第4节PP单位根检验法与ADF单位根检验法 DF检验要求模型的随机扰动项ε,独立同分布。但在实际应用中这 条件往往不能满足(如上一节中的有关例子)。一般来说,如果估计 模型的DW值偏离2较大,表明随机扰动项是序列相关的,在这种情 况下使用DF检验可能会导致偏误,需要寻找新的检验方法。本节我 们将介绍在随机扰动项服从一般平稳过程的情况下,检验单位根的PP 检验法和ADF检验法。 PP( Phillips& Perron)检验 首先考虑上一节情形二中扰动项为一平稳过程的单位根检验。假设数据由 (真实过程) y=P1+u1,u1=0(B);=∑E1 (64.1) 产生,其中}独立同分布,E()=0,D(E)=a2<。0(B)=∑qB,其中B为滞 后算子,其系数满足条件∑|<∞。在回归模型y=a+p4+n中检验假设: p=1;,a=0 与DF检验(情形二)一样,模型参数的OLS估计为: ∑∑(∑y 在H0:a=0,p=1成立时,上式可改写为: Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
第4节 PP 单位根检验法与 ADF 单位根检验法 DF 检验要求模型 的随机 扰动项 t e 独立同分 布。但在实际应用中这 一条件往往不 能满足（如上一节中的有关例子）。一般来说，如果估计 模型的 DW 值偏离 2 较大，表明随机扰动 项是序列相关的，在这种情 况下使用 DF 检验可能会导致偏误，需要 寻找新的检验方法。本节我 们将介绍在随 机扰动 项服从一般平稳过程 的情况下，检验单位根的 PP 检验法和 ADF 检验 法。 一、 PP（Phillips&Perron）检验 首先考虑上一节情形二中扰动项为一平稳过程的单位根检验。假设数据由 （真实过程） å ¥ = = - + = = - 0 1 , ( ) j t t t t B t j t j y ry u u j e j e (6.4.1) 产生，其中{e t }独立同分布， = = < ¥ 2 E(et ) 0, D(et ) s 。 å ¥ = = 0 ( ) j j j B j j B ，其中 B 为滞 后算子，其系数满足条件å < ¥ ¥ j=0 j jj 。在回归模型 t t ut y = a + ry -1 + 中检验假设： : 1; 0 H0 r = a = 与 DF 检验（情形二）一样，模型参数的 OLS 估计为： ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ =÷ ÷ ø ö ç ç è æ å å å å å - - - - - t t t t t t y y y y y N y 1 1 2 1 1 1 ˆ ˆ r a 在 : 0, 1 H0 a = r = 成立时，上 式可改写为： PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
∑u ∑y:∑y2 Vi-lll, 以矩阵A=dg%,N左乘上式两端,得 N(e ∑y:∑y yI NN2∑只八(N∑y 利用有关单位根过程的极限分布(参见第2节),可得 N(p-1) λ[w(r)br2w(r)dr [A2W2(1)-yo 其中λ=∞(),y。=σ∑φ。经过化简,可将统计量N(p-1)的极限分离出 来如下 vo-}-w(2-,)x2 (64.2) 此式表明,N(p-1)的极限为两项之和,其中第一项是为独立同分布时N⊙-1)的 极限分布(637);第二项是由u1的自相关性产生的,当4独立时,它等于零。说 明(642)是(6.37)的推广。 可以证明,统计量N2G2有以下极限分布: NG3-→ (64.3) 与(638)式相比,此式多了一个因子,它反映了扰动项自相关程度对N2G的 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ =÷ ÷ ø ö ç ç è æ - å å å å å - - - - - t t t t t t y u u y y N y 1 1 2 1 1 1 ˆ 1 ˆ r a 以矩阵 A diag(N , N) 2 1 = 左乘 上 式两端，得 ( ) ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = ïþ ï ý ü ïî ï í ì ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ïþ ï ý ü ïî ï í ì ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - å å å å å å å å å å - - - - - - - - - - - - - - - - - - t t t t t t t t t t t t N y u N u N y N y N y y u u A A y y N y A N N 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 3 2 3 2 1 1 ˆ 1 ˆ r a 利 用有关单位 根过程的极限分布（参见第 2 节），可得 ( ) ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ ÷ ÷ ¾¾® ø ö ç ç è æ - - ò ò ò [ (1) ] 2 1 (1) ( ) ( ) 1 ( ) ˆ 1 ˆ 0 2 2 1 1 0 2 2 1 0 1 0 2 1 l g l l l l r a W W W r dr W r dr W r dr N N L 其 中 l = sj(1) ， å ¥ = = 0 2 2 0 s s js g 。经过化简，可将统计量 N(rˆ -1)的极限分离出 来如下： ( ) {[ ( )] } ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] ( ) 2 1 0 1 0 2 2 0 2 2 1 2 1 0 1 0 2 1 0 2 2 1 [ ] / [ ] 1 1 1 ˆ 1 W r dr W r dr W r dr W r dr W W W r dr N L ò ò ò ò ò - - + - - - - ¾¾® l g l r (6.4.2) 此式表明，N(rˆ -1)的极限为两项之和，其中第一项是 t u 为独立同分布时N(rˆ -1)的 极限分布(6.3.7)；第二项是由ut的自相关性产生的，当ut独立时，它等于零。说 明(6.4.2)是(6.3.7)的推广。 可以证明，统计量 2 ˆ 2 ˆ N s r 有以下极限分布： [ ( )] ( ) 2 1 0 1 0 2 2 2 0 ˆ 2 [ ] 1 ˆ W r dr W r dr N L ò ò - ¾¾® × l g s r (6.4.3) 与(6.3.8)式相比，此式多了一个因子 2 0 l g ，它反映了扰动项自相关程度对 2 ˆ 2 ˆ N s r 的 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
极限分布的影响。当扰动项相互独立时,=19,=0,=12…,从而有9=1,(64.3) 式就退化为(638)式。 现利用统计量N2G对N(p-1)进行修正,修正式如下: N(-1)-3(2-%N2G3/s2 (64.4) 其中s2为E(x2)=70的一致估计,结合(642)和(643),有 N(-1)-1(2-0)NG3/2)-4 (64.5) fW( w(ddr] 可以看出,修正后的统计量与DF检验情形二中的统计量N(p-1)的极限分 布(6,3.7)一致,从而可用相同的临界值表。 类似地,可以考虑t统计量的极限分布和修正方法,根据(64.2)和(64.3), 有 (p-1)N(p-1) w(rldr 2 4(x2-y0)y%0 (64.6 对t统计量修正如下: (64.7) 结合643)和(646),有如下极限分布: (λ2-yo) WwOF-1-wofw()dr (64.8) pr】d-rr 修正后的统计量与DF检验情形二中的t统计量有相同的极限分布(639),从而 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
极限分布的影响。当扰动项相互独立时，j0 = 1, j j = 0, j = 1,2,L，从而有 2 0 l g =1，(6.4.3) 式就退化为(6.3.8)式。 现利用统计量 2 ˆ 2 ˆ N s r 对 N(rˆ -1)进行修正，修正式如下： ( )( ˆ ) 2 1 ( ˆ 1) 2 2 2 0 2 N N s s r r - - l - g s (6.4.4) 其中 2 s 为 0 2 ( ) = g t E u 的一致估计，结合(6.4.2)和(6.4.3)，有 ( )( ˆ ) 2 1 ( ˆ 1) 2 2 2 0 2 N N s s r r - - l - g s {[ ( )] } ( ) ( ) [ ( )] ( ) 2 1 0 1 0 2 1 0 2 2 1 [ ] 1 1 1 W r dr W r dr W W W r dr L ò ò ò - - - ¾¾® (6.4.5) 可以看出，修正后的统计量与 DF 检验情形二中的统计量N(rˆ -1)的极限分 布(6.3.7)一致，从而可用相同的临界值表。 类似地，可以考虑t 统计量的极限分布和修正方法，根据(6.4.2)和(6.4.3)， 有 ( ) ( ) ¾¾® - = - = L N N t 2 1 2 ˆ 2 ˆ ( ˆ ) ˆ 1 ˆ ˆ 1 r s r r s r {[ ( )] } ( ) ( ) { [ ( )] ( ) } ( ) { [ ( )] ( ) } 1 2 2 1 0 1 0 2 0 0 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 0 2 1 0 2 2 1 [ ] / [ ] 1 1 1 W r dr W r dr W r dr W r dr W W W r dr ò ò ò ò ò - - × + - - - l l g g g l (6.4.6) 对 t 统计量修正如下： s N t s r l l g l g ˆ 2 ( ) 0 2 0 × - × - (6.4.7) 结合(6.4.3)和(6.4.6)，有如下极限分布： s N t s r l l g l g ˆ 2 ( ) 0 2 0 × - × - {[ ( )] } ( ) ( ) { [ ( )] ( ) } 2 1 2 1 0 1 0 2 1 0 2 2 1 [ ] 1 1 1 ò ò ò - - - ¾¾® W r dr W r dr W W W r dr L (6.4.8) 修正后的统计量与 DF 检验情形二中的 t 统计量有相同的极限分布(6.3.9)，从而 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
可用相同的临界值表 但是,修正统计量(644)与(647)不能直接用于检验,因为其中含有未知参 数λ、y’,必需再进行修正。令 2n=N(-1)-2(2-NG/s (649) (x2-0)N 64.10) 其中沙=N-文i1、是=2知+1,q是残差序列自相关的最大阶数。 可以证明,修正后的统计量Zn、Z,的极限分布与(645)、(648)相同,从而 可由(649)或(64.10)计算统计量的值,然后与DF检验临界值表中情形二的临 界值进行比较,以判断序列是否存在单位根。 此外,对于其它情形(情形一、四), Phillips& Perron证明了,修正统计量Z 和z的极限分布与DF检验中对应情形的极限分布相同,从而可使用DF检验的 临界值表。 综上所述,PP单位根检验法是针对扰动项存在序列相关性而提出的,该方 法是对DF单位根检验法的进一步推广,其关键点是,在DF检验统计量的基础 上进行修正,由于修正后的统计量与DF检验中的统计量有相同的极限分布,因 此可借用DF检验临界值表进行检验, 下面给出PP检验的步骤 (1)以最小二乘法估计回归模型,得到参数估计和残差序列 (2)计算残差序列的样本自协方差 j=0,1,2, Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
可用相同的临界值表。 但是，修正统计量(6.4.4)与(6.4.7)不能直接用于检验，因为其中含有未知参 数 0 l、g ，必需再进行修正。令 ˆ )( ˆ ) ˆ ( 2 1 ( ˆ 1) 2 2 2 0 2 Z N N s r s r = r - - l -g s (6.4.9) s N Z t t s r l l g g l ˆ ˆ 2 ˆ ) ˆ ( ) ˆ ( ˆ 0 2 0 × - = × - (6.4.10) 其中 å= + - - = N t j j t t j N u u 1 1 gˆ ˆ ˆ 、 j q j q j l g gˆ 1 ˆ 2 1 ˆ 1 0 2 × ú û ù ê ë é + = + å - = ，q 是残差序列自相关的最大阶数。 可以证明，修正后的统计量Zr、Zt 的极限分布与(6.4.5) 、(6.4.8)相同，从而 可由(6.4.9)或 (6.4.10)计算统计量的值，然后与 DF 检验临界值表中情形二的临 界值进行比较，以判断序列是否存在单位根。 此外，对于其它情形（情形一、四），Phillips&Perron 证明了，修正统计量Zr 和 Zt 的极限分布与 DF 检验中对应情形的极限分布相同，从而可使用 DF 检验的 临界值表。 综上所述，PP 单位根检验法是针对扰动项存在序列相关性而提出的，该方 法是对 DF 单位根检验法的进一步推广，其关键点是，在 DF 检验统计量的基础 上进行修正，由于修正后的统计量与 DF 检验中的统计量有相同的极限分布，因 此可借用 DF 检验临界值表进行检验。 下面给出 PP 检验的步骤： （1）以最小二乘法估计回归模型，得到参数估计和残差序列； （2）计算残差序列的样本自协方差： å= + - - = N t j j t t j N u u 1 1 gˆ ˆ ˆ ， j=0,1,2,…. PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
及λ=o()的估计值: 其中,q的大小根据实际情况确定。若从某一阶之后(比如从第h阶之后),对 的贡献可忽略不记,则q取为h。构造该估计量的 Newey和west建议q取3 或4。 (3)计算参数估计量的标准差G和残差u1的估计方差s2=∑ (4)将上述计算结果代入z。或Z统计量的表达式,得到统计量的值,查临 界值并进行比较,然后作出推断。 例54.1对例53.1中的国内生产总值(GDP)序列进行PP检验。 在上一节例53.5中对GDP序列进行DF检验,得到如下回归模型 △GDP1=190.3837+1477641-0.060317GDP1 t=(1.838999)(1.610958)(-1.625296) DW=1.314680 G=0.037111 DW值偏离2较远,说明残差序列存在相关性。下面用PP检验法进行检验 残差序列的前三阶样本自协方差为 =1∑=34973 1=∑元=0356×34977 =Ea2=06834973:8=∑=00973 a2=0+2∑ 3+1 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
及l = sj(1)的估计值： j q j q j l g gˆ 1 ˆ 2 1 ˆ 1 0 2 × ú û ù ê ë é + = + å - - 其中，q 的大小根据实际情况确定。若从某一阶之后（比如从第 h 阶之后）， j gˆ 对 2ˆl 的贡献可忽略不记，则 q 取为 h。构造该估计量的 Newey 和 West 建议 q 取 3 或 4。 （3）计算参数估计量rˆ 的标准差s rˆ ˆ 和残差ut 的估计方差 å - = 2 2 ˆ 2 1 t u N s 。 （4）将上述计算结果代入 Zr 或Zt 统计量的表达式，得到统计量的值，查临 界值并进行比较，然后作出推断。 例 5.4.1 对例 5.3.1 中的国内生产总值（GDP）序列进行 PP 检验。 在上一节例 5.3.5 中对 GDP 序列进行 DF 检验，得到如下回归模型： 1.314680 (1.838999) (1.610958) ( 1.625296) 190.3837 1.47764 0.060317 1 = = - D = + - - Ù DW t GDP t GDPt t s rˆ ˆ =0.037111 DW 值偏离 2 较远，说明残差序列存在相关性。下面用 PP 检验法进行检验。 残差序列ut ˆ 的前三阶样本自协方差为： = å 2 0 ˆ 1 ˆ t u N g 2 = 34.9775 ； 1 = å -1 ˆ ˆ 1 ˆ t t u u N g 2 = 0.336´34.9775 2 = å -2 ˆ ˆ 1 ˆ t t u u N g 2 = 0.206´34.9775 ； 3 = å -3 ˆ ˆ 1 ˆ t t u u N g 2 = 0.072´34.9775 j j j l g gˆ 3 1 ˆ 2 1 ˆ 3 1 0 2 × ú û ù ê ë é + = + å - = PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
=34977521+ 0.336+二×0.206+-×0.072 2136.1009=462182 x22=353839 代入修正统计量z,可得: 462182-349775288×0037111 (349775/46218)×(-1.6253) 2×46.218 35.3819 =-2.1414 给定显著性水平5%,査DF检验临界值表(情形四),临界值为-3.45。由于 Z,=-2.1414>-345,从而接受原假设H0:O=0(即H6:p=1),表明GDP序列存 在单位根。 从该例可以看出,进行PP检验时乙统计量的值较难计算。在实际应用中, 可使用包含有PP检验的计量经济软件。例如 Eviews中的PP检验,就可直接输 出Z的值。 、ADF( Augmented Dickey- Fuller)检验 ADF( Augmented Dickey--Fuller)检验法由 Dickey和 Fuller于1979年提 出,该方法是对DF检验的推广,所以常称为增广DF检验。其特点是,假设时 间数据序列{}是由一个P阶自回归过程AR(P)生成的,然后建立估计模型并 进行单位根检验。 在介绍ADF检验法之前,先分析P阶自回归过程的特性 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
2 = 34.9775 ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ + ´ + ´ + ´ 0.072 4 1 0.206 4 2 0.336 4 3 1 2 =2136.1009= 2 46.218 å - = 2 2 ˆ 2 1 t u N s 2 = 35.3819 代入修正统计量Zt 可得： s N Z t t s r l l g g l ˆ ˆ 2 ˆ ) ˆ ( ) ˆ ( ˆ 0 2 0 × - = × - 35.3819 88 0.037111 2 46.218 46.218 34.9775 (34.9775/ 46.218) ( 1.6253) 2 2 ´ ´ ´ - = ´ - - = -2.1414 给定显著性水平 5%，查 DF 检验临界值表（情形四），临界值为-3.45。由于 Zt = -2.1414>-3.45，从而接受原假设 : 0 H0 w = （即 : 1 H0 r = ），表明 GDP 序列存 在单位根。 从该例可以看出，进行 PP 检验时Zt 统计量的值较难计算。在实际应用中， 可使用包含有 PP 检验的计量经济软件。例如 Eviews 中的 PP 检验，就可直接输 出 Zt 的值。 二、ADF （Augmented Dickey—Fuller）检验 ADF （Augmented Dickey—Fuller）检验法由 Dickey 和 Fuller 于 1979 年提 出，该方法是对 DF 检验的推广，所以常称为增广 DF 检验。其特点是，假设时 间数据序列{yt }是由一个 P 阶自回归过程 AR（P）生成的，然后建立估计模型并 进行单位根检验。 在介绍 ADF 检验法之前，先分析 P 阶自回归过程的特性。 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
、P阶自回归过程的特性 假设时间序列{y}服从AR(P)过程: y=中y-1+2y-2+…+中yp+E (64.11) 其中,ε,为白噪声。利用滞后算子,可将上式表示为: H(B)y1=y2-中y1-中2 (1-中B-中2 64.12) 令 5=-φ 中)j 可将滞后多项式H(B)分解成: H(B)=(1-中1B-中2B P, B =(1-pB)-(=1B+2B2+…+5pB(-B)(64.13) 则(6412)式可转化为 H(B)y,={(1-pB)-(1B+52B2+…+5pB)1-B)y=E, 整理可得: y1=Py-1+51Ay=1+524y (64.14) 若服从(6411)的序列有且只有一个单位根,则其特征方程: 1-中1z- 有且只有一个值为1的根,从而有: (1)=1--中2-…-=1-p=0 上式等价于ρ=1。因此,对服从(64.11)的序列的单位根检验,就是检验模型 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
1、P 阶自回归过程的特性 假设时间序列{yt }服从 AR（P）过程： t t t p t p t y = f y +f y + +f y + e 1 -1 2 -2 L - (6.4.11) 其中， t e 为白噪声。利用滞后算子，可将上式表示为： Y(B) yt = t t t p t p y y y y -f1 -1 -f2 -2 -L-f - t t p p = (1-f B -f B - -f B ) y = e 2 1 2 L (6.4.12) 令 r = f1 + f2 +L+f p z j = -(f j+1 +L+f p ); j = 1,2,L, p -1 可将滞后多项式Y(B)分解成： Y(B) (1 ) 2 1 2 p = -f B -f B -L-f pB (1 ) ( )(1 ) 1 1 2 B 1B 2B B B p = - - + + + p - - r z z L z - (6.4.13) 则(6.4.12)式可转化为： Y(B) yt = t t p p - rB - z B +z B + +z B - B y = e - - {(1 ) ( )(1 )} 1 1 2 1 2 L 整理可得： t t t t p t p t y = ry +z Dy +z Dy + +z Dy + e -1 1 -1 2 -2 L -1 - +1 (6.4.14) 若服从(6.4.11)的序列有且只有一个单位根，则其特征方程： 1 0 2 - 1 - 2 - - = p p f z f z L f z 有且只有一个值为 1 的根，从而有： Y(1) = 1-f1 -f2 -L-f p = 1- r = 0 上式等价于 r = 1。因此，对服从(6.4.11)的序列的单位根检验，就是检验模型 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
(64.14)中是否有p=1 将模型(6414)与(631)对比可以发现,模型(64.14)中多了Ay,的p-1个滞后 项。如果将这些滞后项归到随机扰动项中,则扰动项就成为序列相关的平稳过 程,这样,在模型(64.14)中检验单位根,实际上就是对扰动项为一平稳过程的 单位根检验。因为事实上,由(6413)式可得特征多项式的如下表示形式: H()=(-中-2-2-…-中2P) (1-p)-(12+2 当序列有且只有一个单位根时,p=1,从而有 (1-2-中2=2-…-p)=(1-p-)-(51+522+…+p1=n)1-) 使上式左边为零的根中,除了一个根为1外,其余的根全在单位圆之外。这一 结论对于等式右边也成立,因此 (1 的根全在单位圆之外。这样,滞后多项式 C(B)=1-51B-52B 的逆存在,在p=1为真的情况下,(6414)式可写成 (1-51B-52B BP),=8 (64.15) 进一步可表示为 d(B)E (64.16) 其中,Φ(B)=C(B)为一无穷阶的滞后多项式。(64.16)式恰好为模型(641)在 p=1时的形式。说明在模型(6414)中检验单位根,与PP单位根检验在本质上是 相通的。正因如此,基于模型(6414)的单位根检验被称为增广DF检验。 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
(6.4.14)中是否有 r = 1。 将模型(6.4.14)与(6.3.1)对比可以发现，模型(6.4.14)中多了 t Dy 的 p-1 个滞后 项。如果将这些滞后项归到随机扰动项中，则扰动项就成为序列相关的平稳过 程，这样，在模型(6.4.14)中检验单位根，实际上就是对扰动项为一平稳过程的 单位根检验。因为事实上，由(6.4.13)式可得特征多项式的如下表示形式： Y(z) (1 ) 2 1 2 p p = -f z -f z -L-f z (1 ) ( )(1 ) 1 1 2 1 2 z z z z z p = - - + + + p - - r z z L z - 当序列有且只有一个单位根时， r = 1，从而有 (1 ) 2 1 2 p p -f z -f z -L-f z (1 ) ( )(1 ) 1 1 2 1 2 z z z z z p = - - + + + p - - r z z L z - (1 )(1 ) 1 1 2 1 2 z z z z p = - - - - p - - z z L z - 使上式左边为零的根中，除了一个根为 1 外，其余的根全在单位圆之外。这一 结论对于等式右边也成立，因此 (1 ) 0 1 1 2 - 1 - 2 - - = - - p p z z z z L z z 的根全在单位圆之外。这样，滞后多项式 C(B) = 1 1 2 1 1 2 - - - - - - p z B z B L z p B 的逆存在，在 r = 1 为真的情况下，(6.4.14)式可写成： t t p p -z B -z B - -z B Dy = e - - (1 ) 1 1 2 1 2 L (6.4.15) 进一步可表示为： t C B t B t ut Dy = = F = - ( )e ( )e 1 (6.4.16) 其中， ( ) ( ) 1 B C B - F = 为一无穷阶的滞后多项式。(6.4.16) 式恰好为模型(6.4.1)在 r = 1时的形式。说明在模型(6.4.14)中检验单位根，与 PP 单位根检验在本质上是 相通的。正因如此，基于模型(6.4.14)的单位根检验被称为增广 DF 检验。 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
2、ADF检验: 与DF检验一样,ADF检验也分为四种情形建立估计模型,并在其中进行 单位根检验。 情形一:数据序列由模型(64.14)生成,并在其中检验单位根,即H。:p=1。 情形二:数据序列由模型(64.14)生成,在如下估计模型中检验H0:p=1。 y=a+py1+51Ay-1+524y-2+…+5p1Ay-pH+E 6417) 情形三:数据序列由模型(6417生成,在其中检验Ho:p=1。 情形四:数据序列由模型(64.7)生成,在如下估计模型中检验H。:p=1。 y=a+6t+py1+5y1+5242+…+5pAy-p+E (64.18) 首先考察情形 (1)可以证明,在H。:p=1成立时,对模型(64.17)进行最小二乘估计,得 到的是p的超一致估计,并且有如下极限 M(6-D、vo)-}-r(ow(M (64.19) fw(Fdr-[ w(dr] 可见,此极限分布与DF检验情形二中统计量N(-1)的极限分布(63.7)致,从 而可用相同的临界值表。但是,上述统计量中含有未知参数,因此不能直接用 于检验。现用51(j=1,2,…p-1)的最小二乘估计5代替5,得修正统计量: Z-N(P-D (6.4.20) 该统计量的极限分布与(6419)相同。 (2)对于检验H0:p=1的t统计量,可以证明有如下极限分布: Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
2、ADF 检验： 与 DF 检验一样，ADF 检验也分为四种情形建立估计模型，并在其中进行 单位根检验。 情形一：数据序列由模型(6.4.14)生成，并在其中检验单位根，即 H0 : r = 1。 情形二：数据序列由模型(6.4.14)生成，在如下估计模型中检验 : 1 H0 r = 。 t t t t p t p t y = a + ry +z Dy +z Dy + + z Dy + e -1 1 -1 2 -2 L -1 - +1 (6.4.17) 情形三：数据序列由模型(6.4.17)生成，在其中检验 H0 : r = 1。 情形四：数据序列由模型(6.4.17)生成，在如下估计模型中检验 H0 : r = 1。 t t t t p t p t y = a + d t + ry +z Dy +z Dy + + z Dy + e -1 1 -1 2 -2 L -1 - +1 (6.4.18) 首先考察情形二： （1）可以证明，在 : 1 H0 r = 成立时，对模型(6.4.17)进行最小二乘估计，得 到的 rˆ 是 r 的超一致估计，并且有如下极限： 1 2 1 1 ( ˆ 1) - - - - - - p N z z z r L {[ ( )] } ( ) ( ) [ ( )] ( ) 2 1 0 1 0 2 1 0 2 2 1 [ ] 1 1 1 W r dr W r dr W W W r dr L ò ò ò - - - ¾¾® (6.4.19) 可见，此极限分布与 DF 检验情形二中统计量N(rˆ -1)的极限分布(6.3.7)一致，从 而可用相同的临界值表。但是，上述统计量中含有未知参数，因此不能直接用 于检验。现用z j （j=1,2,…,p-1）的最小二乘估计 j z ˆ 代替z j ，得修正统计量： 1 2 1 ˆ ˆ ˆ 1 ( ˆ 1) - - - - - - = p ADF N Z z z z r L (6.4.20) 该统计量的极限分布与(6.4.19)相同。 （2）对于检验 : 1 H0 r = 的 t 统计量，可以证明有如下极限分布： PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
=(-)、wv-+-w( (64.21) Lc woFdr-I'wGldr] 此极限与DF检验情形二中t统计量的极限分布(639)是完全一致的。说明在ADF 检验中,不需要对t统计量进行修正,就可直接利用DF检验中的临界值表进行 检验。这与PP检验形成鲜明对照。我们知道,在PP检验中,需要对t统计量 进行修正。其原因主要是,PP检验中对回归系数p的最小二乘估计没有考虑受 扰动项序列相关性的影响。当扰动项序列相关时,最小二乘估计ρ是ρ的超一致 估计,但t统计量的极限分布由于受扰动项序列相关性的影响而发生了变化,为 了能借用DF检验临界值表,就必须对t统计量进行修正,修正后的统计量z,(见 (64.10)的极限分布才与DF检验情形二中t统计量的极限分布相同。ADF检 验则不同,在该检验法中,和2是同时估计的,由于增添了4y的滞后项,随 机扰动项不再序列相关,因此在构造t统计量时不需再作修正。 (3)可以证明,滞后项Ay的系数估计量,有正态的极限分布,从而对参 数占,的假设检验可由一般的t统计量和F统计量进行检验,临界值可在一般的t 分布和F分布表中查得。 (4)对于联合假设H0:p=1,α=0,可用F统计量进行检验。F统计量为 F= -R)/2 (64.22) R2/(N 其中,R2为有约束的参差平方和,R2为无约束的残差平方和,2为假设中受约 束的个数,p+1为模型中待估参数的个数。F检验统计量的极限分布存在,但不 再是标准的F分布,相应的临界值已由人们用 Monte carlo模拟方法得到并编制 成表供查。 此外, Dickey和 Fuller还证明了,对于情形一和情形四,检验H。:p=1的z 统计量 Pdfcreatedwithpdffactorytrialversionwww.pdffactory.com
( ) {[ ( )] } ( ) ( ) { [ ( )] ( ) } 2 1 2 1 0 1 0 2 1 0 2 2 1 ˆ [ ] 1 1 1 ˆ ˆ 1 ò ò ò - - - ¾¾® - = W r dr W r dr W W W r dr t L s r r (6.4.21) 此极限与DF检验情形二中t统计量的极限分布(6.3.9)是完全一致的。说明在ADF 检验中，不需要对 t 统计量进行修正，就可直接利用 DF 检验中的临界值表进行 检验。这与 PP 检验形成鲜明对照。我们知道，在 PP 检验中，需要对 t 统计量 进行修正。其原因主要是，PP 检验中对回归系数 r 的最小二乘估计没有考虑受 扰动项序列相关性的影响。当扰动项序列相关时，最小二乘估计 rˆ 是 r 的超一致 估计，但 t 统计量的极限分布由于受扰动项序列相关性的影响而发生了变化，为 了能借用 DF 检验临界值表，就必须对 t 统计量进行修正，修正后的统计量Z（t 见 (6.4.10)）的极限分布才与 DF 检验情形二中 t 统计量的极限分布相同。ADF 检 验则不同，在该检验法中， rˆ 和 j z ˆ 是同时估计的，由于增添了 t Dy 的滞后项，随 机扰动项不再序列相关，因此在构造 t 统计量时不需再作修正。 （3）可以证明，滞后项 t Dy 的系数估计量 j z ˆ 有正态的极限分布，从而对参 数z j 的假设检验可由一般的 t 统计量和 F 统计量进行检验，临界值可在一般的 t 分布和 F 分布表中查得。 （4）对于联合假设 : 1, 0 H0 r = a = ，可用 F 统计量进行检验。F 统计量为 /( 1) ˆ )/ 2 ˆ ~ ( 2 2 2 - - - = R N p R R F (6.4.22) 其中， ~2 R 为有约束的参差平方和， 2 Rˆ 为无约束的残差平方和，2 为假设中受约 束的个数，p+1 为模型中待估参数的个数。F 检验统计量的极限分布存在，但不 再是标准的 F 分布，相应的临界值已由人们用 Monte Carlo 模拟方法得到并编制 成表供查。 此外，Dickey 和 Fuller 还证明了，对于情形一和情形四，检验 H0 : r = 1的Z ADF 统计量： PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com