《数学分析（1)》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：6027305 课程名称：数学分析() 英文名称：Mathematical Analysis(II) 程类别：学科基础课 学 时：80 学 分分：5 适用对象：数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、统计学专业 考核方式：考试 先修课程：数学分析(1)（Ⅱ） 二、课程简介 中文简介：数学分析俗称：“微积分”，创建于17世纪，直到19世纪末及20世 纪初才发展为一门理论体系完备，内容丰富，应用十分广泛的数学学科。数学分析课 是各类大学数学与应用数学专业、信息与计算科学专业最主要的专业基础课。是进 步学习复变函数、微分方程、微分几何、概率论、计算方法、实变函数与泛函分析等 后继课程的阶梯，是数学类硕士研究生的必考基础基础课之一。 本课程基本内容有：极限理论、一元函数微积分学、级数理论、多元函数微积分 学等方面的系统知识，用现代数学工具一一极限的思想与方法研究函数的分析特性- 连续性、可可微性、可积性。极限方法是贯穿千全课程的主线。课程的目的是诵时三个 学期学习和系统的数学训练，使学生逐步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从 事进一步学习所需的数学知识，掌握数学的基本思想和方法，培养与锻炼学生的数学 思维素质，提高学生分析与解决问题的能力。 英文简介：Mathematical analysis,.commonly known as"calculus”,was founded in seventeenth Century,until the late nineteenth Century and early twentieth Century to develop into a complete theoretical system,rich content,a very wide range of applied mathematics.The course of mathematical analysis is the most important professional basic course for all kinds of college students majoring in mathematics and applied mathematics and information and computing science.he step is to further study the complex function,differential equations,differential geometry,probability theory,calculation method, real variable function and functional analysis of the course of the study, is the master of mathematics class students compulsory basic course of 1
1 《 数学分析（III）》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：6027305 课程名称：数学分析（III） 英文名称：Mathematical Analysis (III) 课程类别：学科基础课 学 时：80 学 分：5 适用对象:数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、统计学专业 考核方式：考试 先修课程：数学分析（I）（II） 二、课程简介 中文简介：数学分析俗称：“微积分”，创建于 17 世纪，直到 19 世纪末及 20 世 纪初才发展为一门理论体系完备，内容丰富，应用十分广泛的数学学科。数学分析课 是各类大学数学与应用数学专业、信息与计算科学专业最主要的专业基础课。是进一 步学习复变函数、微分方程、微分几何、概率论、计算方法、实变函数与泛函分析等 后继课程的阶梯，是数学类硕士研究生的必考基础基础课之一。 本课程基本内容有：极限理论、一元函数微积分学、级数理论、多元函数微积分 学等方面的系统知识，用现代数学工具---极限的思想与方法研究函数的分析特性--- 连续性、可微性、可积性。极限方法是贯穿于全课程的主线。课程的目的是通过三个 学期学习和系统的数学训练，使学生逐步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从 事进一步学习所需的数学知识，掌握数学的基本思想和方法，培养与锻炼学生的数学 思维素质，提高学生分析与解决问题的能力。 英文简介：Mathematical analysis, commonly known as "calculus", was founded in seventeenth Century, until the late nineteenth Century and early twentieth Century to develop into a complete theoretical system, rich content, a very wide range of applied mathematics. The course of mathematical analysis is the most important professional basic course for all kinds of college students majoring in mathematics and applied mathematics and information and computing science. he step is to further study the complex function, differential equations, differential geometry, probability theory, calculation method, real variable function and functional analysis of the course of the study, is the master of mathematics class students compulsory basic course of
foundation. The basic contents of this course are:the system of knowledge limit theory, a function calculus,series theory,multiplex function calculus,research ideas and methods of modern mathematical function with limit analysis tools -Characteristics-continuity and differentiability and integrability.Limit method is the main line that runs through the whole curriculum.The purpose of this course is to train the three semester through mathematics learning and system.to improve students'mathematics accomplishment,especially the analysis of cultivation,accumulation of engaged in further study of mathematical knowledge required,master the basic ideas and methods of mathematics,cultivation and training of students'mathematical thinking ability,improve the students'ability to analyze and solve problems. 三、课程性质与教学目的 《数学分析》是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的最重要的专业基础 课和核心必修课。本课程理论严谨、系统性强。通过本课程的学习，要使学生掌握数 学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数 学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力， 具备熟练的运算能力和技巧，提高建立数学模型，并应用微积分学这一工具解决实 际应用问题的能力，为今后从事基础数学和应用数学方面的研究打下扎实的理论基 础。 本课程教学目的与要求： 了解微积分学的基础理论：充分理解微积分学的历史背景及数学思想。掌握微积 分学的基本理论，方法和技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能 较熟练地应用微积分学的思想方法解决实际问题。 围绕全面提高人才培养能力这个核心点，在价值塑造、知识传授、能力培养“三 位一体”的人才培养目标中，补齐价值塑造这块短板，寓价值观引导于知识传授和能 力培养之中，帮助学生塑造正确的世界观、人生观、价值观。 1.重视微积分学理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展。在 教学实践中应强化微积分学与相邻学科的联系，强调应用背景。 2
2 foundation. The basic contents of this course are: the system of knowledge limit theory, a function calculus, series theory, multiplex function calculus, research ideas and methods of modern mathematical function with limit analysis tools - Characteristics - continuity and differentiability and integrability. Limit method is the main line that runs through the whole curriculum. The purpose of this course is to train the three semester through mathematics learning and system, to improve students' mathematics accomplishment, especially the analysis of cultivation, accumulation of engaged in further study of mathematical knowledge required, master the basic ideas and methods of mathematics, cultivation and training of students' mathematical thinking ability, improve the students' ability to analyze and solve problems. 三、课程性质与教学目的 《数学分析》是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的最重要的专业基础 课和核心必修课。本课程理论严谨、系统性强。通过本课程的学习，要使学生掌握数 学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数 学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力， 具备熟练的运算能力和技巧， 提高建立数学模型， 并应用微积分学这一工具解决实 际应用问题的能力，为今后从事基础数学和应用数学方面的研究打下扎实的理论基 础。 本课程教学目的与要求： 了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的历史背景及数学思想。掌握微积 分学的基本理论， 方法和技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能 较熟练地应用微积分学的思想方法解决实际问题。 围绕全面提高人才培养能力这个核心点，在价值塑造、知识传授、能力培养“三 位一体”的人才培养目标中，补齐价值塑造这块短板，寓价值观引导于知识传授和能 力培养之中，帮助学生塑造正确的世界观、人生观、价值观。 1． 重视微积分学理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展。在 教学实践中应强化微积分学与相邻学科的联系，强调应用背景
2.重视相关知识的整合，将一元函数与多元函数的极限，连续及求导（微分）整合， 将不定积分与定积分的计算方法整合，将重积分和线面积分整合，将反常级 数与反常积分的收敛性整合，将函数列，函数项级数和含参量反常积分的一致 收敛性整合。 3.除体现本课程严格的逻辑体系外，要反映现代数学的发展趋势，吸收和采 用现代数学的思想观点与先进的处理方法。 4.为了提高学生的数学修养，应重视基本定理的论证。用ε-6的思想贯穿于极 限的存在性，定积分的存在性，（一致）收敛性及（一致）连续性等理论的论证中。 5.以课堂教学为主，重视习题课对学生理解掌握所学知识的作用。 6.重视实数理论体系对学习微积分学理论和建立现代数学观点的不可或缺的作 用。 7.紧紧围绕坚定学生理想信念，以爱党、爱国、爱社会主义、爱人民、爱集体 为主线，围绕政治认同、家国情怀、文化素养、宪法法治意识、道德修养等重点优化 课程思政内容供给，系统进行中国特色社会主义和中国梦教育、社会主义核心价值观 教育、法治教育、劳动教育、心理健康教育、中华优秀传统文化教育。 四、教学内容及要求 第十一章Euclid空间上的极限和连续 (一)目的与要求 1.掌握平面点集的有关概念。 2.了解二元函数的几何意义，熟练掌握二元函数的极限，搞清重极限与 累次极限之间的关系。 3.理解二元函数的连续性，掌握有界闭区域上连续函数的性质。 4.鼓励学生自己总结一元函数与多元函数的异同，从中感受到学习的乐 取。 5.用回忆、对比的方式找出一元函数和二元函数之间相似之处和不同之 处，激发学生探索新知识的兴趣和欲望。 (二)教学内容 第一节平面点集与多元函数 1.主要内容 平面点集、R2上的完备性定理、二元函数、n元函数。 3
3 2。 重视相关知识的整合，将一元函数与多元函数的极限，连续及求导(微分)整合， 将不定积分与定积分的计算方法整合，将重积分和线面积分整合， 将反常级 数与反常积分的收敛性整合，将函数列，函数项级数和含参量反常积分的一致 收敛性整合。 3． 除体现本课程严格的逻辑体系外， 要反映现代数学的发展趋势， 吸收和采 用现代数学的思想观点与先进的处理方法。 4．为了提高学生的数学修养，应重视基本定理的论证。用ε-δ的思想贯穿于极 限的存在性，定积分的存在性，(一致)收敛性及(一致)连续性等理论的论证中。 5．以课堂教学为主， 重视习题课对学生理解掌握所学知识的作用。 6．重视实数理论体系对学习微积分学理论和建立现代数学观点的不可或缺的作 用。 7. 紧紧围绕坚定学生理想信念，以爱党、爱国、爱社会主义、爱人民、爱集体 为主线，围绕政治认同、家国情怀、文化素养、宪法法治意识、道德修养等重点优化 课程思政内容供给，系统进行中国特色社会主义和中国梦教育、社会主义核心价值观 教育、法治教育、劳动教育、心理健康教育、中华优秀传统文化教育。 四、教学内容及要求 第十一章 Euclid 空间上的极限和连续 （一）目的与要求 1．掌握平面点集的有关概念。 2．了解二元函数的几何意义，熟练掌握二元函数的极限，搞清重极限与 累次极限之间的关系。 3．理解二元函数的连续性，掌握有界闭区域上连续函数的性质。 4. 鼓励学生自己总结一元函数与多元函数的异同，从中感受到学习的乐 趣。 5. 用回忆、对比的方式找出一元函数和二元函数之间相似之处和不同之 处，激发学生探索新知识的兴趣和欲望。 （二）教学内容 第一节 平面点集与多元函数 1．主要内容 平面点集、 2 R 上的完备性定理、二元函数、n 元函数
2.基本概念和知识点 平面点集、圆（方）邻域、内点、外点、界点、边界、聚点、开集、闭集、开 域、闭域、区域、有界（无界）点集、柯西准则、闭域套定理、聚点定理、二元函数、 n元函数。 3.问题与应用（能力要求） 了解平面中的邻域、开集、闭集、开域、闭域的定义，R的完备性，掌握二元及 多元函数的定义。 第二节 二元函数的极限 1.主要内容 二元函数的极限、累次极限。 2.基本概念和知识点 二元函数的极限定义、累次极限。 3.问题与应用（能力要求） 掌握二元函数的极限定义，理解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限 存在性的基本方法。 第三节二元函数的连续性 1.主要内容 二元函数的连续性概念、有界闭域上连续函数的性质。 2.基本概念和知识点 二元函数的连续性的定义、间断点、全增量、偏增量、复合函数的连续性。有界 闭域上连续函数的有界性、最大最小值定理、介值性定理和一致连续性定理。 3.问题与应用（能力要求） 掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的性质 (三)思考与实践 本章是在一元函数的基础上引入多元函数、极限及连续的概念及性质，通过类比 学习的方法可很好地理解相关教学内容。 (四)教学方法与手段 改变传统的直陈式讲授，采用分解式、前后呼应等讲授方法。指导学生对比一元 函数定义、极限、连续性与多元函数的联系与区别，教会他们通过类比掌握多元函数 的相关内容，化解课程学习中的难点，提高教学效果。 第十二章多元函数的微分学 (一)目的与要求 1.熟练掌握二元（多元）函数的偏导数与全微分的定义，搞清二元（多 元)函数的可导、可微、连续以及偏导数与连续性之间的关系，熟练掌握 4
4 2．基本概念和知识点 平面点集、圆（方）邻域、内点、外点、界点、边界、聚点、开集、闭集、开 域、闭域、区域、有界（无界）点集、柯西准则、闭域套定理、聚点定理、二元函数、 n 元函数。 3．问题与应用（能力要求） 了解平面中的邻域、开集、闭集、开域、闭域的定义， 2 R 的完备性，掌握二元及 多元函数的定义。 第二节 二元函数的极限 1．主要内容 二元函数的极限、累次极限。 2．基本概念和知识点 二元函数的极限定义、累次极限。 3．问题与应用（能力要求） 掌握二元函数的极限定义，理解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限 存在性的基本方法。 第三节 二元函数的连续性 1．主要内容 二元函数的连续性概念、有界闭域上连续函数的性质。 2．基本概念和知识点 二元函数的连续性的定义、间断点、全增量、偏增量、复合函数的连续性。有界 闭域上连续函数的有界性、最大最小值定理、介值性定理和一致连续性定理。 3．问题与应用（能力要求） 掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的性质。 （三）思考与实践 本章是在一元函数的基础上引入多元函数、极限及连续的概念及性质，通过类比 学习的方法可很好地理解相关教学内容。 （四）教学方法与手段 改变传统的直陈式讲授，采用分解式、前后呼应等讲授方法。指导学生对比一元 函数定义、极限、连续性与多元函数的联系与区别，教会他们通过类比掌握多元函数 的相关内容，化解课程学习中的难点，提高教学效果。 第十二章 多元函数的微分学 （一）目的与要求 1．熟练掌握二元（多元）函数的偏导数与全微分的定义，搞清二元（多 元）函数的可导、可微、连续以及偏导数与连续性之间的关系，熟练掌握
复合函数的求导法则。 2.掌握可微的条件、高阶偏导数、中值定理及泰勒公式，会求极值： 3.了解可微的几何意义、方向导数与梯度。 4.理解并掌握隐函数和隐函数组定理，会求隐函数的导数、平面曲线的 切线与法线、空间曲线的切线与法线、曲面的切平面与法线。 5.会求函数的无条件（条件）极值与最值。 6,反函数组与华标变换 7.结合一元函数导数的几何意义，利用“峰”和“龄”的不同含义，将 苏轼诗《题西林壁》切入到多元函数偏导数概念的引入和偏导数的几何意 义，以图改善教学手段，丰富授课方式并增加数学知识的人文气息。 8.个绍“以直代曲”思想在二元函数上的应用、培养科学发展观。 9.通过实例让学生感受到课程的广泛应用前景，激发学生学习的兴趣。 10.介绍德国杰出的天文学家、物理学家、数学家开普勒的一生及其对行 星运动的三大定律的发现，说明科学就是发现。 11.比较两种设计方案的用料，说明市场上常见的易拉罐设计成圆柱体的 原因。通过该例来说明通过数学建模可为企业节省大量资源，以此激发学 生的学习兴趣和环境保护意识。 (二)教学内容 第一节偏导数与全微分 1.主要内容 可微性与全微分、偏导数、可微性条件、可微性几何意义及应用、方向导数与梯 度的定义及计算、高阶偏导数、高阶微分。 2.基本概念和知识点 可微、全微分、偏导数、可微的充分（必要）条件、可微性几何意义及应用二元、 方向导数与梯度的定义和计算公式、函数的高阶偏导数、高阶微分。 3.问题与应用（能力要求） 掌握偏导数、可微性、全微分定义，熟记可微的充要条件，并能熟练地求偏导数。 理解二元函数的偏导数存在、可微、连续之间的关系。掌握方向导数、梯度的定义 和计算公式。掌握二元函数的高阶偏导数的定义，会高阶导数的计算。 第二节多元复合函数的求导法则 .主要内容 复合函数的求导法则、复合函数的全微分。 2.基本概念和知识点 复合函数链式法则、复合函数的全微分、 一阶全微分形式不变性。 3.问题与应用（能力要求） 5
5 复合函数的求导法则。 2．掌握可微的条件、高阶偏导数、中值定理及泰勒公式，会求极值； 3．了解可微的几何意义、方向导数与梯度。 4．理解并掌握隐函数和隐函数组定理，会求隐函数的导数、平面曲线的 切线与法线、空间曲线的切线与法线、曲面的切平面与法线。 5．会求函数的无条件（条件）极值与最值。 6．反函数组与坐标变换。 7. .结合一元函数导数的几何意义，利用“峰”和“岭”的不同含义，将 苏轼诗《题西林壁》切入到多元函数偏导数概念的引入和偏导数的几何意 义，以图改善教学手段，丰富授课方式并增加数学知识的人文气息。 8. 介绍“以直代曲”思想在二元函数上的应用、培养科学发展观。 9. 通过实例让学生感受到课程的广泛应用前景，激发学生学习的兴趣。 10. 介绍德国杰出的天文学家、物理学家、数学家开普勒的一生及其对行 星运动的三大定律的发现，说明科学就是发现。 11. 比较两种设计方案的用料，说明市场上常见的易拉罐设计成圆柱体的 原因。通过该例来说明通过数学建模可为企业节省大量资源，以此激发学 生的学习兴趣和环境保护意识。 （二）教学内容 第一节 偏导数与全微分 1．主要内容 可微性与全微分、偏导数、可微性条件、可微性几何意义及应用、方向导数与梯 度的定义及计算、高阶偏导数、高阶微分。 2．基本概念和知识点 可微、全微分、偏导数、可微的充分（必要）条件、可微性几何意义及应用二元、 方向导数与梯度的定义和计算公式、函数的高阶偏导数、高阶微分。 3．问题与应用（能力要求） 掌握偏导数、可微性、全微分定义，熟记可微的充要条件，并能熟练地求偏导数。 理解二元函数的偏导数存在、可微、连续之间的关系。 掌握方向导数、梯度的定义 和计算公式。掌握二元函数的高阶偏导数的定义，会高阶导数的计算。 第二节 多元复合函数的求导法则 1．主要内容 复合函数的求导法则、复合函数的全微分。 2．基本概念和知识点 复合函数链式法则、复合函数的全微分、一阶全微分形式不变性。 3．问题与应用（能力要求）
熟练掌握和运用链式法则，理解一阶全微分形式不变性。 第三节中值定理与泰勒公式 1.主要内容 *中值定理与泰勒公式。 2.基本概念和知识点 *中值定理与泰勒公式。 3.问颗与应用（能力要求） 了解中值定理与泰勒公式，会用中值定理进行证明，会应用泰勒公式作近似计算。 第四节隐函数 1.主要内容 隐函数概念、隐函数存在性条件的分析、隐函数定理、隐函数求导举例、隐函数 组概念、隐函数组定理、反函数组与坐标变换。 2.基本概念和知识点 隐函数、隐函数存在惟一性定理、隐函数可微性定理、隐函数求导计算、隐函数 组的概念、隐函数组定理、反函数组与坐标变换。 3.问题与应用（能力要求） 掌握隐函数存在的条件，熟记隐函数定理，会求隐函数导数。掌握隐函数组和反函数 组存在的条件，学会隐函数组和反函数组求导法。 第五节偏导数在几何中的应用 1.主要内容 平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线 2.基本概念和知识点 求平面曲线的切线与法线方程、空间曲线的切线与法平面方程、曲面的切平面与 法线方程。 3.问题与应用（能力要求） 会求平面曲线的切线与法线方程，空间曲线的切线与法平面方程，曲面的切平面 与法线方程。 第六节无条件极值 1.主要内容 无极值问题、函数的最值。 2.基本概念和知识点 无条件极值、函数的最值与最小二乘法。 3.问题与应用（能力要求） 了解最小二乘法，掌握无极值问题与函数的最值，能够根据二元函数的极值的必 要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大（小）值。 6
6 熟练掌握和运用链式法则，理解一阶全微分形式不变性。 第三节 中值定理与泰勒公式 1．主要内容 *中值定理与泰勒公式。 2．基本概念和知识点 *中值定理与泰勒公式。 3．问题与应用（能力要求） 了解中值定理与泰勒公式，会用中值定理进行证明，会应用泰勒公式作近似计算。 第四节 隐函数 1．主要内容 隐函数概念、隐函数存在性条件的分析、隐函数定理、隐函数求导举例、隐函数 组概念、隐函数组定理、反函数组与坐标变换。 2．基本概念和知识点 隐函数、隐函数存在惟一性定理、隐函数可微性定理、隐函数求导计算、隐函数 组的概念、隐函数组定理、反函数组与坐标变换。 3．问题与应用（能力要求） 掌握隐函数存在的条件，熟记隐函数定理，会求隐函数导数。掌握隐函数组和反函数 组存在的条件，学会隐函数组和反函数组求导法。 第五节 偏导数在几何中的应用 1．主要内容 平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 2．基本概念和知识点 求平面曲线的切线与法线方程、空间曲线的切线与法平面方程、曲面的切平面与 法线方程。 3．问题与应用（能力要求） 会求平面曲线的切线与法线方程，空间曲线的切线与法平面方程，曲面的切平面 与法线方程。 第六节 无条件极值 1．主要内容 无极值问题、函数的最值。 2．基本概念和知识点 无条件极值、函数的最值与最小二乘法。 3．问题与应用（能力要求） 了解最小二乘法，掌握无极值问题与函数的最值，能够根据二元函数的极值的必 要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值
第七节条件极值问题与Lagrange乘数法 1.主要内容 条件极值、拉格朗日乘数法。 2.基本概念和知识点 条件极值、拉格朗日函数、拉格朗日乘数法。 3.问题与应用（能力要求 了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法。 (三)思考与实践 本章是在一元函数的基础上研究多元函数的微分学，通过类比学习的方法可很好 地理解相关教学内容。多元复合函数的求导法则是本章重点，隐函数是难点，偏导数 的应用主要体现在几何和求极值、最值问题方面，需要掌握。 (四)教学方法与手段 改变传统的直陈式讲授，采用分解式、前后呼应等讲授方法。指导学生类比一元 函数导数、微分、泰勒公式与极值等内容，来学习多元函数的相关内容，化解课程学 习中的难点，提高教学效果。教学中注重理论与实际的密切联系。通过隐函数（组） 的在几何、坐标变换及条件极值等方面的应用加深理解隐函数（组）的概念与作用。 第十三章重积分 (一)目的与要求 1.理解并掌握重积分的有关概念及可积条件，掌握直角坐标系下重积分 的计算方法。 2.熟练应用变量代换法计算重积分，了解重积分在几何与物理方面简单 应用。 3.从面包片与面包块到曲顶柱体的体积，让学生进一步感受具有可加性 的量是如何用“分割，近似求和，取极限”的积分思想方法或微元思想来 解决问题。 4.面包块的重量问题.面包里面有很多孔洞，说明面包密度不均匀，质量 考虑密度的干扰，还得再多加一重积分，激发学生求知欲。 5.介绍重积分的换元法，凸显换元思想在数学中的强大魅力，也显示这 一方法对于数学的重要性。 (二)教学内容 第一节有界闭区间上的重积分 1.主要内容 平面图形的面积、二重积分的定义及其存在性、二重积分的性质。 2.基本概念和知识点
7 第七节 条件极值问题与 Lagrange 乘数法 1．主要内容 条件极值、拉格朗日乘数法。 2．基本概念和知识点 条件极值、拉格朗日函数、拉格朗日乘数法。 3．问题与应用（能力要求） 了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法。 （三）思考与实践 本章是在一元函数的基础上研究多元函数的微分学，通过类比学习的方法可很好 地理解相关教学内容。多元复合函数的求导法则是本章重点，隐函数是难点，偏导数 的应用主要体现在几何和求极值、最值问题方面，需要掌握。 （四）教学方法与手段 改变传统的直陈式讲授，采用分解式、前后呼应等讲授方法。指导学生类比一元 函数导数、微分、泰勒公式与极值等内容，来学习多元函数的相关内容，化解课程学 习中的难点，提高教学效果。教学中注重理论与实际的密切联系。通过隐函数（组） 的在几何、坐标变换及条件极值等方面的应用加深理解隐函数（组）的概念与作用。 第十三章 重积分 （一）目的与要求 1．理解并掌握重积分的有关概念及可积条件，掌握直角坐标系下重积分 的计算方法。 2．熟练应用变量代换法计算重积分，了解重积分在几何与物理方面简单 应用。 3. 从面包片与面包块到曲顶柱体的体积，让学生进一步感受具有可加性 的量是如何用“分割，近似求和，取极限”的积分思想方法或微元思想来 解决问题。 4. 面包块的重量问题.面包里面有很多孔洞，说明面包密度不均匀，质量 考虑密度的干扰，还得再多加一重积分，激发学生求知欲。 5. 介绍重积分的换元法，凸显换元思想在数学中的强大魅力，也显示这 一方法对于数学的重要性。 （二）教学内容 第一节 有界闭区间上的重积分 1．主要内容 平面图形的面积、二重积分的定义及其存在性、二重积分的性质。 2．基本概念和知识点
可求面积、面积、曲顶柱体、二重积分的定义及其存在性、二重积分的性质。 3.问题与应用（能力要求 掌握二重积分的定义和性质，了解有界闭区域上的连续函数的可积性。 第二节重积分的性质与计算 1.主要内容 二重积分化为累次积分、累次积分的积分次序的交换、用极坐标计算二重积分、 三重积分的概念、化三重积分为累次积分。 2.基本概念和知识点 二重积分化为累次积分、累次积分的积分次序的交换、用极坐标计算二重积分、 三重积分的定义、性质和计算。 3.问题与应用（能力要求） 掌握二重积分化为累次积分的方法和累次积分的积分次序的交换公式。掌握二重 积分的极坐标变换。掌握三重积分的定义和性质，掌握化三重积分为累次积分。 第三节二重积分的变量变换 1.主要内容 二重积分的变量变换公式、三重积分换元法。 2.基本概念和知识点 二重积分的变量变换公式、柱面坐标变换、球面坐标变换。 3.问题与应用（能力要求 了解二重积分的变量变换公式。会用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分 的方法。 *第四节重积分的应用 1.主要内容 曲面面积、重心、*转动惯量、引力。 2.基本概念和知识点 曲面面积、物体重心、*转动惯量和引力的计算公式。 3.问题与应用（能力要求） 掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，*转动惯量的计算公式和 引力的计算公式。 (三)思考与实我 重积分是一元函数定积分的推广，与定积分联系密切，其计算最终将转化为定 积分计算，温故知新对学习重积分很重要，加强练习是学好本章的不二法门。 (四)教学方法与手段 在重积分教学中，着重讲解二重积分，强调定义中分割、求和、取极限三步骤， 以及分割的分法与介点取法的两个“任意性”。深入讲解二重积分的可积性问题，讲
8 可求面积、面积、曲顶柱体、二重积分的定义及其存在性、二重积分的性质。 3．问题与应用（能力要求） 掌握二重积分的定义和性质，了解有界闭区域上的连续函数的可积性。 第二节 重积分的性质与计算 1．主要内容 二重积分化为累次积分、累次积分的积分次序的交换、用极坐标计算二重积分、 三重积分的概念、化三重积分为累次积分。 2．基本概念和知识点 二重积分化为累次积分、累次积分的积分次序的交换、用极坐标计算二重积分、 三重积分的定义、性质和计算。 3．问题与应用（能力要求） 掌握二重积分化为累次积分的方法和累次积分的积分次序的交换公式。掌握二重 积分的极坐标变换。掌握三重积分的定义和性质，掌握化三重积分为累次积分。 第三节 二重积分的变量变换 1．主要内容 二重积分的变量变换公式、三重积分换元法。 2．基本概念和知识点 二重积分的变量变换公式、柱面坐标变换、球面坐标变换。 3．问题与应用（能力要求） 了解二重积分的变量变换公式。会用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分 的方法。 *第四节 重积分的应用 1．主要内容 曲面面积、重心、*转动惯量、引力。 2．基本概念和知识点 曲面面积、物体重心、*转动惯量和引力的计算公式。 3．问题与应用（能力要求） 掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，*转动惯量的计算公式和 引力的计算公式。 （三）思考与实践 重积分是一元函数定积分的推广，与定积分联系密切，其计算最终将转化为定 积分计算，温故知新对学习重积分很重要，加强练习是学好本章的不二法门。 （四）教学方法与手段 在重积分教学中，着重讲解二重积分，强调定义中分割、求和、取极限三步骤， 以及分割的分法与介点取法的两个“任意性”。深入讲解二重积分的可积性问题，讲
清可积的必要条件、充分条件及充要条件 重积分的性质可与定积分性质对比，作 般介绍。强调和强化重积分计算。用微元法讲重积分应用，让学生掌握微元法思想， 并处理实际应用问题（主要是几何、物理应用）。 第十四章曲线积分、曲面积分与场论 (一)目的与要求 1.掌握两类曲线积分的定义、性质和计算。 2.了解两类曲线积分的意义、两类曲线积分的关系。 3.理解两类曲面积分的概念、性质，掌握其计算方法。 4.理解格林公式的意义和曲线积分与路径无关的条件，掌握利用格林公 式计算曲线积分的方法。 5.掌握高斯公式和斯托克斯公式及其应用。 6.了解两类面积分之间的关系。 7.介绍曲线型构件的质量、曲面形构件的质量，提出线面积分研究背景 8.通讯卫星的电波覆盖的地球面积和介绍我国北斗卫星的发射及北斗导 航系统，激发学生爱国热情。 (二)教学内容 第一节第一型曲线积分与第一型曲面积分 1.主要内容 第一型曲线积分的定义、性质和计算公式、第一型曲面积分的定义和计算公式。 2.基本概念和知识点 第一型曲线积分的定义、性质和计算公式、第一型曲面积分的定义和计算公式。 3.问题与应用（能力要求） 掌握第一型曲线积分的定义、性质和计算公式。掌握第一型曲面积分的定义和用 显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式。 第二节第二型曲线积分与第二型曲面积分 1,主要内容 第二型曲线积分的定义、性质和计算公式、曲面的侧、第二型曲面积分的定义和 计算公式。 2.基本概念和知识点 第二型曲线积分的定义、性质和计算公式、第一、二型曲线积分之间的关系、曲 面的侧、第二型曲面积分的定义和计算公式。 3.问题与应用（能力要求） 掌握第二型曲线积分的定义、性质和计算公式，了解第一、第二型曲线积分之间 的关系。掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，学握两类曲 9
9 清可积的必要条件、充分条件及充要条件。重积分的性质可与定积分性质对比，作一 般介绍。强调和强化重积分计算。用微元法讲重积分应用，让学生掌握微元法思想， 并处理实际应用问题（主要是几何、物理应用）。 第十四章 曲线积分、曲面积分与场论 （一）目的与要求 1．掌握两类曲线积分的定义、性质和计算。 2．了解两类曲线积分的意义、两类曲线积分的关系。 3．理解两类曲面积分的概念、性质，掌握其计算方法。 4．理解格林公式的意义和曲线积分与路径无关的条件，掌握利用格林公 式计算曲线积分的方法。 5．掌握高斯公式和斯托克斯公式及其应用。 6．了解两类面积分之间的关系。 7. 介绍曲线型构件的质量、曲面形构件的质量，提出线面积分研究背景。 8. 通讯卫星的电波覆盖的地球面积和介绍我国北斗卫星的发射及北斗导 航系统，激发学生爱国热情。 （二）教学内容 第一节 第一型曲线积分与第一型曲面积分 1．主要内容 第一型曲线积分的定义、性质和计算公式、 第一型曲面积分的定义和计算公式。 2．基本概念和知识点 第一型曲线积分的定义、性质和计算公式、第一型曲面积分的定义和计算公式。 3．问题与应用（能力要求） 掌握第一型曲线积分的定义、性质和计算公式。掌握第一型曲面积分的定义和用 显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式。 第二节 第二型曲线积分与第二型曲面积分 1．主要内容 第二型曲线积分的定义、性质和计算公式、曲面的侧、第二型曲面积分的定义和 计算公式。 2．基本概念和知识点 第二型曲线积分的定义、性质和计算公式、第一、二型曲线积分之间的关系、曲 面的侧、第二型曲面积分的定义和计算公式。 3．问题与应用（能力要求） 掌握第二型曲线积分的定义、性质和计算公式，了解第一、第二型曲线积分之间 的关系。掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲
面积分的联系。 第三节格林公式、高斯公式与斯托克斯公式 1.主要内容 格林公式、曲线积分与路线的无关性、高斯公式、斯托克斯公式。 2.基本概念和知识点 格林公式、单连通区域、复连通区域、曲线积分与路线无关的条件定理、高斯公 式、斯托克斯公式、沿空间曲线的第二型曲线积分与路径无关的条件。 3.问题与应用（能力要求） 堂握枚林公式以及曲线积分与路线无关的条件，了解格林公式以及曲线积分与路 线无关的条件的定理的证明。会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计 算第二型曲线积分。了解沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件。 (三)思考与实践 本章是在定积分和重积分的基础上将积分推广到曲线和曲面区域上的积分。曲线 积分与曲面积分的概念与定积分、重积分的概念十分相似，其计算最终将转化为定积 分或二重积分，它们的学习既有助于拓宽积分的范畴，又有助于加深对定积分和重积 分的理解。 (四)教学方法与手段 定积分定义讲清曲线积分概念，注意介绍两类曲线积分的背景例题。两类积 分的联系与区别应仔细分析，讲解清楚。讲清曲面积分概念，注意介绍两类曲面积分 的背景例题。两类积分的联系与区别应仔细分析，讲解清楚。加强学生对曲面积分计 算的训练。深入讲解Green公式、Gauss公式与Stokes公式，让学生理解三大著名公 式的精神实质。 第十五章含参量积分 (一)目的与要求 1,草握含参量正常积分的概念、性质： 2.掌握含参量反常积分一致收敛及其判别法、一致收敛的含参量反常积 分的性质： 3.了解厂函数、B函数、下函数与B函数之间的关系。 4.引入新型函数：含参变量积分。介绍在敛散性问题中多次登场的人物： 柯西、维尔斯特拉斯、阿贝尔、狄利克雷，让学生了解数学史。 5.强调数学学习方法的重要性，培养学生归纳总结能力。 (二)教学内容 第一节含参量正常积分 1.主要内容 含参量正常积分的连续性、可微性和可积性。 10
10 面积分的联系。 第三节 格林公式、 高斯公式与斯托克斯公式 1．主要内容 格林公式、曲线积分与路线的无关性、高斯公式、斯托克斯公式。 2．基本概念和知识点 格林公式、单连通区域、复连通区域、曲线积分与路线无关的条件定理、高斯公 式、斯托克斯公式、沿空间曲线的第二型曲线积分与路径无关的条件。 3．问题与应用（能力要求） 掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件，了解格林公式以及曲线积分与路 线无关的条件的定理的证明。会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计 算第二型曲线积分。了解沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件。 （三）思考与实践 本章是在定积分和重积分的基础上将积分推广到曲线和曲面区域上的积分。曲线 积分与曲面积分的概念与定积分、重积分的概念十分相似，其计算最终将转化为定积 分或二重积分，它们的学习既有助于拓宽积分的范畴，又有助于加深对定积分和重积 分的理解。 （四）教学方法与手段 对比定积分定义讲清曲线积分概念，注意介绍两类曲线积分的背景例题。两类积 分的联系与区别应仔细分析，讲解清楚。讲清曲面积分概念，注意介绍两类曲面积分 的背景例题。两类积分的联系与区别应仔细分析，讲解清楚。加强学生对曲面积分计 算的训练。深入讲解 Green 公式、Gauss 公式与 Stokes 公式，让学生理解三大著名公 式的精神实质。 第十五章 含参量积分 （一）目的与要求 1．掌握含参量正常积分的概念、性质； 2．掌握含参量反常积分一致收敛及其判别法、一致收敛的含参量反常积 分的性质； 3．了解 函数、B 函数、 函数与 B 函数之间的关系。 4. 引入新型函数：含参变量积分。介绍在敛散性问题中多次登场的人物： 柯西、维尔斯特拉斯、阿贝尔、狄利克雷，让学生了解数学史。 5. 强调数学学习方法的重要性，培养学生归纳总结能力。 （二）教学内容 第一节 含参量正常积分 1．主要内容 含参量正常积分的连续性、可微性和可积性
