免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 2一定是直角三角形吗 1.勾股定理的逆定理 (1)勾股定理的逆定理的内容:如果三角形的三边长、c满足大=c,那么这个三角 形是真角三角形 (2)勾股定理的逆定理的释疑:不少的同学对知道三角形三边满足a+b=c2能得到直角三 角形这样的一种结论持有怀疑的态度,其实通过三角形的全等可以很简单地证明出来.比如 如果在ABC电,AB9、C=C=b并具满足+三C如图所示,那么C=90 c B C 作△ABC,使∠C=90°,BC=a,CA=b,则AB=a+b ∵a+B=c,∴AB=c(AB>0) 在△ABC和△ABG中, BC=a=BG, CA=b=CAl, AB=C=AB △ABC≌△ABC ∠C=∠C=90° 辨误区勾股定理的逆定理的条件 (1)不能说成在直角三角形中,因为还没有确定直角三角形,当然也不能说“斜边”和“直 角边” (2)当满足a+b=c时,c是斜边,∠C是直角. 利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是:先确定最长边,算出 最长边的平方及另两边的平方和,如果最长边的平方与另两边的平方和相等,则此三角形为 直角三角形 对啊!到目前为止判定直角三角形的方法有:①说明三角形中有一个直角:②说明三角形中 有两边互相垂直;③勾股定理的逆定理 【例1】如图所示,∠C=90°,AC=3,BC=4,AD=12,BD=13,问:AD⊥AB吗?试说明 理由 解:AD⊥AB 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: Jiaoxie5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 2 一定是直角三角形吗 1．勾股定理的逆定理 (1)勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角 形是直角三角形． (2)勾股定理的逆定理的释疑：不少的同学对知道三角形三边满足 a 2＋b 2＝c 2 能得到直角三 角形这样的一种结论持有怀疑的态度，其实通过三角形的全等可以很简单地证明出来．比如： 如果在△ABC 中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，并且满足 a 2＋b 2＝c 2 (如图所示)，那么∠C＝90°. 作△A1B1C1，使∠C1＝90°，B1C1＝a，C1A1＝b，则 A1B 2 1＝a 2＋b 2 . ∵a 2＋b 2＝c 2，∴A1B1＝c(A1B1＞0)． 在△ABC 和△A1B1C1 中， ∵BC＝a＝B1C1，CA＝b＝C1A1，AB＝c＝A1B1， ∴△ABC≌△A1B1C1. ∴∠C＝∠C1＝90°. 辨误区 勾股定理的逆定理的条件 (1)不能说成在直角三角形中，因为还没有确定直角三角形，当然也不能说“斜边”和“直 角边”． (2)当满足 a 2＋b 2＝c 2 时，c 是斜边，∠C 是直角． 利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出 最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为 直角三角形． 对啊！到目前为止判定直角三角形的方法有：①说明三角形中有一个直角；②说明三角形中 有两边互相垂直；③勾股定理的逆定理. 【例 1】 如图所示，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，问：AD⊥AB 吗？试说明 理由． 解：AD⊥AB
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 理由:根据勾股定理得AB=VAC+BC=5 在△ABD中,AB+A=52+122=169,BD=132=169, 所以AB+AF=BD 由勾股定理的逆定理知△ABD为直角三角形,且∠BAD=90 故AD⊥AB 2.勾股定理的逆定理与勾股定理的关系 勾股定理是通过“形”的状态来反映“数”的关系的,而勾股定理的逆定理是通过“数”的 关系来反映“形”的状态的 (1)勾股定理是直角三角形的性质定理,勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,二者 是互逆的. (2)联系:①两者都与a2+b=c2有关,②两者所讨论的问题都是直角三角形问题 (3)区别:勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形 边的数量关系“a+b2=c2”;勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a+b2= c2”为条件,进而得到这个三角形是“直角三角形” (4)二者关系可列表如下: 定理勾股定理 勾股定理的逆定理 内容如果直角三角形的两直角边长分别为a如果三角形的三边长a,b,C满足a+6 b,斜边长为c,那么a+b=c2 c2,那么这个三角形是直角三角形 题设直角三角形的两直角边长分别为a,b 斜边长为c 三角形的三边长a,b,c满足a+b=2 结论a2+b=c 三角形是直角三角形 [途是直角三角形的一个性质判定直角三角形的一种方法 【例2】如图,在△ABC中,D为BC边上的点,已知:AB=13,AD=12,AC=15,BD=5 求DC C 分析:先用勾股定理的逆定理判定形状,然后用勾股定理求数据 解:∵AD+B=12+52=132=AB ∴由勾股定理的逆定理知△ADB为直角三角形.∴AD⊥BC 在Rt△ADC中,由勾股定理,得DC=AC-AF=152-122=92.∴DC=9 3.勾股数 勾股数:满足a2+b=c2的三个正整数,称为勾股数 (1)由定义可知,一组数是勾股数必须满足两个条件:①满足a+b=c;②都是正整数.两 者缺一不可 (2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a+b=c2(但不一定是勾股 数),以它们为边长的三角形是直角三角形,比如以0.3cm,0.4cm,0.5cm为边长的三角形 是直角三角形 【例3】①7,24,25;②8,15,19;③0.6,0.8,1.0:④3n,4n,5n(m>1,且为自然数) 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: Jiaoxie5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 理由：根据勾股定理得 AB＝ AC 2＋BC 2＝5. 在△ABD 中，AB 2＋AD 2＝5 2＋122＝169，BD 2＝132＝169， 所以 AB 2＋AD 2＝BD 2 . 由勾股定理的逆定理知△ABD 为直角三角形，且∠BAD＝90°. 故 AD⊥AB. 2．勾股定理的逆定理与勾股定理的关系 勾股定理是通过“形”的状态来反映“数”的关系的，而勾股定理的逆定理是通过“数”的 关系来反映“形”的状态的． (1)勾股定理是直角三角形的性质定理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，二者 是互逆的． (2)联系：①两者都与 a 2＋b 2＝c 2 有关，②两者所讨论的问题都是直角三角形问题． (3)区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三 边的数量关系“a 2＋b 2＝c 2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足 a 2＋b 2＝ c 2”为条件，进而得到这个三角形是“直角三角形”． (4)二者关系可列表如下： 定理 勾股定理 勾股定理的逆定理 内容 如果直角三角形的两直角边长分别为 a， b，斜边长为 c，那么 a 2＋b 2＝c 2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a 2＋b 2 ＝c 2，那么这个三角形是直角三角形 题设 直角三角形的两直角边长分别为 a，b， 斜边长为 c 三角形的三边长 a，b，c 满足 a 2＋b 2＝c 2 结论 a 2＋b 2＝c 2 三角形是直角三角形 用途 是直角三角形的一个性质 判定直角三角形的一种方法 【例 2】 如图，在△ABC 中，D 为 BC 边上的点，已知：AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5， 求 DC. 分析：先用勾股定理的逆定理判定形状，然后用勾股定理求数据． 解：∵AD 2＋BD 2＝122＋5 2＝132＝AB 2， ∴由勾股定理的逆定理知△ADB 为直角三角形．∴AD⊥BC. 在 Rt△ADC 中，由勾股定理，得 DC 2＝AC 2－AD 2＝152－122＝9 2 .∴DC＝9. 3．勾股数 勾股数：满足 a 2＋b 2＝c 2 的三个正整数，称为勾股数． (1)由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足 a 2＋b 2＝c 2；②都是正整数．两 者缺一不可． (2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足 a 2＋b 2＝c 2 (但不一定是勾股 数)，以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以 0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm 为边长的三角形 是直角三角形． 【例 3】 ①7,24,25；②8,15,19；③0.6,0.8,1.0；④3n,4n,5n(n＞1，且为自然数)．
免费下载网址ht:jiaoxue5uys168.com/ 上面各组数中,勾股数有 A.1 解析 7+24=25,且7,24,25都是正整数,∴7,24,25是勾股数 ②×|∵82+152≠193,∴8,15,19不是勾股数 0.6,0.8,1.0不是正整数,∴0.6,0.8,1.0不是勾股数 (3n)2+(4m)2=25n=(5m)2(n>1,且为自然数),且它们都是正整数 ∴3n,4n,5n(n>1,且为自然数)是勾股数 答案:B 析规律勾股数的判断方法 判断勾股数要看两个条件,一看能否满足a+B=c2,二看是否都是正整数.这两者缺一不 可 4.勾股定理的逆定理的应用 勾股定理的逆定理在解决实际问题中有着广泛的应用,可以用它来判定是不是直角.家里建 房时,常需要在现场画出直角,在没有测量角的仪器的情况下,工人师傅常常利用勾股定理 的逆定理作出直角 【例4】如图是一农民建房时挖地基的平面图,按标准应为长方形,他在挖完后测量了 下,发现AB=DC=8m,AD=BC=6m,AC=9m,请你帮他看一下,挖的地基是否合格? B 分析:本题是数学问题在生活中的实际应用,所以我们要把实际问题转化成数学问题来解决, 运用直角三角形的判定条件,来判断它是否为直角三角形 解:∵A2+DC=62+82=100,AC=92=81, AD+DC2≠AC △ADC不是直角三角形,∠ADC≠90° 又∵按标准应为长方形,四个角应为直角 ∴该农民挖的地基不合格 5.利用非负数的性质判定三角形的形状 在由一个等式求三角形的三边长时,往往先把等式化为a+b2+c=0的形式,再由a=0,b =0,c=0,求得三角形三边之长,利用计算来判断△ABC是否是直角三角形 谈重点判定三角形的形状 由条件等式来判断三角形的形状,就是将已知的条件等式变形,再根据它的结构特点,得出 a,b,c的关系,从而判断三角形的形状 【例5】如果一个三角形的三边长a,b,c满足a+b2+c2+338=10a+24b+26c,试说明 这个三角形是直角三角形 分析:本题需要将已知等式进行变形,配成完全平方式,求出a,b,c的值,然后再说明 解:将式子变形,得 a+b+c2+338-10a-24b-26c=0, 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: Jiaoxie5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 上面各组数中，勾股数有______组．( )． A．1 B．2 C．3 D．4 解析： ① √ ∵72＋242＝252，且 7,24,25 都是正整数，∴7,24,25 是勾股数． ② × ∵82＋152≠192，∴8,15,19 不是勾股数． ③ × ∵0.6,0.8,1.0 不是正整数，∴0.6，0.8，1.0 不是勾股数． ④ √ ∵(3n) 2＋(4n) 2＝25n 2＝(5n) 2 (n＞1，且为自然数)，且它们都是正整数， ∴3n,4n,5n(n＞1，且为自然数)是勾股数. 答案：B 析规律 勾股数的判断方法 判断勾股数要看两个条件，一看能否满足 a 2＋b 2＝c 2，二看是否都是正整数．这两者缺一不 可． 4．勾股定理的逆定理的应用 勾股定理的逆定理在解决实际问题中有着广泛的应用，可以用它来判定是不是直角．家里建 房时，常需要在现场画出直角，在没有测量角的仪器的情况下，工人师傅常常利用勾股定理 的逆定理作出直角． 【例 4】 如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一 下，发现 AB＝DC＝8 m，AD＝BC＝6 m，AC＝9 m，请你帮他看一下，挖的地基是否合格？ 分析：本题是数学问题在生活中的实际应用，所以我们要把实际问题转化成数学问题来解决， 运用直角三角形的判定条件，来判断它是否为直角三角形． 解：∵AD 2＋DC 2＝6 2＋8 2＝100，AC 2＝9 2＝81， ∴AD 2＋DC 2≠AC 2 . ∴△ADC 不是直角三角形，∠ADC≠90°. 又∵按标准应为长方形，四个角应为直角， ∴该农民挖的地基不合格． 5．利用非负数的性质判定三角形的形状 在由一个等式求三角形的三边长时，往往先把等式化为 a 2＋b 2＋c 2＝0 的形式，再由 a＝0，b ＝0，c＝0，求得三角形三边之长，利用计算来判断△ABC 是否是直角三角形． 谈重点 判定三角形的形状 由条件等式来判断三角形的形状，就是将已知的条件等式变形，再根据它的结构特点，得出 a，b，c 的关系，从而判断三角形的形状． 【例 5】 如果一个三角形的三边长 a，b，c 满足 a 2＋b 2＋c 2＋338＝10a＋24b＋26c，试说明 这个三角形是直角三角形． 分析：本题需要将已知等式进行变形，配成完全平方式，求出 a，b，c 的值，然后再说明． 解：将式子变形，得 a 2＋b 2＋c 2＋338－10a－24b－26c＝0
免费下载网址ht:jiaoxue5uys168.com/ 即a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0. 整理,得(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0. 因此a-5=0,b-12=0,c-13=0, ∴a=5,b=12,c=13. ∵a+b2=52+12=132=c2, 这个三角形是直角三角形 勾股定理及其逆定理的综合应用 (1)利用勾股定理解决生活中的实际问题时,关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学 模型(直角三角形)来解决 (2)综合运用勾股定理及其逆定理,将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法,在这 里,一方面要熟记常用的勾股数:另一方面要注意到:如果一个三角形的三边长已知或具 有某些比例关系,那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角三角形 【例6】如图所示,在四边形ABCD中,AD=3cm,AB=4cm,∠BAD=90°,BC=12cm, CD=13cm.求四边形ABCD的面积 A 分析:根据AD=3cm,AB=4cm,∠BAD=90°,可连接BD构成直角三角形,通过判断△BCD 是直角三角形解决问题 A 解:连接BD,在△ABD中,∵AD=3cm,AB=4cm,∠BAD=90° 根据勾股定理,得BD=AB+AB=32+42=52,∴BD=5cm 在△BCD中,BD=5cm,BC=12cm,CD=13cm,B+B=C,∴△BD是直角三角形 ∴四边形ABCD的面积=S△AB0+S△BC ×3×4+=×5×12=36cm 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: Jiaoxie5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 即 a 2－10a＋25＋b 2－24b＋144＋c 2－26c＋169＝0. 整理，得( a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0. 因此 a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0， ∴a＝5，b＝12，c＝13. ∵a 2＋b 2＝5 2＋122＝132＝c 2， ∴这个三角形是直角三角形． 6．勾股定理及其逆定理的综合应用 (1)利用勾股定理解决生活中的实际问题时，关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学 模型(直角三角形)来解决． (2)综合运用勾股定理及其逆定理，将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法，在这 里，一方面要熟记常用的勾股数；另一方面要注意到：如果一个三角 形的三边长 已知或具 有某些比例关系，那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角三角形． 【例 6】 如图所示，在四边形 ABCD 中，AD＝3 cm，AB＝4 cm，∠BAD＝90°，BC＝12 cm， CD＝13 cm.求四边形 ABCD 的面积． 分析：根据 AD＝3 cm，AB＝4 cm，∠BAD＝90°，可连接 BD 构成直角三角形，通过判断△BCD 是直角三角形解决问题． 解：连接 BD，在△ABD 中，∵AD＝3 cm，AB＝4 cm，∠BAD＝90°， 根据勾股定理，得 BD 2＝AD 2＋AB 2＝3 2＋4 2＝5 2，∴BD＝5 cm. 在△BCD 中，∵BD＝5 cm，BC＝12 cm，CD＝13 cm，BD 2＋BC 2＝CD 2，∴△BCD 是直角三角形． ∴四边形 ABCD 的面积＝S△ABD＋S△BCD ＝ 1 2 ×3×4＋ 1 2 ×5×12＝36 cm2