4.2对称操作群及对称元素的组合一个分子具有的全部对称元素构成一个完整的对称元素系，与该对称元素系对应的全部对称操作形成一个对称操作群。群是按照一定规律相互联系着的一些元素的集合，这些元素可以是对称操作、数字、矩阵或算符等。对称操作乘积：如果一个对称操作产生的结果与两个或多个其它操作连续作用的结果相同
4.2 对称操作群及对称元素的组合 一个分子具有的全部对称元素构成一个完整 的对称元素系，与该对称元素系对应的全部对称 操作形成一个对称操作群。群是按照一定规律相 互联系着的一些元素的集合，这些元素可以是对 称操作、数字、矩阵或算符等。 对称操作乘积：如果一个对称操作产生的结 果与两个或多个其它操作连续作用的结果相同
通常称这一操作为其它操作的乘积。例如某一分子中具有对称操作 A,B,,D 等，AB=C如果其中BA操作，结果等于对即对分子先操作再C分子进行C 操作，则称操作是A 和 B操作的乘积。应该指出，对分子实行操作的顺序是重要的，这里规定先右后左
通常称这一操作为其它操作的乘积。 例如 某一分子中具有对称操作 , , , 等， 如果其中 = , 即对分子先 操作再 操作，结果等于对 分子进行 操作，则称 操作是 和 操作的 乘积。应该指出，对分子实行操作的顺序是重要 的，这里规定先右后左。 A ˆ A ˆ B ˆ B ˆ B ˆ B ˆ C ˆ C ˆ C ˆ C ˆ D ˆ A ˆ A ˆ
AB=BA=C，A和B如果3是可交换的；AB BA,A和B是不可交换的.如果4．2.1群的定义群的定义：若对称操作 A，B，,...的集合G={A,B,℃,..}同时满足下列四个条件，则称集合G为群
如果 = = , 和 是可交换的； 如果 ≠ , 和 是不可交换的. 4．2．1 群的定义 群的定义： 若对称操作 , , ,.的集合 G＝{ , , ,.}同时满足下列四个条件， 则称集合G为群。 A ˆ A ˆ A ˆ A ˆ A ˆ A ˆ B ˆ B ˆ B ˆ B ˆ B ˆ B ˆ B ˆ B ˆ C ˆ C ˆ C ˆ A ˆ A ˆ
（1）封闭性A 和 B 若为同一群G中的对称操作,则AB= C，C也是群G中的一个对称操作。（2）主操作在群G中必有一个主操作E,它与群中任何一个操作相乘给出 AE=EA= A
（1）封闭性 和 若为同一群G中的对称操作， 则 = ， 也是群G中的一个对称操作。 （2）主操作 在群G中必有一个主操作Ê,它与群中任何 一个操作相乘给出 Ê = Ê = A ˆ A ˆ A ˆ B ˆ B ˆ C ˆ C ˆ A ˆ A ˆ
(3)逆操作群G中的每一个操作A均存在逆操作 A-",A-1也是该群中的一个操作。AA-1=A-1A =E(4)结合律对称操作的乘法符合下面的结合A(B C)=( A B) C律,即
(3) 逆操作 群G中的每一个操作 均存在逆操 作 , 也是该群中的一个操作。 = = Ê (4) 结合律 对称操作的乘法符合下面的结合 律,即 A ˆ ( )=( ) A ˆ B ˆ C ˆ A ˆ B ˆ C ˆ ˆ 1 A 1 A ˆ 1 A ˆ ˆ 1 A A ˆ A ˆ
上述四点是判断对称操作的集合是否形成群的标准，也是群的最基本的性质。4．2．2群的举例和群的乘法表1.群的举例例1．全体正、负整数和零对于加法运算构成一个群，记为G={0,±1，±2，±3,..}
上述四点是判断对称操作的集合是否形成群的 标准，也是群的最基本的性质。 4．2．2 群的举例和群的乘法表 1．群的举例 例1．全体正、负整数和零对于加法运算构成一 个群，记为 G={0,±1, ±2, ±3,.}
封闭性(+1) + (+2) =+3主元素0+ （+1) =+1逆元素(+1) + (-1) =0结合律显然满足。H20对称元素C2, Cv,0v'E,Cl,o,,o,对称操作
封闭性 （＋1）＋（＋2）＝＋3 主元素 0 ＋（＋1）＝＋1 逆元素 （＋1）＋（－1）＝0 结合律 显然满足。 H2O 对称元素 C2 , σv , σv ′ 对称操作 Ê ，Ĉ2 1 ， ， ' ˆ v ˆ v
例2.H,O中对称操作的完全集合构成C2群，记为 C2=E,C2,,,,}0封闭性2C, o, =,EC,= C,E = C,主元素
例2．H2O中对称操作的完全集合构成 C2v 群， 记为 C2v = { Ê, Ĉ2 , , } 封闭性 ＝ 主元素 ÊĈ2 ＝ Ĉ2Ê ＝ Ĉ2 ' ˆ v ˆ v ˆ v ˆ v 1 2 1 2 2 1 2 C ˆ 2 C ˆ ' ˆ v ' ˆ v
C, C,-1 =C,-1 C,=E逆元素结合律C2(0,6,)=(C2 0, )0,C2(6, ’ )= C,C,=E;(C2 6,)6,= 6,G′= E例3.NH3中对称操作的完全集合构成一个群(C3v)，记为 C3v ={E,C1, C, ,",6,b,,]
逆元素 Ĉ2 Ĉ2 －1 ＝Ĉ2 －1 Ĉ2 ＝Ê 结合律 Ĉ2 ( )= (Ĉ2 ) Ĉ2 ( )= Ĉ2Ĉ2 = Ê ; (Ĉ2 ) = = Ê 例3．NH3中对称操作的完全集合构成一个群(C3v)， 记为 C3v ={Ê , Ĉ3 1 , Ĉ3 2 , , , } ˆ v ˆ v ' ˆ v ' ˆ v ' ˆ v ' ˆ v ' ˆ v ' ˆ v ˆ a v ˆ b v ˆ c v ˆ v ˆ v
2．群的乘法表在群的乘法表中，每个群元素在每一行和每一列中只能出现一次。见表EC?ob o.CiαaC3vEEC3E6656<b3<6EC:?<bciC3C?E66
2． 群的乘法表 在群的乘法表中，每个群元素在 每一行和每一列中只能出现一次。见表 C3v Ê Ĉ3 1 Ĉ3 2 Ê Ê Ĉ3 1 Ĉ3 2 Ĉ3 1 Ĉ3 1 Ĉ3 2 Ê Ĉ3 2 Ĉ3 2 Ê Ĉ3 1 Ê Ĉ3 1 Ĉ3 2 Ĉ3 2 Ê Ĉ3 1 Ĉ3 1 Ĉ3 2 Ê ˆ c v ˆ c v ˆ c v ˆ c v ˆ c v ˆ c v ˆ b v ˆ b v ˆ b v ˆ b v ˆ b v ˆ b v ˆ b v ˆ b v ˆ a v ˆ a v ˆ a v ˆ a v ˆ a v ˆ a v ˆ a v ˆ a v ˆ c v ˆ c v