免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 1.3勾股定理的应用 、依据新课标制定教学重点:本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问 依据新课标制定教学难点:其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行 展开、折叠等活动. 教学任务分析 1.教学目标: (1).通过观察图形,探索图形间的关系,发展学生的空间观念 (2).在将实际问题抽象成数学问题的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数 学建模的思想 (3).在利用勾股定理解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性 利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理及逆定理,解决实际问题是本节 课的重点也是难点 2.知识目标:通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念,推理能力 和有条理的表达能力 3.能力目标:通过对问题的发现和解决,培养学生的相互协作意识及数学表达能力 体验探索、交流与成功 四、教法学法 1.教学方法 引导一探究一归纳 本节课的教学对象是初二学生,他们的参与意识教强,思维活跃,为了实现本节课的教 学目标,我力求以下三个方面对学生进行引导: (1)从创设问题情景入手,通过知识再现,孕育教学过程 (2)从学生活动出发,顺势教学过程 (3)利用探索研究手段,通过思维深入,领悟教学过程. 2.课前准备 教具:教材、电脑、多媒体课件. 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 1.3 勾股定理的应用 一、依据新课标制定教学重点：本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问 题. 依据新课标制定教学难点：其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行 展开、折叠等活动． 二、教学任务分析 1. 教学目标： (1).通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念． (2).在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数 学建模的思想． (3).在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性． 利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题是本节 课的重点也是难点． 2. 知识目标：通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念，推理能力 和有条理的表达能力。 3. 能力目标：通过对问题的发现和解决，培养学生的相互协作意识及数学表达能力， 体验探索、交流与成功。 四、教法学法 1．教学方法 引导—探究—归纳 本节课的教学对象是初二学生，他们的参与意识教强，思维活跃，为了实现本节课的教 学目标，我力求以下三个方面对学生进行引导： （1）从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育教学过程； （2）从学生活动出发，顺势教学过程； （3）利用探索研究手段，通过思维深入，领悟教学过程． 2．课前准备 教具：教材、电脑、多媒体课件．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 学具:用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具 五、教学过程分析 本节课设计了七个环节.第一环节:情境引入;第二环节:合作探究:第三环节:做一 做:第四环节:小试牛刀:第五环节:举一反三:第六环节:交流小结;第七环节:布置作 业 第一环节:情境引入 内容 情景1:多媒体展示 提出问题:从二教楼到综合楼怎样走最近? 情景2: 如图:在一个圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食物在B处, 恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从A处爬向B处,你们A二 想一想,蚂蚁怎么走最近 意图: 通过情景1复习公理:两点之间线段最短:情景2的创设引入新课,激发学生探究热情 效果 从学生熟悉的生活场景引入,提出问题,学生探究热情高涨,为下一环节奠定了良好基 第二环节:合作探究 内容: 学生分为4人活动小组,合作探究蚂蚁爬行的最短路线,充分讨论后,汇总各小组的 方案,在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法,通过具体计算,总结出最短路线.让 学生发现:沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形,研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线 最短问题,引导学生体会利用数学解决实际问题的方法 意图: 通过学生的合作探究,找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法,将曲面最短距离问题转化 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 学具：用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文具． 五、教学过程分析 本节课设计了七个环节．第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：做一 做；第四环节：小试牛刀；第五环节：举一反三；第六环节：交流小结；第七环节：布置作 业． 第一环节：情境引入 内容： 情景 1：多媒体展示： 提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？ 情景 2： 如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处， 恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 A 处爬向 B 处，你们 想一想，蚂蚁怎么走最近？ 意图： 通过情景 1 复习公理：两点之间线段最短；情景２的创设引入新课，激发学生探究热情． 效果： 从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基 础． 第二环节：合作探究 内容： 学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇 总各小组的 方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最 短路线．让 学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线 最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法． 意图： 通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 为平面最短距离问题并利用勾股定理求解.在活动中体验数学建摸,培养学生与人合作交流 的能力,增强学生探究能力,操作能力,分析能力,发展空间观念. 效果: 学生汇总了四种方案: (1) (2) (3) 学生很容易算出:情形(1)中A→B的路线长为:AA+d 情形(2)中A→B的路线长为:A"+ 丌d 所以情形(1)的路线比情形(2)要短 学生在情形(3)和(4)的比较中出现困难,但还是有学生提出用剪刀沿母线AA剪开 圆柱得到矩形,情形(3)A→B是折线,而情形(4)是线段,故根据两点之间线段最短可 判断(4)较短,最后通过计算比较(1)和(4)即可 如图: B (1)中A→B的路线长为:AA'+d (2)中A→B的路线长为:AA4'+AB>AB (3)中A→B的路线长为:AO+OBAB. (4)中A→B的路线长为:AB 得出结论:利用展开图中两点之间,线段最短解决问题.在 这个环节中,可让学生沿母线剪开圆柱体,具体观察.接下来 后提问:怎样计算AB? 在Rt△A′B中,利用勾股定理可得 AB=AA2+B2,若已知圆柱体高为12cm,底面半径为3cm,n取3,则 AB2=122+(3×3)2,AB=15 注意事项:本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面,目的仅仅是让学生 感知最短路径的不同存在可能.但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条.因此教 学时因该在学生在圆柱表面感知后,把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流 的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念． 效果： 学生汇总了四种方案： （1） （2） （3） （4） 学生很容易算出：情形（1）中 A→B 的路线长为： AA d '+ ， 情形（2）中 A→B 的路线长为： ' 2 d AA + 所以情形（1）的路线比情形（2）要短． 学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线 AA ’ 剪开 圆柱得到矩形，情形（3）A→B 是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可 判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可． 如图： （1）中 A→B 的路线长为： AA d '+ ． （2）中 A→B 的路线长为： AA A B ' ' + >AB． （3）中 A→B 的路线长为：AO+OB>AB． （4）中 A→B 的路线长为：AB． 得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．在 这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来 后提问：怎样计算 AB？ 在 Rt △ AA′B 中 ， 利 用 勾 股 定 理 可 得 2 2 2 AB = AA + A'B ， 若 已知 圆柱 体 高为 12cm， 底 面半 径为 3cm， π 取 3 ， 则 2 2 2 AB AB = + = 12 (3 3) , 15． 注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生 感知最短路径的不同存在可能．但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条．因此教 学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上． A ’ A ’ A ’
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 方法提炼:解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型,解决这一类几何 型问题的具体步骤大致可以归纳如下: 1.审题——分析实际问题 2.建模一—建立相应的数学模型: 3.求解一一运用勾股定理计算 4.检验—一是否符合实际问题的真实性. 第三环节:做一做 内容 李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边 B,但他随身只带了卷尺 (1)你能替他想办法完成任务吗? (2)李叔叔量得AD长是30厘米,AB长是40厘米,BD长是50厘米, AD边垂直于AB边吗?为什么? (3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺,他能有办法检验AD边是否垂直于AB 边吗?BC边与AB边呢? 解答:(2)∵AD2+AB2=302+402=2500 BD2=25 AD+AB=BD ∴AD和AB垂直 意图 运用勾股定理逆定理来解决实际问题,让学生学会分析问题,利用允许的工具灵活处理 效果 先鼓励学生自己寻找办法,再让学生说明李叔叔的办法的合理性.当刻度尺较短时,学 生可能会在上面解决问题的基础上,想出多种办法,如利用分段相加的方法量出AB,AD和 BD的长度,或在AB,AD边上各量一段较小长度,再去量以它们为边的三角形的第三边,从 而得到结论 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何 型问题的具体步骤大致可以归纳如下： 1．审题——分析实际问题； 2．建模——建立相应的数学模型； 3．求解——运用勾股定理计算； 4．检验——是否符合实际问题的真实性． 第三环节：做一做 内容： 李叔叔想要检测雕塑底座正面的 AD 边和 BC 边是否分别垂直于底边 AB，但他随身只带了卷尺， （1）你能替他想办法完成任务吗？ （2）李叔叔量得 AD 长是 30 厘米，AB 长是 40 厘米，BD 长是 50 厘米， AD 边垂直于 AB 边吗？为什么？ （3）小明随身只有一个长度为 20 厘米的刻度尺，他能有办法检验 AD 边是否垂直于 AB 边吗？BC 边与 AB 边呢？ 解答：（2） 2 2 2 2 AD AB + = + = 30 40 2500 2 BD = 2500 2 2 2 + = AD AB BD ∴AD 和 AB 垂直． 意图： 运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理 问题． 效果： 先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺较短时，学 生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出 AB，AD 和 BD 的长度，或在 AB，AD 边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从 而得到结论．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 第四环节:小试牛刀 内容 1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,某日早晨8:00甲先出发,他以6km/h的速度 向正东行走,1时后乙出发,他以5km/h的速度向正北行走.上午10:00,甲、乙两人相 距多远? 解答:如图:已知A是甲、乙的出发点,10:00甲到达B点,乙到达C点.则 AB=2×6=12(km) AC=1×5=5(km) 在Rt△ABC中 BC2=AC2+AB2=52+122=169=13 ∴BC=13(km) 水 即甲乙两人相距13km 2.如图,台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物,它怎么走最近?并求出最近距离 解答:∴:AB2=152+202=625=252 3.有一个高为1.5m,半径是1m的圆柱形油桶,在靠近边的地方有4从孔中 入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分为0.5m,问这根铁棒有多长? 解答:设伸入油桶中的长度为xm. 则最长时 x2=1.52+2 x=2.5. 最长是2.5+0.5=3(m) 最短时:x=1.5 ∴最短是1.5+0.5=2(m) 答:这根铁棒的长应在2~3m之间 意图: 对本节知识进行巩固练习,训练学生根据实际情形画出示意图并计算 效果: 学生能独立地画出示意图,将现实情形转化为数学模型,并求解 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com北 东 C A B 3 2 20 B A 第四环节：小试牛刀 内容： 1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨 8：00 甲先出发，他以 6 km/h 的速度 向正东行走，1 时后乙出发，他以 5 km/h 的速度向正北行走．上午 10：00，甲、乙两人相 距多远？ 解答：如图:已知 A 是甲、乙的出发点，10:00 甲到达 B 点，乙到达 C 点．则: AB=2×6=12（km） AC=1×5=5（km） 在 Rt△ABC 中: 2 2 2 2 2 2 BC AC AB = + = + = = 5 12 169 13 ． ∴BC=13（km）． 即甲乙两人相距 13 km． 2．如图，台阶 A 处的蚂蚁要爬到 B 处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离． 解答： 2 2 2 2 = + = = AB 15 20 625 25 . 3．有一个高为 1.5 m，半径是 1m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插 入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为 0.5 m，问这根铁棒有多长？ 解答：设伸入油桶中的长度为 x m． 则最长时: 2 2 2 1.5 2 2.5 x x = + = ． ． ∴最长是 2.5+0.5=3（m）． 最短时: x =1.5 ． ∴最短是1.5+0.5=2（m）． 答:这根铁棒的长应在 2～3m 之间． 意图： 对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算． 效果： 学生能独立地画出示意图，将现实情形转化为数学模型，并求解．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 第五环节:举一反三 内容: 1.如图,在棱长为10cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁,现要向顶点B处爬行, 已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s,且速度保持不变,问蚂蚁能否在20s内从A爬到B B A 解:如图,在Rt△ABC中:AB2=AC2+BC2=102+202=500 ∴500>2032 ∴不能在20s内从A爬到B 2.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是 有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇,它高出 水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的 深度和这根芦苇的长度各是多少? 解答:设水池的水深AC为x尺,则这根芦苇长为 DAB(x+1)尺, 在直角三角形ABC中,BC=5尺 由勾股定理得:BC+AC=AB 即 52+x2=(x+1) x2=x2+2x+1 2x=24. ∴x12,x1=13 答:水池的水深12尺,这根芦苇长13尺 意图: 第1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展,从圆柱侧面到棱柱侧面,都是将空间问题 平面化;第2题,学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用,了解我国古代人民 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 第五环节：举一反三 内容： 1．如图，在棱长为 10 cm 的正方体的一个顶点 A 处有一只蚂蚁，现要向顶点 B 处爬行， 已知蚂蚁爬行的速度是 1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在 20 s 内从 A 爬到 B？ 解：如图，在 Rt△ABC 中: 2 2 2 2 2 AB AC BC = + = + 10 20 =500． ∵500＞202 . ∴不能在 20 s 内从 A 爬到 B. 2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是： 有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出 水面 1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的 深度和这根芦苇的长度各是多少？ 解答：设水池的水深 AC 为 x 尺，则这根芦苇长为 AD=AB=（x+1）尺， 在直角三角形 ABC 中，BC=5 尺. 由勾股定理得:BC 2 +AC 2 =AB 2 . 即 5 2 + x 2 =（x+1） 2 . 25+x 2 = x 2 +2x+1. 2x=24. ∴ x=12，x+1=13． 答：水池的水深 12 尺，这根芦苇长 13尺． 意图： 第 1 题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题 平面化；第2 题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民 B A B A B C
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 的聪明才智:运用方程的思想并利用勾股定理建立方程 效果: 学生能画出棱柱的侧面展开图,确定出AB位置,并正确计算.如有可能,还可把正方 体换成长方体进行讨论 学生能画出示意图,找等量关系,设适当的未知数建立方程 注意事项:对于普通班级而言,学生完成“小试牛刀”,已经基本完成课堂教学任务.因 此本环节可以作为教学中的一个备选环节,共老师们根据学生状况选用. 第六环节:交流小结 内容 师生相互交流总结: 1.解决实际问题的方法是建立数学模型求解 2.在寻求最短路径时,往往把空间问题平面化,利用勾股定理及其逆定理解决实际问 第七环节:布置作业 1.课本习题1.4第1,2,3题 2.如图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,现 在老师想知道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设计方 注意事项:作业2作为学有余力的学生的思考题 六、教学设计反思 在设计中,我注重以下两点 1.要充分利用好教材提供的素材 “蚂蚁怎么走最近”是一个生动有趣的问题,让学生充满了探究的欲望,这个问题体现 了二、三维图形的转化,对发展学生的空间观念很有好处 2.合理使用教材提供的练习 本节课通过“小试牛刀”和“举一反三”把教材中的练习重组,使练习有梯度,既巩固 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程． 效果： 学生能画出棱柱的侧面展开图，确定出 AB 位置，并正确计算．如有可能，还可把正方 体换成长方体进行讨论． 学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程． 注意事项：对于普通班级而言，学生完成“小试牛刀”，已经基本完成课堂教学任务．因 此本环节可以作为教学中的一个备选环节，共老师们根据学生状况选用． 第六环节：交流小结 内容： 师生相互交流总结： 1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解． 2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问 题． 第七环节：布置作业 1．课本习题 1．4 第 1，2，3 题． 2．如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，现 在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设计方 案? 注意事项：作业 2 作为学有余力的学生的思考题． 六、教学设计反思 在设计中，我注重以下两点： 1．要充分利用好教材提供的素材 “蚂蚁怎么走最近”是一个生动有趣的问题，让学生充满了探究的欲望，这个问题体现 了二、三维图形的转化，对发展学生的空间观念很有好处． 2．合理使用教材提供的练习 本节课通过“小试牛刀”和“举一反三”把教材中的练习重组，使练习有梯度，既巩固
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 了基本知识点,又训练了学生的应用能力.第一个作业让学生深入理解和应用勾股定理及逆 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 了基本知识点，又训练了学生的应用能力．第一个作业让学生深入理解和应用勾股定理及逆 定理．