《高等代数选讲》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16031703 课程名称：高等代数选讲 英文名称：Selected Topics in Advanced Algebra 课程类别：专业选修课 学 时： 48 学 分分：3 适用对象：数学与应用数学、信息科学、统计学等专业 老核方式：老试 先修课程：空间解析几何、高等代数 二、课程简介 中文简介：《高等代数选讲》是高等院校数学专业的一门重要的选修课，其主要 任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、 向量空间、线性变换、欧氏空间和酉空间、二次型、群，环和域简介等方面的系统知 识。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛 函分析)提供一些所需的基础理论和知识。尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技 术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科均需要代数学的发展。《高 等代数》是中学代数的继续和提高。通过这一课程的教学，应使学生掌握为进一步提 高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法，且对初等代数内容有比较深入的 了解，并能居高临下地处理中学数学的有关教材，培养学生独立思考、科学抽象思维、 正确的逻辑推断能力和迅速准确的运算能力，对开发学生智能、加强“三基”（基础 知识、基本理论、基本理论)及培养学生创造能力、树立辩证唯物论观点等有重要的 作用。 英文简介："Selected Topics in Advanced algebra"is an important basic course with specialized mathematics of the institutions of higher learning,its main task is to make students obtain the mathematical basic thought and theory of polynomial,determinant,system of inea equations,matrix theory.vector space and Euclidean space,linear transformation and unitary space.quadratic form,group.ring and introduction of domain knowledge of the system.On one hand it for subsequent courses (e.g.,modem algebra,number theory,discrete mathematics. computing methods,differential equations,functional analysis)to provide some basic theory and knowledge needed.Especially in this century,computer technology.communications
1 《高等代数选讲》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16031703 课程名称：高等代数选讲 英文名称：Selected Topics in Advanced Algebra 课程类别：专业选修课 学 时： 48 学 分： 3 适用对象: 数学与应用数学、信息科学、统计学等专业 考核方式：考试 先修课程：空间解析几何、高等代数 二、课程简介 中文简介：《高等代数选讲》是高等院校数学专业的一门重要的选修课，其主要 任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、 向量空间、线性变换、欧氏空间和酉空间、二次型、群，环和域简介等方面的系统知 识。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛 函分析）提供一些所需的基础理论和知识。尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技 术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科均需要代数学的发展。《高 等代数》是中学代数的继续和提高。通过这一课程的教学，应使学生掌握为进一步提 高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法，且对初等代数内容有比较深入的 了解，并能居高临下地处理中学数学的有关教材，培养学生独立思考、科学抽象思维、 正确的逻辑推断能力和迅速准确的运算能力，对开发学生智能、加强“三基”（基础 知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造能力、树立辩证唯物论观点等有重要的 作用。 英文简介：" Selected Topics in Advanced algebra" is an important basic course with specialized mathematics of the institutions of higher learning, its main task is to make students obtain the mathematical basic thought and theory of polynomial, determinant, system of linear equations, matrix theory, vector space and Euclidean space, linear transformation and unitary space, quadratic form, group, ring and introduction of domain knowledge of the system. On one hand it for subsequent courses (e.g., modern algebra, number theory, discrete mathematics, computing methods, differential equations, functional analysis) to provide some basic theory and knowledge needed. Especially in this century, computer technology, communications
technology and modern biological engineering technology has become the most popular subject areas,the development of these disciplines are need algebra."Advanced algebra"is to continue and improve high school algebra.By teaching of this course.should enable students to master in order to further improve the level of professional knowledge necessary for basic theory and basic method of algebra,and have more in-depth knowledge of elementary algebra content,and can handle teaching material of middle school mathematics commanding.training students'independent thinking.scientific abstract thought.correct logic inference ability and operation ability.quickly and accurately to develop students'intelligence,strengthen"3 basic" (basic knowledge,basic theory.basic theory).and to cultivate students'creative ability.set up has an important role in the dialectical materialist point of view. 三、课程性质与教学目的 (一)课程性质： 通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认 识，提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力：使学生初步地掌握基本的、系 统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解：使学生能应 用代数思想和方法去理解与处理有关的问题，培养与提高代数的理论分析问题与解 决问题的能力：使学生学习数学学科后续课程（如近世代数、离散数学、计算方法、 偏微分方程、泛函分析等)提供一些所需要的基础理论和知识：使学生在智能开发 创新能力培养等方面获得重要的平台。 (二)教学目的： 《高等代数》是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业最重要的基础课程之 ,是数学各专业报考研究生的必考课程之一，也是理论性、应用性很强的一门数学 基础课。讲授本课程的目的主要在于培养学生的代数基础理论和思想素质，基本掌握 代数中的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧，提高分析问题、解 决问题的能力，为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。 四、教学内容及要求 第一章多项式 (一）目的与要求： 整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约 多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、k重因式与k重根的关系、复（实）系 数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。 2
2 technology and modern biological engineering technology has become the most popular subject areas, the development of these disciplines are need algebra. "Advanced algebra" is to continue and improve high school algebra. By teaching of this course, should enable students to master in order to further improve the level of professional knowledge necessary for basic theory and basic method of algebra, and have more in-depth knowledge of elementary algebra content, and can handle teaching material of middle school mathematics commanding, training students' independent thinking, scientific abstract thought, correct logic inference ability and operation ability, quickly and accurately to develop students' intelligence, strengthen "3 basic" (basic knowledge, basic theory, basic theory), and to cultivate students' creative ability, set up has an important role in the dialectical materialist point of view. 三、课程性质与教学目的 （一）课程性质： 通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认 识, 提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力；使学生初步地掌握基本的、系 统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；使学生能应 用代数思想和方法去理解与处理有关的问题, 培养与提高代数的理论分析问题与解 决问题的能力；使学生学习数学学科后续课程（如近世代数、离散数学、计算方法、 偏微分方程、泛函分析等）提供一些所需要的基础理论和知识；使学生在智能开发、 创新能力培养等方面获得重要的平台。 （二） 教学目的： 《高等代数》是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业最重要的基础课程之 一,是数学各专业报考研究生的必考课程之一，也是理论性、应用性很强的一门数学 基础课。讲授本课程的目的主要在于培养学生的代数基础理论和思想素质，基本掌握 代数中的论证方法, 获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧, 提高分析问题、解 决问题的能力,为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。 四、教学内容及要求 第一章 多项式 (一)目的与要求： 整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约 多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、k 重因式与 k 重根的关系、复（实）系 数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein 判别法
(二)教学内容 第一节 1.主要内容：数域 2.基本概念和知识点：数域。 3.问题与应用：掌握数域的定义，并会判断一个代数系统是否是数域。 第二节 1.主要内容：一元多项式 2 基本概念和知识点：一元多项式 3.问题与应用：正确理解数域P上一元多项式的定义，多项式相乘，次数，一元 多项式环等概念。掌握多项式的运算及运算规律。 第三节 1.主要内容：整除的概念 2.基本概念和知识点：整除，因式，倍式 3. 问题与应用：正确理解整除的定义，熟练掌握带余除法及整除的性质。 第四节 1.主要内容：最大公因式 2. 基本概念和知识点：最大公因式、互素 3.问题与应用：正确理解和掌握两个（或若干个）多项式的最大公因式，互素 等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。 第五节 1.主要内容：因式分解定理。 2. 基本概念和知识点：因式分解定理 3.问题与应用：正确理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解并掌握 因式分解及唯一性定理。掌握多项式的标准分解式。 第六节 1.主要内容：重因式。 2. 基本概念和知识点：重因式 3.问题与应用：正确理解和掌握k重因式的定义。 3
3 （二）教学内容 第一节 1. 主要内容：数域 2. 基本概念和知识点：数域。 3. 问题与应用：掌握数域的定义, 并会判断一个代数系统是否是数域。 第二节 1． 主要内容：一元多项式 2． 基本概念和知识点：一元多项式 3． 问题与应用： 正确理解数域 P 上一元多项式的定义,多项式相乘,次数,一元 多项式环等概念。掌握多项式的运算及运算规律。 第三节 1． 主要内容：整除的概念 2． 基本概念和知识点：整除，因式，倍式 3． 问题与应用：正确理解整除的定义, 熟练掌握带余除法及整除的性质。 第四节 1． 主要内容：最大公因式 2． 基本概念和知识点：最大公因式、互素 3． 问题与应用： 正确理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式, 互素 等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。 第五节 1． 主要内容：因式分解定理。 2． 基本概念和知识点:因式分解定理 3． 问题与应用：正确理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解并掌握 因式分解及唯一性定理。掌握多项式的标准分解式。 第六节 1． 主要内容：重因式。 2． 基本概念和知识点: 重因式 3． 问题与应用： 正确理解和掌握 k 重因式的定义
第七节 主要内容：多项式函数。 2 基本概念和知识点：多项式函数、余数定理 3. 问题与应用：掌握多项式函数的概念，余数定理，多项式的根及性质。正 确理解多项式与多项式函数的关系。 第八节 1.主要内容：复系数与实系数多项式的因式分解。 基本概今和知识点：复系粉与实：系数多项式的因式分解 3. 问题与应用：理解代数基本定理。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及 标准分解。 第九节 1.主要内容：有理系数多项式。 2. 基本概念和知识点：本原多项式、Eisenstein判别法。 3.问题与应用：深刻理解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系。 掌握本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein 判别法。 第二章行列式 (一)目的与内容 级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换、 行列式按一行（列）展开的公式、克莱姆(Cramer)法则、拉普拉斯(Laplace)定理。 二)教学内容 第一 1.主要内容：排列与逆序数。 2.基本概念与知识点：n级排列、逆序、逆序数。 3.问题与应用：理解并掌握排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义。掌握排列的奇 偶性与对换的关系。 第二节 1.主要内容：n阶行列式的定义 2.其木概念与知识占： n阶行列式的定义 3.问题与应用：深刻理解和掌握级行列式的定义，能用定义计算一些特殊行列式
4 第七节 1. 主要内容：多项式函数。 2. 基本概念和知识点:多项式函数、余数定理 3. 问题与应用：掌握多项式函数的概念, 余数定理, 多项式的根及性质。正 确理解多项式与多项式函数的关系。 第八节 1. 主要内容：复系数与实系数多项式的因式分解。 2. 基本概念和知识点: 复系数与实系数多项式的因式分解。 3. 问题与应用：理解代数基本定理。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及 标准分解。 第九节 1. 主要内容：有理系数多项式。 2. 基本概念和知识点:本原多项式、Eisenstein 判别法。 3. 问题与应用：深刻理解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系。 掌握本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein 判别法。 第二章 行列式 （一）目的与内容 n 级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换、 行列式按一行（列）展开的公式、克莱姆(Cramer)法则、拉普拉斯(Laplace)定理。 （二）教学内容 第一节 1. 主要内容： 排列与逆序数。 2. 基本概念与知识点：n 级排列、逆序、逆序数。 3. 问题与应用：理解并掌握排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义。掌握排列的奇 偶性与对换的关系。 第二节 1. 主要内容： n 阶行列式的定义 2. 基本概念与知识点：n 阶行列式的定义 3. 问题与应用：深刻理解和掌握 n 级行列式的定义, 能用定义计算一些特殊行列式
第三节 1.主要内容：行列式的性质 2.基本概念与知识点：性质1性质6 3.问题与应用：熟练掌握行列式的基本性质。 第 1. 主要内容：行列式的计算 2.基本概念与知识点：行列式的计算 3.问题与应用：正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行 列式性质计算一些简单行列式。 第五节 1.主要内容：行列式按行展开 2.基本概念与知识点：余子式、代数余子式、按行展开公式 3.问题与应用：正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。热练掌握行列式按 行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计 算行列式的技巧。 第六节 1.主要内容：克莱姆法则 2基本概念与知识点： 问题与应用： 第三章线性方程组 (一)目的与 线性方 程组 的初等变换、求线性方程组的一般解、n维向量、线性组合、线性相关 线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组 矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、齐次线性方程组的基 础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性方程组有解时的全部 解。 (二)教学内容 第一节 1.主要内容：消元法 2.基本概念与知识点：增广矩阵、高斯消元法 3.问题与应用：正确理解和掌握一般线性方程组，方程组的解，增广矩阵，线性方程 组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求解线性方程 组的一般解
5 第三节 1. 主要内容： 行列式的性质 2. 基本概念与知识点：性质 1-性质 6 3. 问题与应用：熟练掌握行列式的基本性质。 第四节 1. 主要内容：行列式的计算 2. 基本概念与知识点：行列式的计算 3. 问题与应用： 正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行 列式性质计算一些简单行列式。 第五节 1. 主要内容：行列式按行展开 2. 基本概念与知识点：余子式、代数余子式、按行展开公式 3. 问题与应用： 正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一 行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计 算行列式的技巧。 第六节 1. 主要内容： 克莱姆法则 2. 基本概念与知识点：克莱姆法则、齐次线性方程组有非零解的充要条件 3. 问题与应用： 熟练掌握克莱姆(Cramer)法则。 第三章 线性方程组 （一）目的与内容 线性方程组的初等变换、求线性方程组的一般解、n 维向量、线性组合、线性相关、 线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组、 矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、齐次线性方程组的基 础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性方程组有解时的全部 解。 （二）教学内容 第一节 1. 主要内容：消元法 2. 基本概念与知识点：增广矩阵、高斯消元法 3. 问题与应用：正确理解和掌握一般线性方程组, 方程组的解, 增广矩阵，线性方程 组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求解线性方程 组的一般解
第二节 1.主要内容： 2.基本概念与知识点： 3.问题与应用：理解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的 算。深刻理解n维向量空间的概念。 第三 1.主要内容：”维向量组的线性相关性 2.基本概念与知识点：线性组合、线性相关、线性无关、极大无关组、秩 3.问题与应用：正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌 握两个向量组等价的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的 定义，会求解向量组的一个极大无关组。 第四节 1.主要内容：矩阵的秩 2。基本概念与知识点：行秩、列秩、子式 3. 问题上 :深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义。掌握矩阵的秩与其 子式的关系。 第五节 1。主要内容：线性方程组有解判别定理 2.基本概念与知识点： 方程组有解判别定型 3. 问题与应用：熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公 式解。 第六节 :线性方程组解的结构 与知识点：基础解系，解空间 3.问题与应用：正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系，解空间的维数与概 念。熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有 解时的全部解。 第四章矩阵 (一)目的与内容 矩阵的运算、矩阵乘积的行列式定理、矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系、可 逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、刀阶方阵可逆的充要条件、用公式法求逆矩阵、分块矩 阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法求逆矩阵、分块矩阵的逆。 (二)教学内容 第一节 6
6 第二节 1. 主要内容： 2. 基本概念与知识点： 3. 问题与应用：理解和掌握 n 维向量及两个 n 维向量相等的定义。熟练掌握向量的 运算。深刻理解 n 维向量空间的概念。 第三节 1. 主要内容： n 维向量组的线性相关性 2. 基本概念与知识点：线性组合、线性相关、线性无关、极大无关组、秩 3. 问题与应用：正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌 握两个向量组等价的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的 定义，会求解向量组的一个极大无关组。 第四节 1. 主要内容： 矩阵的秩 2. 基本概念与知识点：行秩、列秩、子式 3. 问题与应用：深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义。掌握矩阵的秩与其 子式的关系。 第五节 1. 主要内容： 线性方程组有解判别定理 2. 基本概念与知识点：线性方程组有解判别定理 3. 问题与应用：熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公 式解。 第六节 1. 主要内容： 线性方程组解的结构 2. 基本概念与知识点：基础解系，解空间 3. 问题与应用： 正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系, 解空间的维数与概 念。熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有 解时的全部解。 第四章 矩阵 （一）目的与内容 矩阵的运算、矩阵乘积的行列式定理、矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系、可 逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、n 阶方阵可逆的充要条件、用公式法求逆矩阵、分块矩 阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法求逆矩阵、分块矩阵的逆。 （二）教学内容 第一节
1.主要内容：矩阵概念的一些背景 2.基本概念与知识点：矩阵 3.问题与应用：了解矩阵概念产生的背景。 第二节 主要内容： 矩阵的运算 2.基本概念与知识点：矩阵的加法、数乘、乘法、转置、矩阵的幂、矩阵的多项式 3.问题与应用：掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算规律及其计算。 笋二节 一主要内容： 矩阵乘积的行列式与秩 2. 基本概念与知识点：矩阵乘积的行列式 3.问题与应用：掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。 第四 1. 要内容： 矩阵的逆 2. 基 概念 知识点：逆矩阵、伴随矩阵 3.问题与应用：正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个 阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。 第五节 :矩阵的分块 2. 3.问题与应用：理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。 第六 主要内容：初等矩阵 2.基本概念与知识点：初等矩阵 3.问题与应用：正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系， 熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件：会用初等变换的方法求 一个方阵的递矩阵！ 第七节 1.主要内容：分块矩年的初等变换及应用举例 2.基本概念与知识点： 3.问题与应用：理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的 逆。 第五章二次型 7
7 1. 主要内容： 矩阵概念的一些背景 2. 基本概念与知识点：矩阵 3. 问题与应用：了解矩阵概念产生的背景。 第二节 1. 主要内容： 矩阵的运算 2. 基本概念与知识点：矩阵的加法、数乘、乘法、转置、矩阵的幂、矩阵的多项式 3. 问题与应用： 掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算规律及其计算。 第三节 1. 主要内容： 矩阵乘积的行列式与秩 2. 基本概念与知识点：矩阵乘积的行列式 3. 问题与应用：掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。 第四节 1. 主要内容： 矩阵的逆 2. 基本概念与知识点：逆矩阵、伴随矩阵 3. 问题与应用：正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个 n 阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。 第五节 1. 主要内容：矩阵的分块 2. 基本概念与知识点：分块矩阵 3. 问题与应用：理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。 第六节 1. 主要内容：初等矩阵 2. 基本概念与知识点：初等矩阵 3. 问题与应用：正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系， 熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求 一个方阵的逆矩阵。 第七节 1. 主要内容： 分块矩阵的初等变换及应用举例 2. 基本概念与知识点： 3. 问题与应用：理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的 逆。 第五章 二次型
(一）目的与内容 非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合同、 化二次型为标准形、复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理、正定二 次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。 (二)教学内容 第一节 1.主要内容：二次型的矩阵表示 2其木概令与知识点： 二次型、非很化线性替换 一次型的矩阵、矩阵的合同 3.问题与应用： 正确理解二次型和非退化线性替换的概念 掌握二次型的矩阵表示 及二次型与对称矩阵的 一对应关系：掌握矩阵的合同概念及性质。 第二节 1.主要内容：标准型 2.基本概念与知识点：二次型的标准基 3. 可题与应 理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的方法（主要是配方 法、初等变换法)。 第三节 1。主要内容：难一性 2.基本概念与知识点 次系的规范季 3. 问题与应用：正确理解复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性掌握惯性定 第四 主要内容： 正定一次别利 知识点：正定二次型、正定矩阵 3.问题与应用：正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念： 熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。 第六章线性空间 (一)目的与内容 线性空间、判断一个代数系统是否是线性空间、维线性空间的概念及性质、基 变换与坐标变换的关系、线性子空间的定义及判别定理、向量组生成子空间的定义及 笔价条件、 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和、线性空间同构的定义、性质 及两个有限维空间同构的充要条件。 (二)教学内容 第一节
8 （一）目的与内容 非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合同、 化二次型为标准形、复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理、正定二 次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。 （二）教学内容 第一节 1. 主要内容： 二次型的矩阵表示 2. 基本概念与知识点：二次型、非退化线性替换、二次型的矩阵、矩阵的合同 3. 问题与应用：正确理解二次型和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示 及二次型与对称矩阵的一一对应关系；掌握矩阵的合同概念及性质。 第二节 1. 主要内容： 标准型 2. 基本概念与知识点：二次型的标准型 3. 问题与应用：理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的方法（主要是配方 法、初等变换法）。 第三节 1. 主要内容：唯一性 2. 基本概念与知识点：二次系的规范型 3. 问题与应用：正确理解复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性；掌握惯性定 理。 第四节 1. 主要内容： 正定二次型 2. 基本概念与知识点：正定二次型、正定矩阵 3. 问题与应用：正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念； 熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。 第六章 线性空间 （一）目的与内容 线性空间、判断一个代数系统是否是线性空间、n 维线性空间的概念及性质、基 变换与坐标变换的关系、线性子空间的定义及判别定理、向量组生成子空间的定义及 等价条件、子空间的交与和、维数公式、子空间的直和、线性空间同构的定义、性质 及两个有限维空间同构的充要条件。 （二）教学内容 第一节
1.主要内容：集合与映射 2。基本概念与知识点：集合、映射、单射、满射、一一映射、逆映射 3.问题与应用：掌握映射、单射、满射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。 第二节 主要内容： 线性空间的定义和性质 2.基本概念与知识点：线性空间的定义 3.问题与应用：正确理解和掌握线性空间的定义及性质：会判断一个代数系统是否 是线性字间。 第三节 1.主要内容：维数、基与坐标 2.基本概念与知识点：维数、基、坐标 3.问题与应用：理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念：正确理解 和掌握n维线性空间的概念及性质。 第四节 1.主要内容：基变换与坐标变换 2.基本概念与知识点：基变换公式、坐标变换公式 3.问题与应用：正确理解和掌握基变换与坐标变换的关系。 第五节 1.主要内容：线性子空间 2.基本概念与知识点：子空间、生成子空间 3.问题与应用：正确理解线性子空间的定义及判别定理：掌握向量组生成子空间的 定义及等价条件。 第六节 1.主要内容：子空间的交与和 2.基本概念与知识点：子空间的交与和 3.问题与应用：掌握子空间的交与和的定义及性质：熟练掌握维数公式。 第七节 1.主要内容：子空间的直和 2.基本概念与知识点：直和 3.问题与应用：深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。 第八节 主要内容： 线性空间的同构 2.基本概念与知识点：同构
9 1. 主要内容： 集合与映射 2. 基本概念与知识点：集合、映射、单射、满射、一一映射、逆映射 3. 问题与应用：掌握映射、单射、满射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。 第二节 1. 主要内容： 线性空间的定义和性质 2. 基本概念与知识点：线性空间的定义 3. 问题与应用：正确理解和掌握线性空间的定义及性质；会判断一个代数系统是否 是线性空间。 第三节 1. 主要内容：维数、基与坐标 2. 基本概念与知识点：维数、基、坐标 3. 问题与应用：理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念；正确理解 和掌握 n 维线性空间的概念及性质。 第四节 1. 主要内容： 基变换与坐标变换 2. 基本概念与知识点：基变换公式、坐标变换公式 3. 问题与应用：正确理解和掌握基变换与坐标变换的关系。 第五节 1. 主要内容： 线性子空间 2. 基本概念与知识点：子空间、生成子空间 3. 问题与应用：正确理解线性子空间的定义及判别定理；掌握向量组生成子空间的 定义及等价条件。 第六节 1. 主要内容：子空间的交与和 2. 基本概念与知识点：子空间的交与和 3. 问题与应用：掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。 第七节 1. 主要内容： 子空间的直和 2. 基本概念与知识点：直和 3. 问题与应用：深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。 第八节 1. 主要内容： 线性空间的同构 2. 基本概念与知识点：同构
3.问题与应用：理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充 要条件 第七章线性变换 (一)目的与内容 线性变换的定义及性质、线性变换的运算、线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、 线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量、特征多项式、求矩阵的特征 值和特征向量、相似矩阵与它们的特征多项式的关系、哈密尔顿-凯莱定理、线性变 换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件、线性变换的值域、核、秩、零度、线性 变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系、不变子空间 的定义、判定一个子空间是否是。-子空间、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的 关系、将空间/按特征值分解成不变子空间的直和表达式、标准形的定义、最小多项 式。 (二)教学内容 第一节 1.主要内容：线性变换的定义 2.基本概念与知识点：线性变换 3.问题与应用：理解和掌握线性变换的定义及性质 第二节 1.主要内容：线性变换的运算 2.基本概念与知识点：线性变换的加法、数乘、乘法、逆、幂、多项式 3.问题与应用：掌握线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式 第三节 1.主要内容：线性变换的矩阵 2.基本概念与知识点：线性变换的矩阵、相似矩阵 3.问题与应用：深刻理解和掌握线性变换与矩阵的联系：掌握矩阵相似的概念和线 性变换在不同基下的矩阵相似等性质。 第四节 1.主要内容：特征值与特征向量 2基木想念与知识点：特征值、特征向量、特征多项式 3.问题与应用：理解和掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质 会求一个矩阵的特征值和特征向量：掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及 10
10 3. 问题与应用：理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充 要条件 第七章 线性变换 （一）目的与内容 线性变换的定义及性质、线性变换的运算、线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、 线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量、特征多项式、求矩阵的特征 值和特征向量、相似矩阵与它们的特征多项式的关系、哈密尔顿-凯莱定理、线性变 换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件、线性变换的值域、核、秩、零度、线性 变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系、不变子空间 的定义、判定一个子空间是否是σ-子空间、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的 关系、将空间 V 按特征值分解成不变子空间的直和表达式、标准形的定义、最小多项 式。 （二）教学内容 第一节 1. 主要内容： 线性变换的定义 2. 基本概念与知识点：线性变换 3. 问题与应用：理解和掌握线性变换的定义及性质。 第二节 1. 主要内容： 线性变换的运算 2. 基本概念与知识点：线性变换的加法、数乘、乘法、逆、幂、多项式 3. 问题与应用：掌握线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式。 第三节 1. 主要内容： 线性变换的矩阵 2. 基本概念与知识点：线性变换的矩阵、相似矩阵 3. 问题与应用：深刻理解和掌握线性变换与矩阵的联系；掌握矩阵相似的概念和线 性变换在不同基下的矩阵相似等性质。 第四节 1. 主要内容：特征值与特征向量 2. 基本概念与知识点：特征值、特征向量、特征多项式 3. 问题与应用：理解和掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质； 会求一个矩阵的特征值和特征向量；掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及
