免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 勾股定理的应用 教学目标 教学知识点:能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实 际问题. 能力训练要求:1.学会观察图形,勇于探索图形间的关系,培养学生的空间观念 2.在将实际问题抽象成几何图形过程中,提高分析问题、解决问题的能力及滲透数学建模 的思想 情感与价值观要求:1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣 2.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有用的数学 教学重点难点: 重点:探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理,并用它们解决生活实际问题 难点:利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理及逆定理,解决实际问题. 教学过程 1、创设问题情境,引入新课 前几节课我们学习了勾股定理,你还记得它有什么作用吗? 例如:欲登12米高的建筑物,为安全需要,需使梯子底端离建筑物5米,至少需多长的梯 根据题意,(如图)AC是建筑物,则AC=12米,BC=5米,AB是梯子的长度.所以在Rt△ABC 中,AB=AC2+BC=122+52=132;AB=13米 12米 5米\B 所以至少需13米长的梯子 2、讲授新课:①、蚂蚁怎么走最近 出示问题:有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米.在圆行柱的底面A点 有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物,需要爬行的的最短路程是多少? (的值取3) (1)同学们可自己做一个圆柱,尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线,你觉 得哪条路线最短呢?(小组讨论) (2)如图,将圆柱侧面剪开展开成一个长方形,从A点到B点的最短路线是什么?你 画对了吗? (3)蚂蚁从A点出发,想吃到B点上的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (学生分组讨论,公布结果) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 勾股定理的应用 教学目标 教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实 际问题. 能力训练要求：1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念. 2.在将实际问题抽象成几何 图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模 的思想. 情感与价值观要求：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. 2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学. 教学重点难点： 重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题. 难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题. 教学过程 1、创设问题情境，引入新课： 前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？ 例如：欲登 12 米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物 5 米，至少需多长的梯 子？ 根据题意，(如图)AC 是建筑物，则 AC=12 米，BC=5 米，AB 是梯子的长度.所以在 Rt△ABC 中，AB2 =AC2 +BC2 =122+52=132；AB=13 米. 所以至少需 13 米长的梯子. 2、讲授新课：①、蚂蚁怎么走最近 A B A B 出示问题：有一个圆柱，它的高等于 12 厘米，底面半径等于 3 厘米．在圆行柱的底面 A 点 有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？ (π的值取 3)． （1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从 A 点到 B 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉 得哪条路线最短呢？（小组讨论） （2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从 A 点到 B 点的最短路线是什么?你 画对了吗? （3）蚂蚁从 A 点出发，想吃到 B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ （学生分组讨论，公布结果）
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 我们知道,圆柱的侧面展开图是一长方形.好了,现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧 面展开(如下图) A A 我们不难发现,刚才几位同学的走法 (1)A→A′→B:(2)A→B′→B (3)A→D→B;(4)A-→B. 哪条路线是最短呢?你画对了吗? 第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短” ②、做一做:教材14页。李叔叔随身只带卷尺检测AD,BC是否与底边AB垂直,也就是要 检测∠DAB=90°,∠CBA=90°.连结BD或AC,也就是要检测△DAB和△CBA是否为直角三 角形.很显然,这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题 ③、随堂练习 出示投影片 1.甲、乙两位探险者,到沙漠进行探险.某日早晨8:00甲先出发,他以6千米/时的速度向 东行走.1时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进.上午10:00,甲、乙两人相距多远? 2.如图,有一个高1.5米,半径是1米的圆柱形油桶,在靠近边的地方有一小孔,从孔中插 入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分是0.5米,问这根铁棒应有多长? 4 1.分析:首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型 解:(如图)根据题意,可知A是甲、乙的出发点,10:00时甲到达B点,则AB=2×6=12(千 米);乙到达C点,则AC=1×5=5(千米) 在Rt△ABC中,BC2=AC2+AB2=52+12=169=132,所以BC=13千米.即甲、乙两人相距13千米 2.分析:从题意可知,没有告诉铁棒是如何插入油桶中,因而铁棒的长是一个取值范围而不 是固定的长度,所以铁棒最长时,是插入至底部的A点处,铁棒最短时是垂直于底面时, 解:设伸入油桶中的长度为ⅹ米,则应求最长时和最短时的值. (1)x2=1.52+22,x2=6.25,x=2.5 所以最长是2.5+0.5=3(米) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线 AA′将圆柱的侧 面展开(如下图). 我们不难发现，刚才几位同学的走法： (1)A→A′→B； (2)A→B′→B； (3)A→D→B； (4)A—→B. 哪条路线是最短呢？你画对了吗？ 第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”. ②、做一做：教材 14 页。李叔叔随身只带卷尺检测 AD，BC 是否与底边 AB垂直，也就是要 检测 ∠DAB=90°，∠CBA=90°.连结 BD 或 AC，也就是要检测△DAB 和△CBA 是否为直角三 角形.很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题. ③、随堂练习 出示投影片 1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨 8∶00 甲先出发，他以 6 千米/时的速度向 东行走.1 时后乙出发，他以 5 千米/时的速度向北行进.上午 10∶00，甲、乙两人相距多远？ 2.如图，有一个高 1.5 米，半径是 1 米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插 入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是 0.5 米，问这根铁棒应有多长？ 1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型. 解：(如图)根据题意，可知 A 是甲、乙的出发点，10∶00 时甲到达 B 点，则 AB=2×6=12(千 米)；乙到达 C 点，则 AC=1×5=5(千米). 在 Rt△ABC 中，BC2 =AC2 +AB2 =52 +122 =169=132，所以 BC=13 千米.即甲、乙两人相距 13 千米. 2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不 是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的 A 点处，铁棒最短时是垂直于底面时. 解：设伸入油桶中的长度为 x 米，则应求最长时和最短时的值. (1)x2 =1.52 +22，x 2 =6.25，x=2.5 所以最长是 2.5+0.5=3(米)
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (2)x=1.5,最短是1.5+0.5=2(米) 答:这根铁棒的长应在23米之间(包含2米、3米) 试一试(课本P15) 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是:有一个水 池,水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺 如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根 芦苇的长度各为多少? 我们可以将这个实际问题转化成数学模型 解:如图,设水深为x尺,则芦苇长为(x+1)尺,由勾股定理可求得 (x+1)2=x2+532,x2+2x+1=x2+25 解得x=12 则水池的深度为12尺,芦苇长13尺 +1 ④、课时小结 这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我 们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题,更为重要的是将它们转化 成数学模型 ⑤、课后作业 课本P14、习题6.4 教学反思:这节的内容综合性比较强,可能有些同学掌握的不是太好。 勾股定理的应用习题课第二课时 教学目标 知识要求: 能解决较复杂的应用题,渗透分类讨论思想 能力训练要求 提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想 情感与价值观要求:1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣 2.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性 教学重点难点: 难点:利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理及逆定理,解决实际问题 教学过程 1.长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离 长方体(或正方体)是立体图形,但它的每个面都是平面.若计算同一个面上的两点之间 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com (2)x=1.5，最短是 1.5+0.5=2(米). 答：这根铁棒的长应在 2~3 米之间(包含 2 米、3 米). 3.试一试(课本 P15) 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水 池，水面是一个边长为 10 尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺. 如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根 芦苇的长度各为多少？ 我们可以将这个实际问题转化成数学模型. 解：如图，设水深为 x 尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理可求得 (x+1)2 =x 2 +52，x 2 +2x+1=x2 +25 解得 x=12 则水池的深度为 12 尺，芦苇长 13 尺. ④、课时小结 这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我 们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化 成数学模型. ⑤、课后作业 课本 P14、习题 6.4. 教学反思：这节的内容综合性比较强，可能有些同学掌握的不是太好。 勾股定理的应用习题课第二课时 教学目标 知识要求： 能解决较复杂的应用题，渗透分类讨论思想 能力训练要求： 提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感与价值观要求：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. 2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性 教学重点难点： .难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题. 教学过程 1．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离 长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面．若计算同一个面上的两点之间
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 的距离比较容易,若计算不同面上的两点之间的距离,就必须把它们转化到同一个平面内 即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面,使计算距离的两个点处在同一个平面中,这 样就可以利用勾股定理加以解决了.所以立体图形中求两点之间的最短距离,一定要审清 题意,弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题 谈重点长方体表面上两点间最短距离 因为长方体的展开图不止一种情况,故对长方体相邻的两个面展开时,考虑要全面,不 要有所遗漏.不过要留意展开时的多种情况,虽然看似很多,但由于长方体的对面是相同的 所以归纳起来只需讨论三种情况一一前面和右面展开,前面和上面展开,左面和上面展开, 从而比较取其最小值即可 【例1-1】如图①是一个棱长为3cm的正方体,它的6个表面都分别被分成了3×3 的小正方形,其边长为1cm.现在有一只爬行速度为2cm/s的蚂蚁,从下底面的A点沿着 正方体的表面爬行到右侧表面上的B点,小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来,是2.5s.经 过简短的思考,小明先是脸上露出了惊讶的表情,然后又露出了欣赏的目光 B 图① 图② 你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗? 解:如图②,在Rt△ABD中,AD=4cm,BD=3cm 由勾股定理,AB=BD+AB=32+42=25,AB=5cm,∴蚂蚁的爬行距离为5cm. 又知道蚂蚁的爬行速度为2cm/s, 它从点A沿着正方体的表面爬行到点B处,需要时间为=2.5 小明通过思考、判断,发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式,所以他 感到惊讶和佩服 】如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到对角顶 点G处(三条棱长如图所示),问怎样走路线最短?最短路线长为多少? B-解:蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C点,有三种方式,分别展 成平面图形如下 2C1 A 图① 图② D Al B 图③ 如图①,在Rt△ABC中, AC=AB+B=42+32=52=25 故AC=5 如图②,在Rt△ACG中, 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 的距离比较容易，若计算不同面上的两点之间的距 离，就必须把它们转化到同一个平面内， 即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这 样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的 最短距离，一定要审清 题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题． 谈重点 长方体表面上两点间最短距离 因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不 要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的， 所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开， 从而比较取其最小值即可． 【例 1－1】 如图①是一个棱长为 3 cm 的正方体，它的 6 个表面都分别被分成了 3×3 的小正方形，其边长为 1 cm.现在有一只爬行速度为 2 cm/s 的蚂蚁，从下底面的 A 点沿着 正方体的表面爬行到右侧表面上的 B 点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是 2.5 s．经 过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光． 你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？ 解：如图②，在 Rt△ABD 中，AD＝4 cm，BD＝3 cm. 由勾股定理，AB 2＝BD 2＋AD 2＝3 2 ＋4 2＝25，AB＝5 cm，∴蚂蚁的爬行距离为 5 cm. 又知道蚂蚁的爬行速度为 2 cm/s， ∴它从点 A 沿着正方体的表面爬行到点 B 处，需要时间为5 2 ＝2.5 s. 小明通过思考、判断，发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式，所以他 感到惊讶和佩服． 【例 1－2】 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶 点 C1 处(三条棱长如图所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 解：蚂蚁由 A 点沿长方体的表面爬行到 C1点，有三种方式，分别展 成平面图形如下： 如图①，在 Rt△ABC1 中， AC 2 1＝AB 2＋BC 2 1＝4 2＋3 2＝5 2＝25. 故 AC1＝5. 如图②，在 Rt△ACC1 中
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ AC=AC+C=62+12=37. 如图③,在Rt△ABC中 AC=AB+BC=52+22=2 25<29<37 沿图①的方式爬行路线最短,最短的路线是5. 点技巧巧展长方体 解此类问题时只需对长方体进行部分展开,画出局部的展开图,若将长方体全部展开 不仅没有必要反而会扰乱视线 2.圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离 圆柱体(或圆锥体)是立体图形,从其表面看两点之间的连线绝大部分是曲线,那么怎样 确定哪一条是最短的呢?解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开,转化为平面图形 应用勾股定理解决,而不能盲目地凭感觉来确定 【例2】如图①所示,一只蚂蚁在底面半径为20cm,高为30cm的圆柱下底的点A 处,发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫,便决定捕捉这只小昆虫,为了不引 起这只小昆虫的注意,它故意不走直线,而绕着圆柱,沿一条螺旋路线,从背后对小昆虫 进行突然袭击,结果蚂蚁偷袭成功,得到了一顿美餐.根据上述信息,请问蚂蚁至少爬行多 少路程才能捕捉到小昆虫? 图② 分析:解此题的关键是把圆柱的侧面展开,利用两点之间线段最短和勾股定理作答 解:假设将圆柱体的侧面沿B剪开铺平如图②,则对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线 在Rt△ACB中,AC=40πcm,BC=30cm 由勾股定理,得AB=AC+BC=(40m)2+(30m)2=(50m)2, 4B=50cm. 蚂蚁至少爬行50πcm才能捕捉到小昆虫 谈重点圆柱体两点间的最短距离 本题文字叙述较多,要求在阅读的基础上提炼有用的信息,具体解题时先将圆柱沿AB 剪开,将侧面展开成一矩形,会发现对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线,再运用勾股定理 即可求得 3.生活中两点间的最短距离 用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型—一直角三角形,再正确 利用两点之间线段最短解答 【例3】如图①是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别为5dm,3dm和1dm, A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想 想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少? 12 图① 分析:由于蚂蚁是沿台阶的表面由A爬行到B,故需把三个台阶展开成平面图形(如图 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com AC 2 1＝AC 2＋CC 2 1＝6 2＋1 2＝37. 如图③，在 Rt△AB1C1 中， AC 2 1＝AB 2 1＋B1C 2 1 ＝5 2＋2 2＝29. ∵2 5＜29＜37， ∴沿图①的方式爬行路线最短，最短的路线是 5. 点技巧 巧展长方体 求解此类问题时只需对长方体进行部分展开，画出局部的展开图，若将长方体全部展开， 不仅没有必要反而会扰乱视线． 2．圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离 圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其表面看两点之间的连线绝大部分是曲线，那么怎样 确定哪一条是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形， 应用勾股定理解决，而不能盲目地凭感觉来确定． 【例 2】 如图①所示，一只蚂蚁在底面半径为 20 cm，高为 30π cm 的圆柱下底的点 A 处，发现自己正上方圆柱上边缘的 B 处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引 起这只小昆虫的注意，它故意 不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋路线，从背后对小昆虫 进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功，得到了一顿美餐．根据上述信息，请问蚂蚁至少爬行多 少路程才能捕捉到小昆虫？ 分析：解此题的关键是把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答． 解：假设将圆柱体的侧面沿 AB 剪开铺平如图②，则对角线 AB 即为蚂蚁爬行的最短路线． 在 Rt△ACB 中，AC＝40π cm，BC＝30π cm. 由勾股定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2， ∴AB＝50π cm. ∴蚂蚁至少爬行 50π cm 才能捕捉到小昆虫． 谈重点 圆柱体两点间的最短距离 本题文字叙述较多，要求在阅读的基础上提炼有用的信息，具体解题时先将圆柱沿 AB 剪开，将侧面展开成一矩形，会发现对角线 AB 即为蚂蚁爬行的最短路线，再运用勾股定理 即可求得． 3．生活中两点间的最短距离 用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确 利用两点之间线段最短解答． 【例 3】 如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为 5 dm,3 dm 和 1 dm， A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物．请你想一 想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点的最短路程是多少？ 分析：由于蚂蚁是沿台阶的表面由 A 爬行到 B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图 ②)．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 解:将台阶展开成平面图形后,可知AC=5dm,BC=3×(3+1)=12dm,∠C=90° 在Rt△ABC中,∵AB=AC2+BC2, ∴ABF=52+122=132, AB=13 dm 故蚂蚁爬到B点的最短路程是13dm 4.如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题 利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题,重要的是将实际问题转化成数学模型 (直角三角形模型),将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”,再转化为“数”.解题 的关键是深刻理解题意,并画出符合条件的图形 解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图 形,具体步骤是 把京使图形展成平顶图形 (2)确定点的位置 3确定真角三角形 (4)分板真魚三角形的边长,用幻股定現求艇 【例4】如图①,圆柱形玻璃容器的高为18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm 的点S处有一只蜘蛛,在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点F处有一只 苍蝇,急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离是 ① 图② 解析:将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图(如图②),CD∥AB,且AD=BC=底面周 长,BS=DF=1cm.则蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF的长度.过S点作SM⊥CD 垂足为M由条件知,S=AD=2×60=30cm,M=SB=DF=1cm,所以MF=18-1-1= 16cm,在Rt△MFS中,由勾股定理得S尸=162+30=342,所以SF=34cm.故蜘蛛需要爬行 的最短距离是34 5.勾股定理与方程相结合的应用 方程思想是一种重要的数学思想.所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手,将 问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组),然后通过解方程 (组)使问题得到解决的思维方式.而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的 基础.故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合.方程思想是勾股定理中的重要思想 【例5】如图,有一张直角三角形状纸片ABC,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将 直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗? 解:设CD=xcm,由题意知DE=xcm,BD=(8-x)cm,AE=AC=6cm 在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=VAC2+B2=10cm 于是BE=10-6=4 在Rt△BDE中,由勾股定理得42+x2=(8-x)2,解得x=3 故CD的长为3cm 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 解：将台阶展开成平面图形后，可知 AC＝5 dm，BC＝3×(3＋1)＝12 dm，∠C＝90°. 在 Rt△ABC 中，∵AB 2＝AC 2＋BC 2， ∴AB 2＝5 2＋122＝132， ∴AB＝13 dm. 故蚂蚁爬到 B 点的最短路程是 13 dm. 4．如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题 利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型 (直角三角形模型)，将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”，再转化为“数”．解题 的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形． 解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图 形，具体步骤是： (1)把立体图形展成平面图形； (2)确定点的位置； (3)确定直角三角形； (4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解． 【例 4】 如图①，圆柱形玻璃容器的高为 18 cm，底面周长为 60 cm，在外侧距下底 1 cm 的点 S 处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口 1 cm 的点 F 处有一只 苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离是_ _________cm. 解析：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图(如图②)，CD∥AB，且 AD＝BC＝ 1 2 底面周 长，BS＝DF＝1 cm.则蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段 SF 的长度．过 S 点作 SM⊥CD， 垂足为 M，由条件知，SM＝AD＝ 1 2 ×60＝30 cm，MC＝SB＝DF＝1 cm，所以 MF＝18－1－1＝ 16 cm，在 Rt△MFS 中，由勾股定理得 SF 2＝162＋302＝342，所以 SF＝34 cm.故蜘蛛需要爬行 的最短距离是 3 4 cm. 5．勾股定理与方程相结合的应用 方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将 问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程 (组)使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的 基础．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想． 【例 5】 如图，有一张直角三角形状纸片 ABC，两直角边 AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将 直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，你能求出 CD 的长吗？ 解：设 CD＝x cm，由题意知 DE＝x cm，BD＝(8－x) cm，AE＝AC＝6 cm， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AB＝ AC 2＋BC 2＝10 cm. 于是 BE＝10－6＝4 cm. 在 Rt△BDE 中，由勾股定理得 4 2＋x 2＝(8－x) 2，解得x＝3. 故 CD 的长为 3 cm
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 教学反思:难度较大,需要举一反三,不断复习总结 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
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