第四章ARMA模型预测
第四章 ARMA模型预测
第一节预测准则 依据现在和过去的信息对未来提出预测, 自然希望预测是最优预测 最优的准则是什么? 一个好的预测是预测的误差越小越好
第一节 预测准则 • 依据现在和过去的信息对未来提出预测， 自然希望预测是最优预测。 • 最优的准则是什么？ • 一个好的预测是预测的误差越小越好
设{Y1}~ARMA(P,q),用Hn表示{Y1)直 到t-m时{Y,t≤m}所提供的信息 用立n(s)表示在已知Hn={Y1tm)的条件下 对Yn作出的预测(简称s步预测),预测的 误差为: (s)=Y m mtS 预测的优良性准则转化为: 使 2(S) c(elms=e mts s)2 达到最小。此预测称为最小均方误差预测
设｛Yt｝～ARMA(p,q)，用Hm表示｛Yt｝直 到t=m时｛Yt，t≤m｝所提供的信息。 用 表示在已知Hm =｛Yt，t≤m｝的条件下 对Ym+s作出的预测（简称 s 步预测），预测的 误差为： em (s)=Ym+s– 预测的优良性准则转化为： 使 E(e2 m (s))=E〔(Ym+s– ) 2〕 达到最小。此预测称为最小均方误差预测。 ( ) ˆ Y s m ( ) ˆ Y s m ( ) ˆ Y s m
可以证明,当预测取为如下条件期望: Ym(S=E(( mts Hm 时,它为Ym+s的最小均方误差预测
可以证明，当预测取为如下条件期望： ( ) ˆ Y s m =E((Ym+s Hm ) 时，它为 Ym+s 的最小均方误差预测。 证明如下：
第二节ARMA模型预测 条件期望的性质及预测公式 C EY,H Y(s 2、EYH m+s ≤0 >0 3、EE m+s +s,S≤0
第二节 ARMA模型预测 • 一、条件期望的性质及预测公式 1、 m j m l j m j l j E Cj Ym j H C E Y + H = = + = 1 1 2、 = + + , 0 ˆ ( ) , 0 Y s Y s s E Y H m s m m s m 3、 = + + , 0 0 , 0 s s E H m s m s m
根据上述三条性质,可以推出ARMA模型预测的公式。 设{Y+}~ARMA(pq,则有 m=(1m+s1+021m2 +…+0y+E-1E p m+s-p m+s-1 m+s-g 两边求关于Hm的条件期望得: Ymn(S)=1Yn(S-1)+2Ym(-2)+…+nm(-p) +E(Em+ Hm )-0,E(Em+s-IHm) E(em+s-alhm)
两边求关于 Hm 的条件期望得： ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( 2) ˆ ( 1) ˆ ( ) ˆ 1 1 1 2 m s m m s m q m s q m m m m p m E H E H E H Y s Y s Y s Y s p + + − + − − − + − = − + − + + − 根据上述三条性质，可以推出 ARMA 模型预测的公式。 设｛Yt｝～ARMA(p,q)，则有 Ym+s= Ym+s− + Ym+s− + + p Ym+s− p + m+s − m+s− − − q m+s−q 1 1 2 2 1 1
、AR(p)模型预测 由前知,Fn()=01E(Ym=1Hn)+92E(m121Hm)+…+9E(m+-Hm) 01mn(S-1)+…+nVn(-P) 由于s≤0时,Ymn(s)=Ym+,,故 Yn(1)=1Yn(0)+02yn(-1)+…+nyn(1 Y+0,Y1+…+,Y P m(2)=1Ym(1)+2Ym(0)+…+9nYm(2-p) P,m(1)+o2Im+o + Ymn(p)=1n(P-1)+2Ym(P-2)+…+n1Ym(1)+qnYn
二、AR（p）模型预测 由前知， ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ m 1 E Ym s 1 Hm 2 E Ym s 2 Hm p E Ym s p Hm Y s = + − + + − ++ + − = ( ) ˆ ( 1) ˆ 1 Y s Y s p m − ++ p m − 由于 s≤0 时， m Ym s Y s = + ( ) ˆ ，故 (1 ) ˆ ( 1) ˆ (0) ˆ (1) ˆ Ym = 1 Ym + 2 Ym − ++ p Ym − p =1 Ym + 2 Ym−1 ++ p Ym− p+1 (2 ) ˆ (0) ˆ (1) ˆ (2) ˆ 1 2 Y Y Y Y p m = m + m ++ p m − = 1 2 3 1 2 (1) Ym + Ym + Ym− + p Ym− p+ ………… m m m p Ym p Ym Yˆ ( p) = 1 Yˆ ( p −1) + 2 Yˆ ( p − 2) ++ −1 ˆ (1) +
当s>p时 Ym(s)=q1m(S-1)+2Ym(s-2)+…+0,Ym(S-P)
当 s>p 时 ( ) ˆ ( 2) ˆ ( 1) ˆ ( ) ˆ Ym s = 1 Ym s − + 2 Ym s − ++ p Ym s − p
、MA(q)模型预测 由前知, Ym(s)=E(cmus Hm)-0Ecms- Hm).0 Ecmts-qlHmy 6 S+m g m-92 9g 0 S=q+1,q+2
三、MA（q）模型预测 由前知， ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ m E m s Hm 1 E m s 1 Hm q E m s q Hm Y s = + − + − − − + − = = + + − − + − − − − = 0, 1, 2, , 1,2, , 1 1 s q q s m s m q m q s q
