第八章ARCH模型 不确定性是现代经济和金融理论经常涉及到的一个焦点问题。例如,宏观经 济波动的不确定性、金融市场上收益的不确定性以及外汇市场上各国汇率的不确 定性等。在模型分析中,经济或金融变量的不确定性一般用方差来进行描述和度 量。而且为了分析简洁,通常对模型作出一些假定,例如在回归模型中假定随机 扰动项满足零均值、同方差和互不相关。然而,实践表明,许多经济时间序列在 经历一段相对平稳的时期后,都有非常大的波动。如图,沪深股票市场日收益率 变异情况就具有这种特性 O.1 0.1 1000 图3.2.1(a)上证指数收益率时序图(1990.12.19-2001.07.31) 1500 图3.2.1(b)深圳指数收益率时序图(1991.04.03-2001.07.31) 在这种情况下,同方差假定是不恰当的。在这种情况下,人们关心的是如何 预测序列的条件方差。例如,作为资产持有者,他既关心收益率的预测值,同时 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
1 第八章 ARCH 模型 不确定性是现代经济和金融理论经常涉及到的一个焦点问题。例如，宏观经 济波动的不确定性、金融市场上收益的不确定性以及外汇市场上各国汇率的不确 定性等。在模型分析中，经济或金融变量的不确定性一般用方差来进行描述和度 量。而且为了分析简洁，通常对模型作出一些假定，例如在回归模型中假定随机 扰动项满足零均值、同方差和互不相关。然而，实践表明，许多经济时间序列在 经历一段相对平稳的时期后，都有非常大的波动。如图，沪深股票市场日收益率 变异情况就具有这种特性。 图 3.2. 1（ a） 上 证 指数收益率 时 序 图 （ 1990.12.19— 2001.07.31） 图 3.2. 1（ b） 深 圳 指 数 收 益率时序 图 （ 1 991.04.03— 2001.07.3 1） 在这种情况下，同方差假定是不恰当的。在这种情况下，人们关心的是如何 预测序列的条件方差。例如，作为资产持有者，他既关心收益率的预测值，同时 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 500 1000 1500 2000 2500 SHZSRX -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 500 1000 1500 2000 2500 SZZSR PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
也关心持有期内方差的大小。如果一位投资者计划在第t时期买入某项资产,在 第t+1时期售岀,则无条件方差(即方差的长期预测值)对他来讲就不重要了。 对于这一类问题,可以使用自回归条件异方差模型( autoregressive conditional heteroskedastic model,简称ARCH模型)来进行分析 最早的ARH模型是由 Robert Engle于1982年建立的,因此它的发展历史 不长。但是,这种模型及其各种推广形式已被广泛应用于经济和金融数据序列的 分析,ARH模型族已成为研究经济变量变异聚类特性的有效工具。 第一节ARCH模型的概念与性质 1、ARCH过程 ARCH模型的一般性定义如下。假设时间序列{ν,}服从如下回归模型: X2+ 其中X是外生变量向量,它可以包含被解释变量的滞后项,ξ是回归参 数向量。 如果扰动项序列{u}满足: u2~N(0,h) 1.2) h,=h(u (8.1.3) 其中Ω1={,X12y2X2…为t时期以前的信息集。h()是一个q元非负函数, 则称{}服从q阶自回归条件异方差(ARCH(q))模型。 例如,如果{un}满足 l=Co+a1-1+…+a4l1-q+E (8.1.4) 其中系数αn>0,a1≥0i=1…,q),{;}为白噪声。则有 h=mr(u121)=E(x2921)=a0+a1x21+…+an2 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
2 也关心持有期内方差的大小。如果一位投资者计划在第 t 时期买入某项资产，在 第 t+1 时期售出，则无条件方差（即方差的长期预测值）对他来讲就不重要了。 对于这一类问题，可以使用自回归条件异方差模型（autoregressive conditional heteroskedastic model ，简称 ARCH 模型）来进行分析。 最早的 ARCH 模型是由 Robert Engle 于 1982 年建立的，因此它的发展历史 不长。但是，这种模型及其各种推广形式已被广泛应用于经济和金融数据序列的 分析，ARCH 模型族已成为研究经济变量变异聚类特性的有效工具。 第一节 ARCH 模型的概念与性质 1、ARCH 过程 ARCH 模型的一般性定义如下。假设时间序列{yt}服从如下回归模型： t t t y = X x + u ' (8.1.1) 其中 X 是外生 变量向 量，它可以包含被解释变量的滞后项， x 是回归参 数向量。 如果扰动项序列{ut}满足： ~ (0 , ) ut Wt-1 N ht (8.1.2) ( , , ) ht = h ut-1 L ut-q (8.1.3) 其中Wt-1 = {yt-1 , Xt ¢ -1 , yt-2 , Xt ¢ -2 ,L}为 t 时期以前的信息集。h（）是一个 q 元非负函数， 则称{ }t u 服从 q 阶自回归条件异方差（ARCH（q））模型。 例如，如果{ut}满足 ut ut q ut q t = a +a + +a + e - - 2 2 0 1 1 2 L (8.1.4) 其中系数 0, 0( 1, , ) a0 > ai ³ i = L q ，{et}为白噪声。则有： 2 2 1 0 1 1 2 1 ( ) ( ) ht = Var ut Wt- = E ut Wt- =a +a ut- +L+aq ut-q PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
其中系数an>0,a1≥0i=1,…,q)可以保证h的非负性。条件方差h,随{,}过去值的变 化而变化,在这种情况下,我们称{n}服从具有线性参数形式的q阶自回归条件异 方差模型 在实际应用中,为了简化描述{1}的自回归条件异方差特征,可以对{}施加 些假定,设定其生成过程为某种特殊形式。一种简便的处理方法是假定 et =a0+a11-1 …+Cl dN(0,1) 显然 Q hE12-1)=√E(:)=0 par(u121)=E(u22,)=E(h61)221]=hE(E22)=h 即u,1~N(0,h),从而{n}服从自回归条件异方差(ARCH(q))模型。 在 Engle(1982)所建议的各种条件异方差模型中,最简单的一种是如下ACH u,=E,vao +a1ui-1 (8.1.6) 其中{E,}是方差为o2=1的正态白噪声过程,ε,与u1相互独立,ao和a1为常数且满 足条件a0>0和0<a1<1 2、ARCH模型的性质 下面我们以(8.1.6)式所描述的ARCH(1)模型为例,考察ARCH序列{}的性 质。由于E,是白噪声且与u相互独立,易证{u,}的每一项的均值为零且彼此间互不 相关。而且, Eu1=E{,√a0+a2}=E,E(√a0+a2}=0 (8.1.7) Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
3 其中系数 0, 0( 1, , ) a0 > ai ³ i = L q 可以保证ht 的非负性。条件方差 ht 随{ut}过去值的变 化而变化，在这种情况下，我们称{ut}服从具有线性参数形式的 q 阶自回归条件异 方差模型. 在实际应用中，为了简化描述{ }t u 的自回归条件异方差特征，可以对{ }t u 施加 一些假定，设定其生成过程为某种特殊形式。一种简便的处理方法是假定： ut ht t = e (8.1.5) 2 2 t 0 1 t 1 q t q h u u = a +a - +L +a - ~ iidN(0,1) t e 显然， ( ) ( ) ( ) 0 E ut Wt-1 = E ht e t Wt-1 = ht E et Wt-1 = Var ut Wt- = E ut Wt- = E ht t Wt- = htE t Wt- = ht ( ) ( ) [( ) ] ( )1 2 1 2 1 2 1 e e 即 ~ (0 , ) ut Wt-1 N ht ，从而{ }t u 服从自回归条件异方差（ARCH（q））模型。 在 Engle（1982）所建议的各种条件异方差模型中，最简单的一种是如下 ARCH （1）： 2 ut = t a0 +a1ut-1 e (8.1.6) 其中{ }t e 是方差为 2 se =1 的正态白噪声过程， t e 与 t-1 u 相互独立，a0和a1为常数且满 足条件a0 >0 和 0<a1 <1。 2、ARCH 模型的性质 下面我们以(8.1.6)式所描述的 ARCH（1）模型为例，考察 ARCH 序列{ut }的性 质。由于 t e 是白噪声且与ut-1相互独立，易证{ut }的每一项的均值为零且彼此间互不 相关。而且， { } { } 0 2 0 1 1 2 Eut = E e t a0 +a1 ut-1 = Ee tE a +a ut- = (8.1.7) PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
EM2=E{E2(x0+a1u21)}=EE2E{0+a121}=a0(1-a1) (8.1.8) 所以,{,}的无条件均值和方差不会受}的生成过程的影响。类似地,容易推出{} 的条件均值也为零。即 e(u )=E{E1 l21}=EE,E{ (8.1.9) 此时,读者可能会认为,由于{u}的均值为零、方差为常数,从而ln}的矩性 质不受如}的生成过程的影响。事实上,{x1}的生成过程的影响全部反映在条件方 差上。由于2=1,u1基于其过去值u1,u12…的条件方差为 E(21-,12,…)=a0+a1u2 (8.1.10) 即u,的条件方差依赖于v2的实现值。如果u21的实现值大(或小),则在t时期v,的 条件方差也就大(或小) 下面我们讨论,误差项u,的ARCH结构如何影响序列{}的变异特征。事实上, x}的条件异方差使得{y}成为一个ARCH过程。所以,利用ARCH模型能够区分并 反映序列{v,}的各个平缓期和易变期。详细分析如下: 假定序列{υ}服从模型(8.1.1)的一种特殊情形: V, =ao +av-+u 误差项u1服从形如模型(8.1.6)的ARCH(1)。则y,的条件均值和条件方差分别由 下面两式给出: E,-1(y1)=ao+a1y1 H(p,2…)=Ely ao -aly (8.1.11) E1(u2)=a0+a1(u1)2 此式表明,y,的条件方差与u,的条件方差(8.1.10)一致。n}的条件异方差使得 成为一个ARCH过程 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
4 { ( )} { } 2 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 Eut = E t + ut- = E t E a +a ute a a e /(1 ) = a0 -a1 (8.1.8) 所以，{ut }的无条件均值和方差不会受{ut }的生成过程的影响。类似地，容易推出{ut } 的条件均值也为零。即： ( , , ) { } { } 0 2 0 1 1 2 E ut ut-1 ut-2 L = E e t a0 +a1ut-1 = Ee t E a +a ut- = (8.1.9) 此时，读者可能会认为，由于{ut}的均值为零、方差为常数，从而{ut}的矩性 质不受{ut}的生成过程的影响。事实上，{ut}的生成过程的影响全部反映在条件方 差上。由于 2 se =1，ut基于其过去值ut-1，ut-2 L的条件方差为： 2 1 2 0 1 1 2 ( , , ) E ut ut- ut- L = a +a ut- (8.1.10) 即ut的条件方差依赖于 2 ut-1的实现值。如果 2 ut-1的实现值大（或小），则在 t 时期ut的 条件方差也就大（或小）。 下面我们讨论，误差项 t u 的 ARCH 结构如何影响序列{yt}的变异特征。事实上， {ut}的条件异方差使得{yt}成为一个 ARCH 过程。所以，利用 ARCH 模型能够区分并 反映序列{yt }的各个平缓期和易变期。详细分析如下： 假定序列{yt }服从模型(8.1.1)的一种特殊情形： t t ut y = a0 + a1 y -1 + 误差项 t u 服从形如模型(8.1.6)的 ARCH（1）。则 t y 的条件均值和条件方差分别由 下面两式给出： 1 0 1 1 ( ) t- t = + t- E y a a y [( ) ] 2 0 1 1 2 1 2 1 2 1 0 1 1 ( ) ( ) ( , , ) - - - - - - = = + = - - t t t t t t t t t E u u Var y y y E y a a y a a L (8.1.11) 此式表明， t y 的条件方差与ut的条件方差(8.1.10)一致。{ut }的条件异方差使得{yt } 成为一个 ARCH 过程。 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
υ,的无条件均值和无条件方差可以通过求解y的差分方程并取期望得到 如果过程开始于过去足够远的时期,则y的解为 (1-a)+∑a 由于El=0对于所有t成立,所以y的无条件期望等于Ey=a01(1-a1) 无条件方差可以类似得到。在给定EML=0(对所有i≠0)的条件下,y,的 无条件方差为: pa(y)=∑avar(u1-) 由于的无条件方差为常值(lamr(x,)=lan(u1-)=lar(u1-2)=…=an/1-a1)),从而有: lar(y,)=[a0(1-a1)1/1-a2) (8.1.12) 比较序列v}的无条件方差(8.1.12)和条件方差(8.1.11)可以看出,{}的无条件 方差为一常数,而条件方差会随着u1的变化而变化,当上一期振动幅度较大时, 序列在本期也会有较大的振动。这种反映外部冲击持续影响的特性,可以恰当地 刻画出序列{υn}的变异聚类特征 第二节ARCH模型的估计 估计ARH模型的常用方法是极大似然估计。对于回归模型 y=X,5 (8.1.4) idN(0,1) 假设前q组观测值已知,现利用t=1,2,…,T时的观测值进行估计。记 M12X1…,X1,X Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
5 t y 的无条件均值和无条件方差可以通过求解 t y 的差分方程并取期望得到。 如果过程开始于过去足够远的时期，则 t y 的解为： å ¥ = = - + - 0 0 1 1 /(1 ) i t i i t y a a a u 由于 = 0 Eut 对于所有 t 成立，所以 t y 的无条件期望等于 /(1 ) 0 1 Ey a a t = - 。 无条件方差可以类似得到。在给定 = 0 t t-i Eu u （对所有i ¹ 0 ）的条件下， t y 的 无条件方差为： å ¥ = = - 0 2 1 ( ) var( ) i t i i t Var y a u 由于ut的无条件方差为常值（ ( ) ( ) ( ) /(1 ) Var ut = Var ut-1 = Var ut-2 = L = a0 -a1 ），从而有： ( ) [ /(1 )][1/(1 )] 2 0 1 a1 Var yt = a -a - (8.1.12) 比较序列{yt}的无条件方差(8.1.12)和条件方差(8.1.11)可以看出，{yt}的无条件 方差为一常数，而条件方差会随着 t-1 u 的变化而变化，当上一期振动幅度较大时， 序列在本期也会有较大的振动。这种反映外部冲击持续影响的特性，可以恰当地 刻画出序列{yt }的变异聚类特征。 第二节 ARCH 模型的估计 估计 ARCH 模型的常用方法是极大似然估计。对于回归模型 t Xt ut y = x + ' (8.1.1) ut ht t = e (8.1.4) 2 2 t 0 1 t 1 q t q h u u = a + a - + L + a - ~ iidN(0,1) t e 假设前 q 组观测值已知，现利用 t=1，2，…，T 时的观测值进行估计。记 [ ] 1 1 0 1 1 1 0 1 , , , , , , , , , , , , , - - + - - + W = ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ t t t q X t Xt X X X q y y L y y L y L L PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
则 I(Xs, h) 从而y,的条件密度函数为 y,IX, S2-1) (y1-X1)2 其中 h=a0+a121+…+an2 =ao+a1(y21-x15)2+…+a(y=-xm35)2 记6=(ana1…,a,).:(5)=[(2-x15),…(x-2x,),则九可表示为 =、) 需估计的参数向量为ξ和δ,将ξ和δ列入一列,形成模型(⑧8.1.1)的参数列向量: 对应于观测样本,样本对数似然函数为 L(0)=∑mnf(y;|x,92-:0) T -m(2x)-∑m(h,)-∑ (y-X')2 台h 参数向量θ的极大似然估计是使得对数似然函数L()达到极大的向量θ。求L()关 于θ的一阶微分,并记 oL(0) ∑m(则x2=0)=(0 其中 0)≈ohnf(yX,92-1:0) Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
6 则 ~ ( , ) t t 1 N Xt ht y W - ¢x 从而 t y 的条件密度函数为 þ ý ü î í ì- - ¢ W - = t t t t t t t h y X h f y X 2 ( ) exp 2 1 ( , ) 2 1 x p 其中 2 2 t 0 1 t 1 q t q h u u = a +a - +L+a - 2 2 0 1 1 1 a a ( x ) a ( x ) t t q t q X t q y X y - - - - = + - ¢ +L+ - ¢ 记 ( ) [ ] ¢ = - ¢ - ¢ ¢ = - - - - 2 2 0 1 1 1 d a ,a , ,a , (x ) 1,( x ) , ,( x ) q t t t t q X t q L z y X L y ，则 t h 可表示为 [ x ] d ¢ = ( ) t t h z 需估计的参数向量为x 和d ，将x 和d 列入一列，形成模型(8.1.1)的参数列向量： ú û ù ê ë é = d x q 对应于观测样本，样本对数似然函数为： å å å = = - = - ¢ = - - - = W T t t t t T t t t t t T t h y X h T L f y X 1 2 1 1 1 ( ) 2 1 ln( ) 2 1 ln(2 ) 2 ( ) ln ( , ; ) x p q q 参数向量q 的极大似然估计是使得对数似然函数L(q)达到极大的向量q ˆ 。求 L (q ) 关 于q 的一阶微分，并记 å å = = - = ¶ ¶ W = ¶ ¶ T t t T t t t t s L f y X 1 1 1 ( ) ( ) ln ( , ; ) q q q q q 其中 q q q ¶ ¶ W = - ln ( , ; ) ( ) t t t 1 t f y X s PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
1om(h)_1「10(y-X/)2(y2=X)2 6 可以推出, (y1-X5) 2X 0 2>a,u, X 二,(5) 所以, anf(y1X2,9-10) S,(6 (x2-h)-2∑a (X,u,)/h ,(5) 令 解此方程,可以得到θ的极大似然估计θ。此方程可由数值计算方法求解,在实际 应用中,可借助现成软件进行计算。 第三节ARCH模型的检验 检验ARCH效应的常用方法是拉格朗日乘数检验。在此,我们先介绍拉格朗日 乘数检验法的基本思想,然后介绍检验ARCH效应的具体方法。 、拉格朗日乘数检验法的基本思想 在统计分析中,对参数进行假设检验时,构造检验统计量的方法通常有三种 种是以参数估计的渐进正态性为基础的Wold检验法(W检验),例如,常见的t 检验、F检验等就属于wold检验法的特例;另一种是似然比检验法(LR检验); PdfcreatedwithpdffactorYtrialversionwww.pdffactory.com
7 þ ý ü î í ì ¶ - ¢ ¶ - ¶ ¶ - ¢ - ¶ ¶ = - q x q x q t t t t t t t t h h y X y X h h 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 ln( ) 1 2 1 可以推出， ú û ù ê ë é- = ¶ ¶ - ¢ 0 ( ) 2 2 t t t t y X X u q x ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = ¶ ¶ å= - - ( ) 2 1 x a q t q j t j t j t j z h u X 所以， q q q ¶ ¶ W = - ln ( , ; ) ( ) t t t 1 t f y X s ú û ù ê ë é + ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - = å= - - 0 ( ) / ( ) 2 2 ( ) 2 1 2 t t t t q j j t j t j t t t X u h z u X h u h x a 令 å= = ¶ ¶ T t t s L 1 ( ) ( ) q q q =0 解此方程，可以得到q 的极大似然估计q ˆ 。此方程可由数值计算方法求解，在实际 应用中，可借助现成软件进行计算。 第三节 ARCH 模型的检验 检验 ARCH 效应的常用方法是拉格朗日乘数检验。在此，我们先介绍拉格朗日 乘数检验法的基本思想，然后介绍检验 ARCH 效应的具体方法。 一、 拉格朗日乘数检验法的基本思想 在统计分析中，对参数进行假设检验时，构造检验统计量的方法通常有三种： 一种是以参数估计的渐进正态性为基础的 Wold 检验法（W 检验），例如，常见的 t 检验、F 检验等就属于 Wold 检验法的特例；另一种是似然比检验法（LR 检验）； PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
第三种检验方法就是拉格朗日乘数检验法(LM检验)。 拉格朗日乘数检验法将零假设看成一个约束条件,通过对有约束的极大似然 函数的一阶偏导数进行检验,以达到对参数假设作出判断的目的。其基本思想是: 1、首先考察在无约束条件下,模型参数极大似然估计的一阶条件。 设θ=(,02…,04)是模型的参数向量,x1,x2…x是样本,对应于观测样本的 对数似然函数为hnL()。如果θ=(0,02…0y是0=(01,O2…0)y的无约束极大似然 估计,则必有2h∠()=0,j=12,…,k 2、考察在有约束的条件下,模型参数极大似然估计的一阶条件 设关于θ的假设检验问题是 Ho:h;(O)=0,(=1,2,…,P,p<k) 则在此p个约束条件下,有约束的对数似然函数为 F(,A,12…,2)=mnL()+2h() 如果6=(61,62,…,64)是0=(01,02…,04)的有约束极大似然估计。则必有 aF aIn L =h()=0(=1…,P) 如果约束条件成立,则施加约束条件下θ的极大似然估计6,应与无约 東条件下θ的极大似然估计日非常接近,应近似为零。检验原假设的 拉格朗日乘数统计量为 aIn L LM=L20 t(e)rl20 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
8 第三种检验方法就是拉格朗日乘数检验法（LM 检验）。 拉格朗日乘数检验法将零假设看成一个约束条件，通过对有约束的极大似然 函数的一阶偏导数进行检验，以达到对参数假设作出判断的目的。其基本思想是： 1、 首先考察在无约束条件下，模型参数极大似然估计的一阶条件。 设 ( , , , ) 1 2 = ¢ q q q L qk 是模型的参数向量， n x , x , , x 1 2 L 是样本，对应于观测样本的 对数似然函数为 ln L(q )。如果 ) ˆ , , ˆ , ˆ ( ˆ 1 2 = ¢ q q q L qk 是 ( , , , ) 1 2 = ¢ q q q L qk 的无约束极大似然 估计，则必有 j k L j 0, 1,2, , ˆ ) ˆ ln ( = = L ¶ ¶ q q 2、 考察在有约束的条件下，模型参数极大似然估计的一阶条件。 设关于q 的假设检验问题是： : ( ) 0, ( 1,2, , , ) 0 H h i p p k i q = = L < 则在此 p 个约束条件下，有约束的对数似然函数为 å= = + p i p i i F L h 1 1 2 (q , l ,l ,L,l ) ln (q ) l (q ) 如果 ) ~ , , ~ , ~ ( ~ 1 2 = ¢ q q q L qk 是 ( , , , ) 1 2 = ¢ q q q L qk 的有约束极大似然估计。则必有 ( ) 0 ( 1, , ) ~ 0 ( 1, , ) ( ) ~ ln ~ 1 h i p F j k F L h i i p i j i i j j L L = = = ¶ ¶ = = ¶ ¶ + ¶ ¶ = ¶ ¶ å= q l q q l q q 如 果 约 束 条 件成立 ， 则施 加 约束 条 件下 q 的 极大 似 然估 计 q ~ ，应 与 无约 束条件下 q 的极大似然估计 q ˆ非常接近， j L q ~ ln ¶ ¶ 应近似为零。检验原假设的 拉格朗日乘数统计量为： ~ ] ln )] [ ~ ~ ] [ ( ln [ 1 q q q ¶ ¶ ¢ ¶ ¶ = - L I L LM PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
其中n 是以如hL 为元素组成的列向量,6=(6,02…0)是0=(0,02…,0,) 的有约束极大似然估计,1(0)为信息矩阵。可以证明,在约束条件成立的 条件下,LM近似服从x2(p)。p为原假设中关于参数的约束条件个数。如 果LM太大,则拒绝原假设 ARCH效应的拉格朗日乘数检验 随机扰动项u1是否服从ARCH过程,集中体现在条件异方差h的系数上,如果 在h中,a1=a2=…=an=0,那么h=an为一常数,随机扰动项u,为一白噪声序列 如果α,α,…,α不全为零,则随机扰动项u,具有ARCH效应。因此,检验随机扰动 项u是否具有ARCH效应,就转化为检验假设H0:a1=a2=…=an=0。 Engle(1982)针对ARH过程,导出了检验ARCH效应的拉格朗日乘子检验法 该方法通过一个辅助回归来计算拉格朗日乘数统计量LM的值,具体步骤如 下 第一步:用OLS方法估计约束模型,即在原假设H。a1=α2=…=an=0下对模 型的参数进行估计 笫二步:计算残差序列园}和残差平方序列},由残差平方序列},作残差 平方关于常数和自身直到q阶滞后项的回归,即估计如下模型: 计算可决系数R2 第三步:计算拉格朗日乘数统计量LM的值.可以证明,拉格朗日乘 数统计量LM渐近等于 LMET. R Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
9 其 中 q ~ ln ¶ ¶ L 是以 j L q ~ ln ¶ ¶ 为元 素 组 成 的 列 向量 ， ) ~ , , ~ , ~ ( ~ 1 2 = ¢ q q q L qk 是 ( , , , ) 1 2 = ¢ q q q L qk 的有约束极大似然估计， ) ~ I(q 为信息 矩阵 。可 以 证明， 在 约 束 条件 成 立 的 条件下，LM 近似服从 ( ) 2 c p 。p 为原假设中关于参数的约束条件个数。如 果 LM 太大，则拒绝原假设。 二、 ARCH 效应的拉格朗日乘数检验 随机扰动项ut是否服从 ARCH 过程，集中体现在条件异方差ht 的系数上，如果 在ht 中，a1 = a2 = L =aq = 0，那么ht = a0 为一常数，随机扰动项ut为一白噪声序列； 如果a a aq , , , 1 2 L 不全为零，则随机扰动项ut具有 ARCH 效应。因此，检验随机扰动 项ut是否具有 ARCH 效应，就转化为检验假设 H0 :a1 =a2 = L = aq = 0。 Engle(1982)针对 ARCH 过程，导出了检验 ARCH 效应的拉格朗日乘子检验法。 该方法通过一个辅助回归来计算拉格朗 日乘数统计量 LM 的值，具体步骤如 下： 第一步：用 OLS 方法估计约束模型，即在原假设 H0 :a1 =a2 = L = aq = 0下对模 型的参数进行估计。 第二步：计算残差序列{uˆ t }和残差平方序列{ } 2 ˆut 。由残差平方序列{ } 2 ˆut ，作残差 平方关于常数和自身直到 q 阶滞后项的回归，即估计如下模型： 2 2 2 2 2 0 1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ t t t q t q u u u u = a + a - + a - + L + a - （8.1.13） 计算可决系数 2 R ． 第三步：计算拉格朗日乘数 统计量 L M 的值．可以证明，拉格朗日乘 数统 计量 LM 渐近等于： LM= 2 T × R PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
因此,拉格朗日乘数统计量LM的值可以通过上述辅助回归间接算出 如果没有ARCH效应,a1到an应全为零。由于可决系数(即通常的R2)相当低, 故这种回归缺乏解释力 可以证明,对于样本容量为T的残差序列,在零假设(不存在ARCH误差)成 立的条件下,检验统计量TR2收敛到自由度为q的x2分布。因此,如果TR2足够大, 就拒绝α1到αn同时为零的原假设,这等价于拒绝不存在ARCH误差的原假设。相反, 如果TR2足够小,则接受原假设,认为不存在ARCH效应 第四节 GARCH模型 1、 GARCH模型的特征 在实际应用中人们发现,为了描述变量的变异聚类特性,有时需要运用高阶 ARCH模型。但当ARCH(q)模型的阶数q过大时,需要估计过多的参数。在样本 有限的情况下,参数估计的效率会降低,有时甚至会出现估计参数为负的情况。 为了弥补这一缺陷, Engle(1982,1983)曾建议对参数结构进行设定以减少估 计参数的个数。例如,假设条件方差函数中参数值按如下方式递减 h=ao+a∑mu2 (8.1.14) 其中, (q+1) q(q+1) 那么,就只需要估计两个参数。这种线性递减的参数结构,体现了变量当前的变 异度会受到过去时期变异大小的影响,并且影响的方式遵从近大远小原则,因此 具有一定的合理性。但是,在参数结构未知的情况下,人为假定ARCH过程的参数 PdfcreatedwithpdffactorYtrialversionwww.pdffactory.com
10 因此, 拉格朗日乘数统计量 LM 的值可以通过上述辅助回归间接算出. 如果没有 ARCH 效应，a1到aq应全为零。由于可决系数（即通常的 2 R ）相当低， 故这种回归缺乏解释力。 可以证明，对于样本容量为 T 的残差序列，在零假设（不存在 ARCH 误差）成 立的条件下，检验统计量 2 TR 收敛到自由度为 q 的 2 c 分布。因此，如果 2 TR 足够大， 就拒绝a1到aq同时为零的原假设，这等价于拒绝不存在 ARCH 误差的原假设。相反， 如果 2 TR 足够小，则接受原假设，认为不存在 ARCH 效应。 第四节 GARCH 模型 1、GARCH 模型的特征 在实际应用中人们发现，为了描述变量的变异聚类特性，有时需要运用高阶 ARCH 模型。但当 ARCH（q）模型的阶数 q 过大时，需要估计过多的参数。在样本 有限的情况下，参数估计的效率会降低，有时甚至会出现估计参数为负的情况。 为了弥补这一缺陷，Engle （1982，1983）曾建议对参数结构进行设定以减少估 计参数的个数。例如，假设条件方差函数中参数值按如下方式递减 å= = + - q i t i t i h w u 1 2 a0 a1 (8.1.14) 其中， ( 1) 2 1 ( 1) + + - = q q q i wi 那么，就只需要估计两个参数。这种线性递减的参数结构，体现了变量当前的变 异度会受到过去时期变异大小的影响，并且影响的方式遵从近大远小原则，因此 具有一定的合理性。但是，在参数结构未知的情况下，人为假定 ARCH 过程的参数 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
