记号，（2.1.2）式可化为： Xt=φ1BXt+φ2B 2 Xt+φ3B 3 Xt+……+φpB p Xt+εt 从而有： （1-φ1B-φ2B 2 -……-φpB p）Xt=εt 记算子多项式φ（B）＝（1-φ1B-φ2B 2 -……-φpB P）,则模型可以表 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
示成 φ(B)X1 (2.1.3) 例如,二阶自回归模型X=0.7X-1+0.3X-2+0.3X13+e:可写成 (1-0.7B-0.3B2)X=Et 二、滑动平均模型(MA) 有时,序列X的记忆是关于过去外部冲击值的记忆,在这种情况 下,X可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合,即 e:--62E (2.1.4) 此模型常称为序列X的滑动平均模型,记为MA(q),其中q为滑动 平均的阶数,θ1,02…。为滑动平均的权数。相应的序列X称为滑 动平均序列。 使用滞后算子记号,(2.1.4)可写成 X=(1-0B-02B2…-0B)q=0(B)e (2.1.5) 三、自回归滑动平均模型 如果序列{X}的当前值不仅与自身的过去值有关,而且还与其 以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系,则在用模型刻画这种动 态特征时,模型中既包括自身的滞后项,也包括过去的外部冲击,这 种模型叫做自回归滑动平均模型,其一般结构为: X=中1X-1+中2X-2+……+中xX+e:-0:e:-02E:=2 简记为ARMA(p,q)。利用滞后算子,此模型可写为 φ(B)X1=0(B)et (2.1.7) Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
示成 φ（B）Xt=εt (2.1.3) 例 如 ， 二 阶 自 回 归 模 型 Xt=0.7Xt-1+0.3Xt-2+0.3Xt-3+ ε t 可 写 成 （1-0.7B-0.3B2）Xt=εt 二、滑动平均模型（MA） 有时，序列 Xt的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况 下，Xt可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即 Xt=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.4) 此模型常称为序列 Xt的滑动平均模型，记为 MA(q)， 其中 q 为滑动 平均的阶数，θ1，θ2…θq为滑动平均的权数。相应的序列 Xt称为滑 动平均序列。 使用滞后算子记号，（2.1.4）可写成 Xt=（1-θ1B-θ2B 2 -……- θqB q）qt=θ(B)εt (2.1.5) 三、自回归滑动平均模型 如果序列｛Xt｝的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其 以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动 态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这 种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为： Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+……+φpXt-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.6) 简记为 ARMA(p, q)。利用滞后算子，此模型可写为 φ（B）Xt=θ(B)εt （2.1.7） PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
第二节线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性 首先介绍两个概念。 ①序列的传递形式:设{Y}为随机序列,{ε:}为白噪声,若{Y1} 可表示为: Y:=e:+G1et1+G22+…+Get-k+……=G(B)e 且∑G<∞,则称{Y}具有传递形式,此时(Y)是平稳的。系 数{G}称为格林函数。它描述了系统对过去冲击的动态记忆性 强度。 ②序列的逆转形式:若{Y}可表示为: e:=Y2-1Y-1-丌2Y1-2-……-ⅡkY1- π(B)Y 且∑π<∞,则称{Y,}具有逆转形式(或可逆形式)。 MA模型 1.MA模型本身就是传递形式 2.MA(q)总是平稳的(由上一章的例),MA(∞)在系数级数绝对 收敛的条件下平稳。 3.MA(q)模型的可逆性条件 先以MA(1)(Y:=ε:-01ε-)为例进行分析 MA(1)的可逆性条件为:<1。如果引入滞后算子表示MA(1), Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
第二节 线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性 首先介绍两个概念。 ① 序列的传递形式：设｛Yt｝为随机序列，｛εt｝为白噪声，若｛Yt｝ 可表示为： Yt=εt+G1εt-1+G2εt-2+……+Gkεt-k+……=G(B) εt 且å < ¥ ¥ 1 Gk ，则称｛Yt｝具有传递形式，此时｛Yt｝是平稳的。系 数｛Gk｝称为格林函数。它描述了系统对过去冲击的动态记忆性 强度。 ② 序列的逆转形式：若｛Yt｝可表示为： εt= Yt-π1 Yt-1-π2 Yt-2-……-πk Yt-k-……=π(B) Yt 且å < ¥ ¥ 1 p k ，则称｛Yt｝具有逆转形式（或可逆形式）。 一、 MA 模型 1. MA 模型本身就是传递形式。 2. MA(q)总是平稳的（由上一章的例），MA（∞）在系数级数绝对 收敛的条件下平稳。 3. MA(q)模型的可逆性条件。 先以 MA（1）(Yt=εt-θ1εt-1)为例进行分析。 MA(1)的可逆性条件为：q1 < 1。如果引入滞后算子表示 MA(1)， PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
则Y=(1-0B)E…,可逆条件1<1等价于0(B)=1-0B=0的根全在 单位圆外 对于一般的MA(q)模型,利用滞后算子表示有: Y=(1-0B-02B3 0B)e:=0(B)e 其可逆的充要条件是:0(B)=0的根全在单位圆外(证明见 Box- Jenkins,P79)。 在可逆的情况下,服从MA(q)模型的序列可以表示成无穷阶的AR 模型: (B)Y=E MA(q)的可逆域:使θ(B)=0的根全在单位圆之外的系数向量(0 ,θ2,……,θa)所形成的集合。 例:求MA(2)的可逆域。 解:由=E,-0161-02E12,其特征方程为 6(B)=1-6B-02B2=0 该方程的两个根为: -1+√02+402 由二次方程根与系数的关系,有 + 当MA(2)平稳时,根的模入2都必须大于1,因此必有: Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
则 Yt=（1-θ1B）εt，可逆条件 q1 < 1等价于θ(B)=1-θ1B=0 的根全在 单位圆外。 对于一般的 MA(q)模型，利用滞后算子表示有： Yt=（1-θ1B-θ2B 2 -……- θqB q）εt = θ(B)εt 其可逆的充要条件是：θ(B) =0 的根全在单位圆外（证明见 Box-Jenkins，P79）。 在可逆的情况下，服从 MA(q)模型的序列可以表示成无穷阶的 AR 模型： θ -1(B)Yt=εt MA(q)的可逆域：使θ(B) =0 的根全在单位圆之外的系数向量（θ 1，θ2，……，θq）所形成的集合。 例：求 MA(2)的可逆域。 解：由Yt = t - 1 t-1 - 2 t-2 e q e q e ，其特征方程为： ( ) 1 0 2 q B = -q1B -q2B = 该方程的两个根为： 2 2 2 1 1 1 2 4 q q q q l - - + = 2 2 2 1 1 2 2 4 q q q q l - + + = 由二次方程根与系数的关系，有 2 1 1 2 2 1 2 , 1 q q l l q l l = - + = - 当 MA（2）平稳时，根的模 l1 与l2 都必须大于 1，因此必有： PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
02 2 由根与系数的关系,可以推出如下式子: e2+O1=1-(1-)(1 02-=1-(+) 由于、02是实数,A与入2必同为实数或共轭复数。又因为A|>1, 因此 故 02±01=1-(1)(1)1,例如,假设A>1,则根据1-(1平,1)0,由11>0可以推出1F1>0,从而k>1。因此, θ(B)=1-1B-02B2=0的根在单位圆之外。(平稳域为一三角形)。 、AR模型 1.AR(P)模型本身就是一种逆转形式。 2.平稳性 先以AR(1)(Y1=q1Y-1+e),进行分析。 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
1 1 1 2 2 = 1， 因此 0 1 1 > li m 故 q2 ±q1 = ) 1 1 )(1 1 1 (1 1 2 - 1，例如，假设 l1 > 1，则根据 ) 1 1 )(1 1 1 (1 1 2 - l l m m ，由 0 1 1 1 > l m 可以推出 0 1 1 2 > l m ，从而 l2 > 1。因此， ( ) 1 0 2 q B = -q1B -q2B = 的根在单位圆之外。（平稳域为一三角形）。 二、 AR 模型 1. AR(P)模型本身就是一种逆转形式。 2. 平稳性。 先以 AR(1)( Yt=j 1Yt-1+εt),进行分析。 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
R(1)平稳的条件为l<1,它等价于q(B)=1-9B=0的根在单位 圆外。 3、在平稳的情况下,AR(1)有传递形式 (1-o B)Y=eY =∑ 般地,对于AR(P)模型:φ(B)Y=εt,序列{Y,}平稳的充要 条件是:9(B)=0的根全在单位圆外。此时,Y有传递形式:Y=q-(B) AR(P)的平稳域:使φ(B)=0的根全在单位圆外的AR系数向量(q1 q2,……,gp,)的全体形成的集合 练习:求AR(1)与AR(2)的平稳域 三、ARMA(p,q)模型 平稳性与传递形式 首先考察ARMA(1,1)的平稳性:Yr中1Y1=e-01e-1 Y1平稳 φ1|<1(与AR(1)的平稳域相同) 此结论表明,ARMA(1,1)序列的平稳性仅与自回归系数有关, 而与滑动平均系数无关。而且平稳条件与AR(1)的平稳条件相同。 在平稳的条件下,Y1有上述形式的传递形式 一般地,服从ARMA(pq)模型的序列Y1平稳的充要条件是: φ(B)=0的根全在单位圆外。在平稳的条件下,Y1有传递形式Y= φl(B)0(B)et Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
AR(1)平稳的条件为 j1 < 1，它等价于j (B)=1-j 1B=0 的根在单位 圆外。 3、在平稳的情况下，AR(1)有传递形式： （1-j 1B）Yt=εt t j j j t t B Y - ¥ = = å - = e j e j 0 1 1 1 1 一般地，对于 AR(P)模型：j (B) Yt=εt，序列｛Yt｝平稳的充要 条件是：j (B)=0 的根全在单位圆外。此时，Yt有传递形式：Yt=j -1(B) εt AR(P)的平稳域：使j (B)=0 的根全在单位圆外的 AR 系数向量（j 1， j 2，……，j p，）的全体形成的集合。 练习：求 AR(1)与 AR(2)的平稳域。 三、ARMA（p,q）模型 1、 平稳性与传递形式 首先考察 ARMA(1，1)的平稳性: Yt–φ1Yt-1=εt–θ1εt-1 Yt平稳 ︱φ1︱＜1 （与 AR（1）的平稳域相同） 此结论表明，ARMA（1,1）序列的平稳性仅与自回归系数有关， 而与滑动平均系数无关。而且平稳条件与 AR（1）的平稳条件相同。 在平稳的条件下，Yt有上述形式的传递形式。 一般地，服从 ARMA（p,q）模型的序列 Yt 平稳的充要条件是： φ（B）=0 的根全在单位圆外。在平稳的条件下，Yt有传递形式 Yt= φ -1（B）θ（B）εt PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
2、可逆性 对于ARMA(1,1),假定可逆形式为 e=π(B)Y=(1-1B-m2B2-…-kBk…)Yt 代入ARMA(1,1)的滞后算子表示形式,采用类似前面的方法, 比较同次幂系数可得 e=Yr(中r-01)Y1r-01(中r-01)Y1x…-01k1(中r 01)Yt 根据前面的定义(可逆性定义),应有|01|<1。 因此,ARMA(1,1)可逆的条件是|01|<1,它仅与滑动系 数有关,而与自回归系数无关。而且可逆条件与MA(1)的可逆条 件相同。 般地,服从ARMA(pq)模型的序列Yt,其具有可逆性的条件 是:θ(B)=0的根全在单位圆外。在可逆的条件下,Yt的逆转形 式为ε=0-(B)φ(B)Yt 3、传递性与可逆性的重要意义 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
2、 可逆性 对于 ARMA（1,1），假定可逆形式为 εt=π（B）Yt=（1–π1B–π2B 2 –…–πk B k –…）Yt 代入 ARMA（1,1）的滞后算子表示形式，采用类似前面的方法， 比较同次幂系数可得 εt= Yt–（φ1–θ1）Yt-1–θ1（φ1–θ1）Yt-2–…–θ1 k-1（φ1– θ1）Yt- k –… 根据前面的定义（可逆性定义），应有︱θ1︱＜1。 因此，ARMA（1,1）可逆的条件是︱θ1︱＜1，它仅与滑动系 数有关，而与自回归系数无关。而且可逆条件与 MA（1）的可逆条 件相同。 一般地，服从 ARMA（p,q）模型的序列 Yt，其具有可逆性的条件 是： θ（B）=0 的根全在单位圆外。在可逆的条件下，Yt 的逆转形 式为 εt=θ -1（B）φ（B）Yt 3、 传递性与可逆性的重要意义 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
第三节线性时间序列模型的自相关函数与偏自相关函数 自相关函数 1、MA(q)模型的自相关函数 设{Y1}服从 YFe (B)et=er01et---0getq= 0; 则{Y1}的s阶自协方差函数为: o2(00s+010s1+…+0as0 (S≤q 由上式,有%=02(1+012+…+02) 故{Y1}的自相关函数(ACF)为: p s=Ys/yo e,+10 q q 上式表明,MA(q)模型的记忆仅有q个时段,Yt的自协方差 函数或自相关函数(ACF)q步截尾。这是MA(q)模型的典型特征。 MA(q)的典型特征:ps在q步截尾。 2、AR(p)模型的自相关函数 首先考察AR(1)(Y中Yu1+et)的自相关函数的特征 Y1的自协方差函数为: Ys=Cov(Yt,Yt+s)=中ms Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
第三节 线性时间序列模型的自相关函数与偏自相关函数 一、 自相关函数 1、 MA（q）模型的自相关函数 设｛Yt｝服从: Yt=θ（B）εt =εt–θ1εt-1–…–θqεt-q= –å= q j 0 θjεt-j , θ0= –1 则｛Yt｝的 s 阶自协方差函数为： γs =å= q j 0 θjθs+jσ2 = σ 2 (θ0θs+θ1θs+1+…+θq-sθq) (s≤q) （θ0= -1 ） 0 (s>q) 由上式，有 γ0=σ 2（1+θ1 2 +…+θq 2） 故｛Yt｝的自相关函数（ACF）为： ρs=γs／γ0 = s q s q s q s s q s q > £ £ = ï ï î ï ï í ì + + + - + + + + - 1 0 , , , 0 1 1 2 2 1 1 1 q q q q q q q L L 上式表明，MA（q）模型的记忆仅有 q 个时段，Yt 的自协方差 函数或自相关函数（ACF）q 步截尾。这是 MA（q）模型的典型特征。 MA（q）的典型特征：ρs 在 q 步截尾。 2、 AR（p）模型的自相关函数 首先考察 AR（1） (Yt=φ1Yt-1+εt )的自相关函数的特征。 Yt的自协方差函数为： γs=Cov(Yt , Yt+s) =φ1γs-1 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
从而y=4ms=中2bs2=…=中1Y0 自相关函数(ACF)为 p s=ys/y0= 当|φ >0,即自相关函数p。随s的增大而衰 减至零。这种现象称为拖尾性 对于一般的AR(p),序列的自相关函数的特征分析如下: 设Y中1Y1t+中2Y12+…+中pY+E=中(B)Y+et 则自协方差函数: Ys=中1s+中22+…+中 这是一个关于{y,}的线性差分方程。 上式两边同除γ,得关于自相关函数(ACF)的线性差分方程。 ps=中1ps+中2ps2+…+中psp 在AR(p)平稳的条件下,中(B)=0有p个在单位圆外的根an,a,…, 根据线性差分方程解的有关理论,自相关函数(ACF)服从的 线性差分方程中(B)s=0的通解为: a c, a 由于丨a>1,因此ρs将按指数衰减(实根情形)或正弦振荡 衰减(复根情形)。这种特性称为AR(p)的拖尾性。 AR(p)的典型特征是:ps拖尾(衰减) 3、ARMA(p,q)的自相关函数 设ARMA(p,q)的形式为: Y=中1Yt-1+中2Yt φnY-n+ece Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
从而 γs=φ1γs-1=φ1 2υs-2=…=φ1 s γ0 自相关函数（ACF）为： ρs=γs／γ0=φ1 s 当︱φ1︱＜1，ρs—>0,即自相关函数ρs随 s 的增大而衰 减至零。这种现象称为拖尾性。 对于一般的 AR（p），序列的自相关函数的特征分析如下： 设 Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+εt=φ(B) Yt+εt 则自协方差函数： γs=φ1γs-1+φ2γs-2+…+φpγs-p 这是一个关于｛ s g ｝的线性差分方程。 上式两边同除 γ0，得关于自相关函数（ACF）的线性差分方程。 ρs=φ1ρs-1+φ2ρs-2+…+φpρs-p 在 AR（p）平稳的条件下，φ（B）=0 有 p 个在单位圆外的根а1、а2，…， аp 。根据线性差分方程解的有关理论，自相关函数（ACF）服从的 线性差分方程φ(B)ρs=0 的通解为： ρs=c1а1 -s+ c2а2 -s +…+ cpаp -s 由于︱аj︱＞1，因此ρs将按指数衰减（实根情形）或正弦振荡 衰减（复根情形）。这种特性称为 AR（p）的拖尾性。 AR（p）的典型特征是：ρs拖尾（衰减） 3、ARMA（p,q）的自相关函数 设 ARMA（p,q）的形式为： Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+εt–θ1εt-1–…–θqεt-q PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
则Y1的s阶自协方差函数为: Ys=中s+中2ys2+…+中pysp+E( Yt eu+s)-0E(YtEt+s-) E(Yt e t+s-g) ①当0≤s≤q时,εts,etsl,…,εtsq中有一部分位于t 时刻以前(ts-i≤ts-i≤0),Y1与这一部分外部冲击有关,从 而γs除了受自回归系数的影响外,还受一部分滑动平均系数的影响。 ②当s>q时,s-q>0,ts-q>t,从而es,ets;,…,etsq 全在t时刻以后,由于Y1与未来的外部冲击不相关,因此y中后面 的项全为零 Ys=中ms+中2Ys2+…+中pysp 它只同自回归系数有关 两边同除γ,得p=中1pst+中2ps2+…+中pDsp(>q) 即ARMA(pq)的自相关函数(ACF)在s>q时,与AR(p) 的自相关函数所满足的线性差分方程完全相同。 借用前面关于AR(p)的自相关函数特征的讨论可知,ARMA (pq)的自相关函数(ACF)在q以后随s的增长按指数衰减或以正 弦振荡衰减,即仍体现出拖尾特征。 、偏自相关函数 设{Yt}是一随机序列,所谓Y1的s阶偏自相关系数,是指扣 出中间s-1个项的影响之后,Y1与Yts的相关系数。为了考察偏自相 关函数的特性,我们分析如下 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
则 Yt的 s 阶自协方差函数为： γs =φ1γs-1+φ2γs-2+…+φpγs-p+E(Ytεt+S) –θ1E(Ytεt+S-1) –…–θ qE(Ytεt+S-q) ①当 0≤s≤q 时，εt+S，εt+S-1，… ，εt+S-q中有一部分位于 t 时刻以前（t+ s-i≤t s-i≤0），Yt与这一部分外部冲击有关，从 而 γs除了受自回归系数的影响外，还受一部分滑动平均系数的影响。 ②当 s＞q 时，s-q＞0，t+s-q＞t，从而εt+S，εt+S-1，… ，εt+S-q 全在 t 时刻以后，由于 Yt与未来的外部冲击不相关，因此 γs 中后面 的项全为零。 γs=φ1γs-1+φ2γs-2+…+φpγs-p 它只同自回归系数有关。 两边同除 γ0，得ρs=φ1ρs-1+φ2ρs-2+…+φpρs-p (s＞q) 即 ARMA（p,q）的自相关函数（ACF）在 s＞q 时，与 AR（p） 的自相关函数所满足的线性差分方程完全相同。 借用前面关于 AR（p）的自相关函数特征的讨论可知，ARMA （p,q）的自相关函数（ACF）在 q 以后随 s 的增长按指数衰减或以正 弦振荡衰减，即仍体现出拖尾特征。 二、 偏自相关函数 设｛Yt｝是一随机序列，所谓 Yt的 s 阶偏自相关系数，是指扣 出中间 s-1 个项的影响之后，Yt与 Yt+s的相关系数。为了考察偏自相 关函数的特性，我们分析如下： PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com