东北财经大学：《金融时间序列分析》课程教学资源（课件讲义）第六章 单位根过程与单位根检验（6.2）有关单位过程的极限分布

第2节有关单位过程的极限分布 对单位根过程的分析,建立在维纳过程(布朗运动)和泛 函中心极限定理之上 维纳过程 维纳过程 Wiener process称为布朗运动过程( Brownian Motion Process) 设W(t)是定义在闭区间[0,1]上一连续变化的随机过程,若 (a)W(0)=0 (b)对闭区间[0,1]上任意一组分割0≤1<t2<…<t=1,W()的 变化量: W(t2)-W(1),W(t)-W(2) W(t-w( 为相互独立的随机变量 (c)对任意0≤s<t≤1,有 W(t)-W(s)~N(0,t-S) (6.2.1) 则称W()为标准维纳过程(或标准布朗运动过程)

第2节 有关单位过程的极限分布 对单位根过程的分析，建立在维纳过程（布朗运动）和泛 函中心极限定理之上 一、维纳过程 维纳过程(Wiener Process)也称为布朗运动过程（Brownian Motion Process) 设 W (t) 是定义在闭区间 [ 0，1 ]上一连续变化的随机过程，若： (a) W(0)=0； (b) 对闭区间[ 0，1 ]上任意一组分割 0 1  t 1  t 2    t k = ，W (t) 的 变化量： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 1 , , , − − k − k − W t W t W t W t  W t W t 为相互独立的随机变量； (c) 对任意 0  s  t  1， 有 W (t) −W (s) ~ N(0,t − s) (6.2.1) 则 称 W (t) 为标准维纳过 程（或标准布朗运动过程）

由定义我们可以得出: 标准维纳过程在任意时刻t服从正态分布 W(t)=W(t)-W(0)~N(0,t) (6.2.2) W(1)~N(0 ·将标准维纳过程推广,可得一般维纳过程的概念 令B(t)=oW(t),称B(1)是方差为a2的维纳过程。 对任意0≤s<t≤1,有 B(t)-B(s)~N(0,02(t-s) 根据上式,显然有 B(t)=B(t)-B(0)~N(0,a2t) (6.2.3) B(1)~N(0,a

由定义我们可以得出： • 标准维纳过程在任意时刻t服从正态分布 W (t) = W (t) −W (0) ~ N(0,t) (6.2.2) W (1) ~ N(0,1) • 将标准维纳过程推广，可得一般维纳过程的概念 令 B(t) = W (t) ， 称 B(t) 是方差为 2  的维纳过程。 对任意 0  s  t  1， 有 ( ) ( ) ~ (0, ( )) 2 B t − B s N  t − s 根据上式，显然有 ( ) ( ) (0) ~ (0, ) 2 B t = B t − B N  t (6.2.3) (1) ~ (0, ) 2 B N 

、有关随机游动的极限分布 1、一般中心极限定理 如暑随机变量序列{5}:5,52,…5n,独立同 分布,且有 E(21)=4,D(1)=a2<∞,t=1,2,… 则 (5N-) (51- N(0,a2)

二、有关随机游动的极限分布 1、一般中心极限定理 如果随机变量序列 ： 独立同 分布，且有 令 ，则 { } t  1 , 2 ,  , n ,  E( t ) = , D( t ) =  2  , t =1,2,  =  N N t N 1 1   ( ) (0, ) 1 ( ) 2 1     N  N N N L N − =  t − ⎯→ (6.2.4)

对于白噪声序列{s},由于 E(E,)==0,D(E1)=02<0 根据中心极限定理,有 (,-)=、24N (6.2.5)

对于白噪声序列  t ，由于 E( t ) =  = 0, D( t ) =  2  , t = 1,2, 根据中心极限定理，有 (0, ) 1 ( ) 2 1    N  N N N L N − =  t ⎯→ (6.2.5)

2、泛函中心极限定理 设r为闭区间[0,1]上的任一实数,记N=[M为不超 过rN的最大整数,对于给定白噪声序列}的前N项: E、,取其前N=[N项构造统计量 X(r)=1∑ N (6.2.6) 显然,当r在闭区间[0,1]上变化时,X(r)是[0, 1]上的一个阶梯函数,其具体表达式为: 0≤r< E/N ≤r< r(r) E2)/ ≤r< 7) (a+2+…8)/N

2、泛函中心极限定理 设 r 为闭区间[ 0，1 ]上的任一实数，记 N [rN] r = 为不超 过 r N 的最大整数，对于给定白噪声序列  t 的 前 N 项 ： N  , , , 1 2  ，取其前 N [rN] r = 项构造统计量： =  Nr t N X r 1 1 ( )  (6.2.6) 显然，当 r 在闭区间[ 0，1 ]上变化时，X (r)是[ 0， 1 ]上的一个阶梯函数，其具体表达式为： ( )         =       + + = + 1 0 ( )/ ( )/ / 0 2 3 1 2 1 1 2 1 2 1 r r r r N N N X r N N N N N N          (6.2.7)

将X()乘上√N,再写成如下形式: 由前述中心极限定理,有 另一方面,对于[0,1]上的任意实数r,有 m √r N→∞ 因此,√NX()有如下极限分布: NX()=∑6,4N(,a7) (6.2.8) 对照(6.2.3)式,有B(r)=oW(r)~N(0,ar) 这表明,NX()的极限分布与一般维纳过程B()=o()的分布 是一致的。将上述结论整理如下,就得到泛函中心极限定理

将 X (r)乘 上 N ，再写成如下形式： ( )         =  =  r Nr t r r N t N N N N N X r 1 1 1 1   由前述中心极限定理，有 ( ) 2 1 0, 1  N  N L N t t r r  ⎯→ = 另一方面，对于[ 0，1 ]上的任意实数 r， 有 r N rN N N N r N = = → → [ ] lim lim 因此， N X (r)有如下极限分布： ( ) (0, ) 1 2 1 N r N N X r L N t r =  ⎯→  (6.2.8) 对 照(6.2.3)式，有 ( ) ( ) ~ (0, ) 2 B r = W r N  r 这表明， N X (r)的极限分布与一般维纳过程 B(t) = W (t)的分布 是一致的。将上述结论整理如下，就得到泛函中心极限定理

泛函中心极限定理: 设序列{a}:E1,2 独立同分布,且满足 E(E,)=0,D(E,)=a2oW(1)~N(0,a2) (6.2.10)

泛函中心极限定理： 设序列  t：  1 , 2 ,, t ,独立同分布，且满足 E( t ) = 0, D( t ) =  2  , t = 1,2, r 为闭区间[ 0，1 ]上的任一实数，给定样本 N  , , , 1 2  ，取其 前 N [rN] r = 项构造统计量： =  Nr t N X r 1 1 ( )  那么，当 N → 时，统计量 N X (r)有如下极限： ( ) ( ) ( ) 1 1 B r W r N N X r L N t r =  ⎯→ =  (6.2.9) 在(6.2.9)式中令 r=1， 有 ( ) (1) ~ (0, ) 1 1 2 1  W N  N N X L N =  t ⎯→ (6.2.1 0)

3、有关随机游动的极限分布 设序列{y遵从随机游动过程: y=y1-1+E (6.1.4) 其中,{,}独立同分布,且E()=0,D()=E(2)=a2<∞,y=0。则以下 极限成立 (1) ∑-o形(;(2)N∑y→hw(1)-1 (3)N∑H4oWOb;(4)N∑,-o()-可WO; (5)N ty,-l-o rW(r)dr N-22ynow2(r)d 证明

3、有关随机游动的极限分布 设序列 yt遵从随机游动过程： t t t y = y +  −1 （6.1.4） 其中， { }t  独立同分布，且 = = =   2 2 E( t ) 0, D( t ) E( t )  ， 0 y = 0。则以下 极限成立： （1） (1) 1 1 2 N W N L  t ⎯→ − ； （2） σ [W (1) 1] 2 1 N y ε 2 2 N 1 L t 1 t 1 − ⎯→ − − ； （3）  − ⎯→  − 1 0 1 1 3 2 N y W (r)dr N L t  ； （4）   ⎯→ − − 1 0 1 3 2 N t W(1) W(r)dr N L  t   ； （5）  − ⎯→  − 1 0 1 1 5 2 N ty rW (r)dr N L t  ； （6）  − ⎯→  − 1 0 2 2 1 2 1 2 N y W (r)dr N L t  。 证明

有关单位根过程的极限分布 1、一般形式的泛函中心极限定理 设序列{}:u1,u2…,u1…为一平稳过程,它有无穷阶MA表示形式: E+51+02512+…=0(B)1=∑F (6.2.12) 其系数如满足条件: (6.2.13) 2}独立同分布,且满足:E(E1)=0,D(E)=0<O r为闭区间[0,1]上的任一实数,记N=N,构造如下统计量 X(r) (6.2.14 那么,当N→∞时,统计量√NX(r)有如下极限: (6.2.15)

三、有关单位根过程的极限分布 1、一般形式的泛函中心极限定理 设序列 ut： u1 ,u2 ,,ut ,为一平稳过程，它有无穷阶 M A 表示形式：   = = + − + − + = = − 0 1 1 2 2 ( ) j ut t t t B t j t j           (6.2.1 2) 其系数  j满足条件：     j=0 j j (6.2.1 3)  t独立同分布，且满足： E( t ) = 0, D( t ) =  2  , t = 1,2, r 为闭区间[ 0，1 ]上的任一实数，记 N [rN] r = ，构造如下统计量： =  Nr t u N X r 1 1 ( ) (6.2.1 4) 那么，当 N → 时，统计量 N X (r)有如下极限： ( ) (1) ( ) 1 1 u W r N N X r L N t r =  ⎯→ (6.2.1 5)

2、有关单位根过程的极限分布 假设序列{x遵从单位根过程: y=y1-1+l (6.1.5) 其中平稳过程{满足一般形式泛函中心极限定理中的 条件。令 y=E(1)=a2∑99,,j=0.12 =(1)

2、有关单位根过程的极限分布 假设序列 yt 遵从单位根过程： t t t y = y + u −1 (6.1.5) 其中平稳过程 ut 满足一般形式泛函中心极限定理中的 条件。令 ( ) , 0,1,2, 0 2 = =  =  = − + E u u j s j t t j  s s j   = (1)