《高等数学川》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16043004 课程名称：高等数学Ⅱ 英文名称：Higher mathematics II 课程类别：专业基础课 时：64 学 分.4 适用对象：理工科专业 考核方式：考试 先修课程：高等数学 二、课程简介 《高等数学Ⅱ》是高等学校理工科专业学生的必修课。通过本课程的学习，使学 生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算技能， 为学习后续课程和获得进 步的数学知识奠定必要的基础。通过知识内容的传授，培养学生的运算能力、抽象思 维能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的 能力。其具体内容包括：空间解析几何与向量代数：多元函数微积分学（多元函数微 分学、重积分、曲线积分和曲面积分)：无穷级数。 Higher mathematics II is a compulsory course for students majoring in science and engineering in institutions of higher learning.Through leamning of this course,make the students master the basic concepts of higher mathematics and the basic theory and basic computing skills,for leamning the follow-up courses and further the mathematics knowledge to lay the dation.Through the knowled g ntent of teachin cultivat students operation ability.abstract thinking ability.logical reasoning ability,space imagination ability and the integrated use of knowledge to the ability to analyze and solve problems.The specific contents include:spatial analytic geometry and vector algebra; Multifunction calculus (multifunction differential calculus,reintegration,curvilinear integ ral and surface inte a),Infinite series 三、课程性质与教学目的 目前，《高等数学II》己成为理工科类及部分经济、管理类专业的主干学科 基础课程，是教育部审定的核心课程和硕士研究生入学考试“数学1”和“数学2 的必考科目，对学好其它专业课程意义重大。近十多年来，国内的理工学科、经 济学科和管理学科都在加速与西方先进水平接轨，对数学的要求也越来越高 量研究、实证分析、 模型化处理已成为学科发展的一个潮流，这更突出了数学的 基础地位，凸显了它的功能和作用。 在我校，《高等数学IⅡ》课程是计算机科学与技术、软件工程、自然地理与
1 《高等数学 II》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16043004 课程名称：高等数学 II 英文名称：Higher mathematics II 课程类别：专业基础课 学 时：64 学 分：4 适用对象: 理工科专业 考核方式：考试 先修课程：高等数学 I 二、课程简介 《高等数学 II》是高等学校理工科专业学生的必修课。通过本课程的学习，使学 生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后续课程和获得进一 步的数学知识奠定必要的基础。通过知识内容的传授，培养学生的运算能力、抽象思 维能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的 能力。其具体内容包括：空间解析几何与向量代数；多元函数微积分学（多元函数微 分学、重积分、曲线积分和曲面积分）；无穷级数。 Higher mathematics II is a compulsory course for students majoring in science and engineering in institutions of higher learning. Through learning of this course, make the students master the basic concepts of higher mathematics and the basic theory and basic computing skills, for learning the follow-up courses and further the mathematics knowledge to lay the necessary foundation. Through the knowledge content of teaching, cultivate students' operation ability, abstract thinking ability, logical reasoning ability, space imagination ability and the integrated use of knowledge to the ability to analyze and solve problems. The specific contents include: spatial analytic geometry and vector algebra; Multifunction calculus (multifunction differential calculus, reintegration, curvilinear integral and surface integral); Infinite series. 三、课程性质与教学目的 目前，《高等数学 II》已成为理工科类及部分经济、管理类专业的主干学科 基础课程，是教育部审定的核心课程和硕士研究生入学考试“数学 1”和“数学 2” 的必考科目，对学好其它专业课程意义重大。近十多年来，国内的理工学科、经 济学科和管理学科都在加速与西方先进水平接轨，对数学的要求也越来越高，定 量研究、实证分析、模型化处理已成为学科发展的一个潮流，这更突出了数学的 基础地位，凸显了它的功能和作用。 在我校，《高等数学 II》课程是计算机科学与技术、软件工程、自然地理与
资源环境、人文地理与城乡规划管理等专业的一门必修的重要基础理论课 本教 学大纲参照国家教育部工科数学课程指导委员会《（高等数学）课程教学基本要求》 编写。 通过本课程的学习，使学生获得：(1)空间解析几何与向量代数：(2)多元函数 微积分学：（③）无穷级数等方面的基本概念、 ,基本理论和基本运算技能，为学习后继 课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时 要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻 辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算 能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。让学生掌握全面考虑问题的 思维方法，这将有助于学生们顺利地学习其他专业理论课。哲学中的对立统一规律、 量变质变规律、否定之否定规律在《微积分》中时有体现。通过课程内容，让学生加 强辩证唯物主义思维训练：通过数学历史，让学生感受科学家的奋斗精神 四、教学内容及要求 本门课程的内容按教学要求程度的不同，分为三个层次来表述。具体为，对概念 和理论性知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、“理解”三级区分：对运算、方法 和应用方面的内容，由低到高分别用“会或能”、“掌握”、“熟练掌握”三级区分。 一、空间解析几何与向量代数 (第八章空间解析几何与向量代数) (一)目的与要求 1、理解向量的概念及其表示，理解空间直角坐标系。 2、熟练掌握向量的运算（线性运算、数量积，向量积），了解两个向量垂直、 平行的条件。 3、掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用向量的坐标表达式进行 向量运算的方法。 4、理解曲面方程的概念，知道常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为 旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程及其图形， 5、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 6、知道曲面的交线在坐标平面上的投影。 7、掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决 有关问题。 (二)教学内容 第七章空间解析几何与向量代数 2
2 资源环境、人文地理与城乡规划管理等专业的一门必修的重要基础理论课。本教 学大纲参照国家教育部工科数学课程指导委员会《〈高等数学〉课程教学基本要求》 编写。 通过本课程的学习，使学生获得：(1)空间解析几何与向量代数； (2) 多元函数 微积分学；(3) 无穷级数等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继 课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻 辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算 能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。让学生掌握全面考虑问题的 思维方法，这将有助于学生们顺利地学习其他专业理论课。哲学中的对立统一规律、 量变质变规律、否定之否定规律在《微积分》中时有体现。通过课程内容，让学生加 强辩证唯物主义思维训练；通过数学历史，让学生感受科学家的奋斗精神。 四、教学内容及要求 本门课程的内容按教学要求程度的不同，分为三个层次来表述。具体为，对概念 和理论性知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、“理解”三级区分；对运算、方法 和应用方面的内容，由低到高分别用“会或能”、“掌握”、“熟练掌握”三级区分。 一、空间解析几何与向量代数 （第八章 空间解析几何与向量代数） （一）目的与要求 1、理解向量的概念及其表示，理解空间直角坐标系。 2、熟练掌握向量的运算（线性运算、数量积，向量积），了解两个向量垂直、 平行的条件。 3、掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用向量的坐标表达式进行 向量运算的方法。 4、理解曲面方程的概念，知道常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为 旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程及其图形。 5、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 6、知道曲面的交线在坐标平面上的投影。 7、掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决 有关问题。 （二）教学内容 第七章 空间解析几何与向量代数
第一节向量及其线性运算 1.主要内容：向量概念：向量的线性运算：空间直角坐标系：利用坐标作向量 的线性运算：向量的模、方向角、投影。 2.基本概念和知识点：向量：向量的和、差和数乘运算：空间直角坐标系：坐 标：坐标原点：坐标轴：坐标平面：卦限：利用坐标作向量的线性云算： 向量的模、方向角、投影 3。问题与应用：利用坐标表示向量：利用坐标作向量的线性运算：利用坐标表 示向量的模、方向角：计算或证明一些简单的几何问题。 第二节数量积向量积 1.主要内容：两向量的数量积：两向量的向量积。 2.基本概念和知识点：两向量的夹角：两向量的数量积：两向量的向量积。 3.问题与应用：数量积与向量积的坐标计算方法：两向量的数量积与两向量垂 直的关系：两向量的向量积与两向量平行的关系。 第三节曲面及其方程 基本 和知识点 曲面方程：旋转曲面：柱面：二次曲面 3.问题与应用：用方程表示曲面。 第四节空间曲线及其方程 1.主要内容：空间曲线的一般方程：空间曲线的参数方程：空间曲线在坐标平 面上的投影。 2.基本概念和知识点：空间曲线：空间曲线的一般方程：空间曲线的参数方程 空间曲线在坐标平面上的投影。 3.问题与应用：用方程组表示空间曲线及其投影 第五节平面及其方程 1.主要内容：平面的点法式方程：平面的一般方程：两平面的夹角。 2.基本概念 和知识点：平面： 平面的法向量（法线）：平面的点法式方程：平 面的一般方程：两平面的夹角。 3.问题与应用：用向量的方法讨论平面的方程和两平面的夹角。 第六节空间直线及其方程 1.主要内容：空间直线的一般方程：空间直线的对称式方程与参数方程：两直 线的夹角：直线与平面的夹角。 2.基本概念和知识点：空间直线：方向向量：空间直线的一般方程：空间直线 的对称式方程与参数方程：两直线的夹角：直线与平面的夹角。 3.问题与应用：用向量的方法讨论空间直线方程、两直线的夹角、直线与平面 的夹角。 3
3 第一节 向量及其线性运算 1．主要内容：向量概念；向量的线性运算；空间直角坐标系；利用坐标作向量 的线性运算；向量的模、方向角、投影。 2．基本概念和知识点：向量；向量的和、差和数乘运算；空间直角坐标系；坐 标；坐标原点；坐标轴；坐标平面；卦限；利用坐标作向量的线性运算； 向量的模、方向角、投影。 3．问题与应用：利用坐标表示向量；利用坐标作向量的线性运算；利用坐标表 示向量的模、方向角；计算或证明一些简单的几何问题。 第二节 数量积 向量积 1．主要内容：两向量的数量积；两向量的向量积。 2．基本概念和知识点：两向量的夹角；两向量的数量积；两向量的向量积。 3．问题与应用：数量积与向量积的坐标计算方法；两向量的数量积与两向量垂 直的关系；两向量的向量积与两向量平行的关系。 第三节 曲面及其方程 1．主要内容：曲面方程的概念；旋转曲面；柱面；二次曲面。 2．基本概念和知识点：曲面方程；旋转曲面；柱面；二次曲面。 3．问题与应用：用方程表示曲面。 第四节 空间曲线及其方程 1．主要内容：空间曲线的一般方程；空间曲线的参数方程；空间曲线在坐标平 面上的投影。 2．基本概念和知识点：空间曲线；空间曲线的一般方程；空间曲线的参数方程； 空间曲线在坐标平面上的投影。 3．问题与应用：用方程组表示空间曲线及其投影。 第五节 平面及其方程 1．主要内容：平面的点法式方程；平面的一般方程；两平面的夹角。 2．基本概念和知识点：平面；平面的法向量（法线）；平面的点法式方程；平 面的一般方程；两平面的夹角。 3．问题与应用：用向量的方法讨论平面的方程和两平面的夹角。 第六节 空间直线及其方程 1．主要内容：空间直线的一般方程；空间直线的对称式方程与参数方程；两直 线的夹角；直线与平面的夹角。 2．基本概念和知识点：空间直线；方向向量；空间直线的一般方程；空间直线 的对称式方程与参数方程；两直线的夹角；直线与平面的夹角。 3．问题与应用：用向量的方法讨论空间直线方程、两直线的夹角、直线与平面 的夹角
(三)思考与实践 本章重点为向量的线性运算，向量的数量积、向量积，用向量的坐标表达式进 行向量运算，向量与空间图形的关系，各种空间图形的方程。难点为向量的数量积、 向量积的定义与计算，各种空间图形方程的推导。务必要求学生多动手、多画图，理 解建立空间直角坐标系与定义向量及其运算的意义，熟习向量的各种运算，以及这些 运算与各种空间形式的关系。作业为教材中每节后的相应习题， 以计算题和应用题为 主。 (四)教学方法与手段 共12课时。课堂讲授为主，习题课、辅导、练习为辅，可适当运用多媒体课件 以话助学生建立空间形象。一些间题可在课堂进行讨论。 二、多元函数微分学 (第九章多元函数微分法及其应用) (一)目的与要求 1、理解多元函数的概念。 2、知道二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 注意，极限是典型的运动与发展的结果，不可用静止的眼光看待它。它体现了哲学中 的量变质变规律。 3、理解偏导数和全微分的概念，并熟练掌握其计算方法，知道全微分存在的必 要条件和充分条件 4、熟练掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 5、掌握由一个方程确定的隐函数的求导方法，会求由两个方程组成的方程组确 定的隐函数的偏导数。 6、了解空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。 7、知道方向导数和梯度的概念及其计算方法。 8、理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，掌握求条件极 值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。这里需要强 调，极值与最大值最小值之间的关系是局部与整体的辩证关系。 (二)教学内容 第八章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 1.主要内容：平面点集维空间：多元函数概念：多元函数的极限：多元函 4
4 （三）思考与实践 本章重点为向量的线性运算，向量的数量积、向量积，用向量的坐标表达式进 行向量运算，向量与空间图形的关系，各种空间图形的方程。难点为向量的数量积、 向量积的定义与计算，各种空间图形方程的推导。务必要求学生多动手、多画图，理 解建立空间直角坐标系与定义向量及其运算的意义，熟习向量的各种运算，以及这些 运算与各种空间形式的关系。作业为教材中每节后的相应习题，以计算题和应用题为 主。 （四）教学方法与手段 共 12 课时。课堂讲授为主，习题课、辅导、练习为辅，可适当运用多媒体课件， 以帮助学生建立空间形象。一些问题可在课堂进行讨论。 二、多元函数微分学 （第九章 多元函数微分法及其应用） （一）目的与要求 1、理解多元函数的概念。 2、知道二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 注意，极限是典型的运动与发展的结果，不可用静止的眼光看待它。它体现了哲学中 的量变质变规律。 3、理解偏导数和全微分的概念，并熟练掌握其计算方法，知道全微分存在的必 要条件和充分条件。 4、熟练掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 5、掌握由一个方程确定的隐函数的求导方法，会求由两个方程组成的方程组确 定的隐函数的偏导数。 6、了解空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。 7、知道方向导数和梯度的概念及其计算方法。 8、理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，掌握求条件极 值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。这里需要强 调，极值与最大值最小值之间的关系是局部与整体的辩证关系。 （二）教学内容 第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 1．主要内容：平面点集；n 维空间；多元函数概念；多元函数的极限；多元函
数的连续性。 2.基本概念和知识点：内点：外点：边界点：聚点：开集：闭集：连通集：区 域：闭区域：有界集：无界集：维空间：多元函数概念：多元函数的极限： 多元函数的连续性。 3.问题与应用：多元函数与一元函数的异同：多元函数极限的计算：多元函数 连续性的判断 第二节偏导数 3.问题与应用：偏导数的计算；高阶偏导数的计算。 第三节全微分 1.主要内容：全微分的定义：全微分的计算。 2.基本概念和知识点：偏增量：偏微分：全增量：全微分。 3问颗与应用，全微分与偏导之间的关系，全微分的计算 第四节多元复合函数的求导法则 1.主要内容 多元复合函数的求导公式 2.基本概念和知识点：多元复合函数：多元复合函数的求导公式（链式法则）。 3.问题与应用：掌握多元复合函数的求导公式（链式法则）的规律，举一反三。 第五节隐函数的求导公式 1.主要内容：一个方程的隐函数的求导公式：方程组的隐函数的求导公式。 2.基本概念和知识点：多元隐函数： 个方程的隐函数的求导公式：方程组的 隐函 数的求导公 3.问题与应用：灵活运用各种方法（公式法、方程两边对自变量求偏导数等方 法)求隐函数的导数。 第六节多元函数微分学的几何应用 1.主要内容：空间曲线的切线与法平面：曲面的切平面与法线。 2.基本概念和知识点：空间曲线：空间曲线的切向量：空间曲线的法平面方程： 曲线的向量方程：向量值函数的导数：曲面的切平面方程曲面的法向量 曲面的法线方程 3.问题与应用：用向量和导数的方法研究空间曲线的切线与法平面、曲面的切 平面与法线。 第七节方向导数与梯度 1.主要内容：方向导数：梯度。 2.基本概念和知识点：方向导数：梯度。 3.问题与应用：方向导数和梯度的计算 第八节多元函数的极值及其求法 1.主要内容：多元函数的极值及最大值、最小值：条件极值、拉格朗日乘数法。 5
5 数的连续性。 2．基本概念和知识点：内点；外点；边界点；聚点；开集；闭集；连通集；区 域；闭区域；有界集；无界集；n 维空间；多元函数概念；多元函数的极限； 多元函数的连续性。 3．问题与应用：多元函数与一元函数的异同；多元函数极限的计算；多元函数 连续性的判断。 第二节 偏导数 1．主要内容：偏导数的定义及其计算法；高阶偏导数。 2．基本概念和知识点：偏导数；偏导函数；高阶偏导数。 3．问题与应用：偏导数的计算；高阶偏导数的计算。 第三节 全微分 1．主要内容：全微分的定义；全微分的计算。 2．基本概念和知识点：偏增量；偏微分；全增量；全微分。 3．问题与应用：全微分与偏导数之间的关系；全微分的计算。 第四节 多元复合函数的求导法则 1．主要内容：多元复合函数的求导公式。 2．基本概念和知识点：多元复合函数；多元复合函数的求导公式（链式法则）。 3．问题与应用：掌握多元复合函数的求导公式（链式法则）的规律，举一反三。 第五节 隐函数的求导公式 1．主要内容：一个方程的隐函数的求导公式；方程组的隐函数的求导公式。 2．基本概念和知识点：多元隐函数；一个方程的隐函数的求导公式；方程组的 隐函数的求导公式。 3．问题与应用：灵活运用各种方法（公式法、方程两边对自变量求偏导数等方 法）求隐函数的导数。 第六节 多元函数微分学的几何应用 1．主要内容：空间曲线的切线与法平面；曲面的切平面与法线。 2．基本概念和知识点：空间曲线；空间曲线的切向量；空间曲线的法平面方程； 曲线的向量方程；向量值函数的导数；曲面的切平面方程；曲面的法向量； 曲面的法线方程。 3．问题与应用：用向量和导数的方法研究空间曲线的切线与法平面、曲面的切 平面与法线。 第七节 方向导数与梯度 1．主要内容：方向导数；梯度。 2．基本概念和知识点：方向导数；梯度。 3．问题与应用：方向导数和梯度的计算。 第八节 多元函数的极值及其求法 1．主要内容：多元函数的极值及最大值、最小值；条件极值、拉格朗日乘数法
2。基本概念和知识点：多元函数的极值：最大值：最小值：条件极值 3。问题与应用：多元函数的极值及最大值、最小值的计算：计算条件极值的拉 格朗日乘数法：各种相关的实际问题的分析和计算。 (三)思考与实践 本音重占为多元函数的概今，名元函数的偏导数，名元复合函数的求导法则 隐函数的求导公式，多元函数的条件极值 难点为多元复合函数的求导法则，隐函数 的求导公式。务必要求学生课后多作练习，对比一元函数的情形来 元图数的 种性质及应用，熟练掌握求偏导数的方法，并学会解决实际问题。作业为教材中每节 后的相应习题，以计算题和应用题为主。 (四)教学方法与手段 共18课时。课堂讲授为主，习题课、辅导、练习为辅，可适当运用多媒体课件 一些问题可可以到课微上讲行讨论 三、多元函数积分学 (第十章重积分：第十一章曲线积分与曲面积分) (一)目的与要求 1、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。 2、熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标)，掌握三重积分的计算 方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3、理解两类曲线积分的概念，知道两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4、掌握两类曲线积分的计算方法。 5、掌握格林(Green)公式，以及平面曲线积分与路径无关的条件。 6、了解两类曲面积分的概念，会计算两类曲面积分，知道高斯(Gauss)公式、 斯托克斯(Stokes)公式。 7、知道散度、旋度的概念及其计算方法。 8、会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、 弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等)。这里可启发学生，各类关于积分的应 用背景都是具体的现象，而它们所具有的共性才是问题的本质。透过现象看本质，是 辩证唯物主义的重要方法。 (二)教学内容 6
6 2．基本概念和知识点：多元函数的极值；最大值；最小值；条件极值。 3．问题与应用：多元函数的极值及最大值、最小值的计算；计算条件极值的拉 格朗日乘数法；各种相关的实际问题的分析和计算。 （三）思考与实践 本章重点为多元函数的概念，多元函数的偏导数，多元复合函数的求导法则， 隐函数的求导公式，多元函数的条件极值。难点为多元复合函数的求导法则，隐函数 的求导公式。务必要求学生课后多作练习，对比一元函数的情形来理解多元函数的各 种性质及应用，熟练掌握求偏导数的方法，并学会解决实际问题。作业为教材中每节 后的相应习题，以计算题和应用题为主。 （四）教学方法与手段 共 18 课时。课堂讲授为主，习题课、辅导、练习为辅，可适当运用多媒体课件。 一些问题可以拿到课堂上进行讨论。 三、多元函数积分学 （第十章 重积分；第十一章 曲线积分与曲面积分） （一）目的与要求 1、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。 2、熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），掌握三重积分的计算 方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3、理解两类曲线积分的概念，知道两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4、掌握两类曲线积分的计算方法。 5、掌握格林（Green）公式，以及平面曲线积分与路径无关的条件。 6、了解两类曲面积分的概念，会计算两类曲面积分，知道高斯（Gauss）公式、 斯托克斯（Stokes）公式。 7、知道散度、旋度的概念及其计算方法。 8、会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、 弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等）。这里可启发学生，各类关于积分的应 用背景都是具体的现象，而它们所具有的共性才是问题的本质。透过现象看本质，是 辩证唯物主义的重要方法。 （二）教学内容
第九章重积分 第一节二重积分的概念与性质 1.主要内容：二重积分的概念：二重积分的性质。 2.基本概念和知识点：曲顶柱体的体积：平面薄片的质量；二重积分：积分变 量：积分区域：二重积分的性质：二重积分的中值定理。 3.问题与应用：计算体积的问题。 第二节二重积分的计算法 1.主要内容：利用直角坐标计算二重积分：利用极坐标计算二重积分 2.基本概念和知识点：X-型区域：Y-型区域：二次积分：直角坐标系中的面积 元素：直角坐标系中的二重积分公式：极坐标系中的面积元素：极坐标系中 的二重积分公式。 3.问题与应用：X-型区域和Y-型区域的确定：直角坐标系中两种不同顺序的二 次积分的计算和互换 二重积分问题在直角坐标系与极坐标系中的互换 第三节三重积分 1.主要内容：三重积分的概念：三重积分的计算。 2.基本概念和知识点：三重积分：体积元素：空间闭区域：利用直角坐标计算 三重积分：利用柱面坐标计算三重积分：利用球面坐标计算三重积分。 3.问顾与应用：确定积分区域：在三种坐标系中选择与计算三重积分。 第四节重积分的应用 主要内容：曲面的面积质心：转动惯量 2.基本概念和知识点：曲面的面积：质心：转动惯量。 3.问题与应用：运用重积分计算曲面的面积：质心：转动惯量。 第十章曲线积分与曲面积分 第一节对弧长的曲线积分 1.主要内容：对弧长的曲线积分的概念与性质：对弧长的曲线积分的计算法。 2.基本概念与知识点：积分弧段：被积函数：对弧长的曲线积分（第一类曲线 积分) 3.问题与应用：计算对弧长的曲线积分：计算曲线型构件的质量。 第二节对坐标的曲线积分 1.主要内容：对坐标的曲线积分的概念与性质：对坐标的曲线积分的计算法： 两类曲线积分之间的联系。 2.基本概念和知识点：积分弧段：被积函数：对坐标的曲线积分（第二类曲线 积分)：有向曲线弧的切向量：有向曲线元。 3.问题与应用：计算对坐标的曲线积分。 第三节格林公式及其应用 L.主要内容：格林(Green).公式：平面上曲线积分与路径无关的条件：二元
7 第九章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质 1．主要内容：二重积分的概念；二重积分的性质。 2．基本概念和知识点：曲顶柱体的体积；平面薄片的质量；二重积分；积分变 量；积分区域；二重积分的性质；二重积分的中值定理。 3．问题与应用：计算体积的问题。 第二节 二重积分的计算法 1．主要内容：利用直角坐标计算二重积分；利用极坐标计算二重积分。 2．基本概念和知识点：X-型区域；Y-型区域；二次积分；直角坐标系中的面积 元素；直角坐标系中的二重积分公式；极坐标系中的面积元素；极坐标系中 的二重积分公式。 3．问题与应用：X-型区域和 Y-型区域的确定；直角坐标系中两种不同顺序的二 次积分的计算和互换；二重积分问题在直角坐标系与极坐标系中的互换。 第三节 三重积分 1．主要内容：三重积分的概念；三重积分的计算。 2．基本概念和知识点：三重积分；体积元素；空间闭区域；利用直角坐标计算 三重积分；利用柱面坐标计算三重积分；利用球面坐标计算三重积分。 3．问题与应用：确定积分区域；在三种坐标系中选择与计算三重积分。 第四节 重积分的应用 1．主要内容；曲面的面积；质心；转动惯量。 2．基本概念和知识点：曲面的面积；质心；转动惯量。 3．问题与应用：运用重积分计算曲面的面积；质心；转动惯量。 第十章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 1．主要内容：对弧长的曲线积分的概念与性质；对弧长的曲线积分的计算法。 2．基本概念与知识点：积分弧段；被积函数；对弧长的曲线积分（第一类曲线 积分）。 3．问题与应用：计算对弧长的曲线积分；计算曲线型构件的质量。 第二节 对坐标的曲线积分 1．主要内容：对坐标的曲线积分的概念与性质；对坐标的曲线积分的计算法； 两类曲线积分之间的联系。 2．基本概念和知识点：积分弧段；被积函数；对坐标的曲线积分（第二类曲线 积分）；有向曲线弧的切向量；有向曲线元。 3．问题与应用：计算对坐标的曲线积分。 第三节 格林公式及其应用 1．主要内容：格林（Green）公式；平面上曲线积分与路径无关的条件；二元
函数的全微分求积。 2.基本概念和知识点：单连通区域：复连通区域；格林公式：积分路径：与路 径无关。 3.问题与应用：平面上曲线积分与路径无关的充分必要条件：利用平面上曲线 积分与路径无关的条件计算积分。 第四节对面积的曲面积分 1.主要内容：对面积的曲面积分的概念与性质：对面积的曲面积分的计算法。 2.基本概念和知识点：积分曲面：被积函数：对面积的曲面积分（第一类曲面 积分 3.问题与应用：计算对面积的曲面积分。 第五节对坐标的曲面积分 1.主要内容：对坐标的曲面积分的概念与性质：对坐标的曲面积分的计算法： 两类曲面积分的联系。 2.基本概念和知识点：有向曲面：流量：对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）。 3.问题与应用：计算对坐标的曲面积分。 第六节高斯(Gauss)公式通量与散度 1.主要内容：高斯(Gauss)公式：通量与散度。 基本概念和知识点：高斯(Gauss)公式：通量与散度。 3 ,问题与 用 :高斯(Gauss 公式的运用：通量与散度的计算 第七节斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度 1.主要内容：斯托克斯(Stokes)公式：环流量与旋度。 2.基本概念和知识点：斯托克斯(Stokes)公式：环流量与旋度。 3.问题与应用：斯托克斯(Stokes)公式的运用：环流量与旋度的计算 (三)思考与实践 本部分内容重点为二重积分、 两类曲线积分和对面积的曲面积分的 概念及其运算 格林 Green)公 面曲线积分与路 无关的条件。难点为 积分、三重积分、两类曲线积分和对面积的曲面积分的运算，格林(Green）公式以 及平面曲线积分与路径无关的条件。务必要求学生勤学多练，深刻理解各种积分的意 义，熟练掌握各种积分的计算方法，草握格林(Green)公式及其应用。作业为教材 中每节后的相应习题，以计算题和应用题为主。 (四)教学方法与手段 共22课时。课堂讲授为主，习题课、辅导、练习为辅，可适当运用多媒体课件。 些问题可在课堂上进行讨论。 四、无穷级数 8
8 函数的全微分求积。 2．基本概念和知识点：单连通区域；复连通区域；格林公式；积分路径；与路 径无关。 3．问题与应用：平面上曲线积分与路径无关的充分必要条件；利用平面上曲线 积分与路径无关的条件计算积分。 第四节 对面积的曲面积分 1．主要内容：对面积的曲面积分的概念与性质；对面积的曲面积分的计算法。 2．基本概念和知识点：积分曲面；被积函数；对面积的曲面积分（第一类曲面 积分）。 3．问题与应用：计算对面积的曲面积分。 第五节 对坐标的曲面积分 1．主要内容：对坐标的曲面积分的概念与性质；对坐标的曲面积分的计算法； 两类曲面积分的联系。 2．基本概念和知识点：有向曲面；流量；对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）。 3．问题与应用：计算对坐标的曲面积分。 第六节 高斯（Gauss）公式 通量与散度 1．主要内容：高斯（Gauss）公式；通量与散度。 2．基本概念和知识点：高斯（Gauss）公式；通量与散度。 3．问题与应用：高斯（Gauss）公式的运用；通量与散度的计算。 第七节 斯托克斯（Stokes）公式 环流量与旋度 1．主要内容：斯托克斯（Stokes）公式；环流量与旋度。 2．基本概念和知识点：斯托克斯（Stokes）公式；环流量与旋度。 3．问题与应用：斯托克斯（Stokes）公式的运用；环流量与旋度的计算。 （三）思考与实践 本部分内容重点为二重积分、三重积分、两类曲线积分和对面积的曲面积分的 概念及其运算，格林（Green）公式，平面曲线积分与路径无关的条件。难点为二重 积分、三重积分、两类曲线积分和对面积的曲面积分的运算，格林（Green）公式以 及平面曲线积分与路径无关的条件。务必要求学生勤学多练，深刻理解各种积分的意 义，熟练掌握各种积分的计算方法，掌握格林（Green）公式及其应用。作业为教材 中每节后的相应习题，以计算题和应用题为主。 （四）教学方法与手段 共 22 课时。课堂讲授为主，习题课、辅导、练习为辅，可适当运用多媒体课件。 一些问题可在课堂上进行讨论。 四、无穷级数
(第十二章无穷级数)》 (一)目的与要求 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必 要条件。级数的本质是离散型无限求和，从有限到无限，是一类事物发展的必然规律， 是人类认识论历史发展的重要进步。它体现的是哲学中的量变质变规律 2、熟练掌握几何级数和p级数的散敛性。 3、掌握正项级数的比较审敛法（特别是极限形式），熟练掌握正项级数的比值 审敛法，知道正项级数的根值审敛法。 4、掌握交错级数的莱布尼兹(Leibniz)定理，会估计交错级数的截断误差。 5、掌握无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6、理解函数项级数的收敛域及和函数的概念，能求比较简单的和函数。 7、掌握比较简单的幂级数收敛区间求法（区间端点的收敛性可不作要求）。 8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 9、知道函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 l0、会利用e、snx、cosx、n(I+x)和(I+x)“的麦克劳林(Maclaurin)展开 式将一些简单函数间接展开为幂级数。 11、知道幂级数在近似计算上的简单应用。 l2、知道函数展开为傅立叶(Fourier)级数的狄里赫莱(Dirichlet)条件， 会将定义在（←元，π）和(-l,)的函数展开为傅立叶(Fourier)级数，并会将定义在(0，) 上的函数展开为正弦级数或余弦级数。 (二)教学内容 第十一章无穷级数 第一节常数项级数的概念和性质 1.主要内容：常数项级数的概念：收敛级数的基本性质。 2.基本概念和知识点：级数：常数项级数：部分和：部分和数列：常数项级数 的收敛与发散：收敛级数的基本性质：收敛级数的必要条件。 3.问题与应用：几何级数的敛散性。 第二节常数项级数的审敛法 1.主要内容：正项级数及其审敛法；交错级数及其审敛法：绝对收敛与条件收
9 （第十二章 无穷级数） （一）目的与要求 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必 要条件。级数的本质是离散型无限求和，从有限到无限，是一类事物发展的必然规律， 是人类认识论历史发展的重要进步。它体现的是哲学中的量变质变规律。 2、熟练掌握几何级数和 p-级数的散敛性。 3、掌握正项级数的比较审敛法（特别是极限形式），熟练掌握正项级数的比值 审敛法，知道正项级数的根值审敛法。 4、掌握交错级数的莱布尼兹（Leibniz）定理，会估计交错级数的截断误差。 5、掌握无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6、理解函数项级数的收敛域及和函数的概念，能求比较简单的和函数。 7、掌握比较简单的幂级数收敛区间求法（区间端点的收敛性可不作要求）。 8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 9、知道函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10、会利用 x e 、sin x、cos x、ln(1+ x) 和 (1+ x) 的麦克劳林（Maclaurin）展开 式将一些简单函数间接展开为幂级数。 11、知道幂级数在近似计算上的简单应用。 12、知道函数展开为傅立叶（Fourier）级数的狄里赫莱（Dirichlet）条件， 会将定义在 (− , ) 和 (−l,l) 的函数展开为傅立叶(Fourier)级数，并会将定义在 (0,l) 上的函数展开为正弦级数或余弦级数。 （二）教学内容 第十一章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念和性质 1．主要内容：常数项级数的概念；收敛级数的基本性质。 2．基本概念和知识点：级数；常数项级数；部分和；部分和数列；常数项级数 的收敛与发散；收敛级数的基本性质；收敛级数的必要条件。 3．问题与应用：几何级数的敛散性。 第二节 常数项级数的审敛法 1．主要内容：正项级数及其审敛法；交错级数及其审敛法；绝对收敛与条件收
敛。 2基本概念和知识点：正项级数的比较审敛法：正项级数的比值审敛法；正项 级数的根值审敛法：莱布尼兹定理：绝对收敛：条件收敛。 3.问题与应用：p-级数的敛散性：判断各种级数的敛散性。 第三节幂级数 1.主要内容：函数项级数的概念：幂级数及其收敛条件：幂级数的运算。 2.基本概念和知识点：幂级数：和函数：收敛域：余项：收敛半径：幂级数的 逐项可导和逐项可积定理。 3.问题与应用： 求幂级数的收敛域：利用幂级数的逐项可导和逐项可积定理求 幂级数的和函 第四节函数展开成幂级数 1.主要内容：泰勒级数；函数展开成幂级数。 2.基本概念和知识点：泰勒级数：麦克劳林级数：余项。 3.问题与应用：应用泰勒公式和麦克劳林公式将函数展开成幂级数：直接法： 间接法， 些常见的函数的幂级数展开式。 第五节函数的幂级数展开式的应用， 1.主要内容：近似计算：欧拉公式 2.基本概念和知识点：近似计算：欧拉公式。 3.问题与应用：运用函数的幂级数展开式进行近似计算。 第七节傅立叶(Fourier).级数 L.主要内容：三角级数：三角函数系的正交性：函数展开成傅立叶(Fourier) 级数：正弦级数和余弦级数。 2.基本概念和知识点：三角级数：三角函数系；正交性：函数展开成傅立叶 (Fourier)级数：正弦级数和余弦级数。 3.问题与应用：将函数展开成傅立叶(Fourier)级数。 第八节一般周期函数的傅立叶级数 1.主要内容：周期为2的周期函数的傅立叶(Fourier)级数。 2.基本概念和知识点：周期为2I的周期函数的傅立叶(Fourier)级数。 3.问题与应用：周期为21的周期函数的傅立叶(Fourier)级数。 (三)思考与实践 本章重点为常数项级数和幂级数的概念，正项级数比较审敛法的极限形式和正 项级数的比值审敛 错级数的莱布尼兹(L。 判别衫 对收 与条 敛的判断，收敛半径与收敛区间的计算，利用幂级数的逐项可导和逐项可积定理求利 函数。难点为正项级数的比较审敛法，绝对收敛与条件收敛的判断，用幂级数的逐项 可导和逐项可积定理求和函数。务必要求学生勒学多练，理解级数的意义及其与函数 的关系，熟记几何级数和p一级数的散敛性，掌握各种判定级数敛散的方法，掌握求和 10
10 敛。 2．基本概念和知识点：正项级数的比较审敛法；正项级数的比值审敛法；正项 级数的根值审敛法；莱布尼兹定理；绝对收敛；条件收敛。 3．问题与应用：p-级数的敛散性；判断各种级数的敛散性。 第三节 幂级数 1．主要内容：函数项级数的概念；幂级数及其收敛条件；幂级数的运算。 2．基本概念和知识点：幂级数；和函数；收敛域；余项；收敛半径；幂级数的 逐项可导和逐项可积定理。 3．问题与应用：求幂级数的收敛域；利用幂级数的逐项可导和逐项可积定理求 幂级数的和函数。 第四节 函数展开成幂级数 1．主要内容：泰勒级数；函数展开成幂级数。 2．基本概念和知识点：泰勒级数；麦克劳林级数；余项。 3．问题与应用：应用泰勒公式和麦克劳林公式将函数展开成幂级数；直接法； 间接法；一些常见的函数的幂级数展开式。 第五节 函数的幂级数展开式的应用， 1．主要内容：近似计算；欧拉公式。 2．基本概念和知识点：近似计算；欧拉公式。 3．问题与应用：运用函数的幂级数展开式进行近似计算。 第七节 傅立叶（Fourier）级数 1．主要内容：三角级数；三角函数系的正交性；函数展开成傅立叶（Fourier） 级数；正弦级数和余弦级数。 2．基本概念和知识点：三角级数；三角函数系；正交性；函数展开成傅立叶 （Fourier）级数；正弦级数和余弦级数。 3．问题与应用：将函数展开成傅立叶（Fourier）级数。 第八节 一般周期函数的傅立叶级数 1．主要内容：周期为 2l 的周期函数的傅立叶（Fourier）级数。 2．基本概念和知识点：周期为 2l 的周期函数的傅立叶（Fourier）级数。 3．问题与应用：周期为 2l 的周期函数的傅立叶（Fourier）级数。 （三）思考与实践 本章重点为常数项级数和幂级数的概念，正项级数比较审敛法的极限形式和正 项级数的比值审敛法，交错级数的莱布尼兹（Leibniz）判别法，绝对收敛与条件收 敛的判断，收敛半径与收敛区间的计算，利用幂级数的逐项可导和逐项可积定理求和 函数。难点为正项级数的比较审敛法，绝对收敛与条件收敛的判断，用幂级数的逐项 可导和逐项可积定理求和函数。务必要求学生勤学多练，理解级数的意义及其与函数 的关系，熟记几何级数和 p-级数的散敛性，掌握各种判定级数敛散的方法，掌握求和
