免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 1.1探索勾股定理(2) 1.经历运用拼图的方法说明勾股定理的过程,在数学活动中发展学生的探究意识 和合作交流的习惯。 2.掌握勾股定理和他的简单应用 学习重点:能熟练运用拼图的方法证明勾股定理 学习难点:用面积法证勾股定理 教法及学法指导: 针对八年级学生的知识结构和心理特征,本节课选择引导探索法,由浅入深,由特殊 到一般地提出问题。引导学生自主探索,合作交流。并利用教具与多媒体进行教学, 在教师的组织引导下,采用自主探索、合作交流方式,让学生思考问题,获取知识, 掌握方法,借此培养学生动手、动口、动脑的能力,使学生真正成为学习的主体。 课前准备: 制作课件,学生课前进行相关调查及预习工作 教学过程 创设情境,导入新课 [师]我们曾学习过整式的运算,其中平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方 公式(a±b)2=a2±2ab+b2是非常重要的内容.谁还能记得当时这两个公式是如何推出的? [生]利用多项式乘以多项式的法则从公式的左边就可以推出右边.例如(a+b)(a b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,所以平方差公式是成立的 [生]还可以用拼图的方法来推出.例如:(a+b)2=a2+2ab+b2.我们可以用一个边长 为a的正方形,一个边长为b的正方形,两个长和宽分别为a和b的长方形可拼成如下图所 示的边长为(a+b)的正方形,那么这个大的正方形的面积可以表示为(a+b)2:又可以表 示为a2+2ab+b2.所以(a+b)2=a2+2ab+b2 师]由此我们可以看出用拼图的方法推证数学中的结论非常直观.上一节课我们已经 通过数格子通过一些特例大胆地猜想出了勾股定理.同时又利用一些特例验证了勾股定理 但我们注意到我们不可能拿所有的直角三角形一一验证,靠一些特例归纳、猜想出来的结论 不一定正确.因此我们需要用另一种方法说明直角三角形三边的关系 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 1.1 探索勾股定理（2） 1.经历运用拼图的方法说明勾股定理的过程，在数学活动中发展学生的探究意识 和合作交流的习惯。 2.掌握勾股定理和他的简单应用 学习重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理 学习难点：用面积法证勾 股定理 教法及学法指导： 针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择引导探索法，由浅入深，由特殊 到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流。并利用教具与多媒体进行教学。 在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流方式，让学生思考问题，获取知识， 掌握方法，借此培养学生动手、动口、动脑的能力，使学生真正成为学习的主体。 课前准备： 制作课件，学生课前进行相关调查及预习工作. 教学过程: 一、创设情境，导入新课 ［师］我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式（a+b）（a－b）=a 2－b 2；完全平方 公式（a±b）2 =a 2±2ab+b 2 是非常重要的内容．谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？ ［生］利用多项式乘以多项式的法则从公式的左边就可以推出右边．例如（a+b）（a －b）=a 2－ab+ab－b 2 =a 2－b 2，所以平方差公式是成立的． ［生］还可以用拼图的方法来推出．例如：（a+b） 2 =a 2 +2ab+b 2．我们可以用一个边长 为 a 的正方形，一个边长为 b 的正方形，两个长和宽分别为 a 和 b 的长方形可拼成如下图所 示的边长为（a+b）的正方形，那么这个大的正方形的面积可以表示为（a+b） 2；又可以表 示为 a 2 +2ab+b 2．所以（a+b）2 =a 2 +2ab+b 2． ［师］由此我们可以看出用拼图的方法推证数学中的结论非常直观．上一节课我们已经 通过数格子通过一些特例大胆地猜想出了勾股定理．同时又利用一些特例验证了勾股定理， 但我们注意到我们不可能拿所有的直角三角形一一验证，靠一些特例归纳、猜想出来的结论 不一定正确．因此我们需要用另一种方法说明直角三角形三边的关系．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 二、性质探究 1.拼一拼 (1)在一张硬纸板上画4个如下图所示全等的直角三角形.并把它们剪下来 (2)用这4个直角三角形拼一拼,摆一摆,看能否得到一个含有以斜边c为边长的正 方形,你能利用它说明勾股定理吗? 对于上面2个问题,教师要引导学生大胆联想,将形与数的问题联系起来.鼓励学 生大胆的拼摆,只要符合要求,教师都应予以鼓励,然后在小组内交流,同时提示学生根据 自己拼出的图形,联系(a+b)2=a2+2ab+b2的拼图推证方法说明勾股定理) [生]我拼出了如下图所示的图形,中间是一个边长为c的正方形.观察图形我们不难 发现,大的正方形的边长是(a+b).要利用这个图说明勾股定理,我们只要用两种方法表 示这个大正方形的面积即可 大正方形面积可以表示为:(a+b)2,又可以表示为:2ab×4+(b-a) 对比这两种表示方法,可得出c2=2ab×4(b-a).化简、整理得c2=a2+b2.因此我 们得到了勾股定理 生]我拼出了和这个同学不一样的图,如下图所示,大正方形的边长是c,小正方形 的边长为b一a,利用这个图形也可以说明勾股定理.因为大正方形的面积也有两种表示方 法,既可以表示为c2,又可以表示为2ab×4+(b-a)2.对比两种表示方法可得c2=2ab×4+ (b-a)2.化简得c2=a2+b2.同样得到了勾股定理 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 二、性质探究 1．拼一拼 （1）在一张硬纸板上画 4 个如下图所示全等的直角三角形．并把它们剪下来． （2）用这 4 个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边 c 为边长的正 方形，你能利用它说明勾股定理吗？ （对于上面 2 个问题，教师要引导学生大胆联想，将形与数的问题联系起来．鼓励学 生大胆的拼摆，只要符合要求，教师都应予以鼓励，然后在小组内交流，同时提示学生根据 自己拼出的图形，联系（a+b）2 =a 2 +2ab+b 2 的拼图推证方法说明勾股定理）． ［生］我拼出了如下图所示的图形，中间是一个边长为 c 的正方形．观察图形我们不难 发现，大的正方形的边长是（a+b）．要利用这个图说明勾股定理，我们只要用两种方法表 示这个大正方形的面积即可． 大正方形面积可以表示为：（a+b）2，又可以表示为： 2 1 ab×4+（b－a）． 对比这两种表示方法，可得出 c 2 = 2 1 ab×4+（b－a）．化简、整理得 c 2 =a 2 +b 2．因此我 们得到了勾股定理． ［生］我拼出了和这个同学不一样的图，如下图所示，大正方形的边长是 c，小正方形 的边长为 b－a，利用这个图形也可以说明勾股定理．因为大正方形的面积也有两种表示方 法，既可以表示为 c 2，又可以表示为 2 1 ab×4+（b－a） 2．对比两种表示方法可得 c 2 = 2 1 ab×4+ （b－a）2．化简得 c 2 =a 2 +b 2．同样得到了勾股定理．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 师]真棒!同学们用拼图的方法,大胆地验证了勾股定理.利用拼图的方法验证勾股 定理,是我国古代数学家的伟大贡献.在后面的课题学习中,我们还要继续研究它 在所有的几何定理中,勾股定理的证明方法也许是最多的了.有人做过统计,说有五百 余种.1940年,国外有人收集了勾股定理的365种证法,编了一本书.其实,勾股定理的 证法不止这些,作者之所以选用了365种,也许他是幽默地想让人注意,勾股定理的证明简 直到了每天一种的地步 [生]老师,我在查资料时,还发现勾股定理的证明还和美国的一个总统有关系,是这 样吗? [师]是的.1876年4月1日,美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德,颇有兴趣地在《新 英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明.据他说,这是一种思想体操,并 且还调皮地声称,他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”.由于1881年加菲尔 德当上了美国第二十届总统,这样,他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话 [生]能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗? [师]可以.如下图所示.这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形,和第 个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下,有联系 [生]总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半 [师]同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理 [生]上面的图形整体上拼成一个直角梯形.所以它的面积有两种表示方法.既可以表 示为2(a+b)·(a+b),又可以表示为2ab×2+c2.对比两种表示方法可得2(a+b)·(a+b) =2ab×2+c.化简,可得a2+b2=c [师]很好.同学们如果感兴趣的话,不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ［师］真棒！同学们用拼图的方法，大胆地验证了勾股定理．利用拼图的方法验证勾股 定理，是我国古代数学家的伟大贡献．在后面的课题学习中，我们还要继续研究它． 在所有的几何定理中，勾股定理的证明方法也许是最多的了．有人做过统计，说有五百 余种．1940 年，国外有人收集了勾股定理的 365 种证法，编了一本书．其实，勾股定理的 证法不止这些，作者之所以选用了 365 种，也许他是幽默地想让人注意，勾股定理的证明简 直到了每天一种的地步． ［生］老师，我在查资料时，还发现勾股定理的证明还和美国的一个总统有关系，是这 样吗？ ［师］是的．1876 年 4 月 1 日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在《新 英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明．据他说，这是一种思想体操，并 且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”．由于 1881 年加菲尔 德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话． ［生］能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗？ ［师］可以．如下图所示．这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第 一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下，有联系． ［生］总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半． ［师］同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理． ［生］上面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两种表示方法．既可以表 示为 2 1 （a+b）·（a+b），又可以表示为 2 1 ab×2+c 2．对比两种表示方法可得 2 1 （a+b）·（a+b） = 2 1 ab×2+c 2．化简，可得 a 2 +b 2 =c 2． ［师］很好．同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 2.议一议 [师]前面我们讨论了直角三角形三边满足的关系.那么锐角三角形或钝角三角形的 三边是否也满足这一关系呢? 观察上图,用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是 否满足a2+b2=c2 [师]上图中的△ABC和△A′B′C是什么三角形? [生]△ABC,△A′B′C′在小方格纸上,不难看出△ABC中,∠BCA>90°;△A′B′C 中,∠A′B′C′,∠B'C′A′,∠B′A′C′都是锐角,所以△ABC是钝角三角形,△ A′B′C′是锐角三角形 [师]△ABC的三边上“长”出三个正方形.谁来帮我数一下每个正方形含有几个小格 [生]以b为边长的正方形含有9个小格子,所以这个正方形的面积b2=9个单位面积; 以a为边长的正方形中含有8个小格子,所以这个正方形的面积a2=8个单位面积;以c为 边长的正方形中含有29个小格子,所以这个正方形的面积c2=29个单位面积 a2+b2=9+7=16个单位面积,c2=29个单位面积,所以在钝角三角形ABC中a2+b2≠c2 [师]锐角三角形A′B′C′中,如何呢? [生]以a为边长的正方形含5个小格子,所以a2=5个单位面积:以b为边长的正方 形含有8个小格子,所以b2=8个单位面积:以c为边长的正方形含9个小格子,所以c2=9 个单位面积.由此我们可以算出a2+b2=5+8=13个单位面积.在锐角三角形A′B′C′中, a2+b2≠c2 [师]通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只有在直角三角形中,a,b,c三边 才有a2+b2=c2(其中a、b是直角边,c为斜边)这样的关系 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 2．议一议 ［师］ 前面我们讨论了直角三角形三边满足的关系．那么锐角三角形或钝角三角形的 三边是否也满足这一关系呢？ 观察上图，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是 否满足 a 2 +b 2 =c 2． ［师］上图中的△ABC 和△A′B′C 是什么三角形？ ［生］△ABC，△A′B′C′在小方格纸上，不难看出△ABC 中，∠BCA＞90°；△A′B′C′ 中，∠A′B′C′，∠B′C′A′，∠B′A′C′都是锐角，所以△ABC 是钝角三角形，△ A′B′C′是锐角三角形． ［师］△ABC 的三边上“长”出三个正方形．谁来帮我数一下每个正方形含有几个小格 子． ［生］以 b为边长的正方形含有 9 个小格子，所以这个正方形的面积 b 2 =9 个单位面积； 以 a 为边长的正方形中含有 8 个小格子，所以这个正方形的面积 a 2 =8 个单位面积；以 c 为 边长的正方形中含有 29 个小格子，所以这个正方形的面积 c 2 =29 个单位面积． a 2 +b 2 =9+7=16 个单位面积，c 2 =29 个单位面积，所以在钝角三角形 ABC 中 a 2 +b 2≠c 2． ［师］锐角三角形 A′B′C′中，如何呢？ ［生］以 a 为边长的正方形含 5 个小格子，所以 a 2 =5 个单位面积；以 b 为边长的正方 形含有 8 个小格子，所以 b 2 =8 个单位面积；以 c 为边长的正方形含 9 个小格子，所以 c 2 =9 个单位面积．由此我们可以算出 a 2 +b 2 =5+8=13 个单位面积．在锐角三角形 A′B′C′中， a 2 +b 2≠c 2． ［师］通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只有在直角三角形中，a，b，c 三边 才有 a 2 +b 2 =c 2（其中 a、b 是直角边，c 为斜边）这样的关系．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ [生]老师,我发现在钝角三角形ABC中,虽然a2+b2≠c,但它们之间也有一种关系 a2+b2c2.它们恒成立吗? [师]这位同学很善于思考,的确如此.同学们课后不妨验证一下,你一定会收获不小 三、性质的应用 1.例题精讲 我方侦査员小王在距离东西向公路400米处侦查,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶 紧拿出红外线测距仪,测得汽车与他相距400米,10秒后,汽车与他相距500米,你能帮 小王计算敌方汽车的速度吗? (学生自己画图完成,全班交流) 2.巩固提高 (1)飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处,过了 10秒后,飞机距离这个男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千 (2)在平静的湖面上,有一棵水草,它高出水面3分米,一阵风吹来;水草被吹到一边 草尖齐至水面,已知水草移动的水平距离为6分米,问这里的水深是多少? [师生共析] 1.分析:根据题意,可以画出下图,A点表示男孩头顶的位置,C、B点是两个时刻飞 机的位置,∠C是直角,可以用勾股定理来解决这个问题 解:根据题意,得Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5000米,AC=4800米.由勾股定理,得 =AC2+BC2.即5000=BC2+48002,所以BC=1400米 2分析:在此问题中,要注意水草的长度与水深的关系,还要注意水草站立时和吹到 边,它的长度是不变的 解:根据题意,得到下图,其中D是无风时水草的最高点,BC为湖面,AB是一阵风吹 过水草的位置,CD=3分米,CB=6分米,AD=AB,BC⊥AD 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ［生］老师，我发现在钝角三角形 ABC 中，虽然 a 2 +b 2≠c 2，但它们之间也有一种关系 a 2 +b 2＜c 2；在锐角三角形 A′B′C′中，a 2 +b 2＞c 2．它们恒成立吗？ ［师］这位同学很善于思考，的确如此．同学们课后不妨验证一下，你一定会收获不小． 三、性质的应用 1.例题精讲 我方侦查员小王在距离东西向公路 400 米处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶 紧拿出红外线测距仪，测得汽车与他相距 400 米，10 秒后，汽车与他相距 500 米，你能帮 小王计算敌方汽车的速度吗？ （学生自己画图完成，全班交流） 2.巩固提高 （1）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4800 米处，过了 10 秒后，飞机距离这个男孩头顶 5000 米，飞机每小时飞行多少千米？ （2）在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面 3 分米，一阵风吹来；水草被吹到一边， 草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为 6 分米，问这里的水深是多少？ ［师生共析］ 1．分析：根据题意，可以画出下图，A 点表示男孩头顶的位置，C、B 点是两个时刻飞 机的位置，∠C 是直角，可以用勾股定理来解决这个问题． 解：根据题意，得 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5000 米，AC=4800 米．由勾股定理，得 AB2 =AC2 +BC2．即 50002 =BC2 +48002，所以 BC=1400 米． 2 分析：在此问题中，要注意水草的长度与水深的关系，还要注意水草站立时和吹到一 边，它的长度是不变的． 解：根据题意，得到下图，其中 D 是无风时水草的最高点，BC 为湖面，AB 是一阵风吹 过水草的位置，CD=3 分米，CB=6 分米，AD=AB，BC⊥AD．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 所以在Rt△ACB中,AB2=AC+BC2,即(AC+3)=AC2+62,AC+6AC+9=AC2+36.6AC=27,AC=4.5.所 以这里的水深为4.5分米 评注:在几何计算题中,方程的思想十分重要 四、收获园地 师:这节课,我们用拼图的方法验证了勾股定理,并运用勾股定理解决了生活中的实际 问题 生:畅谈自己的收获! 五、达标检测 如下图所示,某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体,已知物体A到 平面镜的距离为6米,问B点到物体A的像A′的距离是多少? 六、作业 1.课本P11,习题1.2.1 收集关于勾股定理的证明方法 七、板书设计 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 所以在 Rt△ACB 中，AB2 =AC2 +BC2，即（AC+3）2 =AC2 +62，AC2 +6AC+9=AC2 +36．6AC=27，AC=4．5．所 以这里的水深为 4．5 分米． 评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要． 四、收获园地 师：这节课，我们用拼图的方法验证了勾股定理，并运用勾股定理解决了生活中的实际 问题 生：畅谈自己的收获！ 五、达标检测 如下图所示，某人在 B 处通过平面镜看见在 B 正上方 5 米处的 A 物体，已知物体 A 到 平面镜的距离为 6 米，问 B 点到物体 A 的像 A′的距离是多少？ 六、作业 1．课本 P11，习题 1．2． 1 、2 2．收集关于勾股定理的证明方法． 七、板书设计
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 探索勾股定理(二) 用拼图法验证勾股定理 由上图得(a+b)2=2ab×4+c2 由上图可得c2=2ab×4+(b-a) 、例题讲解 四、课时小结 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 探索勾股定理（二） 一、用拼图法验证勾股定理 1． 由上图得（a+b） 2 = 2 1 ab×4+c 2 即 a 2 +b 2 =c 2； 由上图可得 c 2 = 2 1 ab×4+（b－a）2 即 a 2 +b 2 =c 2 二、议一议 三、例题讲解 四、课时小结
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 八、教学反思 学生基本理解,对实际问题理解不透,很多学生不能通过读题把图形画出来,今后应多加强 此方面的训练。 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
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