《数学分析Ia》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16020906 课程名称：数学分析 英文名称：Mathematical Analysis la 课程类别：学科基础课 学 时：90学时 分：6学分 适用对象：应用统计学专业、数据科学与大数据技术专业 考核方式：考试 先修课程：初等数学 二、课程简介 《数学分析I》是综合性大学数学类各专业一门重要的专业基础课程，是一门内 容丰富而整体性强、思想深刻而方法基本的课程。本课程以经典微积分为主体内容， 不仅为许多后继课程提供必要的基础知识和基本技能的训练，而且对全面培养学生的 现代数学素质以及运用数学思想和方法解决问题的能力起着十分重要的作用。通过本 课程的讲授和作业，使学生对极限论的思想和方法有较深刻的认识，草握极限论中的 论证方法，正确理解一元函数的导数和微分的概念，基本掌握一元函数积分学中的论 证方法和计算方法，能利用微分中值定理和导数的知识解决一些实际问题，并获得熟 练的极限计算，求导数和微分的演算技能和初步的应用能力，能利用定积分解决一些 实际应用问题。 Mathematical Analysis la is an important and basical specialized course settled by many professions of mathematics in a comprehensive university.Its content is rich and the integrity of the whole is very strong Its thought is profound and the methods are basic.The classic calculus is the main body content in this course,which can not only provide the necessary training including basic knowledge and basic skills for the follow-up courses,but also play an important role in the comprehenssive training of mathematical quality and Problem solving.This course hopes undergraduates can be familia with the limit theory.can correctly understand the concepts including derivative and integrate of the single variable and can basically grasp the methods of argumentation and calculation,It also hopes them can be familia with the limit calculation,the derivative calculation ,the differential calculation and the integrate calculations,and can get abilities to solve some practical problems
1 《数学分析 Ia》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16020906 课程名称：数学分析 Ia 英文名称：Mathematical Analysis Ia 课程类别：学科基础课 学 时：90 学时 学 分：6 学分 适用对象: 应用统计学专业、数据科学与大数据技术专业 考核方式：考试 先修课程：初等数学 二、课程简介 《数学分析 Ia》是综合性大学数学类各专业一门重要的专业基础课程，是一门内 容丰富而整体性强、思想深刻而方法基本的课程。本课程以经典微积分为主体内容， 不仅为许多后继课程提供必要的基础知识和基本技能的训练，而且对全面培养学生的 现代数学素质以及运用数学思想和方法解决问题的能力起着十分重要的作用。通过本 课程的讲授和作业，使学生对极限论的思想和方法有较深刻的认识，掌握极限论中的 论证方法，正确理解一元函数的导数和微分的概念，基本掌握一元函数积分学中的论 证方法和计算方法，能利用微分中值定理和导数的知识解决一些实际问题，并获得熟 练的极限计算，求导数和微分的演算技能和初步的应用能力，能利用定积分解决一些 实际应用问题。 《Mathematical Analysis Ia》is an important and basical specialized course settled by many professions of mathematics in a comprehensive university.Its content is rich and the integrity of the whole is very strong.Its thought is profound and the methods are basic.The classic calculus is the main body content in this course, which can not only provide the necessary training including basic knowledge and basic skills for the follow-up courses,but also play an important role in the comprehenssive training of mathematical quality and Problem solving .This course hopes undergraduates can be familia with the limit theory,can correctly understand the concepts including derivative and integrate of the single variable,and can basically grasp the methods of argumentation and calculation,It also hopes them can be familia with the limit calculation,the derivative calculation ,the differential calculation and the integrate calculations, and can get abilities to solve some practical problems
三、课程性质与教学目的 《数学分析Ia》的核心内容是微积分-微分学与积分学的统称。微积分己成为培 养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材。《数学分析Ia》 直被公认为是大学数学系本科阶段最重要的一门基础课，它不仅是大学数学系学生 进校后首先要面对的一门最重要课程，而且大学本科乃至研究生阶段的许多后继课程 本质上都可以看作是它的延伸、深化与应用，至于它的基本概念、思想和方法，更是 无处不在。 本课程的教学目的是通过系统的学习和严格的训练，使学生全面学握数学分析 的基本理论知识，初步掌握现代数学的观点与方法，使学生具备灵活、快捷的运算能 力和技巧，培养学生严格的逻辑思维能力和推理论证能力，简洁、清晰运用数学符号 和语言的表达能力，提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的 能力。数学中蕴含着深刻的哲学思想，诸如对立与统一、否定之否定、现象与本质、 相对与绝对等，因此在数学分析课程教学中，注重培养学生探索未知、追求真理、勇 攀科学高峰的责任感和使命感，强化学生精益求精的大国工匠精神，激发学生科技报 国的家国情怀和使命担当。 四、教学内容及要求 第一章实数集与函数 (一)目的与要求 1.了解实数集的基本性质以及实数集中几个常用不等式 2.数集上（下）确界的概今及基本性质。 3.理解函数概念及其意义，掌握生成函数的主要方法及函数的基本性质。 (二)教学内容 第一节实数 1.主要内容：实数的基本性质，一些常用的不等式 2.基本概念和知识点：实数及其性质，绝对值与不等式。 3.问题与应用（能力要求）：在初等数学的基础上重新有系统地理解实数 系。 第二节数集·确界原理 1.主要内容：罗素悖论、数学第一次危机，区间与领域、有界集、上确 界、下确界的概念，数集确界的存在性与唯一性。 2.基本概念和知识点：数集的上界、下界，有界集，无界集，上确界， 下确界，确界原理。 3.问题与应用（能力要求）：理解上确界和下确界的定义，理解确界原理 的内容
2 三、课程性质与教学目的 《数学分析 Ia》的核心内容是微积分---微分学与积分学的统称。微积分已成为培 养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材。《数学分析 Ia》 一直被公认为是大学数学系本科阶段最重要的一门基础课，它不仅是大学数学系学生 进校后首先要面对的一门最重要课程，而且大学本科乃至研究生阶段的许多后继课程 本质上都可以看作是它的延伸、深化与应用，至于它的基本概念、思想和方法，更是 无处不在。 本课程的教学目的是通过系统的学习和严格的训练，使学生全面掌握数学分析 的基本理论知识，初步掌握现代数学的观点与方法，使学生具备灵活、快捷的运算能 力和技巧，培养学生严格的逻辑思维能力和推理论证能力，简洁、清晰运用数学符号 和语言的表达能力，提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的 能力。数学中蕴含着深刻的哲学思想，诸如对立与统一、否定之否定、现象与本质、 相对与绝对等，因此在数学分析课程教学中，注重培养学生探索未知、追求真理、勇 攀科学高峰的责任感和使命感，强化学生精益求精的大国工匠精神，激发学生科技报 国的家国情怀和使命担当。 四、教学内容及要求 第一章 实数集与函数 （一）目的与要求 1．了解实数集的基本性质以及实数集中几个常用不等式 2．数集上（下）确界的概念及基本性质。 3. 理解函数概念及其意义，掌握生成函数的主要方法及函数的基本性质。 （二）教学内容 第一节 实数 1．主要内容：实数的基本性质，一些常用的不等式。 2．基本概念和知识点：实数及其性质，绝对值与不等式。 3．问题与应用（能力要求）：在初等数学的基础上重新有系统地理解实数 系。 第二节 数集▪确界原理 1．主要内容：罗素悖论、数学第一次危机，区间与领域、有界集、上确 界、下确界的概念，数集确界的存在性与唯一性。 2．基本概念和知识点：数集的上界、下界，有界集，无界集，上确界， 下确界，确界原理。 3．问题与应用（能力要求）：理解上确界和下确界的定义，理解确界原理 的内容
第三节函数概念 1.主要内容：函数的概念，函数的表示，函数的基本运算，复合函数 反函数，初等函数。 2.基本概念和知识点：函数的定义 3.问题与应用（能力要求）：理解函数的概念，熟悉函数的性质。 第四节具有某些特性的函数 1.主要内容：函数的四种特性（有界函数，单调函数，奇函数偶函数，周 期函数)。 2.基本概念和知识点：函数的四种特性。 3.问题与应用（能力要求）：会判断函数的特性。 (三)思考与实践 通过罗素悖论，数学第一次危机增强学生学习数学的兴趣，理解否定之 否定、现象与本质等深刻的哲学内涵，培养学生探索未知、追求真理、 勇攀科学高峰的责任感和使命感。系统思考完整的实数理论体系。 (四)教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第二章数列极限 (一)目的与要求 1.掌握数列极限的概念、数列极限的逼近思想及基本性质。 2.掌握数列极限的常见求法及常用的证明方法，数列收敛的判别法。 3.理解无穷小数列和无穷大数列的概念，子列的概念。 (二)教学内容 第一节数列极限概念 1.主要内容：我国古代关于数列的例子（刘徽的割圆术、祖冲之对圆周 率的研究)，数列的定义，数列极限的定义。 2.基本概念和知识点：数列，数列的极限，极限定义中两个极限符号的 一重性，用定义证明极限。 3.问题与应用（能力要求）：(1)理解数列极限的逼近思想，这是一种非 常重要的解决问题的思想方法，由此强化学生精益求精的大国工匠精 神，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当，(2)熟练掌握适当放大 法。 第二节收敛数列的性质 1,主要内容：收敛数列的重要性质，子列的定义。 2.基本概念和知识点：有界数列，无界数列，迫敛性定理，子列，偶子 列、奇子列，数列收敛的一个充要条件，判别数列发散的有效方法。 3
3 第三节 函数概念 1. 主要内容：函数的概念，函数的表示，函数的基本运算，复合函数， 反函数，初等函数。 2. 基本概念和知识点：函数的定义 3. 问题与应用（能力要求）：理解函数的概念，熟悉函数的性质。 第四节 具有某些特性的函数 1.主要内容：函数的四种特性（有界函数，单调函数，奇函数偶函数，周 期函数）。 2.基本概念和知识点：函数的四种特性。 3.问题与应用（能力要求）： 会判断函数的特性。 （三）思考与实践 通过罗素悖论，数学第一次危机增强学生学习数学的兴趣，理解否定之 否定、现象与本质等深刻的哲学内涵，培养学生探索未知、追求真理、 勇攀科学高峰的责任感和使命感。系统思考完整的实数理论体系。 （四）教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第二章 数列极限 （一）目的与要求 1．掌握数列极限的概念、数列极限的逼近思想及基本性质。 2．掌握数列极限的常见求法及常用的证明方法，数列收敛的判别法。 3．理解无穷小数列和无穷大数列的概念，子列的概念。 （二）教学内容 第一节 数列极限概念 1．主要内容：我国古代关于数列的例子（刘徽的割圆术、祖冲之对圆周 率的研究），数列的定义，数列极限的定义。 2．基本概念和知识点：数列，数列的极限，极限定义中两个极限符号的 二重性，用定义证明极限。 3．问题与应用（能力要求）：(1) 理解数列极限的逼近思想，这是一种非 常重要的解决问题的思想方法，由此强化学生精益求精的大国工匠精 神，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当，(2)熟练掌握适当放大 法。 第二节 收敛数列的性质 1．主要内容：收敛数列的重要性质，子列的定义。 2．基本概念和知识点：有界数列，无界数列，迫敛性定理，子列，偶子 列、奇子列，数列收敛的一个充要条件，判别数列发散的有效方法
3.问题与应用（能力要求）： 掌握收敛数列的重要性质；理解发散数列的正面定义：掌握证明 数列发散的方法：理解子列的敛散性。 第三节数列极限存在的条件 1.主要内容：单调数列，单调有界原理，柯西收敛准则。 2.基本概念和知识点：递增数列，递减数列，用单调有界定理证明极限 的存在及求极限。 3.问题与应用（能力要求）： (1)运用确界原理对单调有界定理进行证明的过程具有极强的逻 辑性和探究性，通过该定理的证明锻炼学生的思维能力和解决科学问 题的能力，培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和 使命感，感受精益求精的大国工匠精神。 (2)通过对复利模型的分析讨论，完成对第二重要极限的探究，并 将其迁移到实际问题中，如“谨慎投资，警惕网贷”，培养学生积极向 上的人生价值观 (三)思考与实践 如何理解极限思想？怎样证明数列的极限？求极限有哪些公式和方法？ (四)教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第三章函数极限 (一) 目的与要求 1.掌握函数极限的概念、极限的逼近思想（对于我们最初的理想，在奋 斗中要不忘初心，砥砺前行，精益求精，无限接近，方得始终)及基 本性质，函数极限的常见求法及常用的证明方法。 2.掌握两个重要极限并会灵活应用。 3.理解无穷小（大）量阶的比较概念并掌握阶的判别方法。 4,掌握连续函数的性质，培养学生做事趁着冷静，不急于求成，遵循万 事万物原本的发展规律，培养学生逻辑思维和推理能力在解决实际问 题中的应用能力。 (二)教学内容 第一节函数极限概念 1.主要内容：引例，函数极限的定义，三种函数极限的关系，典型例子。 2基本概念和知识点：函数极限的定义、几何意义，用定义证明函数极限 3.问题与应用（能力要求）：理解离散与连续的关系，理解函数极限的定 义。 4
4 3．问题与应用（能力要求）： 掌握收敛数列的重要性质；理解发散数列的正面定义；掌握证明 数列发散的方法；理解子列的敛散性。 第三节 数列极限存在的条件 1．主要内容：单调数列，单调有界原理，柯西收敛准则。 2．基本概念和知识点：递增数列，递减数列，用单调有界定理证明极限 的存在及求极限。 3.问题与应用（能力要求）： (1) 运用确界原理对单调有界定理进行证明的过程具有极强的逻 辑性和探究性，通过该定理的证明锻炼学生的思维能力和解决科学问 题的能力，培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和 使命感，感受精益求精的大国工匠精神。 (2)通过对复利模型的分析讨论，完成对第二重要极限的探究，并 将其迁移到实际问题中，如“谨慎投资，警惕网贷”，培养学生积极向 上的人生价值观. （三）思考与实践 如何理解极限思想？怎样证明数列的极限？求极限有哪些公式和方法？ （四）教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第三章 函数极限 （一） 目的与要求 1. 掌握函数极限的概念、极限的逼近思想（对于我们最初的理想，在奋 斗中要不忘初心，砥砺前行，精益求精，无限接近，方得始终）及基 本性质，函数极限的常见求法及常用的证明方法。 2. 掌握两个重要极限并会灵活应用。 3. 理解无穷小（大）量阶的比较概念并掌握阶的判别方法。 4. 掌握连续函数的性质，培养学生做事趁着冷静，不急于求成，遵循万 事万物原本的发展规律，培养学生逻辑思维和推理能力在解决实际问 题中的应用能力。 （二）教学内容 第一节 函数极限概念 1.主要内容：引例，函数极限的定义，三种函数极限的关系，典型例子。 2.基本概念和知识点：函数极限的定义、几何意义，用定义证明函数极限。 3.问题与应用（能力要求）: 理解离散与连续的关系，理解函数极限的定 义
第二节函数极限的性质 1.主要内容：唯一性，局部有界性，局部保号性，四则运算法则 复合函数的极限。 2.基本概念和知识点：函数极限的定义、几何意义，用定义证明函数极限 3.问题与应用（能力要求）：熟悉极限的性质。 第三节函数极限存在的条件 1.主要内容：归结原则（海涅定理），函数的单调有界定理，柯西准则。 2.基本概念和知识点：用归结原则判断极限是否存在以及求极限， 用柯西准则判新极限是否存在。 3.问题与应用（能力要求）：掌握极限存在的判别法和求极限的方法。 第四节两个重要极限 1.主要内容：两个重要极限的内容及证明。 2.基本概念和知识点：第一个重要极限，第二个重要极限，用两个重要极 限求其他函数的极限。 3.问题与应用（能力要求）：掌握极限存在的判别法和求极限的方法。 第五节无穷小量和无穷大量 1.主要内容：无穷小量与无穷大量的定义和性质，无穷小量阶的比较 2.基本概念和知识点：无穷小量，无穷大量，有界量，用无穷大量与无穷 小量的关系求极限，用无穷小量的性质求极限， 高阶、同阶、等价无穷小量。 3.问题与应用（能力要求）：理解无穷小量和无穷大量的概念 熟悉无穷小量的性质。 (三)思考与实践 如何理解极限思想？极限在数学分析中的作用是什么？求函数极限有哪 些公式和方法？ (四)教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第四章函数的连续性 目的与要求 1.掌握连续函数的概念及连续性的判别方法。 2.掌握连续函数的重要性质（局部性态与整体特性）及其应用，会利用连 续的性质求极限。 3.了解一致车续函数的概念及某木性质。 (二)教学内容 5
5 第二节 函数极限的性质 1. 主要内容：唯一性，局部有界性，局部保号性，四则运算法则， 复合函数的极限。 2.基本概念和知识点：函数极限的定义、几何意义，用定义证明函数极限。 3.问题与应用（能力要求）:熟悉极限的性质。 第三节 函数极限存在的条件 1.主要内容：归结原则（海涅定理），函数的单调有界定理，柯西准则。 2.基本概念和知识点：用归结原则判断极限是否存在以及求极限， 用柯西准则判断极限是否存在。 3.问题与应用（能力要求）：掌握极限存在的判别法和求极限的方法。 第四节 两个重要极限 1.主要内容：两个重要极限的内容及证明。 2.基本概念和知识点：第一个重要极限，第二个重要极限，用两个重要极 限求其他函数的极限。 3.问题与应用（能力要求）：掌握极限存在的判别法和求极限的方法。 第五节 无穷小量和无穷大量 1.主要内容：无穷小量与无穷大量的定义和性质，无穷小量阶的比较。 2.基本概念和知识点：无穷小量，无穷大量，有界量，用无穷大量与无穷 小量的关系求极限，用无穷小量的性质求极限， 高阶、同阶、等价无穷小量。 3.问题与应用（能力要求）：理解无穷小量和无穷大量的概念， 熟悉无穷小量的性质。 （三）思考与实践 如何理解极限思想？极限在数学分析中的作用是什么？求函数极限有哪 些公式和方法？ （四）教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第四章 函数的连续性 （一） 目的与要求 1.掌握连续函数的概念及连续性的判别方法。 2.掌握连续函数的重要性质（局部性态与整体特性）及其应用，会利用连 续的性质求极限。 3.了解一致连续函数的概念及基本性质。 （二）教学内容
第一节连续性概念 L主要内容：函数在一点连续的定义，函数的左连续与右连续及区间上 的连续函数，间断点的定义及其分类，典型例子。 2基本概念和知识点：增量，开区间内连续、闭区间上连续，连续的证 明及讨论，讨论函数的间断点。 3.问题与应用（能力要求） (1)连续性代表一种稳定性.古人用拔苗助长的故事比喻违反事物 发展的客观规律，急于求成，反而坏事。生活中，很多事物的变化都是 连续的，像植物的生长、气温的变换、知识的积累等，教育学生做事要 沉着冷静，不能急于求成，必须遵循它原本的规律，我们学习数学要重 视打好坚实的基础。 (2)理解连续与左、右连续的关系： (3)熟悉求间断点的方法和间断点的分类 第二节连续函数的性质 1.主要内容：局部性质（局部有界性，局部保号性，四则运算，复合函 数的连续性)，整体性质（有界性定理和最值定理，零点定 理与介值定理)，反函数的连续性，一致连续性。 2.基本概念和知识点：局部有界性，局部保号性，四则运算法则，复合函 数的连续性，反函数的连续性，最大值、最小值，证明方程根的存在性 一致连续，一致连续的性质，讨论函数在一个区间上是否一致连续。 3.问题与应用（能力要求） 熟悉连续函数的局部性质。熟练掌握连续函数的整体性质。 第四节初等函数的连续性 1,主要内容：初等函数的连续性。 2.基本概念和知识点：初等函数的连续性，应用连续性求极限 3.问题与应用（能力要求）：应用函数的连续性求函数极限。 (三)思考与实践 怎样讨时论函数的一致连续与非致连续性？ (四)教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学。 第五章导数与徽分 (一)目的与要求 1.两个实例 一光学透镜的设计及炮弹弹道轨迹的计算导出曲线切线 的研究，质点变速运动的瞬时速度问题引出变化率的问题。培养学生探 6
6 第一节 连续性概念 1.主要内容：函数在一点连续的定义，函数的左连续与右连续及区间上 的连续函数，间断点的定义及其分类，典型例子。 2.基本概念和知识点：增量，开区间内连续、闭区间上连续，连续的证 明及讨论，讨论函数的间断点。 3.问题与应用（能力要求） (1)连续性代表一种稳定性.古人用拔苗助长的故事比喻违反事物 发展的客观规律，急于求成，反而坏事。生活中，很多事物的变化都是 连续的，像植物的生长、气温的变换、知识的积累等，教育学生做事要 沉着冷静，不能急于求成，必须遵循它原本的规律，我们学习数学要重 视打好坚实的基础。 (2)理解连续与左、右连续的关系； (3)熟悉求间断点的方法和间断点的分类。 第二节 连续函数的性质 1. 主要内容：局部性质（局部有界性，局部保号性，四则运算，复合函 数 的连续性 ）， 整体性质 （ 有 界 性 定 理和 最 值 定 理 ， 零点定 理与介值定理），反函数的连续性，一致连续性。 2.基本概念和知识点：局部有界性，局部保号性，四则运算法则，复合函 数的连续性，反函数的连续性，最大值、最小值，证明方程根的存在性， 一致连续，一致连续的性质，讨论函数在一个区间上是否一致连续。 3.问题与应用（能力要求） 熟悉连续函数的局部性质。熟练掌握连续函数的整体性质。 第四节 初等函数的连续性 1.主要内容： 初等函数的连续性。 2.基本概念和知识点：初等函数的连续性，应用连续性求极限。 3.问题与应用（能力要求）: 应用函数的连续性求函数极限。 （三）思考与实践 怎样讨论函数的一致连续与非一致连续性？ （四）教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学。 第五章 导数与微分 （一）目的与要求 1. 两个实例——光学透镜的设计及炮弹弹道轨迹的计算导出曲线切线 的研究，质点变速运动的瞬时速度问题引出变化率的问题。培养学生探
索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。 2. 理解与掌握导数与微分的概念及基本性质 3.掌握求导数（微分）的基本方法。 (二)教学内容 第一节导数的概念 1.主要内容：导数的起源(17世纪的两个科学问题)，导数和导函数的定 义，左、右导数。 2.基本概念和知识点：在一点的导数、左、右导数，导函数，可微函数。 3.问题与应用（能力要求） 了解微积分的发展史，导数的思想，理解导数的定义，导数的几何 意义，导数的本质。 第二节求导法则 1.主要内容：用定义求函数的导数，导数的四则运算法则，反函数求导法 则，复合函数求导法则。 2.基本概念和知识点：利用导数定义导出一些基本初等函数的导数公式， 链式法则，利用利用导数的运算法则导出一些基本初等函数的导数公式。 3.问题与应用（能力要求） 熟悉基本初等函数的导数公式，熟练掌握求导法则。 第三节参变量函数的导数 1.主要内容：参数方程与函数，用参数方程表示的函数的导数，用极坐标 方程表示的曲线的切线。 2.基本概念和知识点：参数方程，参变量函数，光滑曲线，求一个参数方 程的一阶导数和二阶导数 3.问题与应用（能力要求） 给出几个前沿工程领域的参数方程让学生对其讨论，熟练举握用参数 方程表示的函数的导数的求法。 第四节高阶导数 1.主要内容：介绍数学家莱布尼茨（让学生了解伟大的数学家的励志人生 和精益求精的治学态度和无私奉献的科研精神)，高阶导数， 2.基本概念和知识点：二阶导数，高阶导数，莱布尼茨公式。 3问题与应用（能力要求） 理解高阶导数的定义。 第五节微分 1.主要内容：徽分的思想方法，微分的概念，微分的运算法则，可微与可 导的关系，高阶微分，微分在近似计算中的应用
7 索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感。 2. 理解与掌握导数与微分的概念及基本性质 3. 掌握求导数（微分）的基本方法。 （二）教学内容 第一节 导数的概念 1.主要内容：导数的起源（17 世纪的两个科学问题），导数和导函数的定 义，左、右导数。 2.基本概念和知识点：在一点的导数、左、右导数，导函数，可微函数。 3.问题与应用（能力要求） 了解微积分的发展史，导数的思想，理解导数的定义，导数的几何 意义，导数的本质。 第二节 求导法则 1.主要内容：用定义求函数的导数，导数的四则运算法则，反函数求导法 则，复合函数求导法则。 2.基本概念和知识点：利用导数定义导出一些基本初等函数的导数公式， 链式法则，利用利用导数的运算法则导出一些基本初等函数的导数公式。 3.问题与应用（能力要求） 熟悉基本初等函数的导数公式，熟练掌握求导法则。 第三节 参变量函数的导数 1.主要内容：参数方程与函数，用参数方程表示的函数的导数，用极坐标 方程表示的曲线的切线。 2.基本概念和知识点：参数方程，参变量函数，光滑曲线，求一个参数方 程的一阶导数和二阶导数。 3.问题与应用（能力要求） 给出几个前沿工程领域的参数方程让学生对其讨论，熟练掌握用参数 方程表示的函数的导数的求法。 第四节 高阶导数 1.主要内容：介绍数学家莱布尼茨（让学生了解伟大的数学家的励志人生 和精益求精的治学态度和无私奉献的科研精神），高阶导数， 2.基本概念和知识点：二阶导数，高阶导数，莱布尼茨公式。 3.问题与应用（能力要求） 理解高阶导数的定义。 第五节 微分 1.主要内容：微分的思想方法，微分的概念，微分的运算法则，可微与可 导的关系，高阶微分，微分在近似计算中的应用
2.基本概念和知识点：可微，微分，可微与可导是等价的，一阶微分形式 不变性，利用微分的四则运算法则求一些函数的微分，二阶微分，求 函数的近似值。 3问题与应用（能力要求） 了解微分的思想方法并用于讨论前沿的一些问题，理解微分的定义，熟 练掌握微分的运算法则，微分的近似计算（以直代曲）。 (三)思者与实践 如何理解导数的几何意义？微分的概念是什么？连续、可导、可微之间 的关系是什么？ (四)教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第六章徽分中值定理及其应用 (一)目的与要求 1,掌握微分中值定理及其应用 2.掌握运用导数求不定式极限的方法 3,掌握一元微分学对函数性态（方程与不等式）研究的应用 4.了解泰勒公式及其应用。 (二)教学内容 第一节拉格朗日中值定理和函数的单调性 1,主要内容：介绍三位数学家的生平和中值定理的起源发展过程，引导 学生认识事物的发展规律，引导学生认识事物的发展规律。罗尔中值 定理，拉格朗日中值定理，函数的单调性 2.基本概念和知识点：罗尔中值定理及其几何意义，拉格朗日中值定理及 其几何意义，中值公式，证明恒等式，证明不等式，用导数判断函数 的单调性。 3问题与应用（能力要求） 认识到从简单到复杂，从特殊到一般的过程，利于学生了解到事物的 发展规律，培养学生由点到面，逻辑归纳等能力的培养。 理解罗尔中值定理和拉格朗日中值定理：掌握运用导数符号判断函数的 单调性。 第二节柯西中值定理和不定式极限 1.主要内容：柯西中值定理，介绍瑞士数学约翰伯努利及其发现洛必达法 则的故事，教育学生抵制个人主义、拜金主义、享乐主义等消极的人生 态度，在大学期间要不断完善自己的人生观、价值观和世界观，积极向
8 2.基本概念和知识点：可微，微分，可微与可导是等价的，一阶微分形式 不变性，利用微分的四则运算法则求一些函数的微分，二阶微分，求 函数的近似值。 3.问题与应用（能力要求） 了解微分的思想方法并用于讨论前沿的一些问题，理解微分的定义，熟 练掌握微分的运算法则，微分的近似计算（以直代曲）。 （三）思考与实践 如何理解导数的几何意义？微分的概念是什么？连续、可导、可微之间 的关系是什么？ （四）教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第六章 微分中值定理及其应用 （一）目的与要求 1.掌握微分中值定理及其应用 2.掌握运用导数求不定式极限的方法 3.掌握一元微分学对函数性态（方程与不等式）研究的应用 4.了解泰勒公式及其应用。 （二）教学内容 第一节 拉格朗日中值定理和函数的单调性 1.主要内容：介绍三位数学家的生平和中值定理的起源发展过程，引导 学生认识事物的发展规律，引导学生认识事物的发展规律。罗尔中值 定理，拉格朗日中值定理，函数的单调性。 2.基本概念和知识点：罗尔中值定理及其几何意义，拉格朗日中值定理及 其几何意义，中值公式，证明恒等式，证明不等式，用导数判断函数 的单调性。 3.问题与应用（能力要求） 认识到从简单到复杂，从特殊到一般的过程，利于学生了解到事物的 发展规律，培养学生由点到面，逻辑归纳等能力的培养。 理解罗尔中值定理和拉格朗日中值定理；掌握运用导数符号判断函数的 单调性。 第二节 柯西中值定理和不定式极限 1.主要内容：柯西中值定理，介绍瑞士数学约翰伯努利及其发现洛必达法 则的故事，教育学生抵制个人主义、拜金主义、享乐主义等消极的人生 态度，在大学期间要不断完善自己的人生观、价值观和世界观，积极向
上的人生态度非常充要。用洛必达法则求极限，其他类型的不定式极限。 2.基本概念和知识点：，柯西中值定理及其几何意义，三个中值定理的关 系。不定式极限，洛必达法则，求极限要多种方法混合使用。 3.问题与应用（能力要求） 理解柯西中值定理：洛必达法则是利用导数来计算具有不定型的极限的 方法，熟练掌握洛必达法则 第三节泰勒公式 1.主要内容：用多项式近似替代函数的思想方法，带佩亚诺型余项的泰勒 公式，带拉格朗日型余项的泰勒公式，若干初等函数的麦克劳林公式，泰 勒公式应用举例。 2.基本想今和知识点：逼近多项式，表物公式，麦克劳林公式，求表物公 式的直接法、间接法，利用泰勒公式求函数极限、证明不等式等。 3.问题与应用（能力要求） 熟悉泰勒公式、麦克劳林公式。 第四节函数的极值与最大（小）值 1.主要内容：通过讨论在销售饮料时如何建立数学模型来确定能够获取 最大利润的方案设计，让学生体会数据来源的真实性，严谨性，不能弄 虚作假，遇到问题理性思考，严谨踏实，求真务实.函数的极值，函数的 最值。 2.基本概念和知识点：极值的第一判别法，极值的第二判别法，极值的第 三判别法，求函数在一个闭区间上的最值，求解应用题中的最值。 3.问题与应用（能力要求） 熟练掌握极值的判定方法 第五节函数的凸性与拐点 1,主要内容：函数的凸性，曲线的拐点，凸性的应用一证明一些不等式 2.基本概念和知识点：（严格）下凸函数，（严格）上凸函数，曲线的拐点， 讨论函数的上（下）凸性，求曲线的拐点，詹森不等式 3.问题与应用（能力要求） 熟练掌握曲线凹凸区间的求法。 (三)思考与实践 如何理解三个中值定理及其几何意义？ 泰勒公式的作用是什么？ 怎样求函数的极大值与极小值，最大值与最小值？ (四)教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课
9 上的人生态度非常充要。用洛必达法则求极限，其他类型的不定式极限。 2.基本概念和知识点：，柯西中值定理及其几何意义，三个中值定理的关 系。不定式极限，洛必达法则，求极限要多种方法混合使用。 3.问题与应用（能力要求） 理解柯西中值定理；洛必达法则是利用导数来计算具有不定型的极限的 方法，熟练掌握洛必达法则。 第三节 泰勒公式 1.主要内容：用多项式近似替代函数的思想方法，带佩亚诺型余项的泰勒 公式，带拉格朗日型余项的泰勒公式，若干初等函数的麦克劳林公式，泰 勒公式应用举例。 2.基本概念和知识点：逼近多项式，泰勒公式，麦克劳林公式，求泰勒公 式的直接法、间接法，利用泰勒公式求函数极限、证明不等式等。 3.问题与应用（能力要求） 熟悉泰勒公式、麦克劳林公式。 第四节 函数的极值与最大（小）值 1.主要内容：通过讨论在销售饮料时如何建立数学模型来确定能够获取 最大利润的方案设计，让学生体会数据来源的真实性，严谨性，不能弄 虚作假，遇到问题理性思考，严谨踏实，求真务实. 函数的极值，函数的 最值。 2.基本概念和知识点：极值的第一判别法，极值的第二判别法，极值的第 三判别法，求函数在一个闭区间上的最值，求解应用题中的最值。 3.问题与应用（能力要求） 熟练掌握极值的判定方法。 第五节 函数的凸性与拐点 1.主要内容：函数的凸性，曲线的拐点，凸性的应用—证明一些不等式。 2.基本概念和知识点：（严格）下凸函数，（严格）上凸函数，曲线的拐点， 讨论函数的上（下）凸性，求曲线的拐点，詹森不等式。 3.问题与应用（能力要求） 熟练掌握曲线凹凸区间的求法。 （三）思考与实践 如何理解三个中值定理及其几何意义？ 泰勒公式的作用是什么？ 怎样求函数的极大值与极小值，最大值与最小值？ （四）教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课
第七章实数的完备性 (一)目的与要求 1.了解数集（数列）聚点的概念及基本性质 2.了解实数集完备性基本定理及其简单应用 (二)教学内容 第一节关于实数集完备性的基本定理 1.主要内容：区间套定理，聚点定理，有限覆盖定理，实数集完备性基本 定理的等价性。 2.基本概念和知识点：闭区间套，有限开覆盖、无限开覆盖，聚点。 (三)思考与实践 由开区间列或半开半闭区间列组成的区间套能有区间套定理相应的结论 吗？ (四)教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第八章不定积分 (一)目的与要求 1.利用导数的逆运算来引入不定积分，培养学生科学的发展观。 2.理解原函数与不定积分的概念与性质 3.掌握求不定积分的常用方法与基本技能。 (二)教学内容 第一节不定积分概念与基本积分公式 1.主要内容：原函数和不定积分的定义，运算性质和基本积分公式。 2.基本概念和知识点：原函数，不定积分，积分曲线，线性性质，基本积 分公式，求不定积分的直接法 3.问题与应用（能力要求） 理解原函数、不定积分的定义 第二节换元积分法与分部积分法 1.主要内容：换元法求不定积分，分部法求不定积分。 2.基本概念和知识点：凑微分法，变量代换法，分部积分公式。 3.问题与应用（能力要求） 熟练掌握换元法和分部积分法 第三节有理函数和可化为有理函数的不定积分 1.主要内容：裂项法的直观意义，有理函数的不定积分，三角函数有理式 的不定积分，某些无理根式的不定积分。 10
10 第七章 实数的完备性 （一）目的与要求 1.了解数集（数列）聚点的概念及基本性质 2.了解实数集完备性基本定理及其简单应用。 （二）教学内容 第一节 关于实数集完备性的基本定理 1.主要内容：区间套定理，聚点定理，有限覆盖定理，实数集完备性基本 定理的等价性。 2.基本概念和知识点：闭区间套，有限开覆盖、无限开覆盖，聚点。 （三）思考与实践 由开区间列或半开半闭区间列组成的区间套能有区间套定理相应的结论 吗？ （四）教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第八章 不定积分 （一）目的与要求 1.利用导数的逆运算来引入不定积分，培养学生科学的发展观。 2.理解原函数与不定积分的概念与性质 3.掌握求不定积分的常用方法与基本技能。 （二）教学内容 第一节 不定积分概念与基本积分公式 1.主要内容：原函数和不定积分的定义，运算性质和基本积分公式。 2.基本概念和知识点：原函数，不定积分，积分曲线，线性性质，基本积 分公式，求不定积分的直接法。 3.问题与应用（能力要求） 理解原函数、不定积分的定义。 第二节 换元积分法与分部积分法 1.主要内容：换元法求不定积分，分部法求不定积分。 2.基本概念和知识点：凑微分法，变量代换法，分部积分公式。 3.问题与应用（能力要求） 熟练掌握换元法和分部积分法。 第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积分 1.主要内容：裂项法的直观意义，有理函数的不定积分，三角函数有理式 的不定积分，某些无理根式的不定积分
