免费下载网址htt:! jiaoxue5u. ysl68c0m/ 2.2.1平方根(一)教学设计 教学任务分析 本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第二章《实数》的第二节《平方根》.本 节内容计2个课时,本节课是第1课时,主要是算术平方根的概念和性质的教学.课程标准要求 对于数学概念的教学,要关注概念的实际背景与形成过程,因此确定本节的教学目标如下: 知识与技能目标 1.了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根 2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求非负数的算 术平方根 3.了解算术平方根的性质 ·过程与方法目标 在概念形成过程中,让学生体会知识的来源与发展,提高学生的思维能力 2.在合作交流等活动中,培养他们的合作精神和创新意识 ·情感与态度目标 让学生积极参与教学活动,培养他们对数学的好奇心和求知欲 教学重点: 了解算术平方根的概念、性质,会用根号表示一个正数的算术平方根 教学难点: 对算术平方根的概念和性质的理解. 教法学法 教学方法:讲授法 课前准备: 教具:教材,多媒体课件,电脑 学具:教材,笔,练习本 教学过程: 本课时设计六个环节:第一环节:问题情境:第二环节:初步探究:第三环节:深λ探究;第 四环节:反馈练习:第五环节:学习小结:第六环节:作业布置. 本节课教学流程为 问题 初步 入 反馈 学习 作业 情境 探究 探究 练习 小结 布置 第一环节:问题情境 方法一:问题导入 内容:上节课学习了无理数,了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性,掌握了无理数的概念, 知道有理数和无理数的区别是:有理数是有限小数或无限循环小数,无理数是无限不循环小数.比 如上一节课我们做过的:由两个边长为1的小正方形,通过剪一剪,拼一拼,得到一个边长为a的 大的正方形,那么有a=2,a 2是有理数,而a是无理数.在前面 我们学过若x=a,则a叫x的平方,反过来x叫a的什么呢?本节课我们 解压德码联系q19396加徽信公众号0mm九折优惠!y jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 2.2.1 平方根（一）教学设计 教学任务分析 本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级（上）第二章《实数》的第二节《平方根》．本 节内容计 2 个课时，本节课是第 1 课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学．课程标准要求， 对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，因此确定本节的教学目标如下： ·知识与技能目标 1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根． 2．了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算 术平方根． 3．了解算术平方根的性质． ·过程与方法目标 1．在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力． 2．在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识． ·情感与态度目标 1．让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲． 教学重点： 了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根． 教学难点： 对算术平方根的概念和性质的理解． 教法学法 教学方法：讲授法． 课前准备： 教具：教材，多媒体课件，电脑． 学具：教材，笔，练习本． 教学过程： 本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第 四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置． 本节课教学流程为： 第一环节：问题情境 方法一：问题导入 内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念， 知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比 如上一节课我们做过的：由两个边长为 1 的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为 a 的 大的正方形，那么有 a 2 =2，a= ，2 是有理数，而 a 是无理数．在前面 我们学过若 x 2 =a，则 a 叫 x 的平方，反过来 x 叫 a 的什么呢？本节课我们一 问题 情境 初步 探究 反馈 练习 学习 小结 作业 布置 深入 探究 1 1 1 1 1 A O B C D E x y z w
免费下载网址htt:! jiaoxue5u. ysl68c0m/ 起来学习 方法二:问题导入 内容:前面我们学习了勾股定理,请大家根据勾股定理,结合图形完成填空 y2= 意图:方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习,让学生体会到学习算术平方根的必要性 效果:能表示x=2,y2=3,z=4,2=5:能求得z=2,但不能求得x、yw的值 说明:方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子,起到了承前启后的作用,方法二的 引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用,说明学习这节课的必要性.相对而言,建议选 用方法二 第二环节:初步探究 内容1:情境引出新概念 x=2,y2=3,z=4,旷2=5,已知幂和指数,求底数x,你能求出来吗? 意图:让学生体验概念形成过程,感受到概念引入的必要性. 效果:学生可以估算出x,y是1到2之间的数,W是2到3之间的数但无法表示x、J、W,从而激 发学生继续往下学习的兴趣,进而引入新的运算—一开方 说明:无论是用方法一引入,还是方法二引入,都是激发学生继续往下学习的兴趣,都可以提出同 样的问题“已知幂和指数,求底数x,你能求出来吗? 内容2:在上面思考的基础上,明晰概念: 般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,记 为“√”,读作“根号a”.特别地,我们规定0的算术平方根是0,即√0=0 意图:对算术平方根概念的认识 效果:了解算术平方根的概念,知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的 内容3:简单运用巩固概念 例1求下列各数的算术平方根: (1)900 (3) (4)14 意图:体验求一个正数的算术平方根的过程,利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法,让学 生明白有的正数的算术平方根可以开出来,有的正数的算术平方根只能用根号表示,如14的算术平 方根是 效果:会求一个正数的算术平方根,更进一步了解算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是正 数,0的算术平方根是0,负数没有算术平方根 答案:解:(1)因为30=900,所以900的算术平方根是30,即√900=30 (2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即√=1: (3)因为 所以的算术平方根是-,即 (4)14的算术平方根是√14 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 起来学习． 方法二：问题导入 内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空： x 2 = ，y 2 = ，z 2 = ，w 2 = ． 意图：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性． 效果：能表示 x 2 =2，y 2 =3，z 2 =4，w 2 =5；能求得 z＝2，但不能求得 x、y、w 的值． 说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的 引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选 用方法二。 第二环节：初步探究 内容 1：情境引出新概念 x 2 =2，y 2 =3，z 2 =4，w 2 =5，已知幂和指数，求底数 x，你能求出来吗？ 意图：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性． 效果：学生可以估算出 x，y 是 1 到 2 之间的数，w 是 2 到 3 之间的数但无法表示 x、y、w，从而激 发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方． 说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同 样的问题“已知幂和指数，求底数 x，你能求出来吗？” 内容 2：在上面思考的基础上，明晰概念： 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x 2 =a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记 为“ a ”，读作“根号 a”．特别地，我们规定 0 的算术平方根是 0，即 0 = 0 ． 意图：对算术平方根概念的认识． 效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的． 内容 3：简单运用 巩固概念 例 1 求下列各数的算术平方根： （1）900； （2）1； （3） 64 49 ； （4）14． 意图：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学 生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如 14 的算术平 方根是 14 ． 效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正 数，0 的算术平方根是 0，负数没有算术平方根． 答案：解：（1）因为302 =900，所以900的算术平方根是30，即 900 = 30 ； （2）因为1 2 =1，所以1的算术平方根是1，即 1 =1 ； （3）因为 64 49 8 7 2 = ，所以 64 49 的算术平方根是 8 7 ， 即 8 7 64 49 = ； （4）14 的算术平方根是 14 ．
免费下载网址htt:! jiaoxue5u. ysl68c0m/ 内容4:回解课堂引入问题 x2=2,y3=3,n2=5,那么x=√2,y 第三环节:深入探究 内容1:例2自由下落物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系 为F=4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落,到达地面需要 多长时间? 意图:用算术平方根的知识解决实际问题. 效果:学生多能利用等式的性质将F=4.9进行变形,再用求算术平方根 的方法求得题目的解 解:将h=19.6代入公式得h=4.9t2,t2=4,所以t=√4=2(秒) 即铁球到达地面需要2秒 说明:此题是为得出下面的结论作铺垫的. 内容2:观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点 意图:让学生认识到算术平方根定义中的两层含义:a中的a是一个非负数,a的算术平方根√a也 是一个非负数,负数没有算术平方根.这也是算术平方根的性质一一双重非负性 效果:再一次深入地认识算术平方根的概念,明确只有非负数才有算术平方根 第四环节:反馈练习 填空题: 1.若一个数的算术平方根是√7,那么这个数是 √9的算术平方根是 3.(2)2的算术平方根是 4.若√m+2=2,则(m+2)2 二、求下列各数的算术平方根: 121 ,15,0.64,10 三、如图,从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定 帐篷.若绳子的长度为5.5米,地面固定点C到帐篷支撑竿底部 B的距离是4.5米,则帐篷支撑竿的高是多少米? 答案:一、17;2.√3:3.2;4.16:二、6:11:J5 12 0.8:10-2;√15;1 三、解:由题意得AC=5.5米,BC=4.5米,∠ABC=90°,在Rt△ABC中,由勾股定理得 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 内容 4：回解课堂引入问题 x 2 =2，y 2 =3，w 2 =5，那么 x= 2 ，y= 3 ，w= 5 ． 第三环节：深入探究 内容 1：例 2 自由下落物体的高度 h（米）与下落时间 t（秒）的关系 为 h=4.9t 2．有一铁球从 19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要 多长时间？ 意图：用算术平方根的知识解决实际问题． 效果：学生多能利用等式的性质将 h=4.9t 2 进行变形，再用求算术平方根 的方法求得题目的解． 解：将 h=19.6 代入公式得 h=4.9 t 2， t 2 =4，所以 t = 4 =2(秒) ． 即铁球到达地面需要 2 秒． 说明：此题是为得出下面的结论作铺垫的． 内容 2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点． 意图：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义： a 中的 a 是一个非负数，a 的算术平方根 a 也 是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性． 效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根． 第四环节：反馈练习 一、填空题： 1．若一个数的算术平方根是 7 ，那么这个数是 ； 2． 9 的算术平方根是 ； 3． 2 ) 3 2 ( 的算术平方根是 ； 4．若 m + 2 = 2 ，则 2 (m + 2) = ． 二、求下列各数的算术平方根： 36， 144 121 ，15，0.64， 4 10 − ， 225 ， 0 ) 6 5 ( ． 三、如图，从帐篷支撑竿 AB 的顶部 A 向地面拉一根绳子 AC 固定 帐篷．若绳子的长度为 5.5 米，地面固定点 C 到帐篷支撑竿底部 B 的距离是 4.5 米，则帐篷支撑竿的高是多少米？ 答案：一、1.7；2. 3 ；3. 3 2 ；4．16；二、6； 12 11 ； 15 ； 0.8； 2 10− ； 15 ；1； 三、解：由题意得 AC=5.5 米，BC=4.5 米，∠ABC=90°，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 B C A
免费下载网址htt:! jiaoxue5u. ysl68c0m/ AB=√AC2-BC2=552-452=√10(米),所以帐篷支撑竿的高是√10米 意图:旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况,以便根据学生情况调整教学进程. 效果:练习注意了问题的梯度性,由浅入深,一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学 生的回答,教师要给予评价和点评。 第五环节:学习小结 内容:这节课学习的算术平方根是本章的基本概念,是为以后的学习做铺垫的.通过这节课的学习, 我们要掌握以下的内容: (1)算术平方根的概念,式子√a中的双重非负性:一是a≥0,二是√a≥0 (2)算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是一个正数:0的算术平方根是0:负数没有算术 平方根 (3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算,利用这个互逆运算关系求非负数的 算术平方根 意图:依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点,强化算术平方根的概念和性质 第六环节:作业布置 习题2.3 五、教学设计说明 设计理念 要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念,需要由浅入深、不断深化的过程.概念是 由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.概念的 形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.概念教 学过程中要做到:讲清概念,加强训练,逐步深化 “讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征.算术平方根的本质特征就是定义 中指出的:“如果一个正数x的平方等于a,即x=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根 的“正数x”,即被开方数是正的,由平方的意义,a也是正数,因此算术平方根也必须是正的.当 然零的算术平方根是零 加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练,使练习题达到一定的质和量,也包括书写 格式的训练,如在求正数的算术平方根时,不是直接写出算术平方根,而是通过平方运算来求算术 平方根,非平方数的算术平方根只能用根号来表示 “逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组,在教学的 不同阶段按由浅入深的原则加以使用 2.知识拓展 在教学中,根据学生的实际情况,在学有余力的情况下,可用以下的例题和练习题进行知识的 拓展 内容:例已知x-2+√y+4=0,求y的值 解:因为kx-2和、y+4都是非负数,并且x-2+√y+4=0,所以x-2=0 4=0 解得x2 4,所以y2=(-4)2=16 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 5.5 4.5 10 2 2 2 2 AB = AC − BC = − = （米）．所以帐篷支撑竿的高是 10 米． 意图：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程. 效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学 生的回答，教师要给予评价和点评。 第五环节：学习小结 内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习， 我们要掌握以下的内容： （1）算术平方根的概念，式子 a 中的双重非负性：一是 a≥0，二是 a ≥0． （2）算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0 的算术平方根是 0；负数没有算术 平方根． （3）求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的 算术平方根． 意图：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质． 第六环节：作业布置 习题 2.3 五、教学设计说明 1．设计理念 要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程．概念是 由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的 形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教 学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化． “讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根的本质特征就是定义 中指出的：“如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x 2 =a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，” 的 “正数 x”，即被开方数是正的，由平方的意义，a 也是正数，因此算术平方根也必须是正的．当 然零的算术平方根是零. “加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练,使练习题达到一定的质和量,也包括书写 格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术 平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示. “逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的 不同阶段按由浅入深的原则加以使用. 2．知识拓展 在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可用以下的例题和练习题进行知识的 拓展： 内容：例 已知 x − 2 + y + 4 = 0 ，求 x y 的值． 解：因为 x − 2 和 y + 4 都是非负数，并且 x − 2 + y + 4 = 0 ，所以 x − 2 = 0 ， y + 4 = 0 ， 解得 x=2，y= -4，所以 ( 4) 16 2 = − = x y ．
免费下载网址htt:! jiaoxue5u. ysl68c0m/ 意图:加深对算术平方根概念中两层含义的认识,会用算术平方根的概念来解决有关的问题 效果:达到能灵活运用算术平方根的概念和性质的目的 课后还可以布置相应的拓展性习题 内容:1.已知 +(y+2)+ 0,求x+y+z的值 2.若x,y满足√2x-1+√1-2x+y=5,求x的值 求x+√x-5=5中的x 4.若5+的小数部分为a,5-的小数部分为b,求a+b的值 5.△ABC的三边长分别为a,b,c,且a,b满足√a-1+b2-4b+4=0,求c的取值范围 解:1.因为1z0,(+2)2≥0,=+20,且、 +(y+2)+12+=0, 所以 解得 ,所以x+y+z=-3 2.因为2x1≥0,1-2x≥0,所以2x1=0,解得x,当x时,y=5,所以xy=-×5= 3.解:因为x-5≥0,√x-5=5-x≥0,所以x5 4.解:因为3<√11<4,所以5+√的整数部分为8,5-√11的整数部分为1,所以5+√1的 小数部分a=5+√11-8=√11-3,5-√11的小数部分b=5-√11-1=4-√11,所以 a+b=√11-3+4-√l1 5.解:由√a-1+b2-4b+4=0,可得√a-1+(b-2)2=0,因为√a-1≥0,(b-2)2≥0 所以√a-1=0,(b-2)2=0,所以a=1,b=2,由三角形三边关系定理有:b-a<c<b+a 即1<c<3. 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 意图：加深对算术平方根概念中两层含义的认识，会用算术平方根的概念来解决有关的问题． 效果：达到能灵活运用算术平方根的概念和性质的目的． 课后还可以布置相应的拓展性习题： 内容：1．已知 ( ) 0 2 3 2 2 1 2 x − + y + + z + = ，求 x+y+z 的值． 2．若 x，y 满足 2x −1+ 1− 2x + y = 5 ，求 xy 的值． 3．求 x + x − 5 = 5 中的 x． 4．若 5 + 11 的小数部分为 a，5 − 11 的小数部分为 b，求 a+b 的值． 5．△ABC 的三边长分别为 a，b，c，且 a，b 满足 1 4 4 0 2 a − + b − b + = ，求 c 的取值范围． 解：1．因为 2 1 x − ≥0，( ) 2 y + 2 ≥0， 2 3 z + ≥0，且 ( ) 0 2 3 2 2 1 2 x − + y + + z + = ， 所以 2 1 x − =0， ( ) 2 y + 2 =0， 2 3 z + =0，解得 2 1 x = ， y = −2 ， 2 3 z = − ，所以 x + y + z = −3． 2．因为 2x-1≥0，1-2x≥0，所以 2x-1=0，解得 x= 2 1 ，当 x= 2 1 时，y=5，所以 x y = 2 1 ×5= 2 5 ． 3．解：因为 x-5≥0， x − 5 = 5 − x ≥0 ，所以 x=5 ． 4．解：因为 3 11 4 ，所以 5 + 11 的整数部分为 8，5 − 11 的整数部分为 1，所以 5 + 11 的 小数部分 a = 5+ 11 −8 = 11 −3 ， 5 − 11 的小数部分 b = 5− 11 −1= 4 − 11 ，所以 a + b = 11 −3+ 4 − 11 =1． 5．解：由 1 4 4 0 2 a − + b − b + = ，可得 1 ( 2) 0 2 a − + b − = ，因为 a −1 ≥0， 2 (b − 2) ≥0， 所以 a −1 =0， 2 (b − 2) =0，所以 a = 1，b = 2，由三角形三边关系定理有：b- a < c < b + a ， 即 1 < c < 3．