《高等代数Ⅱ》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16093203 课程名称：高等代数 英文名称：Advanced Algebra 课程类别：专业课 学时：48 学分：3 适用对象：数学与应用数学、信息科学、统计学等专业 考核方式：考试 先修课程：空间解析几何、高等代数】 二、课程简介 中文简介：《高等代数》是高等院校数学专业的一门重要的基础课，其主要任务 是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向 量空间、线性变换、欧氏空间和酉空间、二次型、群，环和域简介等方面的系统知识。 它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分 析)提供一些所需的基础理论和知识。尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和 现代生物工程技术己成为最热门的学科领域，这些学科均需要代数学的发展。通过这 一课程的教学，能使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基 本方法，且对初等代数内容有比较深入的了解，并能居高临下地处理中学数学的有关 教材，培养学生独立思考、科学抽象思维、正确的逻辑推断能力和迅速准确的运算能 力，对开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生 创造能力、树立辩证唯物论观点等有重要的作用。 英文简介："Advanced agebra"isan important basic course with specialized mathematics of the institutions of higher leaing.its main task is to make students obtain the mathematical basic thought and theory of polynomial,determinant,system of linear equtions,matrix theory, vector space and Euclidean space,linear transformation and unitary space,quadratic form
1 《高等代数 II》课程教学大纲 一、 课程基本信息 课程代码：16093203 课程名称：高等代数 英文名称：Advanced Algebra 课程类别：专业课 学 时： 48 学 分： 3 适用对象: 数学与应用数学、信息科学、统计学等专业 考核方式：考试 先修课程：空间解析几何、高等代数 I 二、 课程简介 中文简介：《高等代数》是高等院校数学专业的一门重要的基础课，其主要任务 是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向 量空间、线性变换、欧氏空间和酉空间、二次型、群，环和域简介等方面的系统知识。 它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分 析）提供一些所需的基础理论和知识。尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和 现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科均需要代数学的发展。通过这 一课程的教学，能使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基 本方法，且对初等代数内容有比较深入的了解，并能居高临下地处理中学数学的有关 教材，培养学生独立思考、科学抽象思维、正确的逻辑推断能力和迅速准确的运算能 力，对开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生 创造能力、树立辩证唯物论观点等有重要的作用。 英文简介："Advanced algebra" is an important basic course with specialized mathematics of the institutions of higher learning, its main task is to make students obtain the mathematical basic thought and theory of polynomial, determinant, system of linear equations, matrix theory, vector space and Euclidean space, linear transformation and unitary space, quadratic form
group,ring and introduction of domain knowledge of the system.On one hand it for subsequent courses (e.g.modem algebra,number theory.discrete mathematics,computing methods. differential equations.functional analysis)to provide some basic theory and knowledge needed. Especially in this century.computer technology,communications technology and modern biological engineerng technology has become the most popular subject areas,the development of these disciplines are need algebra."Advanced algebra"is to continue and improve high school algebra.By teaching of this course,should enable students to master in order to further improve the level of professional knowledge necessary for basic theory and basic method of algebra,and have more in-depth knowledge of elementary algebra content.and can handle teaching material of middle school mathematics commanding,training students'independent thinking,scientific abstract thought correct logic inference ability and operation ability,quickly and accurately to develop students'intelligence.strengthen3 basic"(basic knowledge,basic theory.basic theory).and to cultivate studentscreative ability,set up has an important role in the dialectical materialist point of view. 三、课程性质与教学目的 (一)课程性质： 《高等代数》是统计与数学学院应用数学、大数据、统计学等各专业的专业必修 课。《高等代数》的教学能使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认 识，提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力：使学生初步地掌握基本的、系 统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解：使学生能应 用代数思想和方法去理解与处理有关的问题，培养与提高代数的理论分析问题与解 决问题的能力：为学生学习数学学科后续课程（如近世代数、离散数学、计算方法、 偏微分方程、泛函分析等)提供必要的基础理论和知识；是学生在智能开发、创新能 力培养等方面获得重要训练的平台
2 group, ring and introduction of domain knowledge of the system. On one hand it for subsequent courses (e.g., modern algebra, number theory, discrete mathematics, computing methods, differential equations, functional analysis) to provide some basic theory and knowledge needed. Especially in this century, computer technology, communications technology and modern biological engineering technology has become the most popular subject areas, the development of these disciplines are need algebra. "Advanced algebra" is to continue and improve high school algebra. By teaching of this course, should enable students to master in order to further improve the level of professional knowledge necessary for basic theory and basic method of algebra, and have more in-depth knowledge of elementary algebra content, and can handle teaching material of middle school mathematics commanding, training students' independent thinking, scientific abstract thought, correct logic inference ability and operation ability, quickly and accurately to develop students' intelligence, strengthen "3 basic" (basic knowledge, basic theory, basic theory), and to cultivate students' creative ability, set up has an important role in the dialectical materialist point of view. 三、 课程性质与教学目的 （一） 课程性质： 《高等代数》是统计与数学学院应用数学、大数据、统计学等各专业的专业必修 课。《高等代数》的教学能使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认 识, 提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力；使学生初步地掌握基本的、系 统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；使学生能应 用代数思想和方法去理解与处理有关的问题, 培养与提高代数的理论分析问题与解 决问题的能力；为学生学习数学学科后续课程（如近世代数、离散数学、计算方法、 偏微分方程、泛函分析等）提供必要的基础理论和知识；是学生在智能开发、创新能 力培养等方面获得重要训练的平台
(二)教学目的： 1.专业教学目的：《高等代数》是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业 最重要的基础课程之一，是报考数学各专业研究生的必考课程之一，也是理论性、应 用性很强的一门数学基础课。讲授本课程的目的是培养学生的代数基础理论和思想素 质，基本掌握代数中的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧，提高 分析问题、解决问题的能力，为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。 2.思政教学目的：《高等代数》的课堂也是思政融入课堂教学的主战场。《高 等代数》课程中包含丰富的代数理论，通过对理论部分的教学，我们可以培养学生探 索真理的科学精神，分析和研究的思辨能力：大量的推理和计算的练习，可以培养学 生的镇密的思维和坚韧的耐力和耐心的品格：《高等代数》课程中的中国数学家的贡 献可以培养学生的民族自豪感和文化自信：《高等代数》中大量的案例应用教学能培 养学生理论联系实践，学以致用，激发学生为祖国建设而学的学习热情和浓厚的学习 兴趣。 四、教学内容及要求 第五章二次型 (一)目的与内容 1.非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合 同、化二次型为标准形、复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理、正 定二次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。 2.本章思政融入点：通过对二次型理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学素 养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对辗转相除法、综合除法、 重因式算法、计算有理根的算法等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益 求精的品格。 3
3 （二） 教学目的： 1. 专业教学目的：《高等代数》是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业 最重要的基础课程之一,是报考数学各专业研究生的必考课程之一，也是理论性、应 用性很强的一门数学基础课。讲授本课程的目的是培养学生的代数基础理论和思想素 质，基本掌握代数中的论证方法, 获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧, 提高 分析问题、解决问题的能力,为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。 2. 思政教学目的：《高等代数》的课堂也是思政融入课堂教学的主战场。《高 等代数》课程中包含丰富的代数理论，通过对理论部分的教学，我们可以培养学生探 索真理的科学精神，分析和研究的思辨能力；大量的推理和计算的练习，可以培养学 生的缜密的思维和坚韧的耐力和耐心的品格；《高等代数》课程中的中国数学家的贡 献可以培养学生的民族自豪感和文化自信；《高等代数》中大量的案例应用教学能培 养学生理论联系实践，学以致用，激发学生为祖国建设而学的学习热情和浓厚的学习 兴趣。 四、 教学内容及要求 第五章 二次型 （一） 目的与内容 1. 非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合 同、化二次型为标准形、复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理、正 定二次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。 2. 本章思政融入点：通过对二次型理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学素 养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对辗转相除法、综合除法、 重因式算法、计算有理根的算法等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益 求精的品格
(二)教学内容 第一节 1.主要内容：二次型的矩阵表示 2.基本概念与知识点：二次型、非退化线性替换、二次型的矩阵、矩阵的合同 3.问题与应用：正确理解二次型和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示 及二次型与对称矩阵的一一对应关系：掌握矩阵的合同概念及性质。 第二节 1.主要内容：标准型 2.基本概念与知识点：二次型的标准型 3.问题与应用：理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的方法（主要是配方 法、初等变换法)。 第三节 1.主要内容：唯一性 2.基本概念与知识点：二次系的规范型 3.问题与应用：正确理解复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性：掌握惯性定 望。 第四节 1.主要内容：正定二次型 2.基本概念与知识点：正定二次型、正定矩阵 3.问题与应用：正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念： 熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。 4.思政融入点：案例教学一一在经济学中，常见问题有利润最大化，成本最小化等， 最大化、最小化问题统称为最优化问题.通过最优化案例教学，培养学生理论联 系实际的精神，帮助学生树立学以致用，服务祖国的远大志向
4 （二） 教学内容 第一节 1. 主要内容： 二次型的矩阵表示 2. 基本概念与知识点：二次型、非退化线性替换、二次型的矩阵、矩阵的合同 3. 问题与应用：正确理解二次型和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示 及二次型与对称矩阵的一一对应关系；掌握矩阵的合同概念及性质。 第二节 1. 主要内容： 标准型 2. 基本概念与知识点：二次型的标准型 3. 问题与应用：理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的方法（主要是配方 法、初等变换法）。 第三节 1. 主要内容：唯一性 2. 基本概念与知识点：二次系的规范型 3. 问题与应用：正确理解复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性；掌握惯性定 理。 第四节 1. 主要内容： 正定二次型 2. 基本概念与知识点：正定二次型、正定矩阵 3. 问题与应用：正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念； 熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。 4. 思政融入点：案例教学——在经济学中，常见问题有利润最大化，成本最小化等， 最大化、最小化问题统称为最优化问题. 通过最优化案例教学，培养学生理论联 系实际的精神，帮助学生树立学以致用，服务祖国的远大志向
第六章线性空间 (一)目的与内容 1.线性空间、判断一个代数系统是否是线性空间、维线性空间的概念及性质、 基变换与坐标变换的关系、线性子空间的定义及判别定理、向量组生成子空间的定义 及等价条件、子空间的交与和、维数公式、子空间的直和、线性空间同构的定义、性 质及两个有限维空间同构的充要条件。 2.本章思政融入点：通过对线性空间理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学素 养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对生成子空间、子空间的 交与和等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益求精的品格。 (二)教学内容 第一节 1.主要内容：集合与映射 2.基本概念与知识点：集合、映射、单射、满射、一一映射、逆映射 3.问题与应用：掌握映射、单射、满射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。 第二节 1.主要内容：线性空间的定义和性质 2.基本概念与知识点：线性空间的定义 3.问题与应用：正确理解和掌握线性空间的定义及性质；会判断一个代数系统是否 是线性空间。 第三节 1.主要内容：维数、基与坐标 2.基本概念与知识点：维数、基、坐标
5 第六章 线性空间 （一） 目的与内容 1. 线性空间、判断一个代数系统是否是线性空间、n 维线性空间的概念及性质、 基变换与坐标变换的关系、线性子空间的定义及判别定理、向量组生成子空间的定义 及等价条件、子空间的交与和、维数公式、子空间的直和、线性空间同构的定义、性 质及两个有限维空间同构的充要条件。 2. 本章思政融入点：通过对线性空间理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学素 养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对生成子空间、子空间的 交与和等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益求精的品格。 （二） 教学内容 第一节 1. 主要内容： 集合与映射 2. 基本概念与知识点：集合、映射、单射、满射、一一映射、逆映射 3. 问题与应用：掌握映射、单射、满射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。 第二节 1. 主要内容： 线性空间的定义和性质 2. 基本概念与知识点：线性空间的定义 3. 问题与应用：正确理解和掌握线性空间的定义及性质；会判断一个代数系统是否 是线性空间。 第三节 1. 主要内容：维数、基与坐标 2. 基本概念与知识点：维数、基、坐标
3.问题与应用：理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念：正确理解 和掌握n维线性空间的概念及性质。 4.思政融入点：案例教学一一图像压缩与基坐标变换。通过图像压缩案例教学，培 养学生理论联系实际的精神，帮助学生树立学以致用，服务祖国的远大志向。 第四节 1.主要内容：基变换与坐标变换 2.基本概念与知识点：基变换公式、坐标变换公式 3.问题与应用：正确理解和掌握基变换与坐标变换的关系。 第五节 1.主要内容：线性子空间 2.基本概念与知识点：子空间、生成子空间 3.问题与应用：正确理解线性子空间的定义及判别定理；掌握向量组生成子空间的 定义及等价条件。 第六节 1.主要内容：子空间的交与和 2.基本概念与知识点：子空间的交与和 3.问题与应用：掌握子空间的交与和的定义及性质：熟练掌握维数公式。 第七节 1.主要内容：子空间的直和 2.基本概念与知识点：直和 3.问题与应用：深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。 第八节
6 3. 问题与应用：理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念；正确理解 和掌握 n 维线性空间的概念及性质。 4. 思政融入点：案例教学——图像压缩与基坐标变换。通过图像压缩案例教学，培 养学生理论联系实际的精神，帮助学生树立学以致用，服务祖国的远大志向。 第四节 1. 主要内容： 基变换与坐标变换 2. 基本概念与知识点：基变换公式、坐标变换公式 3. 问题与应用：正确理解和掌握基变换与坐标变换的关系。 第五节 1. 主要内容： 线性子空间 2. 基本概念与知识点：子空间、生成子空间 3. 问题与应用：正确理解线性子空间的定义及判别定理；掌握向量组生成子空间的 定义及等价条件。 第六节 1. 主要内容：子空间的交与和 2. 基本概念与知识点：子空间的交与和 3. 问题与应用：掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。 第七节 1. 主要内容： 子空间的直和 2. 基本概念与知识点：直和 3. 问题与应用：深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。 第八节
1.主要内容：线性空间的同构 2.基本概念与知识点：同构 3.问题与应用：理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充 要条件。 第七章线性变换 (一)目的与内容 1.线性变换的定义及性质、线性变换的运算、线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、 线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量、特征多项式、求矩阵的特征 值和特征向量、相似矩阵与它们的特征多项式的关系、哈密尔顿-凯莱定理、线性变 换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件、线性变换的值域、核、秩、零度、线性 变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系、不变子空间 的定义、判定一个子空间是否是。-子空间、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的 关系、将空间V按特征值分解成不变子空间的直和表达式、标准形的定义、最小多项 式。 2.本章思政融入点：通过对线性变换理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学 素养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对特征值、特征向量、 值域、核等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益求精的品格。 （二)教学内容 第一节 1.主要内容：线性变换的定义 2.基本概念与知识点：线性变换 3.问题与应用：理解和掌握线性变换的定义及性质。 第二节 1.主要内容：线性变换的运算
7 1. 主要内容： 线性空间的同构 2. 基本概念与知识点：同构 3. 问题与应用：理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充 要条件。 第七章 线性变换 （一） 目的与内容 1.线性变换的定义及性质、线性变换的运算、线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、 线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量、特征多项式、求矩阵的特征 值和特征向量、相似矩阵与它们的特征多项式的关系、哈密尔顿-凯莱定理、线性变 换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件、线性变换的值域、核、秩、零度、线性 变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系、不变子空间 的定义、判定一个子空间是否是σ-子空间、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的 关系、将空间 V 按特征值分解成不变子空间的直和表达式、标准形的定义、最小多项 式。 2. 本章思政融入点： 通过对线性变换理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学 素养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对特征值、特征向量、 值域、核等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益求精的品格。 （二） 教学内容 第一节 1. 主要内容： 线性变换的定义 2. 基本概念与知识点：线性变换 3. 问题与应用：理解和掌握线性变换的定义及性质。 第二节 1. 主要内容： 线性变换的运算
2.基本概念与知识点：线性变换的加法、数乘、乘法、逆、幂、多项式 3.问题与应用：掌握线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式。 第三节 1.主要内容：线性变换的矩阵 2.基本概念与知识点：线性变换的矩阵、相似矩阵 3.问题与应用：深刻理解和掌握线性变换与矩阵的联系：掌握矩阵相似的概念和线 性变换在不同基下的矩阵相似等性质。 4.思政融入点：案例教学一一图像处理与几何变换。通过图像处理案例教学，培养 学生理论联系实际的精神，帮助学生树立学以致用，服务祖国的远大志向。 第四节 1.主要内容：特征值与特征向量 2.基本概念与知识点：特征值、特征向量、特征多项式 3.问题与应用：理解和掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质： 会求一个矩阵的特征值和特征向量：掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及 哈密尔顿凯莱定理。 第五节 1.主要内容：对角矩阵 2.基本概念与知识点：相似对角化 3.问题与应用：掌握维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角形的 充要条件。 第六节 1.主要内容：线性变换的值域与核 2.基本概念与知识点：线性变换的值域、核、线性变换的秩、线性变换的零度 3.问题与应用：掌握线性变换的值域、核、秩、委度等概念；深刻理解和掌握线性 8
8 2. 基本概念与知识点：线性变换的加法、数乘、乘法、逆、幂、多项式 3. 问题与应用：掌握线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式。 第三节 1. 主要内容： 线性变换的矩阵 2. 基本概念与知识点：线性变换的矩阵、相似矩阵 3. 问题与应用：深刻理解和掌握线性变换与矩阵的联系；掌握矩阵相似的概念和线 性变换在不同基下的矩阵相似等性质。 4. 思政融入点：案例教学——图像处理与几何变换。通过图像处理案例教学，培养 学生理论联系实际的精神，帮助学生树立学以致用，服务祖国的远大志向。 第四节 1. 主要内容：特征值与特征向量 2. 基本概念与知识点：特征值、特征向量、特征多项式 3. 问题与应用：理解和掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质； 会求一个矩阵的特征值和特征向量；掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及 哈密尔顿-凯莱定理。 第五节 1. 主要内容： 对角矩阵 2. 基本概念与知识点：相似对角化 3. 问题与应用：掌握 n 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角形的 充要条件。 第六节 1. 主要内容： 线性变换的值域与核 2. 基本概念与知识点：线性变换的值域、核、线性变换的秩、线性变换的零度 3. 问题与应用：掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念；深刻理解和掌握线性
变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。 第七节 1.主要内容：不变子空间 2.基本概念与知识点：不变子空间 3.问题与应用：学握不变子空间的定义：会判定一个子空间是否是。-子空间：深刻 理解不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系：掌握将空间V按特征值分解成 不变子空间的直和表达式。 第八章欧式空间 (一)目的与内容 1.欧氏空间的定义及性质向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念 和基本性质、正交向量组、标准正交基的概念、施密特正交化、欧氏空间同构的意义 及同构与空间维数之间的关系、正交变换的概念及几个等价关系、正交变换与向量的 长度，标准正交基，正交矩阵间的关系、两个子空间正交的概念、正交与直和的关系、 正交阵、用正交变换化实二次型为标准形。 2.本章思政融入点：通过对欧氏空间理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学 素养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对施密特正交化、正交 变换化二次型为标准形等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益求精的 品格。 (二)敦学内容 第一节 1.主要内容：定义与基本概念 2.基本概念与知识点：欧式空间、内积、长度、夹角、正交 3.问题与应用：深刻理解欧氏空间的定义及性质：掌握向量的长度，两个向量的夹 角、正交及度量矩阵等概念和基本性质，使学生掌握各种概念之间的联系和区别
9 变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。 第七节 1. 主要内容： 不变子空间 2. 基本概念与知识点：不变子空间 3. 问题与应用：掌握不变子空间的定义；会判定一个子空间是否是σ-子空间；深刻 理解不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系；掌握将空间 V 按特征值分解成 不变子空间的直和表达式。 第八章 欧式空间 （一） 目的与内容 1. 欧氏空间的定义及性质向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念 和基本性质、正交向量组、标准正交基的概念、施密特正交化、欧氏空间同构的意义 及同构与空间维数之间的关系、正交变换的概念及几个等价关系、正交变换与向量的 长度，标准正交基，正交矩阵间的关系、两个子空间正交的概念、正交与直和的关系、 正交阵、用正交变换化实二次型为标准形。 2. 本章思政融入点： 通过对欧氏空间理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学 素养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对施密特正交化、正交 变换化二次型为标准形等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益求精的 品格。 （二） 教学内容 第一节 1. 主要内容：定义与基本概念 2. 基本概念与知识点：欧式空间、内积、长度、夹角、正交 3. 问题与应用：深刻理解欧氏空间的定义及性质；掌握向量的长度，两个向量的夹 角、正交及度量矩阵等概念和基本性质，使学生掌握各种概念之间的联系和区别
第二节 1.主要内容：标准正交基 2.基本概念与知识点：标准正交向量组、标准正交基 3.问题与应用：正确理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程， 并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。 第三节 1.主要内容：同构 2.基本概念与知识点：同构 3.问题与应用：深刻理解两个欧氏空间同构的定义。掌握两个欧氏空间同构的意义 及同构与空间维数之间的关系。 第四节 1.主要内容：正交变换 2.基本概念与知识点：正交变换、正交矩阵 3.问题与应用：正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，让学生掌握正交 变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。 第五节 1.主要内容：子空间 2.基本概念与知识点：子空间、正交补空间 3.问题与应用：正确理解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系 及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。 第六节 1.主要内容：对称矩阵的标准型 10
10 第二节 1. 主要内容： 标准正交基 2. 基本概念与知识点：标准正交向量组、标准正交基 3. 问题与应用：正确理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程， 并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。 第三节 1. 主要内容： 同构 2. 基本概念与知识点：同构 3. 问题与应用：深刻理解两个欧氏空间同构的定义。掌握两个欧氏空间同构的意义 及同构与空间维数之间的关系。 第四节 1. 主要内容： 正交变换 2. 基本概念与知识点：正交变换、正交矩阵 3. 问题与应用：正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，让学生掌握正交 变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。 第五节 1. 主要内容：子空间 2. 基本概念与知识点：子空间、正交补空间 3. 问题与应用：正确理解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系， 及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。 第六节 1. 主要内容： 对称矩阵的标准型