第七章协整与误差校正模型 本章将介绍:协整的概念及性质 协整检验 协整回归 误差校正模型。 第一节伪回归问题 、伪回归现象 所谓“伪回归”,是指变量间本来不存在相依关系,但回归结果却得出存在 相依关系的错误结论。这是传统回归分析方法较易犯的一种错误。 经济学家早就发现经济变量之间可能会存在伪回归现象 20世纪70年代, Grange、 Newbold研究发现,造成“伪回归”的根本原因 在于变量的时序序列的非平稳性。 他们用 Monte carlo模拟方法表明,如果用传统回归分析方法对彼此不相关 联的非平稳变量进行回归,t检验值和R2值往往会倾向于显著,从而得出“变量 相依”的“伪回归结果”。 二、非平稳性对回归分析有什么影响? 考察如下例子:假设{x}、{;}是相互独立的随机游动过程(I(1)过程),即 x1=x1-1+v y,=yI+u, (7.1.2) 其中,{n}、{}为白噪声,且Cv(v,u,)=0。 形式地引入回归模型 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
1 第七章 协整与误差校正模型 本章将介绍： 协整的 概念及 性质 协整检验 协整回归 误差校正模 型。 第一节 伪回归问题 一、伪回归现象 所谓“伪回归”，是指变量间本来不存在相依关系，但回归结果却得出存在 相依关系的错误结论。这是传统回归分析方法较易犯的一种错误。 经济学家早就发现经济变量之间可能会存在伪回归现象。 20 世纪 70 年代，Grange、Newbold 研究发现，造成“伪回归”的根本原因 在于变量的时序序列的非平稳性。 他们用 Monte Carlo 模拟方法表明，如果用传统回归分析方法对彼此不相关 联的非平稳变量进行回归，t 检验值和 2 R 值往往会倾向于显著，从而得出“变量 相依”的“伪回归结果”。 二、非平稳性对回归分析有什么影响？ 考察如下例子：假设{xt}、{yt}是相互独立的随机游动过程（I(1)过程），即 t t t x = x + v -1 (7.1.1) t t ut y = y -1 + (7.1.2) 其中，{vt }、{ut }为白噪声，且Cv(vt ,ut ) = 0。 形式地引入回归模型 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
y1=a+x1+ (7.1.3) 显然,由于序列{x}与{}互不相关,β应为0 如果利用传统回归分析方法来进行检验,是否能得出β=0的结论? 为了回答上述问题, Grange等通过 Monte carlo方法进行模拟 (1)他们首先用计算机生成样本容量为N=100的两个相互独立的随机序列 样本:,}、v~ⅣN(0);{n}、u1~I(0.1)。 (2)将它们代入(7.1.1)和(7.1.2),并设x=y=0,分别生成样本序列{x} 与{v}。 (3)然后利用样本序列{x与v}估计回归方程(7.1.3),并用t检验法对 回归系数的显著性进行检验。 (4)重复上述试验过程M1000,得到B的估计序列,1=12…,M及相 应的估计标准差序列{S,=12,…,M},计算出各次试验的t统计量值,然后考察 M次试验中拒绝零假设H:B=0的频率,以及y与x之间的样本相关系数的频率 分布 结果发现: 在显著性水平5%(t检验临界值为1.96)的情况下,拒绝零假设 H:B=0的频率高达0.76,而且这种拒绝率随着样本容量T的增加而增 大 此外他们还发现,y与x之间的样本相关系数R接近±1的频率很大。 如图6-1-1 (a)是两个非相关I(0)序列{x与{}的相关系数分布图,此分布 的均值为零,近似为正态。表明{与{y}的样本相关系数以较大频率 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
2 t t t y = a + bx + e (7.1.3) 显然，由于序列{xt}与{yt}互不相关， b 应为 0。 如果利用传统回归分析方法来进行检验，是否能得出 b =0 的结论？ 为了回答上述问题，Grange 等通过 Monte Carlo 方法进行模拟： （1）他们首先用计算机生成样本容量为 N=100 的两个相互独立的随机序列 样本：{vt }、v ~ IN(0,1) t ；{ut }、u ~ IN(0,1) t 。 （2）将它们代入(7.1.1)和(7.1.2)，并设 x0 = y0 = 0，分别生成样本序列{xt} 与{yt }。 （3）然后利用样本序列{xt}与{yt }估计回归方程(7.1.3)，并用 t 检验法对 回归系数的显著性进行检验。 （4）重复上述试验过程 M=10000 次，得到 b 的估计序列{b ˆ i ,i = 1,2,L,M }及相 应的估计标准差序列{Si ,i = 1,2,L,M}，计算出各次试验的 t 统计量值，然后考察 M 次试验中拒绝零假设 : 0 H0 b = 的频率，以及 y 与 x 之间的样本相关系数的频率 分布。 结果发 现： 在 显著 性水平5%（t检验临界值为1.96）的情况下，拒绝零假设 H0 : b = 0的频率高达0.76，而且这种拒绝率随着样本容量T的增加而增 大 。 此 外 他们还发现， y与x之间的样本相关系数R接近 ±1的频率很大。 如 图 6-1-1： (a)是两个 非相关I（0）序列 {xt }与 {yt }的相关系 数分布图，此分布 的 均 值 为零，近似为正态。 表明 {xt }与 {yt}的样本相关系数以较大频率 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
取值于零的周围,这同{x}与}不相关是吻合的。 (b)是两个非相关I(1)序列{x}与}的样本相关系数分布图,此 分布呈倒U字形。需注意的是,尽管{}与{}的真实相关系数仍然为零, 但从模拟结果看,{x,}与}的样本相关系数为零的可能性与图(a)相比 大大降低,实际上,相关系数以较大频率靠近±1。 (a)两个非相关I(0)序列R分布 (b)两个非相关I(1)序列R分布 图6-1-1 上述结论表明: 对于两个本来不相依的I(1)变量,如果用传统回归分析方法进 行分析,会倾向于拒绝零假设H0:B=0,从而形成“伪回归”。换个角 度说,当回归模型中包含非平稳序列时,如果用传统回归分析方法进 行分析,即使t检验值和R2都显著,也不能据此推断变量间确实存在相 依关系。 、 Phillips的严格证明 对于上述现象, Phillips(1986)从理论上给出了严格论证。 假设数据序列由相互独立的随机游动过程(7.1.1)和(7.1.2)生 成,设定回归模型如下 y,=Bx, +Er (7.1.4) Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
3 取 值 于 零的周围，这 同 {xt}与 {yt}不相关是吻合的。 (b)是两个 非相关I（1）序列 {xt}与 {yt}的样本相关系数分布图，此 分 布呈倒 U字形。需注意的是，尽管 {xt}与 {yt }的真实相关系数仍然为零， 但 从 模 拟结果 看，{xt}与 {yt }的样本相关系数为零的可能性与图(a)相比 大大降低，实际上，相关系 数以较大频率靠近 ±1。 （ a） 两 个 非相关 I（ 0） 序 列 R分 布 （ b）两个 非 相 关 I（ 1） 序 列 R分 布 图6-1-1 上述结论表明： 对 于两个本来 不相依的I（1）变量，如果用传统回归分析方法进 行 分 析，会 倾向于拒绝零 假设 H0 : b = 0，从而形成“伪回归”。换个 角 度说 ， 当回归 模型中包含非平稳序列时， 如果用传统回归分析方法进 行 分 析，即使 t检验 值和 2 R 都显著，也不能据此推断变量间确实存在相 依关系。 三、 Phillips的严 格证明 对 于 上述现象， Phillips（1986） 从 理论上给出了严格论证。 假设数据序列 由相互独立的随机游动过程(7.1.1) 和(7.1.2)生 成， 设 定回归 模型如下 t t t y = bx + e (7.1.4) PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
其中,,}为白噪声序列。由0LS可得β的估计量如下: 根据第五章有关随机游动的极限分布,有 N∑y2-2aaW2(r)d ∑ V(rdr yrx ,o. w(v(r)dr 检验零假设H:B=0的t统计量为 B-B /∑ 其中s2为模型(7.1.4)的剩余方差。 由于 ∑E N-1 ∑(-x) x) y 因此 β-BB Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
4 其中， {et}为白噪声序列。由 OLS可得 b 的估计量如下： å = å 2 ˆ t t t x y x b (7.1.5) 根 据第五章有关随机 游动的极限分布，有 å ¾¾® ò - 1 0 2 2 2 2 N y W (r)dr u L t s å ¾¾® ò - 1 0 2 2 2 2 N x V (r)dr v L t s (7.1.6) å ¾¾® ò - 1 0 2 N y x W (r)V (r)dr u v L t t s s 检验零假设 : 0 H0 b = 的 t 统计量为 [ ] 2 1 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ å = - = t s x t b s b b b 其中 2 s 为模型(7.1.4)的剩余方差。 由于 ( ) 2 2 2 ˆ 1 1 ˆ 1 1 å å - - = - = t t t y x N N s e b 2 2 1 1 å å å ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - × - = t t t t t x x x y y N ( ) ú ú û ù ê ê ë é - - = å å å 2 2 2 1 1 t t t t x x y y N 因此 [ ] 2 1 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ å = - = t s x t b s b b b PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
令x N小x∑-∑)∑x) 用N对上述t统计量做变换,并利用(7.1.6)的结论,有 [()(r) (7.1.7) w( drS(F dr-ISwo(r)dra 该结论表明: 表明在零假设下统计量N2t弱收敛于维纳过程的泛函,Nt具有 规范的极限分布 原来的t统计量既不服从t分布,也不存在规范的极限分布,t统计 量将随样本容量的增加而发散 这从理论上解释了在对非平稳变量进行回归时,为什么t统计量值 往往偏大。 因此,在对回归模型(7.1.4)的回归系数作显著性检验时,不能使 用常规的t分布临界值,而应改用N2t的分布的临界值 结论:在回归分析中,不能盲目依赖于t检验值和R2来对回归结果 进行评价,必须注意变量的非平稳性可能带来的“伪回归”问题。 如何防止“伪回归”? 种办法是 采用变通的方式避免回归方程中出现非平稳项。例如,传统的做 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
5 ( ) 1 2 2 2 å å = å t t t t x x y x ( ) 1 2 2 2 2 1 1 - ú ú û ù ê ê ë é ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - å å å t t t t x x y y N [ ][( )( ) ( ) ] 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 - - - - - = - å t t å t å t - å t t N N x y N x N y N x y 用 2 1 - N 对上述 t 统计量做变换，并利用(7.1.6)的结论，有 ( ) { [ ( )] [ ( )] ( ) } 2 1 2 1 0 1 0 2 1 0 2 1 2 0 1 [ ( ) ] ( ) ò ò ò ò × - ¾¾® - W r dr V r dr W r V r dr W r V r dr N t L (7.1.7) 该结论表明： 表明在零假设下统计量 2 1 - N t弱收敛 于维纳过程的泛函， 2 1 - N t具有 规范 的 极限 分布； 原来的 t统计量既不服从t分布，也不存在规范的极限分布，t统计 量将 随样本容量的增加而发 散； 这 从 理论上解释了在对非平稳变量进行回归时，为什么 t统计量值 往往 偏大。 因 此 ，在对回归 模型(7.1.4)的回归系 数作显著性检验时，不能 使 用 常规的t分布临界值，而应改用 2 1 - N t 的分布的临界值。 结论：在回归分析中，不能盲目依赖于t检验值和 2 R 来对回归结果 进行 评价，必须注意 变量的非平稳性可能带来的“伪回归”问题。 如何防止“伪回 归”？ 一种 办法是： 采 用变通的方 式避免 回归方程中出现非平稳项。例如，传统的 做 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
法是对非平稳变量进行差分,使得差分序列变成平稳序列,然后对差 分变量进行回归。 这种做法可以消除变量非平稳性可能带来的伪回归问题,但却会 损失变量间长期关系的信息。例如,研究消费支出与收入的关系时, 如果对变量进行差分后做回归分析,所得到的结果实际上是消费支出 的增量与收入增量的关系,而不是研究者感兴趣的消费支出与收入这 两个水平变量的长期稳定关系。 另一种方法是 直接对非平稳变量进行回归,但需要采用新的方法探测变量间是 否真的存在相依关系,以建立起能反映水平变量间真实关系的回归方 程。这种新的方法就是协整分析。 第二节协整概念及性质 协整关系 在给出协整概念之前,先看一个例子。 货币需求分析是货币理论中的一个重要内容。经典的理论分析告 诉我们,一国或一地区的货币需求量主要取决于规模变量和机会成本 变量,即实际收入、价格水平以及利率。如果以对数形式的计量经济 模型将货币需求函数描述出来,其形式为 m,=Bo+Bp,+B,,+B, ri+ (7.2.1) 其中,m为货币需求,p为价格水平,y为实际收入总额,r为利率,u 为扰动项,β为模型参数。模型中的所有变量除了利率外都是对数形 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
6 法是对 非平稳 变量进行差分，使得差分序 列变成平稳序列，然后对差 分变量进行回归。 这种 做法可以消除变量非平稳性可能 带来的伪回归问题，但却会 损失 变 量间长期关系的信息 。例如，研究 消费支出与收入的关系时， 如 果 对 变量 进行差分 后做回 归分析，所得到的结果实际上是消费支 出 的 增 量 与收入增量的 关系，而不是研究者感兴趣的消费支出与收入这 两个 水 平变量的长期 稳定关 系。 另 一种方法是： 直 接对非平稳 变量进行回归，但需要采用新的方法探测变量间是 否 真 的 存在相 依关系，以建立起能反映水平变量间真实关系的回归方 程 。这种新的方法就 是协整分析。 第二节 协整概念及性质 一、 协整关系 在 给 出协整概 念之前，先看一个例子。 货币 需求分析是货币 理论中的一个重要内容。经典的理论分析告 诉我 们 ，一 国或一地区的货币需求量主要取决于规模变量和机会成本 变量，即实际收入、价格水 平以及利率。如果以对数形式的计量经济 模型将货币需求函数描述出 来，其形式为： t t t t ut m = b0 + b1 p + b2 y + b3 r + (7.2.1) 其中， m为货币需求，p为价 格水平，y为实际收入总额， r为利率，u 为 扰 动 项， bi为模型 参数。模型中的所有变量除了利率外都是对数形 式 。 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
在货币市场除清的假定下,可以通过搜集货币供给量而获得货币 需求的时间序列数据,实际收入总额可以取为实际国民总收入即GNP, 此外,也可以搜集到价格水平和短期利率的数据。 对于研究者来说,他关心的问题是如何估计出上述回归模型,并 检验模型参数是否满足条件:β1=L,B2>0.B3<0。此外,考察货币需求中 未被解释部分(即扰动项序列)的特性也是一重要内容 如果上述货币需求函数是适当的,那么货币需求对长期均衡关系 的偏离将是暂时的,扰动项序列是平稳序列,估计出来的货币需求函 数就揭示了货币需求的长期均衡关系。相反,如果扰动项序列有随机 趋势而呈现非平稳现象,那么模型中的误差会逐步积聚,使得货币需 求对长期均衡关系的偏离在长时期内不会消失。因此,上述货币需求 模型是否具有实际价值,关键一点在于扰动项序列是否平稳 面临的问题是,货币供给量、实际收入、价格水平以及利率可能 是非平稳的I(1)序列。根据第5章有关单位根过程的运算性质可知, 多个非平稳序列的线性组合在一般情况下也是非平稳序列。如果货币 供给量、实际收入、价格水平以及利率的任何线性组合都是非平稳的, 那么货币需求模型(7.2.1)的扰动项序列就不可能是平稳的,从而模型 并没有揭示出货币需求的长期稳定关系。反过来说,如果上述货币需 求模型描述了货币需求的长期均衡关系,那么扰动项序列必定是平稳 序列,也就是说,非平稳的货币供给量、实际收入、价格水平以及利 率四变量之间存在平稳的线性组合。 上述例子向我们揭示了这样一个事实:“包含非平稳变量的均衡 理论,必然意味着这些非平稳变量的某种组合是平稳的”。这正是协 整理论的思想。 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
7 在 货币市场除清的假定下，可以通过搜集货币供给量而获得货币 需 求 的 时间序列数据，实际收入总额可以取为实际国民总收入即GNP， 此 外 ， 也可以搜集到价格水 平和短期利率的数据。 对 于研究者来说，他关心的问题是如何估计出上述回归模型，并 检验模型参数是否满足条件： 1, 0, 0 b1 = b2 > b3 < 。此外，考察货币需求中 未被 解释部分（即扰动项序列）的特性也是一重要内容。 如 果 上述货币 需求函数是适当的，那么货币需求对长期均衡关系 的 偏 离 将是 暂时的，扰动项序列是平稳序 列，估计出来的货币需求 函 数 就 揭示了货币需求的长期 均衡关系。相反，如果扰动项序列有随机 趋势 而 呈现非 平稳现 象，那么模型中的误差会逐步积聚，使得货币 需 求 对 长期均衡关系的偏离在 长时期内不会消失。因此，上述货币需求 模型是否具有 实际价值，关键一点在于扰动项序列是否平稳。 面 临 的问题是，货币供给量、实际收入、价格水平以及利率可能 是非平稳的I（1）序列。根 据第5章有关单位根过程的运算性质可知， 多 个 非 平稳序 列的线性组合在一般情况下也是非平稳序列。如果货币 供 给 量、实际收入、价格水平以及利率的任何线性组合都是非平稳的， 那 么 货币需求模型(7.2.1)的扰动项序列就不可能是平稳的，从而模型 并 没 有 揭示 出货币需求的长期稳定关系。 反过来说，如果上述货币需 求 模型描述了 货币需求的长期均衡关系，那么扰动项序列必定是平稳 序列，也就是 说，非 平稳的货币供给量、实际收入、价格水平以及利 率 四 变 量之间 存在平 稳的线性组合。 上述例子向我们揭示 了这样一个事实：“包含非平稳变量的均 衡 理 论，必然意味着这些非平 稳变量的某种组合是平稳的”。这正是协 整 理 论的思想。 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
协整的概念:所谓协整,是指多个非平稳经济变量的某种线性组 合是平稳的。 也就是说,尽管各个经济变量具有各自的长期波动规律,每一个 序列的矩会随着时间而变化,但它们的某种线性组合却存在稳定的矩, 从而表现出这些非平稳经济变量之间存在着一个长期稳定的关系。 例如,收入与消费,工资与价格,政府支出与税收,出口与进口 等,这些经济时间序列一般是非平稳序列,但它们之间却往往存在长 期均衡关系。 协整的严格定义: 设有k(2)个序列{yn}{2}…bv用y1=(y1,y2…y)表示由此k个序列构 成的k维向量序列,如果: (1)每一个序列{n}{v2…,{}都是d阶单整序列,即yn~f(d); (2)存在非零向量a=(a1,a2,…,a4),使得a1=a1yn+a2y2+…+ay为(d-b) 阶单整序列,即αT;~I(d-b),0<b≤d。 则称向量序列Y=(y1,y2,…,y)的分量间是d、b阶协整的,记为y~C(d,b),向 量a=(a1,a2…,a)称为协整向量 特别地,若d=b=1,则y~CI(,1),说明尽管各个分量序列是非平稳的一阶 单整序列,但它们的某种线性组合却是平稳的。这种(1,1)阶协整关系在经 济计量分析中较为常见。 例如,假设变量ν与变量yn(i=2,…,m)之间存在(1,1)阶协整关系,协整 向量为α=(1,-B2…-Ban),则这种协整关系可表示为 yn=a+B2y2+…+Bmym+l2 (7.2.2) Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
8 协整的概念： 所谓协整，是指 多个非平稳经济变量的 某种线性 组 合 是平稳的。 也 就是说，尽管各个 经济变量具有各自的长期波动规律，每一个 序列的矩会随着时间 而变化，但它们的某种线性组合却存在稳定的矩， 从而表现出这些非平 稳经济变量之间存在 着一个长期稳定的关系。 例如 ，收入与 消费，工资与价格，政府支出与税收，出口与进 口 等 ，这些经济 时间序 列一般是非平稳序列，但它们之间却往往存在长 期 均 衡 关系。 协整的严格定义： 设有 k(³ 2) 个序列{ },{ }, ,{ }, 1t 2t kt y y L y 用 ( , , , ) 1 2 = ¢ t t t kt Y y y L y 表示由此k个序列构 成的 k 维向量序列，如果： （1）每一个序列{y1t },{y2t },L,{ykt }都是 d 阶单整序列，即 y ~ I(d) jt ； （2）存在非零向量 ( , , , ) 1 2 = ¢ a a a L ak ，使得a Yt ¢ t t k kt = a y + a y +L+ a y 1 1 2 2 为(d-b) 阶单整序列，即 Y I d b b d a¢ t ~ ( - ) , 0 < £ 。 则称向量序列 ( , , , ) 1 2 = ¢ t t t kt Y y y L y 的分量间是 d、b 阶协整的，记为Y ~ CI(d,b) t ，向 量 ( , , , ) 1 2 = ¢ k a a a L a 称为协整向量。 特别地，若d = b = 1，则Y ~ CI(1,1) t ，说明尽管各个分量序列是非平稳的一阶 单整序列，但它们的某种线性组合却是平稳的。这种（1，1）阶协整关系在经 济计量分析中较为常见。 例如，假设变量 t y1 与变量 y (i 2, ,m) it = L 之间存在（1，1）阶协整关系，协整 向量为 (1, , , ) 2 = - - ¢ a b L b m ，则这种协整关系可表示为： t t m mt ut y1 =a + b2 y2 +L+ b y + (7.2.2) PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
组合变量u就为I(0)过程。 由协整的定义可以看出,协整的含义就是两个或多个单整序列,其单整阶 数为d,存在这些单整序列的线性组合,新的组合序列的单整阶数比d低。 当序列个数k大于2时,向量序列y,=(y1,y2…,y)可能存在多个协整向量 如果在这些协整向量中有某r个协整向量a1a2…ax,形成一个极大线性无关组, 则这些协整向量组成的矩阵 常称为协整矩阵,r称为协整秩。 可以证明,协整秩r不超过变量序列个数减1,即r≤k-1。特别地,当序列 个数k=2时,就变成考察二变量的协整关系。显然,在二变量情形下,协整向 量在常数倍意义下惟 需要指出的是,上述协整定义所描述的变量均衡关系,要求序列都为d阶 单整,这是一较强的条件。事实上,这一条件只对两变量情形是必须的。因为: 假设{x}与{}为不同阶数的单整序列,例如y,~1(1)x,~1(0)。根据第5章 有关单整序列的运算性质可知,一个I(1)序列与一个I(0)序列之间不可能 找到一种平稳的线性组合,即不存在一个合适的数β,使得y2-Bx,=u1为I(0) 序列。也就是说,它们之间不可能存在协整关系 对于三变量或更多变量的情形,当各变量的整形阶数不相同时,也有可能 形成长期均衡关系。 以三变量为例,假设有 =B1x1+B2= 其中{x,}、{υ}与{,}的整形阶数可以不同,但,}却有可能是平稳的。比如, y;~1O)x,~1(1,1~(),当存在B1,B2使得(B1x,+B2-)~1(0)时,就有{n}I(0), Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
9 组合变量 t u 就为 I（0）过程。 由协整的定义可以看出，协整的含义就是两个或多个单整序列，其单整阶 数为 d，存在这些单整序列的线性组合，新的组合序列的单整阶数比 d 低。 当序列个数 k 大于 2 时，向量序列 ( , , , ) 1 2 = ¢ t t t kt Y y y L y 可能存在多个协整向量。 如果在这些协整向量中有某 r 个协整向量a a ar , , , 1 2 L 形成一个极大线性无关组， 则这些协整向量组成的矩阵 [ ] A a a ak , , , = 1 2 L 常称为协整矩阵，r 称为协整秩。 可以证明，协整秩 r 不超过变量序列个数减 1，即r £ k -1。特别地，当序列 个数 k=2 时，就变成考察二变量的协整关系。显然，在二变量情形下，协整向 量在常数倍意义下惟一。 需要指出的是，上述协整定义所描述的变量均衡关系，要求序列都为 d 阶 单整，这是一较强的条件。事实上，这一条件只对两变量情形是必须的。因为： 假设{xt }与{yt}为不同阶数的单整序列，例如 y ~ I(1), x ~ I(0) t t 。根据第 5 章 有关单整序列的运算性质可知，一个 I（1）序列与一个 I（0）序列之间不可能 找到一种平稳的线性组合，即不存在一个合适的数 b ，使得 t t t y - b x = u 为 I（0） 序列。也就是说，它们之间不可能存在协整关系。 对于三变量或更多变量的情形，当各变量的整形阶数不相同时，也有可能 形成长期均衡关系。 以三变量为例，假设有 t t t ut y = b1 x + b2 z + 其中{xt}、{yt }与{zt}的整形阶数可以不同，但{ut}却有可能是平稳的。比如， y ~ I(0), x ~ I(1),z ~ I(1) t t t ，当存在 1 2 b , b 使得( ) ~ (0) 1 2 x z I b t + b t 时，就有{ut}~I（0）， PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
从而表明这三个变量之间存在长期均衡关系。 协整概念的提出对于用非平稳变量建立经济计量模型,以及检验这些变量 之间的长期均衡关系非常重要。 (1)如果多个非平稳变量具有协整性,则这些变量可以合成一个平稳序列。 这个平稳序列就可以用来描述原变量之间的均衡关系。 (2)当且仅当多个非平稳变量之间具有协整性时,由这些变量建立的回归 模型才有意义。所以协整性检验也是区别真实回归与伪回归的有效方法。 (3)具有协整关系的非平稳变量可以用来建立误差修正模型。由于误差修 正模型把长期关系和短期动态特征结合在一个模型中,因此既可以克服传统计 量经济模型忽视伪回归的问题,又可以克服建立差分模型忽视水平变量信息的 弱点 协整向量的最小二乘估计及性质 协整过程的协整向量往往是未知的,需要由观测样本估计得到。 假设a=(a1,a2…,an)为m维向量序列y=(yv1,y23,…,ym)的协整向量,则 =aY为一单变量I(0)过程。 根据大数定理,有 N∑:=N∑(ax)-”→E() (7.2.3) 如果a不是y的协整向量,则z1=a仍为I(1)过程 可以证明,在z,为I(1)的情况下,如下结论成立 2-4)2[(r)dh (7.2.4) 其中λ由△,的自协方差确定。从而有 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
10 从而表明这三个变量之间存在长期均衡关系。 协整概念的提出对于用非平稳变量建立经济计量模型，以及检验这些变量 之间的长期均衡关系非常重要。 （1）如果多个非平稳变量具有协整性，则这些变量可以合成一个平稳序列。 这个平稳序列就可以用来描述原变量之间的均衡关系。 （2）当且仅当多个非平稳变量之间具有协整性时，由这些变量建立的回归 模型才有意义。所以协整性检验也是区别真实回归与伪回归的有效方法。 （3）具有协整关系的非平稳变量可以用来建立误差修正模型。由于误差修 正模型把长期关系和短期动态特征结合在一个模型中，因此既可以克服传统计 量经济模型忽视伪回归的问题，又可以克服建立差分模型忽视水平变量信息的 弱点。 二、 协整向量的最小二乘估计及性质 协整过程的协整向量往往是未知的，需要由观测样本估计得到。 假设 ( , , , ) 1 2 = ¢ a a a L a m 为 m 维向量序列 ( , , , ) 1 2 = ¢ t t t mt Y y y L y 的协整向量，则 t Yt z = a¢ 为一单变量 I（0）过程。 根据大数定理，有 å = å( ) ¾¾® ( ) < ¥ = - = - 2 1 2 1 ' 1 1 2 t P N t t N t t N z N a Y E z (7.2.3) 如果a 不是Yt 的协整向量，则 t a Yt z = ¢ 仍为 I（1）过程。 可以证明，在 t z 为 I（1）的情况下，如下结论成立： N z [W r ] dr N t L t 2 1 1 0 2 2 2 å ( ) ò = - ¾¾®l （7.2.4） 其中l 由 t Dz 的自协方差确定。从而有 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com