《实变函数》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16091003 课程名称：实变函数 英文名称：Real Variable Function 课程类别：学科基础课 课程性质：必修 学 时：48 分：3 适用对象：数学与应用数学 老核方式：考式 先修课程：数学分析I,II,IIL,高等代数I,II 二、课程简介 中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻 研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引 入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。它是数学分析的继续、深化和推广， 是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。泛函分析起源于经典的 数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中 个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工 程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。 英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology,physics,chemical,biology,economic and other fields.The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis'thinking and reasoning. 三、课程性质与教学目的 课程思政总体思路 本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛 函分析的应用。 教字目的仕于丰福字生的识和赤字生群决头际题的能力。 本 程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知 识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛 函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程将尽量避免。要多培养学生理论应用于 实践，有正确的学习观与价值观
1 《实变函数》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16091003 课程名称：实变函数 英文名称：Real Variable Function 课程类别：学科基础课 课程性质：必修 学 时：48 学 分：3 适用对象: 数学与应用数学 考核方式：考试 先修课程：数学分析 I，II，III,高等代数 I，II 二、课程简介 中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及 Riemann 可积函数等的透彻 研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引 入 Lebesgue 积分并克服了 Riemann 积分的不足。它是数学分析的继续、深化和推广， 是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。泛函分析起源于经典的 数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中 一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工 程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。 英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning. 三、课程性质与教学目的 课程思政总体思路：本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛 函分析的应用。教学目的在于丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课 程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知 识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛 函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程将尽量避免。要多培养学生理论应用于 实践，有正确的学习观与价值观
本课程要求如下： 1,理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和 Lebesgue可测集的有关内容和性质。 2. 了解可测函数的概念，构造，以及函数列的收敛性质。 Sue积分的概 掌握收敛定 4.理解赋范线性空间和内积空间的相关知识点 5.理解线性算子理论和有界线性泛函理论，了解三个基本定理。 四、教学内容及要求 第一章集合 (一)目的和要 1、 理解集的概念 分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。 2、掌握集之间的交、差、余运算。掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。 3、理解集列的收敛、单调集列的概念。 。理解伯感斯定 4、掌握一一映射，两集合对等及集合基数等概念 能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等 理解可数集 数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解 不存在最大基数的定理的意义。 (一)教学内容 第一节集合的表示 1.主要内容 集合的表示、集合的包含关系 2.基本概念和知识点 元素、集合 3.问题与应用（能力要求） 理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。 第二节集合的运算 1.主要内容 集合的并集、集合的交集、差集与余集、集合的上极限和下极限、单调系列 2.基本概念和知识点 集合的并、交、差、余、上极限、下极限 3.问题与应用（能力要求） 区别几种集合的运算，特别是上极限、下极限与极限的关系。 理解集合族的概念。 第三节对等与基数 1.主要内容
2 本课程要求如下： 1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和 Lebesgue 可测集的有关内容和性质。 2. 了解可测函数的概念，构造，以及函数列的收敛性质。 3. 了解 Lebesgue 积分的概念，掌握收敛定理。 4. 理解赋范线性空间和内积空间的相关知识点。 5. 理解线性算子理论和有界线性泛函理论，了解三个基本定理。 四、教学内容及要求 第一章 集合 （一） 目的和要求 1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。 2、掌握集之间的交、差、余运算。掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。 3、理解集列的收敛、单调集列的概念。 4、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。 5、理解伯恩斯坦定理，能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。 6、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为 C 的集合的性质，理解 不存在最大基数的定理的意义。 （二）教学内容 第一节 集合的表示 1.主要内容 集合的表示、集合的包含关系 2.基本概念和知识点 元素、集合 3.问题与应用（能力要求） 理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。 第二节 集合的运算 1.主要内容 集合的并集、集合的交集、差集与余集、集合的上极限和下极限、单调系列 2.基本概念和知识点 集合的并、交、差、余、上极限、下极限 3.问题与应用（能力要求） 区别几种集合的运算，特别是上极限、下极限与极限的关系。 理解集合族的概念。 第三节 对等与基数 1.主要内容
有限集、无限集，映射，对等关系，基数 2.基本概念和知识点 映射，对等关系、基数的概念、伯恩斯坦定理的含义与证明 3.问题与应用（能力要求） 通过一一映射找对等关系、基数的概念 第四节可数集合 1.主要内容 可数集合、可数集的性质、常用可数集合的例子 2.基本概念和知识点 可数集、可数集的判暂 3.问题与应用（能力要求） 理解可数集的概念，会判断可数集合 第五节不可数集合 1.主要内容 不可数集、连续基数、无最大基数定理 2.基本概念和知识点 不可数集合的概念，判断，常用连续基数的实例。 3.问题与应用（能力要求） 会判断连续基数、理解没有最大基数的原因。 (三)思政内容 使学生认识集族的交并关系，映射及其性质，集的对等，可数集合，以及集合 之间的区别与判断，增强唯物主义世界观及科学分析问题的能力。 (四)教学方法与手段 课堂讲授 第二章点集 一)目的和要求 理解维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极 限理论中的作用。 理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。理解开集、闭集、 完备集的意义，掌握其性质 理解直线上开集、闭集、完备集的构造。 3
3 有限集、无限集，映射，对等关系，基数 2.基本概念和知识点 映射，对等关系、基数的概念、伯恩斯坦定理的含义与证明 3.问题与应用（能力要求） 通过一一映射找对等关系、基数的概念 第四节 可数集合 1.主要内容 可数集合、可数集的性质、常用可数集合的例子 2.基本概念和知识点 可数集、可数集的判断 3.问题与应用（能力要求） 理解可数集的概念，会判断可数集合。 第五节 不可数集合 1.主要内容 不可数集、连续基数、无最大基数定理 2.基本概念和知识点 不可数集合的概念，判断，常用连续基数的实例。 3.问题与应用（能力要求） 会判断连续基数、理解没有最大基数的原因。 （三）思政内容 使学生认识集族的交并关系，映射及其性质，集的对等，可数集合，以及集合 之间的区别与判断，增强唯物主义世界观及科学分析问题的能力。 （四）教学方法与手段 课堂讲授 第二章 点集 （一） 目的和要求 理解 n 维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极 限理论中的作用。 理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。理解开集、闭集、 完备集的意义，掌握其性质。 理解直线上开集、闭集、完备集的构造
理解康托集的构造、特性。 (二)教学内容 第一节度量空间 1.主要内容 度量空间、欧式空间 2.基本概念和知识点 度量空间的定义、欧式空间的定义、邻域、收敛、集合与集合的距离、集合与 点的距离、区间。 3.问题与应用（能力要求） 几种距离的定义与区别。 第二节聚点、内点和界点 1.主要内容 聚点、内点和界点的概念、孤立点、外点 2.基本概念和知识点 聚点、内点和界点的概念、孤立点、外点、性质和判断 3.问题与应用（能力要求） 能够区别几种点的关系。 第三节开集、闭集和完备集 1.主要内容 开集、闭集和完备集 2.基本概念和知识点 开集、闭集、性质、判断定理、有限覆盖定理、紧集、自密集、完备集 3.问题与应用（能力要求） 利用聚点，内点判断开集闭集。理解开集、闭集的性质。理解紧集与有界闭集 的关系。 第四节直线上的开集、闭集及完备集的构造 1.主要内容 直线上的开集、闭集及完备、集的构造 2.基本概念和知识点
4 理解康托集的构造、特性。 （二）教学内容 第一节 度量空间 1.主要内容 度量空间、欧式空间 2.基本概念和知识点 度量空间的定义、欧式空间的定义、邻域、收敛、集合与集合的距离、集合与 点的距离、区间。 3.问题与应用（能力要求） 几种距离的定义与区别。 第二节 聚点、内点和界点 1.主要内容 聚点、内点和界点的概念、孤立点、外点。 2.基本概念和知识点 聚点、内点和界点的概念、孤立点、外点、性质和判断 3.问题与应用（能力要求） 能够区别几种点的关系。 第三节 开集、闭集和完备集 1.主要内容 开集、闭集和完备集 2.基本概念和知识点 开集、闭集、性质、判断定理、有限覆盖定理、紧集、自密集、完备集。 3.问题与应用（能力要求） 利用聚点，内点判断开集闭集。理解开集、闭集的性质。理解紧集与有界闭集 的关系。 第四节 直线上的开集、闭集及完备集的构造 1.主要内容 直线上的开集、闭集及完备、集的构造 2.基本概念和知识点
开集构造定理，构成区间、余区间、闭集构造定理。 3.问题与应用（能力要求） 理解如何构造开区间、闭区间。 第五节康托尔三分集 1.主要内容 康托尔三分集的例子、康托尔三分集与微分几何。 2.基本概念和知识点 康托尔三分集及其性质、分形几何的概念 3.问题与应用（能力要求） (三)思政内容 理解度量空间的概念，理解度量空间的拓扑（包括了有关概念）。引导学生进 步认识抽象理论的重要性，重视理论学习。 (四)教学方法与手段 课堂讲授 第三章测度论 (一)目的和要求 理解测度的意义。 理解外测度的意义，掌握其有关性质。 理解可测集的定义，掌握可测集的性质。 了解并掌握不可测集的存在性这一结论。 (二)教学内容 第一节外测度 1.主要内容 外测度的概念、内测度、可测 2.基本概念和知识点 外测度的定义与性质。 3.问题与应用（能力要求 通过性质证明和实例理解外测度的概念。 第二节可测集 1.主要内容
5 开集构造定理，构成区间、余区间、闭集构造定理。 3.问题与应用（能力要求） 理解如何构造开区间、闭区间。 第五节 康托尔三分集 1.主要内容 康托尔三分集的例子、康托尔三分集与微分几何。 2.基本概念和知识点 康托尔三分集及其性质、分形几何的概念。 3.问题与应用（能力要求） （三）思政内容 理解度量空间的概念，理解度量空间的拓扑（包括了有关概念）。引导学生进一 步认识抽象理论的重要性，重视理论学习。 （四）教学方法与手段 课堂讲授 第三章 测度论 （一） 目的和要求 理解测度的意义。 理解外测度的意义，掌握其有关性质。 理解可测集的定义，掌握可测集的性质。 了解并掌握不可测集的存在性这一结论。 （二）教学内容 第一节 外测度 1.主要内容 外测度的概念、内测度、可测 2.基本概念和知识点 外测度的定义与性质。 3.问题与应用（能力要求） 通过性质证明和实例理解外测度的概念。 第二节 可测集 1.主要内容
可测、可测的性质与判断 2.基本概念和知识点 可测、可测的性质与判新 3.问题与应用（能力要求 理解可测的意义。 第三节可测集类 1.主要内容 可测集类 2.基本概念和知识点 博雷尔集、零测集、可测集的计算。 3.问题与应用（能力要求） 理解可测集类。 (三)思政内容 理解长度公理与勤贝格测度公理的关系，思考引入可测集的意义。理解正明过 程中的数学思维。培养学生既要认识理论的重要性，又要理解理论的内在含义， 并将理论应用于实际。 (四)教学方法与手段 课堂讲授 第四章可测函数 (一)目的和要求 掌握可测函数的定义及等价定义。 堂握可侧函数的有关性质。 理解简单函数的定义，掌握可测函数与简单函数的关系。 掌握可测函数列的收敛点集和发散点集的表示方法。掌握叶果洛夫定理，鲁津 定理。 理解依测度收敛的意义，掌握依测度收敛与a·e收敛的联系与区别。 (二)教学内容 第一节可测函数及其性质 1.主要内容 可测函数、可测函数的性质
6 可测、可测的性质与判断 2.基本概念和知识点 可测、可测的性质与判断。 3.问题与应用（能力要求） 理解可测的意义。 第三节 可测集类 1.主要内容 可测集类 2.基本概念和知识点 博雷尔集、零测集、可测集的计算。 3.问题与应用（能力要求） 理解可测集类。 （三）思政内容 理解长度公理与勒贝格测度公理的关系，思考引入可测集的意义。理解证明过 程中的数学思维。培养学生既要认识理论的重要性，又要理解理论的内在含义， 并将理论应用于实际。 （四）教学方法与手段 课堂讲授 第四章 可测函数 （一） 目的和要求 掌握可测函数的定义及等价定义。 掌握可测函数的有关性质。 理解简单函数的定义，掌握可测函数与简单函数的关系。 掌握可测函数列的收敛点集和发散点集的表示方法。掌握叶果洛夫定理，鲁津 定理。 理解依测度收敛的意义，掌握依测度收敛与 a·e 收敛的联系与区别。 （二）教学内容 第一节 可测函数及其性质 1.主要内容 可测函数、可测函数的性质
2.基本概念和知识点 可测函数、可测函数的性质、可测函数的判断、简单函数、几乎处处 3.问题与应用（能力要求） 理解可测函数的定义与实例。思考可测函数的意义 第二节叶果洛夫定理 1.主要内容 叶果洛夫定理 2.基本概念和知识点 叶果洛夫定理的含义与证明 3.问顾与应用（能力要求） 思考叶果洛夫定理成立条件与作用。 第三节可测函数构造 1.主要内容 可测函数构造。 2.基本概念和知识点 鲁津定理的两种形式与证明过程。 3.问题与应用（能力要求） 思考可测函数构造的方法。可测函数的运算。 第四节依测度收敛 1.主要内容 依测度收敛 2.基本概念和知识点 依测度收敛概念、判断。Lebesgue定理，Riesz定理。 3.问题与应用（能力要求） 思考依测度收敛与几乎处处等其他收敛的关系。了解三个定理和依测度收敛的 概念。 (三)思政内容 要让学生理解简单函数和可测函数，了解可测函数的性质和构造，了解可测函 数列的极限。通过讲解不同收敛之间的关系，可测函数与简单函数的关系，使 学生掌握由简入深，由易到难的方法，理解事物之间的相互关联。同时，培养 学生从整体把握问题，再逐步细化的科学研究方法。 7
7 2.基本概念和知识点 可测函数、可测函数的性质、可测函数的判断、简单函数、几乎处处。 3.问题与应用（能力要求） 理解可测函数的定义与实例。思考可测函数的意义。 第二节 叶果洛夫定理 1.主要内容 叶果洛夫定理 2.基本概念和知识点 叶果洛夫定理的含义与证明。 3.问题与应用（能力要求） 思考叶果洛夫定理成立条件与作用。 第三节 可测函数构造 1.主要内容 可测函数构造。 2.基本概念和知识点 鲁津定理的两种形式与证明过程。 3.问题与应用（能力要求） 思考可测函数构造的方法。可测函数的运算。 第四节 依测度收敛 1.主要内容 依测度收敛 2.基本概念和知识点 依测度收敛概念、判断。Lebesgue 定理，Riesz 定理。 3.问题与应用（能力要求） 思考依测度收敛与几乎处处等其他收敛的关系。了解三个定理和依测度收敛的 概念。 （三）思政内容 要让学生理解简单函数和可测函数，了解可测函数的性质和构造，了解可测函 数列的极限。通过讲解不同收敛之间的关系，可测函数与简单函数的关系，使 学生掌握由简入深，由易到难的方法，理解事物之间的相互关联。同时，培养 学生从整体把握问题，再逐步细化的科学研究方法
(四)教学方法与手段 课堂讲授 第五章积分论 目的和要求 了解黎曼可积的充要条件是被积函数几乎处处连续。 理解勒贝格积分的定义及其建立过程。理解R积分与L积分的关系。 理解L积分的性质，掌握L积分的绝对可积性和绝对连续性。 掌握勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积分定理、积分的可数可加性定理 法都引理 了解富比尼定理 (二)教学内容 第一节黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介 1.主要内容 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介 2.基本概念和知识点 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介 3.问题与应用（能力要求） 了解黎曼积分的局限性，知道引入勒贝格积分的原因 第二节非负简单函数的勒贝格积分 1.主要内容 非负简单函数的勒贝格积分 2.基本概念和知识点 非负简单函数的勒贝格积分的定义与性质 3.问题与应用（能力要求） 理解非负简单函数的勒贝格积分与黎曼积分的区别。 第三节非负可测函数的勒贝格积分 1.主要内容 非负可测函数的勒贝格积分 2.基本概念和知识点 非负可测函数的勒贝格积分的性质与计算、列维定理、逐项积分定理、法图定 理
8 （四）教学方法与手段 课堂讲授 第五章 积分论 （一） 目的和要求 了解黎曼可积的充要条件是被积函数几乎处处连续。 理解勒贝格积分的定义及其建立过程。理解 R 积分与 L 积分的关系。 理解 L 积分的性质，掌握 L 积分的绝对可积性和绝对连续性。 掌握勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积分定理、积分的可数可加性定理， 法都引理。 了解富比尼定理。 （二）教学内容 第一节 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介 1.主要内容 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介 2.基本概念和知识点 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介 3.问题与应用（能力要求） 了解黎曼积分的局限性，知道引入勒贝格积分的原因 第二节 非负简单函数的勒贝格积分 1.主要内容 非负简单函数的勒贝格积分 2.基本概念和知识点 非负简单函数的勒贝格积分的定义与性质 3.问题与应用（能力要求） 理解非负简单函数的勒贝格积分与黎曼积分的区别。 第三节 非负可测函数的勒贝格积分 1.主要内容 非负可测函数的勒贝格积分 2.基本概念和知识点 非负可测函数的勒贝格积分的性质与计算、列维定理、逐项积分定理、法图定 理
3问题与应用（能力要求） 理解积分与极限、级数的关系 第四节一般可测函数的勒贝格积分 1.主要内容 一般可测函数的勒贝格积分 2.基本概念和知识点 般可测函数的勒贝格积分的构造、性质、积分的绝对连续性定理。积分的可 数可加定理、勒贝格控制收敛定理、积分与求导的关系。 3.问题与应用（能力要求） 思考勒贝格积分与黎曼积分的性质做对比。 第五节黎曼积分和勒贝格积分 1.主要内容 黎曼积分和勒贝格积分 2.基本概念和知识点 区别黎曼积分和勒贝格积分 3.问题与应用（能力要求） 注意勒贝格积分是黎曼积分的推广，不是反常积分的推广。 第六节勒贝格积分的几何意义，富比尼定理 1.主要内容 勒贝格积分的几何意义、富比尼定理 2.基本概念和知识点 截面定理、直集的测度、非负可测函数的几何意义定理、言比尼定理的证明与 含义。 3.问题与应用（能力要求） 理解多元函数的勒贝格积分 (三)思政内容 理解有积分和可积性，积分的性质与计算。了解与黎曼积分的异同。通过对比 两种积分之间的关系，使同学们理解世界是不断进步，科学是不断发展的，使 学生学会与时俱进，学以致用
9 3.问题与应用（能力要求） 理解积分与极限、级数的关系 第四节 一般可测函数的勒贝格积分 1.主要内容 一般可测函数的勒贝格积分 2.基本概念和知识点 一般可测函数的勒贝格积分的构造、性质、积分的绝对连续性定理。积分的可 数可加定理、勒贝格控制收敛定理、积分与求导的关系。 3.问题与应用（能力要求） 思考勒贝格积分与黎曼积分的性质做对比。 第五节 黎曼积分和勒贝格积分 1.主要内容 黎曼积分和勒贝格积分 2.基本概念和知识点 区别黎曼积分和勒贝格积分 3.问题与应用（能力要求） 注意勒贝格积分是黎曼积分的推广，不是反常积分的推广。 第六节 勒贝格积分的几何意义，富比尼定理 1.主要内容 勒贝格积分的几何意义、富比尼定理 2.基本概念和知识点 截面定理、直集的测度、非负可测函数的几何意义定理、富比尼定理的证明与 含义。 3.问题与应用（能力要求） 理解多元函数的勒贝格积分。 （三）思政内容 理解有积分和可积性，积分的性质与计算。了解与黎曼积分的异同。通过对比 两种积分之间的关系，使同学们理解世界是不断进步，科学是不断发展的，使 学生学会与时俱进，学以致用
(四)教学方法与手段 课堂讲授 五、各教学环节学时分配 教学环节 分 讨 其他教 教学时数 实验 课 课 课 学环节 计 课程内容 第一章 第二章 第三章 12 第四章 13 第五章 合计 9 3 48 六、推荐教材和教学参考资源 1、教材：《实变函数与泛函分析基础》，程其襄、张奠宙等编，北京：高等教育 出版社，第三版(2010) 2、参考书：《实变函数论》，周民强编，北京：北京大学出版社，2001 3、《实变函数论》江泽坚、吴智泉，实变函数论，北京：人民教育出版社，1961. 4、《实变函数与泛函分析概要（上册）》，郑维行、王声望编，北京：高等教有出 版社，1980. 10
10 （四）教学方法与手段 课堂讲授 五、各教学环节学时分配 教学环节 教学时数 课程内容 讲 课 习 题 课 讨 论 课 实验 其他教 学环节 小 计 第一章 7 7 第二章 7 2 9 第三章 10 2 12 第四章 11 2 13 第五章 4 3 7 合计 39 6 3 48 六、推荐教材和教学参考资源 1、教材：《实变函数与泛函分析基础》，程其襄、张奠宙等编， 北京：高等教育 出版社，第三版（2010） 2、参考书：《实变函数论》，周民强编，北京：北京大学出版社，2001 3、《实变函数论》江泽坚、吴智泉，实变函数论，北京：人民教育出版社，1961. 4、《实变函数与泛函分析概要（上册）》，郑维行、王声望编，北京：高等教育出 版社，1980