第3节 Dickey-Fu1ler单位根检验(DF检验) 前面两节已为检验单位根做了理论准备 下面我们讨论 Dickey- Fuller建立的单位根检验法。 任何一个序列都有其自身的真实生成过程。 Dickey- Fuller假设 数据序列是由下列两种模型之一产生 (1)y2=pa1+En, (6.3.1) (2)y=a+pyu1+E1; (6.3.2) 其中,ε,~id(0,σ3)。然后分为如下四种情形建立估计模型,并在其中进行单位 根检验 情形一:假设数据由(真实过程)(6.3.1)产生,在回归模型(6.3.1)中检 验假设 H 情形二:假设数据由(真实过程)(6.3.1)产生,在回归模型(6.3.2)中检 验假设: Ho: p=l a=0 情形三:假设数据由(真实过程)(6.3.2)产生,在其中检验假设: 情形四:假设数据由(真实过程)(6.3.2)产生,在回归模型 a+py1++E1中检验假设 Ho:p=l,δ=0 对于上述各种情形下的回归模型,可以使用OLS法得到参数估计量和相应 的t统计量。 但是, Dickey与 Fuller的研究发现,在原假设成立的条件下,相应的t统 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
1 第3节 Dickey—Fuller 单位根检验（DF 检验） 前面两 节已为 检验单 位根做了理论准备。 下面我们讨论 Dickey— Fuller 建 立的单位根检验法。 任何一个序列 都有其 自身的真实生成过程。 Dickey—Fuller 假设 数据序列是由 下列两 种模型 之一产生： （1） t t t y = ry + e -1 ， (6.3.1) （2） t t t y = a + ry + e -1 ； (6.3.2) 其中， ~ (0, ) 2 e t iid s 。然后分为如下四种情形建立估计模型，并在其中进行单位 根检验： 情形一：假设数据由（真实过程）(6.3.1)产生，在回归模型(6.3.1)中检 验假设： : 1 H0 r = 情形二：假设数据由（真实过程）(6.3.1)产生，在回归模型(6.3.2)中检 验假设： : 1; 0 H0 r = a = 情形三：假设数据由（真实过程）(6.3.2)产生，在其中检验假设： : 1; H0 r = 情 形 四 ： 假 设 数 据 由（真实过 程 ） (6.3.2) 产 生 ， 在 回 归模型 t t t y = a + ry + dt + e -1 中检验假设： : 1; 0 H0 r = d = 对于上述各种情形下的回归模型，可以使用 OLS 法得到参数估计量和相应 的 t 统计量。 但是，Dickey 与 Fuller 的研究发现，在原假设成立的条件下，相应的 t 统 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
计量不再服从渐近正态分布,从而临界值与拒绝域发生变化。 具体分析如下 情形一的DF检验法 1、检验方法 回归模型(6.3.1)系数ρ的OLS估计为: 构造统计量: (6.3.3) 其中s2为模型的剩余方差。 在Ho:p=1成立的条件下,t统计量为 ∑y(y,-y) ∑∑ ViEr ∑N=∑1 在Hρ=l成立的条件下,模型(6.3.1)为随机游动过程,有关随机游动的极限 定理成立,因此, y N2∑-2-→2r2 其中W(r)为维纳过程。又因为s2为σ2的一致估计,根据连续影射定理,t统计 量具有如下极限: Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
2 计量不再服从渐近正态分布，从而临界值与拒绝域发生变化。 具体分析如下： 一、 情形一的 DF 检验法 1、检验方法 回归模型(6.3.1)系数r 的 OLS 估计为： å å - - = 2 1 1 ˆ t t t y y y r 构造统计量： [ ] 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ å - - = - = t s y t r r s r r r (6.3.3) 其中 2 s 为模型的剩余方差。 在 : 1 H0 r = 成立的条件下，t 统计量为： [ ] [ ] 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 ˆ ( ) 1 ˆ 1 ˆ ˆ 1 å å å å - - - - - × - = - = - = t t t t t t s y y y y y s y t r s r r å å å å - - - - - - = = 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 [ ] [ ] [N y ] [s ] N y y s y t t t t t t e e 在 : 1 H0 r = 成立的条件下，模型(6.3.1)为随机游动过程，有关随机游动的极限 定理成立，因此， {[ (1) 1]} 2 2 2 1 1å - ¾¾® - - N y W L t t s e ( ) å - ¾¾® ò - 1 0 2 2 2 1 2 N y W r dr L t s 其中 W(r)为维纳过程。又因为 2 s 为 2 s 的一致估计，根据连续影射定理，t 统计 量具有如下极限： PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
106N∑→20-l (6.3.4) Tw()d 即t统计量依分布收敛于维纳过程的泛函,表明t检验统计量不再服从传统的t 分布,传统的t检验法失效。 上面的极限分布一般称为 Dickey--Fuller分布,对应的检验称为D检验。 由于H()2~x2(1),(6.3.4)式的分母恒正,分子是x2(1)分布与其均值之差, 因此上述检验统计量的极限分布是非对称、左偏的。又因Pz2(1)≤1}≡070,所以 检验值大都是负数。 Dickey-Fuller分布是非标准的,因此人们用 Monte carlo方法模拟得到 检验的临界值,并编成D检验临界值表(情形一)供査。 在进行DF检验时,比较t统计量值与DF检验临界值,就可在某个显著性 水平上拒绝或接受原假设。 在实际应用中,可按如下检验步骤进行: (1)根据所观察的数据序列,用OLS法估计不带常数项的一阶自回归模型: 得到回归系数p的OLS估计 (2)提出假设: H 检验用统计量为常规t统计量, p-p 根据(6.3.4)式,在H0:p=1成立的条件下,该统计量的极限分布为 Dickey-Fuller分布。 (3)计算在原假设成立条件下的t统计量值,査DF检验临界值表(情形 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
3 { } { } { ( ) } { ( ) } 2 1 2 1 2 1 1 0 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 ˆ 1 1 ˆ ˆ 1 å ò å - = ¾¾® - = - - - - W r dr W N Y S N Y t L t t t e s r r (6.3.4) 即 t 统计量依分布收敛于维纳过程的泛函，表明 t 检验统计量不再服从传统的 t 分布，传统的 t 检验法失效。 上面的极限分布一般称为 Dickey—Fuller 分布，对应的检验称为 DF 检验。 由于 (1) ~ (1) 2 2 W c ，(6.3.4)式的分母恒正，分子是 (1) 2 c 分布与其均值之差， 因此上述检验统计量的极限分布是非对称、左偏的。又因 { (1) 1} 0.70 2 P c £ @ ，所以 检验值大都是负数。 Dickey—Fuller 分布是非标准的，因此人们用 Monte Carlo 方法模拟得到 检验的临界值，并编成 DF 检验临界值表（情形一）供查。 在进行 DF 检验时，比较 t 统计量值与 DF 检验临界值，就可在某个显著性 水平上拒绝或接受原假设。 在实际应用中，可按如下检验步骤进行： (1) 根据所观察的数据序列，用 OLS 法估计不带常数项的一阶自回归模型： t t t y = ry + e -1 得到回归系数r 的 OLS 估计 å å - - = 2 1 1 ˆ t t t y y y r (2) 提出假设： : 1 H0 r = 检验用统计量为常规 t 统计量， [ ] 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ å - - = - = t s y t r r s r r r 根据(6.3.4)式，在 H0 : r = 1 成立的条件下，该统计量的极限分布为 Dickey—Fuller 分布。 (3) 计算在原假设成立条件下的 t 统计量值，查 DF 检验临界值表（情形 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
),得临界值,然后将t统计量值与DF检验临界值进行比较: 若t统计量值小于DF检验临界值,则拒绝原假设H:ρ=1,说明序列不存 在单位根 若t统计量值大于或等于DF检验临界值,则接受原假设H:ρ=1,说明序 列存在单位根 需要说明的是,在一般计量经济软件中对回归模型回归系数的检验,原假 设都是回归系数为零。因此,为了能直接使用计算机输出结果,通常将回归模 型(6.3.1)变形为 Ay2=(p-1)y1+E 令ω=p-1,上述模型等价地变成: (6.3.5) 原假设H0:p=1则变为H0:O=0。 实例分析 下面我们利用DF检验进行实例分析。 例6.3.1本章附表1给出了1970—1991年美国3种宏观经济变量的季度 数据序列(摘自(美)古扎拉蒂《计量经济学》中译本P706)。表中的3个序列 分别为:国内生产总值(GDP)、个人可支配收入(PDI)、个人消费支出(PCE)。 图5-3-1是三个序列的图形。 5000 70727476788082B486889 ⊙DP--cE=PD 图5-3-1美国GDP、PDI、PCE季度数据(1970-1991) 对每一个序列,采用模型(6.3.5)进行估计,回归结果如下 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
4 一），得临界值，然后将 t 统计量值与 DF 检验临界值进行比较： 若 t 统计量值小于 DF 检验临界值，则拒绝原假设 H0 : r = 1，说明序列不存 在单位根； 若 t 统计量值大于或等于 DF 检验临界值，则接受原假设 : 1 H0 r = ，说明序 列存在单位根； 需要说明的是，在一般计量经济软件中对回归模型回归系数的检验，原假 设都是回归系数为零。因此，为了能直接使用计算机输出结果，通常将回归模 型(6.3.1)变形为： t t t Dy = r - y + e -1 ( 1) 令w = r -1，上述模型等价地变成： t t t Dy = wy + e -1 (6.3.5) 原假设 : 1 H0 r = 则变为 : 0 H0 w = 。 1、 实例分析 下面我们利用 DF 检验进行实例分析。 例 6.3.1 本章附表 1 给出了 1970—1991 年美国 3 种宏观经济变量的季度 数据序列（摘自（美）古扎拉蒂《计量经济学》中译本 P706）。表中的 3 个序列 分别为：国内生产总值（GDP）、个人可支配收入（PDI）、个人消费支出（PCE）。 图 5-3-1 是三个序列的图形。 图 5-3-1 美国 GDP 、PDI 、PCE 季度数据（1970—1991） 对每一个序列，采用模型(6.3.5)进行估计，回归结果如下： 1000 2000 3000 4000 5000 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 GDP PCE PDI PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
△GDP1=0.005765GDP=1 t=(5.798077) DW=1.340574 (2) PCE: △PCE:=0.006446PCE t=(8.303944) DW=1.586258 △PDI1=0.006115PDl1 t=(5.705903) DW=2.054157 查DF检验临界值表(情形一),在显著性水平为5%下,DF临界值为-1.95。由 于三个回归方程回归系数的t统计量值都大于DF检验临界值,因此不能拒绝原 假设H0:0=0(即H0:p=1),说明所考察的三个序列都存在单位根,它们是非 平稳序列。 接下来的问题是,三个序列的一阶差分序列是否为平稳序列,即三个序列是 否为一阶单整I(1)序列?为此,需要对序列△GDP、△PCE1、APD进行单位根检 验。记 AGDP =X. APCE=Y. APDL=Z 采用对应于模型(6.3.5)的形式进行回归,回归结果如下: (1)序列△GDP=X t=(-5.181149) DW=2.192062 (2)序列△PCE1=F: Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
5 （1）GDP： 1.340574 (5.798077) 0.005765 1 = = D = - Ù DW t GDP GDPt t （2）PCE： 1.586258 (8.303944) 0.006446 1 = = D = - Ù DW t PCE PCEt t （3）PDI ： 2.054157 (5.705903) 0.006115 1 = = D = - Ù DW t PDI PDIt t 查 DF 检验临界值表（情形一），在显著性水平为 5%下，DF 临界值为-1.95。由 于三个回归方程回归系数的 t 统计量值都大于 DF 检验临界值，因此不能拒绝原 假设 : 0 H0 w = （即 : 1 H0 r = ），说明所考察的三个序列都存在单位根，它们是非 平稳序列。 接下来的问题是，三个序列的一阶差分序列是否为平稳序列，即三个序列是 否为一阶单整 I（1）序列？为此，需要对序列DGDPt、DPCEt、DPDIt 进行单位根检 验。记 DGDPt = Xt DPCEt = Yt DPDIt = Zt , , 采用对应于模型(6.3.5)的形式进行回归，回归结果如下： （1）序列DGDPt = Xt： 2.192062 ( 5.181149) 0.4796201 1 = = - D = - - Ù DW t X Xt t （2）序列DPCEt = Yt ： PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
t=(-4.883922) DW=2403875 (3)序列△PD,=Z1: t=(-7137588) DW=2.11266 将回归系数的t统计量与DF检验临界值(-1.95)比较,在5%的显著性水平上, 拒绝原假设H0:0=0(即H0:p=1),说明所考察的三个序列△GDP、△PCE、△PDl都 不存在单位根,它们是平稳的,原序列为I(1)序列。 从图形上看,序列ΔGDP、APCE、ΔPD,已呈现为围绕其均值上下无规律波动 的曲线。图5-3-2是△GDP的一阶差分序列图。 图5-3-2美国GDP季度数据(1970-1991)一阶差分序列 例5.3.2对上海证券市场综合指数的周数据{P}进行单位根检验。时间范 围为1997-1999(数据来源:证券市场周刊)。数据序列的图形见图5-1-2(a)。 分别对原序列{P}和差分序列{AB}估计不带常数项的自回归模型,回归结果 如下 △P1=0001388 DW=1.860102 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
6 2.403875 ( 4.883922) 0.437799 1 = = - D = - - Ù DW t Y Yt t （3）序列DPDIt = Zt： 2.11266 ( 7.137588) 0.745190 1 = = - D = - - Ù DW t Z Zt t 将回归系数的 t 统计量与 DF 检验临界值（-1.95）比较，在 5%的显著性水平上， 拒绝原假设 : 0 H0 w = （即 : 1 H0 r = ），说明所考察的三个序列DGDPt、DPCEt、DPDIt 都 不存在单位根，它们是平稳的，原序列为 I（1）序列。 从图形上看，序列DGDPt、DPCEt、DPDIt 已呈现为围绕其均值上下无规律波动 的曲线。图 5-3-2 是DGDPt 的一阶差分序列图。 - 100 - 5 0 0 5 0 1 0 0 1 5 0 7 0 7 2 7 4 7 6 7 8 8 0 8 2 8 4 8 6 8 8 9 0 图 5-3-2 美国 GDP 季度数据（1970—1991）一阶差分序列 例 5.3.2 对上海证券市场综合指数的周数据{Pt}进行单位根检验。时间范 围为 1997-1999（数据来源：证券市场周刊）。数据序列的图形见图 5-1-2(a)。 分别对原序列{ } Pt 和差分序列{ } DPt 估计不带常数项的自回归模型，回归结果 如下： （1） 1.860102 (0.425859) 0.001388 1 = = D = - Ù DW t P Pt t PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
△2P1=-0.930795AP (2) t=(-1109015 DW=1.989107 在5%显著性水平下,DF临界值为-1.95。回归方程(1)的t统计量值大于DF 检验临界值,接受原假设H0:O=0(即H:p=1),表明序列{P}存在单位根;回 归方程(2)的t统计量值小于DF检验临界值,拒绝原假设Ho:o=0,表明序列 △P}不存在单位根,即原序列{P}I(1) 二、情形二的DF检验法 对于情形二,估计模型: y,=a+p-t&,: (6.3.2) 中含有常数项,模型参数的OLS估计为: ∑ ∑y 在H0:a=0,p=1成立时,上式可改写为: a E ∑H∑y2 以矩阵A=dlg(x,N)左乘上式两端,得 E N( Vi-8 N∑1)(N∑ ∑N2∑八(N∑ 在H:α=0p=1成立时,序列}服从随机游动过程,利用有关随机游 动的极限定理,可得 oW(r)dr N o3w2()-l Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
7 （2） 1.989107 ( 11.09015) 0.930795 1 2 = = - D = - D - Ù DW t Pt Pt 在 5%显著性水平下，DF 临界值为-1.95。回归方程（1）的 t 统计量值大于 DF 检验临界值，接受原假设 : 0 H0 w = （即 : 1 H0 r = ），表明序列{ } Pt 存在单位根；回 归方程（2）的 t 统计量值小于 DF 检验临界值，拒绝原假设H0 :w = 0，表明序列 {DPt}不存在单位根，即原序列{Pt} ~I(1)。 二、 情形二的 DF 检验法 对于情形二，估计模型： t t t y = a + ry + e -1 ； (6.3.2) 中含有常数项，模型参数的 OLS 估计为： ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ =÷ ÷ ø ö ç ç è æ å å å å å - - - - - t t t t t t y y y y y N y 1 1 2 1 1 1 ˆ ˆ r a 在 H0 :a = 0, r = 1成立 时，上 式可改写为： ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ =÷ ÷ ø ö ç ç è æ - å å å å å - - - - - t t t t t t y y y N y e e r a 1 1 2 1 1 1 ˆ 1 ˆ 以 矩阵 A diag(N , N) 2 1 = 左乘上式两端，得 ( ) ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = ïþ ï ý ü ïî ï í ì ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ïþ ï ý ü ïî ï í ì ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - å å å å å å å å å å - - - - - - - - - - - - - - - - - - t t t t t t t t t t t t N y N N y N y N y y A A y y N y A N N e e e e r a 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 3 2 3 2 1 1 ˆ 1 ˆ 在 H0 :a = 0, r = 1成 立 时 ，序 列 {yt }服从随机游动 过 程， 利 用 有 关随机游 动 的 极 限定理，可得 ( ) ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ ÷ ÷ ¾¾® ø ö ç ç è æ - - ò ò ò [ (1) 1] 2 1 (1) ( ) ( ) 1 ( ) ˆ 1 ˆ 2 2 1 1 0 2 2 1 0 1 0 2 1 W W W r dr W r dr W r dr N N L s s s s s r a PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
据此,可得Na和N(p-1)的极限分布分别为 H(b=m0)- (6.3.6) r2(知-W(n 四(0)-1]-W(O)w( N(p-1) (6.3.7) H(v-( 另一方面,估计量p的样本方差为 =s2[, ∑y1∑ 其中 ∑(,-a-p) 为模型的剩余方差,它是随机扰动项方差σ2的最小二乘估计。 可以证明,统计量NG3有以下极限分布: )-w() 由连续影射定理,可得t统计量的极限分布为 (b-1)M(6-n)4、(0)-}-ww (6.3.9) G (N022 W2()-W( 这表明当估计模型中含有常数项时,t统计量的极限分布发生了变化,从而临界 值也就不同。 Dickey、 Fuller利用 Monte carlo方法得到不同样本长度和显著 性水平下DF检验临界值表(情形二)供査。 例5.3.3对例5.3.1中的三个序列估计带常数项的一阶自回归模型,回归结 果如下: Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
8 据 此 ， 可得 aˆ 1 2 N 和 N(rˆ -1)的 极限分布分别为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 2 [ ] [ 1 1] 2 1 (1) ˆ ò ò ò ò - - - ¾¾® W r dr W r dr W W r dr W W r dr N L s a (6.3.6) N(rˆ -1) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 1 0 2 1 0 2 [ ] [ 1 1] (1) 2 1 ò ò ò - - - ¾¾® W r dr W r dr W W W r dr L (6.3.7) 另 一 方 面，估 计量 rˆ 的样本方差为 [ ] ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = - - - - å å å 1 0 ˆ 0, 1 1 2 1 1 2 2 1 ˆ t t t y y N y s s r 其中 2 s = ( ) 2 1 ˆ ˆ 2 1 å - - - - t t y y N a r 为模型的剩余 方差，它是随机扰动项方差 2 s 的最小二乘估计。 可以 证明，统 计量 2 ˆ 2 ˆ N s r 有以下 极限分布： ( ) ( ) 2 1 0 1 0 2 2 ˆ 2 [ ] 1 ˆ ò ò - ¾¾® W r dr W r dr N L s r (6.3.8) 由 连续影射定 理，可得 t 统计量的极限分布为 ( ) ( ) { ( ) } ( ) ( ) { ( ) ( ) } 2 1 2 1 0 1 0 2 1 0 2 2 1 2 1 2 ˆ 2 ˆ [ ] 1 1 1 ( ˆ ) ˆ 1 ˆ ˆ 1 ò ò ò - - - ¾¾® - = - = W r dr W r dr W W W r dr N N t L r s r r s r (6.3.9) 这表明当估计模型中含有常数项时，t 统计量的极限分布发生了变化，从而临界 值也就不同。Dickey、Fuller 利用 Monte Carlo 方法得到不同样本长度和显著 性水平下 DF 检验临界值表（情形二）供查。 例5.3.3 对例 5.3.1 中的三个序列估计带常数项的一阶自回归模型，回归结 果如下： （1）GDP： PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
△GDP=282054-0.003168GDP1 DW=1.351998 (2) PCE △PCE=19.169370.000896PCE1 t=(1.726352)(-0.207360) DW=1629810 △PD1=29864190004287PDl11 t=(1652392)(-0.671576) DW=2.098069 给定显著性水平5%,査D检验临界值表(情形二),临界值为-2.89。三个回归 方程滞后项系数的t统计量值都大于DF检验临界值,从而接受原假设Hω:ω=0 (即H0:p=1),再一次表明三个序列存在单位根 例5.3.4对例5.3.2中的上海证券市场综合指数的周数据{P}估计带常数项 的一阶自回归模型,回归结果如下: △P=8623557-0.065434P1 t=(2.6654l11)(-2.589131) DW=1.827656 给定显著性水平5%,査D检验临界值表(情形二),临界值为-2.89。由于t统 计量值大于DF检验临界值,从而接受原假设H。:=0(即H。:p=1),再一次表 明序列{P}存在单位根。 三、其它情形的DF检验法 Dickey、 Fuller还考察了情形三、情形四下的单位根检验问题,检验统计 量同前。可以证明,在情形三下,检验用的t统计量的极限分布为正态分布 从而可按照传统检验法进行;在情形四下,检验用的t统计量的极限分布为非 正规分布(极限分布的具体形式从略,可参见有关文献),由于极限分布不同, Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
9 1.351998 (1.157605) ( 0.219165) 28.2054 0.003168 1 = = - D = - - Ù DW t GDP GDPt t （2）PCE： 1.629810 (1.726352) ( 0.207360) 19.16937 0.000896 1 = = - D = - - Ù DW t PCE PCEt t （3）PDI ： 2.098069 (1.652392) ( 0.671576) 29.86419 0.004287 1 = = - D = - - Ù DW t PDI PDIt t 给定显著性水平 5%，查 DF 检验临界值表（情形二），临界值为-2.89。三个回归 方程滞后项系数的 t 统计量值都大于 DF 检验临界值，从而接受原假设H0 :w = 0 （即H0 : r = 1），再一次表明三个序列存在单位根。 例5.3.4 对例 5.3.2 中的上海证券市场综合指数的周数据{ } Pt 估计带常数项 的一阶自回归模型，回归结果如下： 1.827656 (2.665411) ( 2.589131) 86.23557 0.065434 ˆ 1 = = - D = - - DW t Pt Pt 给定显著性水平 5%，查 DF 检验临界值表（情形二），临界值为-2.89。由于 t 统 计量值大于 DF 检验临界值，从而接受原假设H0 :w = 0（即 H0 : r = 1），再一次表 明序列{ } Pt 存在单位根。 三、 其它情形的 DF 检验法 Dickey、Fuller 还考察了情形三、情形四下的单位根检验问题，检验统计 量同前。可以证明，在情形三下，检验用的 t 统计量的极限分布为正态分布， 从而可按照传统检验法进行；在情形四下，检验用的 t 统计量的极限分布为非 正规分布（极限分布的具体形式从略，可参见有关文献），由于极限分布不同， PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
临界值也就不相同。临界值由 Monte carlo模拟方法得到并编制成DF检验临界 值表(情形四)供查。 此外, Dickey和 Fuller(1981)还给出了在情形二下联合假设 H0p=1,a=0、在情形四下联合假设H0:p=1,δ=0及Ho:a=0.,p=1,δ=0的F 检验统计量的极限分布。F统计量为 R2-R2)/r (6.3.10) R/(n 其中,R2为有约束的残差平方和,R2为无约束的残差平方和,r为假设中受约 束的个数,k为模型中待估参数的个数。F检验统计量的极限分布存在,但不再 是标准的F分布,相应的临界值已由人们用 Monte carlo模拟方法得到并编制 成表供查。 注意点 最后需要说明的是,DF单位根检验法,依赖于对数据真实生成过 程的设定及估计模型类型的选择。如果模型选择不当,则可能会导致 错误的结论。 在实际应用中,应尽可能从经济学和统计学的角度考虑数据的生 成过程,以决定模型中是否应包含常数项 在没有先验信息的情况下,应尽量先采用较一般的模型进行检验 例如,在例5.3.1中,国内生产总值(GDP)、个人可支配收入(PDI) 个人消费支出(PCE)三个序列具有较明显的时间趋势,而且从经济学 的角度看,由于经济技术的持续发展,上述三个经济总量指标应该有 不断增长的趋势。因此,在选择估计模型的类型时就应考虑到这一点, 更为恰当的做法是按照情形四进行单位根检验。 例5.3.5对例5.3.1中的三个序列按情形四检验单位根。回归结果如下: (1)GDP: △GDP=190.3837+1477641-0060317GDP1 t=(1.838999)(1610958)(-1.625296) DW=1.314680 10 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
10 临界值也就不相同。临界值由 Monte Carlo 模拟方法得到并编制成 DF 检验临界 值表（情形四）供查。 此 外 ， Dickey 和 Fuller （ 1981 ） 还 给 出 了 在 情 形二下 联 合 假 设 : 1, 0 H0 r = a = 、在情形四下联合假设 : 1, 0 H0 r = d = 及 : 0, 1, 0 H0 a = r = d = 的 F 检验统计量的极限分布。F 统计量为 /( ) ˆ )/ ˆ ~ ( 2 2 2 R n k R R r F - - = (6.3.10) 其中， ~2 R 为有约束的残差平方和， 2 Rˆ 为无约束的残差平方和，r 为假设中受约 束的个数，k 为模型中待估参数的个数。F 检验统计量的极限分布存在，但不再 是标准的 F 分布，相应的临界值已由人们用 Monte Carlo 模拟方法得到并编制 成表供查。 注意点： 最 后 需要说明的是， DF 单位根检验法， 依赖于对数据真实生成过 程的设定及估计模型类型的选择。如果模型选择不当，则可能会导 致 错误 的 结论。 在 实 际应 用中，应尽 可 能 从经济学和统 计 学 的角 度 考 虑 数据的生 成过程，以决定模型 中是否应包含常数项。 在 没 有先验信息的情 况下，应 尽量先采用较一般的模型进行检验。 例 如 ，在例 5.3.1 中，国内生产总值（ GDP）、个人可支配收入（ PDI）、 个 人 消 费支出（PCE）三个序列 具有较明显的时间趋势，而且从经济学 的 角 度看 ，由于经济 技术 的 持续发展，上述三个 经济总量指标应该有 不 断增长的趋势 。因此 ，在选择 估计模型的类型时就应考虑到这一点， 更 为 恰当的做 法是按照情形四进行单位根 检验。 例 5.3.5 对例 5.3.1 中的三个序列按情形四检验单位根。回归结果如下： （1）GDP： 1.314680 (1.838999) (1.610958) ( 1.625296) 190.3837 1.47764 0.060317 1 = = - D = + - - Ù DW t GDP t GDPt t PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com