《数学分析I川a》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16048406 课程名称：数学分析Ⅱa 英文名称：Mathematical Analysis IIa 课程类别：学科基础课 学时：96学时 学 分：6学分 适用对象：统计学专业、应用统计学专业 考核方式：考试 先修课程：数学分析la 二、课程简介 中文简介《数学分析Ⅱa》是综合性大学数学类各专业一门重要的专业基础课程， 是一门内容丰言而整体性强、思想深刻而方法基本的课程。本课程以经典微积分为主 体内容，其中，极限的思想贯穿全课程，它不仅为许多后继课程提供必要的基础知识 和基本技能的训练，而且对全面培养学生的现代数学素质以及运用数学思想和方法解 决问题的能力起着十分重要的作用。它的任务是使学生系统地掌握反常积分理论、无 穷级数理论、多元函数微分学、多元函数积分学等方面的知识，为进一步学习后续课 程奠定必要的基础。 英文简介《Mathematical Analy sis IⅡa》is an important and basical specialized course settled by many professions of mathematics in a comprehensive university.Its content is rich and the integrity of the whole is very strong.Its thought is profound and the methods are basic.The classic calculus is the main body content in this course.The idea of limit throughouts the whole course.The classic calculus can not only provide the necessary training including basic knowledge and basic skills for the fol low-up courses.but also play an important role in the comprehenssive training of mathematical quality and Problem solving The task of this course is to make undergraduates systematically master the improper integral theory.the infinite series theory. the multivariable differential calculus and integral calculus,with which they can study the follow-up courses welland have an important basis. 三、课程性质与教学目的 《数学分析Ⅱ》的核心内容是微积分-微分学与积分学的统称。微积分己成为 培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材。《数学分析Ⅱ》
1 《数学分析 IIa》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16048406 课程名称：数学分析 IIa 英文名称：Mathematical Analysis IIa 课程类别：学科基础课 学 时：96 学时 学 分：6 学分 适用对象: 统计学专业、应用统计学专业 考核方式：考试 先修课程：数学分析 Ia 二、课程简介 中文简介 《数学分析 IIa》是综合性大学数学类各专业一门重要的专业基础课程， 是一门内容丰富而整体性强、思想深刻而方法基本的课程。本课程以经典微积分为主 体内容，其中，极限的思想贯穿全课程，它不仅为许多后继课程提供必要的基础知识 和基本技能的训练，而且对全面培养学生的现代数学素质以及运用数学思想和方法解 决问题的能力起着十分重要的作用。它的任务是使学生系统地掌握反常积分理论、无 穷级数理论、多元函数微分学、多元函数积分学等方面的知识，为进一步学习后续课 程奠定必要的基础。 英文简介《Mathematical Analysis IIa》is an important and basical specialized course settled by many professions of mathematics in a comprehensive university.Its content is rich and the integrity of the whole is very strong.Its thought is profound and the methods are basic.The classic calculus is the main body content in this course.The idea of limit throughouts the whole course. The classic calculus can not only provide the necessary training including basic knowledge and basic skills for the follow-up courses,but also play an important role in the comprehenssive training of mathematical quality and Problem solving .The task of this course is to make undergraduates systematically master the improper integral theory ,the infinite series theory, the multivariable differential calculus and integral calculus,with which they can study the follow-up courses welland have an important basis. 三、课程性质与教学目的 《数学分析 IIa》的核心内容是微积分---微分学与积分学的统称。微积分已成为 培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材。《数学分析 IIa》
一直被公认为是大学数学系本科阶段最重要的一门基础课，它不仅是大学数学系学生 进校后首先要面对的一门最重要课程，而且大学本科乃至研究生阶段的许多后继课程 本质上都可以看作是它的延伸、深化与应用，至于它的基本概念、思想和方法，更是 无处不在。 本课程的教学目的是通过系统的学习和严格的训练，使学生全面掌握数学分析 的基本理论知识，初步掌握现代数学的观点与方法，使学生具备灵活、快捷的运算能 力和技巧，培养学生严格的逻辑思维能力和推理论证能力，简洁、清晰运用数学符号 和语言的表达能力，提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的 能力。 四、教学内容及要求 第九章定积分应用和反常积分 (一)目的与要求 1.掌握定积分在几何中的简单应用，强化积分学与相邻学科的联系，强 调应用背景。特别应用古代数学家的一些理论方法进行讲解，增强学 生的民族自豪感、民族自信心以及爱国思想。 2.掌握反常积分的基本理论及基本计算技能 (二)教学内容 第一节定积分应用的两种常用格式 1,主要内容：格式1，格式2。 2.基本概念和知识点：微元法（元素法) 3.问题与应用（能力要求） 熟练掌握微元法。 第二节平面图形的面积 1.主要内容：直角坐标情形，参数方程情形，极坐标情形 2.基本概念和知识点：平面图形的面积公式。 3.问题与应用（能力要求） 熟练掌握平面图形面积的各种公式。 第三节由平行截面面积求体积 1.主要内容：由平行截面面积计算体积，旋转体体积。 2.基本概念和知识点：截面面积函数，旋转体 3.问题与应用（能力要求） 熟练掌握旋转体体积的求法。 第四节平面曲线的那长 1.主要内容：平面曲线弧长的概念、计算。 2
2 一直被公认为是大学数学系本科阶段最重要的一门基础课，它不仅是大学数学系学生 进校后首先要面对的一门最重要课程，而且大学本科乃至研究生阶段的许多后继课程 本质上都可以看作是它的延伸、深化与应用，至于它的基本概念、思想和方法，更是 无处不在。 本课程的教学目的是通过系统的学习和严格的训练，使学生全面掌握数学分析 的基本理论知识，初步掌握现代数学的观点与方法，使学生具备灵活、快捷的运算能 力和技巧，培养学生严格的逻辑思维能力和推理论证能力，简洁、清晰运用数学符号 和语言的表达能力，提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的 能力。 四、教学内容及要求 第九章 定积分应用和反常积分 （一）目的与要求 1．掌握定积分在几何中的简单应用，强化积分学与相邻学科的联系，强 调应用背景。特别应用古代数学家的一些理论方法进行讲解，增强学 生的民族自豪感、民族自信心以及爱国思想。 2．掌握反常积分的基本理论及基本计算技能。 （二）教学内容 第一节 定积分应用的两种常用格式 1．主要内容：格式 1，格式 2。 2．基本概念和知识点：微元法（元素法）。 3．问题与应用（能力要求） 熟练掌握微元法。 第二节 平面图形的面积 1．主要内容：直角坐标情形，参数方程情形，极坐标情形。 2．基本概念和知识点：平面图形的面积公式。 3．问题与应用（能力要求） 熟练掌握平面图形面积的各种公式。 第三节 由平行截面面积求体积 1．主要内容：由平行截面面积计算体积，旋转体体积。 2．基本概念和知识点：截面面积函数，旋转体。 3．问题与应用（能力要求） 熟练掌握旋转体体积的求法。 第四节 平面曲线的弧长 1．主要内容：平面曲线弧长的概念、计算
2.基本概念和知识点：可求长，弧长，弧微分。 3.问题与应用（能力要求】 熟练掌握平面曲线弧长的求法。 第五节旋转曲面的面积 1.主要内容：旋转曲面面积的概念、计算。 2.基本概念和知识点：旋转曲面的面积。 第七节反常积分的橱今与基本性质 1.主要内容：反常积分的概念与统一定义，反常积分的基本性质。 2.基本概念和知识点：无穷积分，瑕积分，瑕点，反常积分收敛，反常积 分发散。 3.问题与应用（能力要求） 理解反常积分的概念，熟悉反常积分的性质。 第八节反常积分的敛散性 1.主要内容：反常积分的柯西收敛准则，绝对收敛，条件收敛，比较判别 法，AD判别法。 2.基本概念和知识点：绝对收敛，条件收敛。 3.问题与应用（能力要求） 熟练掌握反常积分的比较判别法。 (三)思考与实践 如何理解微元法？反常积分的概念是什么？反常积分敛散性的判别法有哪 些？ (四)教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第十章数项级数 (一)目的与要求 L.掌握收敛数项级数的基本概念与基本性质 2.掌握正项级数的各种收敛判别法。 3.掌握一般项级数条件收敛判别法。 4.介绍级数的发展历史。让学生感受到数学的魅力、数学的美妙、数学 源远流长的光辉历史，让学生认识到数学发展以及它对人类社会发展的作 用，从而树立攻坚克难、精益求精、勇于创新的理想信念 (二)教学内容 第一节数项级数的概念与性质 1.主要内容：数项级数的概念，柯西收敛准则，基本性质。 2.基本概念和知识点：级数，部分和，级数收敛，级数发散，等比级数 3
3 2．基本概念和知识点：可求长，弧长，弧微分。 3．问题与应用（能力要求） 熟练掌握平面曲线弧长的求法。 第五节 旋转曲面的面积 1．主要内容：旋转曲面面积的概念、计算。 2．基本概念和知识点：旋转曲面的面积。 第七节 反常积分的概念与基本性质 1.主要内容：反常积分的概念与统一定义，反常积分的基本性质。 2.基本概念和知识点：无穷积分，瑕积分，瑕点，反常积分收敛，反常积 分发散。 3.问题与应用（能力要求） 理解反常积分的概念，熟悉反常积分的性质。 第八节 反常积分的敛散性 1.主要内容：反常积分的柯西收敛准则，绝对收敛，条件收敛，比较判别 法，A-D 判别法。 2.基本概念和知识点：绝对收敛，条件收敛。 3.问题与应用（能力要求） 熟练掌握反常积分的比较判别法。 （三）思考与实践 如何理解微元法？反常积分的概念是什么？反常积分敛散性的判别法有哪 些？ （四）教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第十章 数项级数 （一）目的与要求 1.掌握收敛数项级数的基本概念与基本性质 2.掌握正项级数的各种收敛判别法。 3.掌握一般项级数条件收敛判别法。 4.介绍级数的发展历史。让学生感受到数学的魅力、数学的美妙、数学 源远流长的光辉历史，让学生认识到数学发展以及它对人类社会发展的作 用，从而树立攻坚克难、精益求精、勇于创新的理想信念。 （二）教学内容 第一节 数项级数的概念与性质 1.主要内容：数项级数的概念，柯西收敛准则，基本性质。 2.基本概念和知识点：级数，部分和，级数收敛，级数发散，等比级数
调和级数，余级数。 3.问题与应用（能力要求 理解级数收敛的概念，熟悉级数的基本性质，会求一些级数的和。 第二节正项级数 1.主要内容：正项级数收敛性的一般判别法，根值法与比值法。 2.基本概念和知识点：正项级数，负项级数，p一级数，柯西积分判别法 3.问题与应用（能力要求） 熟练掌握正项级数的各种判别法。 第三节一般项级数 1.主要内容：绝对收敛与条件收敛，A-D判别法。 2.基本概念和知识点：绝对收敛，条件收敛，交错级数，莱布尼茨级数。 3.问题与应用（能力要求） 孰练堂振绝对收敛的概念和一般顶级数条件收敛的判别法 (三)思考与实践 如何理解级数与数列敛散性之间的关系？各种判别法的条件和适用性是什 么？怎样理解级数理论的思想？ (四)教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第十一章函数项级数 (一)目的与要求 1.理解逐点收敛 一致收敛和内闭一致收敛的概念 2.了解一致收敛函数列的性质。 3.掌握函项级数一致收敛的概念及判别法 (二)教学内容 第一节函数列一致收敛的概念与判定 1.主要内容：逐点收敛与一致收敛的概念，函数列一致收敛的判定。 2.基本概念和知识点：收敛域，极限函数，逐点收敛， 一致收敛 3.问题与应用（能力要求） 理解逐点收敛与一致收敛的概念，掌握函数列一致收敛的判定。 第二节一致收敛函数列的性质 1.主要内容：连续性定理，可积性定理，可导性定理 2.基本概念和知识点：连续，可积，可导。 3.问题与应用（能力要求） 了解一致收敛函数列的性质。 第三节函数项级数一致收敛的概念及其判定
4 调和级数，余级数。 3.问题与应用（能力要求） 理解级数收敛的概念，熟悉级数的基本性质，会求一些级数的和。 第二节 正项级数 1.主要内容：正项级数收敛性的一般判别法，根值法与比值法。 2.基本概念和知识点：正项级数，负项级数，p-级数，柯西积分判别法。 3.问题与应用（能力要求） 熟练掌握正项级数的各种判别法。 第三节 一般项级数 1.主要内容：绝对收敛与条件收敛，A-D 判别法。 2.基本概念和知识点：绝对收敛，条件收敛，交错级数，莱布尼茨级数。 3.问题与应用（能力要求） 熟练掌握绝对收敛的概念和一般项级数条件收敛的判别法。 （三）思考与实践 如何理解级数与数列敛散性之间的关系？各种判别法的条件和适用性是什 么？怎样理解级数理论的思想？ （四）教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第十一章 函数项级数 （一）目的与要求 1.理解逐点收敛、一致收敛和内闭一致收敛的概念。 2.了解一致收敛函数列的性质。 3.掌握函项级数一致收敛的概念及判别法。 （二）教学内容 第一节 函数列一致收敛的概念与判定 1.主要内容：逐点收敛与一致收敛的概念，函数列一致收敛的判定。 2.基本概念和知识点：收敛域，极限函数，逐点收敛，一致收敛。 3.问题与应用（能力要求） 理解逐点收敛与一致收敛的概念，掌握函数列一致收敛的判定。 第二节 一致收敛函数列的性质 1.主要内容：连续性定理，可积性定理，可导性定理。 2.基本概念和知识点：连续，可积，可导。 3.问题与应用（能力要求） 了解一致收敛函数列的性质。 第三节 函数项级数一致收敛的概念及其判定
1.主要内容：函数项级数一致收敛的概念，一致收敛的判别法。 2.基本概念和知识点：函数项级数，收敛域，和函数，一致收敛 3.问题与应用（能力要求） 理解函数项级数一致收敛的概念，掌握一致收敛的判别法。 第四节和函数的分析性质 1,主要内容：连续性定理，逐项积分定理，逐项求导定理 2.基本概念和知识点：连续，积分，导数。 3.问题与应用（能力要求） 熟练掌握和函数的分析性质 (三)思考与实践 怎样理解逐点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、函数列一致收敛之间的关系？ (四)教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学 第十二章幂级数与傅里叶级数 (一)目的与要求 1.掌握幂级数的相关概念及基本性质 2掌握求幂级数和函数的基本方法。 3.掌握利用幂级数求数项级数和的基本方法 4.掌握函数展开为幂级数的基本方法及应用。 (二)教学内容 第一节幂级数的收敛域与和函数 1.主要内容：幂级数的定义和和函数，幂级数和函数的分析性质，幂级 数的运算 2.基本概念和知识点：幂级数，和函数，收敛半径，收敛域，两个幂级数 相等。 3.问题与应用（能力要求） 理解幂级数的概念，熟悉和函数的分析性质，会求幂级数的收敛域和函 数。熟悉幂级数的运算。 第二节函数的幂级数展开 1.主要内容：泰勒级数与余项公式，几个常用的初等函数的幂级数展开。 2基本概念和知识点：泰勒级数，麦克劳林级数，直接法，间接法。 3.问题与应用（能力要求） 熟悉泰勒级数和麦克劳林级数，会求一些函数的幂级数展开式。 (二)思老与实聘 幂级数的收敛域及和函数怎么求？函数幂级数展开的条件是什么？
5 1.主要内容：函数项级数一致收敛的概念，一致收敛的判别法。 2.基本概念和知识点：函数项级数，收敛域，和函数，一致收敛。 3.问题与应用（能力要求） 理解函数项级数一致收敛的概念，掌握一致收敛的判别法。 第四节 和函数的分析性质 1.主要内容：连续性定理，逐项积分定理，逐项求导定理。 2.基本概念和知识点：连续，积分，导数。 3.问题与应用（能力要求） 熟练掌握和函数的分析性质。 （三）思考与实践 怎样理解逐点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、函数列一致收敛之间的关系？ （四）教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学。 第十二章 幂级数与傅里叶级数 （一）目的与要求 1.掌握幂级数的相关概念及基本性质 2.掌握求幂级数和函数的基本方法。 3.掌握利用幂级数求数项级数和的基本方法 4.掌握函数展开为幂级数的基本方法及应用。 （二）教学内容 第一节 幂级数的收敛域与和函数 1.主要内容：幂级数的定义和和函数，幂级数和函数的分析性质，幂级 数的运算。 2.基本概念和知识点：幂级数，和函数，收敛半径，收敛域，两个幂级数 相等。 3.问题与应用（能力要求） 理解幂级数的概念，熟悉和函数的分析性质，会求幂级数的收敛域和函 数。熟悉幂级数的运算。 第二节 函数的幂级数展开 1.主要内容：泰勒级数与余项公式，几个常用的初等函数的幂级数展开。 2.基本概念和知识点：泰勒级数，麦克劳林级数，直接法，间接法。 3.问题与应用（能力要求） 熟悉泰勒级数和麦克劳林级数，会求一些函数的幂级数展开式。 （三）思考与实践 幂级数的收敛域及和函数怎么求？函数幂级数展开的条件是什么？
(四)教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课 第十三章多元函数及其微分学 (一)目的与要求 1.了解n维欧氏空间中点集论的基本知识 2.理解并掌握多元函数的概念，掌握求多元极限的基本方法 3.掌握二元连续函数的基本性质及连续性的判别方法 4.理解并掌握多元函数偏导数与全微分的概念 5.掌握多元函数微分的求法及其应用 6.掌握求高阶偏导数的基本方法 7.强化多元微分学与相邻学科的联系，强调应用背景。强化我们数学历史 的讲解，增强学生的民族自豪感、民族自信心以及爱国思想 (二)教学内容 第一节平面中的点集 1,主要内容：二维欧氏空间，平面中的点集，点和点集之间的关系，开 集与闭集。 2基本概念和知识点：邻域，有界集，无界集，内点，外点，边界点，开 集，闭集，区域。 3.问题与应用（能力要求） 理解邻域、区域等概念， 第二节R2的完备性 1主要内容：点列收敛，柯西收敛准则，闭集套定理，有限覆盖定理，聚 点定理，致密性定理。 2.基本概念和知识点：收敛点列，基本点列，开覆盖，聚点。 3.问题与应用（能力要求） 了解R2的完备性。 第三节二元函数的极限和连续性 1.主要内容：二元函数和多元函数的概念，二元函数的重极限，二元划时 代累次极限， 二元函数的连续性， 二元连续函数的整体性质。 2.基本概念和知识点：二元函数，重极限，累次极限，连续函数。 3.问题与应用（能力要求） 理解二元函数极限的定义，会求重极限。理解二元函数的连续性定义 掌握连续函数的性质。 第四节多元函数的偏导数和全微分 1.主要内容：偏导数的概念，全微分的概念，可微的几何意义和充分条件。 6
6 （四）教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第十三章 多元函数及其微分学 （一）目的与要求 1.了解 n 维欧氏空间中点集论的基本知识 2.理解并掌握多元函数的概念，掌握求多元极限的基本方法 3.掌握二元连续函数的基本性质及连续性的判别方法 4.理解并掌握多元函数偏导数与全微分的概念 5.掌握多元函数微分的求法及其应用 6.掌握求高阶偏导数的基本方法 7.强化多元微分学与相邻学科的联系，强调应用背景。强化我们数学历史 的讲解，增强学生的民族自豪感、民族自信心以及爱国思想 （二）教学内容 第一节 平面中的点集 1.主要内容：二维欧氏空间，平面中的点集，点和点集之间的关系，开 集与闭集。 2.基本概念和知识点：邻域，有界集，无界集，内点，外点，边界点，开 集，闭集，区域。 3.问题与应用（能力要求） 理解邻域、区域等概念。 第二节 R^2 的完备性 1.主要内容：点列收敛，柯西收敛准则，闭集套定理，有限覆盖定理，聚 点定理，致密性定理。 2.基本概念和知识点：收敛点列，基本点列，开覆盖，聚点。 3.问题与应用（能力要求） 了解 R^2 的完备性。 第三节 二元函数的极限和连续性 1.主要内容：二元函数和多元函数的概念，二元函数的重极限，二元划时 代累次极限，二元函数的连续性，二元连续函数的整体性质。 2.基本概念和知识点：二元函数，重极限，累次极限，连续函数。 3.问题与应用（能力要求） 理解二元函数极限的定义，会求重极限。理解二元函数的连续性定义， 掌握连续函数的性质。 第四节 多元函数的偏导数和全微分 1.主要内容：偏导数的概念，全微分的概念，可微的几何意义和充分条件
2.基本概念和知识点：偏导数，全微分，可微，曲面的法线，法线方程。 3.问题与应用（能力要求） 理解偏导数、全微分的概念，熟练掌握求偏导数、全微分的方法。了解 可微的几何意义。 第五节复合函数的微分法 1.主要内容：复合函数的求导法则，高阶偏导数。 2.基本概念和知识点：链式法则，二阶混合偏导数，高阶偏导数。 3.问题与应用（能力要求） 孰练堂据复合函数的求导方法，孰练堂握一阶偏导数的求法。 (三)思考与实践 全微分存在的必要和充分条件是什么？ (四)教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第十四章多元函数微分法的应用 (一)目的与要求 1.理解一般二元函数极值与条件极值的基本理论 2.掌握一般函数极值与条件极值的求法及简单应用 3.掌握隐函数（组）的微分法 4.了解多元函数微分学在几何上的简单应用 (二)教学内容 第三节多元函数的极值 1.主要内容：极值的必要条件，极值的充分条件，最值问题及其应用。 2.基本概念和知识点：极值，极值点，赫斯矩阵 3.问题与应用（能力要求） 理解极值、极值点的定义，会判定极值，会求最值，会求解最值应用题 第四节隐函数 1.主要内容：隐函数的概念及其几何意义，隐函数的求导法。 2.基本概念和知识点：显函数，隐函数。 3.问题与应用（能力要求） 理解隐函数的概念，熟练掌握一个方程所确定的隐函数的导数或偏导数 的求法。 第五节隐所数组 1.主要内容：两个曲面所交曲线的参数化，隐函数组。 2基本概念和知识点：曲线的参数化，隐函数组： 3.问题与应用（能力要求） 7
7 2.基本概念和知识点：偏导数，全微分，可微，曲面的法线，法线方程。 3.问题与应用（能力要求） 理解偏导数、全微分的概念，熟练掌握求偏导数、全微分的方法。了解 可微的几何意义。 第五节 复合函数的微分法 1.主要内容：复合函数的求导法则，高阶偏导数。 2.基本概念和知识点：链式法则，二阶混合偏导数，高阶偏导数。 3.问题与应用（能力要求） 熟练掌握复合函数的求导方法，熟练掌握二阶偏导数的求法。 （三）思考与实践 全微分存在的必要和充分条件是什么？ （四）教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第十四章 多元函数微分法的应用 （一）目的与要求 1.理解一般二元函数极值与条件极值的基本理论 2.掌握一般函数极值与条件极值的求法及简单应用 3.掌握隐函数（组）的微分法 4.了解多元函数微分学在几何上的简单应用 （二）教学内容 第三节 多元函数的极值 1.主要内容：极值的必要条件，极值的充分条件，最值问题及其应用。 2.基本概念和知识点：极值，极值点，赫斯矩阵。 3.问题与应用（能力要求） 理解极值、极值点的定义，会判定极值，会求最值，会求解最值应用题。 第四节 隐函数 1.主要内容：隐函数的概念及其几何意义，隐函数的求导法。 2.基本概念和知识点：显函数，隐函数。 3.问题与应用（能力要求） 理解隐函数的概念，熟练掌握一个方程所确定的隐函数的导数或偏导数 的求法。 第五节 隐函数组 1.主要内容：两个曲面所交曲线的参数化，隐函数组。 2.基本概念和知识点：曲线的参数化，隐函数组。 3.问题与应用（能力要求）
熟练掌握隐函数组的导数或偏导数的求法。 第六节几何应用 1.主要内容：空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线。 2.基本概念和知识点：空间曲线在其上一点的切线和法平面，曲面在其上 一点的切平面和法线。 3.问题与应用（能力要求） 会求空间曲线在其上一点的切线和法平面，会求曲面在其上一点的切平 面和法线。 第七节条件极值 1.主要内容：条件极值的概念及几何意义，拉格朗日乘数法。 2.基本概念和知识点：条件极值，拉格朗日乘数。 3.问题与应用（能力要求） 理解条件极值，熟练掌握拉格朗日乘数法。 (三)思考与实践 如何理解多元函数极值和条件极值的概念？拉格朗日乘数法在求条件极值的 思想和步骤是什么？ (四)教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学。 第十六章重积分 (一)目的与要求 1.掌握二重（三重）积分的基本理论及计算方法 2.了解二重（三重）积分的简单应用。 (二)教学内容 第一节二重积分的概念 1.主要内容：平面图形的面积 二重积分的定义，二重积分的存在性 可积函数类，二重积分的性质。 2.基本概念和知识点：平面图形的面积，二重积分，可积 3.问题与应用（能力要求） 理解二重积分的概念。熟练掌握二重积分的性质。 第二节直角坐标系下二重积分的计算 1.主要内容：矩形区域上二重积分转化为累次积分，一般区域上二重积分 转化为累次积分。 2基本概念和知识点：矩形区域，累次积分。 3.问颗与应用（能力要求） 熟练掌握二重积分转化为累次积分的方法。 8
8 熟练掌握隐函数组的导数或偏导数的求法。 第六节 几何应用 1.主要内容：空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线。 2.基本概念和知识点：空间曲线在其上一点的切线和法平面，曲面在其上 一点的切平面和法线。 3.问题与应用（能力要求） 会求空间曲线在其上一点的切线和法平面，会求曲面在其上一点的切平 面和法线。 第七节 条件极值 1.主要内容：条件极值的概念及几何意义，拉格朗日乘数法。 2.基本概念和知识点：条件极值，拉格朗日乘数。 3.问题与应用（能力要求） 理解条件极值，熟练掌握拉格朗日乘数法。 （三）思考与实践 如何理解多元函数极值和条件极值的概念？拉格朗日乘数法在求条件极值的 思想和步骤是什么？ （四）教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学。 第十六章 重积分 （一）目的与要求 1. 掌握二重（三重）积分的基本理论及计算方法 2. 了解二重（三重）积分的简单应用。 （二）教学内容 第一节 二重积分的概念 1.主要内容：平面图形的面积，二重积分的定义，二重积分的存在性， 可积函数类，二重积分的性质。 2.基本概念和知识点：平面图形的面积，二重积分，可积。 3.问题与应用（能力要求） 理解二重积分的概念。熟练掌握二重积分的性质。 第二节 直角坐标系下二重积分的计算 1.主要内容：矩形区域上二重积分转化为累次积分，一般区域上二重积分 转化为累次积分。 2.基本概念和知识点：矩形区域，累次积分。 3.问题与应用（能力要求） 熟练掌握二重积分转化为累次积分的方法
第三节二重积分的变量变换 1.主要内容：二重积分的变量变换与面积微元，二重积分的变量变换公式， 例题，在极坐标系中计算二重积分。 2.基本概念和知识点：面积微元，变量变换公式。 3.问题与应用（能力要求） 理解变量变换公式，熟练掌握计算二重积分的方法。 第四节三重积分 1.主要内容：三重积分的概念，化三重积分为累次积分，三重积分的变量 变换法。 2基本概念和知识点：三重积分。 3.问题与应用（能力要求） 理解三重积分的概念，熟练掌握求三重积分的方法。 第五节重积分的应用 1.主要内容：曲面的面积。 2.基本概念和知识点：曲面的面积 3.问题与应用（能力要求） 了解曲面面积的概念和计算公式。 (三)思考与实践 如何理解二重积分、 三重积分的概念及性质？ (四)教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课 第十七章曲线积分和曲面积分 (一)目的与要求 1.理解各种曲线（曲面）积分的定义和基本性质 2,掌握计算各种曲线（曲面）积分的基本方法。 3.了解各种曲线（曲面）积分的应用。 (二)教学内容 第一节第一型曲线积分 1.主要内容：第一型曲线积分的概念、性质、计算。 2.基本概念和知识点：简单曲线，闭曲线，第一型曲线积分。 3.问题与应用（能力要求） 理解第一型曲线积分的定义，会熟练计算第一型曲线积分。 第二节第一型曲面积分 1.主要内容：第一型曲面积分的概念、性质、计算 2.基本概念和知识点：第一型曲面积分
9 第三节 二重积分的变量变换 1.主要内容：二重积分的变量变换与面积微元，二重积分的变量变换公式， 例题，在极坐标系中计算二重积分。 2.基本概念和知识点：面积微元，变量变换公式。 3.问题与应用（能力要求） 理解变量变换公式，熟练掌握计算二重积分的方法。 第四节 三重积分 1.主要内容：三重积分的概念，化三重积分为累次积分，三重积分的变量 变换法。 2.基本概念和知识点：三重积分。 3.问题与应用（能力要求） 理解三重积分的概念，熟练掌握求三重积分的方法。 第五节 重积分的应用 1.主要内容：曲面的面积。 2.基本概念和知识点：曲面的面积。 3.问题与应用（能力要求） 了解曲面面积的概念和计算公式。 （三）思考与实践 如何理解二重积分、三重积分的概念及性质？ （四）教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第十七章 曲线积分和曲面积分 （一）目的与要求 1.理解各种曲线（曲面）积分的定义和基本性质 2.掌握计算各种曲线（曲面）积分的基本方法。 3.了解各种曲线（曲面）积分的应用。 （二）教学内容 第一节 第一型曲线积分 1.主要内容：第一型曲线积分的概念、性质、计算。 2.基本概念和知识点：简单曲线，闭曲线，第一型曲线积分。 3.问题与应用（能力要求） 理解第一型曲线积分的定义，会熟练计算第一型曲线积分。 第二节 第一型曲面积分 1.主要内容：第一型曲面积分的概念、性质、计算。 2.基本概念和知识点：第一型曲面积分
3.问题与应用（能力要求） 理解第一型曲面积分的定义，会熟练计算第一型曲面积分 第三节第二型曲线积分 1.主要内容：第二型曲线积分的概念、性质、计算 2.基本概念和知识点：第二型曲线积分。 3.问题与应用（能力要求） 理解第二型曲线积分的定义，会熟练计算第二型曲线积分。 第四节第二型曲面积分 1.主要内容：第二型曲面积分的概念、性质、计算。 2.基本概念和知识点：曲面的侧，第二型曲面积分。 3.问题与应用（能力要求） 了解第二型曲面积分的概念、性质、计算。 (三)思考与实践 两类曲线积分的关系是什么？如何理解曲面的侧的概念？ (四)教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第十八章各种积分之间的关系 (一)目的与要求 1.掌握各种积分之间的关系 2.掌握曲线积分与路径无关的条件。 3.掌握重要公式的应用。 (二)教学内容 第一节格林公式 1.主要内容：格林公式及其证明和应用。 2基本概念和知识点：格林公式。 3.问题与应用（能力要求） 理解格林公式，熟练掌握格林公式的应用 第二节高斯公式 1.主要内容：高斯公式及其应用。 2.基本概念和知识点：高斯公式。 3.问题与应用（能力要求）》 了解高斯公式。 第四节曲线积分与路径无关性 1.主要内容：平面曲线积分与路径无关的条件。 2.基本概念和知识点：单连通域，原函数，曲线积分与路径无关。 10
10 3.问题与应用（能力要求） 理解第一型曲面积分的定义，会熟练计算第一型曲面积分。 第三节 第二型曲线积分 1.主要内容：第二型曲线积分的概念、性质、计算。 2.基本概念和知识点：第二型曲线积分。 3.问题与应用（能力要求） 理解第二型曲线积分的定义，会熟练计算第二型曲线积分。 第四节 第二型曲面积分 1.主要内容：第二型曲面积分的概念、性质、计算。 2.基本概念和知识点：曲面的侧，第二型曲面积分。 3.问题与应用（能力要求） 了解第二型曲面积分的概念、性质、计算。 （三）思考与实践 两类曲线积分的关系是什么？如何理解曲面的侧的概念？ （四）教学方法与手段 课堂讲授，多媒体教学，有习题课。 第十八章 各种积分之间的关系 （一）目的与要求 1.掌握各种积分之间的关系 2.掌握曲线积分与路径无关的条件。 3.掌握重要公式的应用。 （二）教学内容 第一节 格林公式 1.主要内容：格林公式及其证明和应用。 2.基本概念和知识点：格林公式。 3.问题与应用（能力要求） 理解格林公式，熟练掌握格林公式的应用。 第二节 高斯公式 1.主要内容：高斯公式及其应用。 2.基本概念和知识点：高斯公式。 3.问题与应用（能力要求） 了解高斯公式。 第四节 曲线积分与路径无关性 1.主要内容：平面曲线积分与路径无关的条件。 2.基本概念和知识点：单连通域，原函数，曲线积分与路径无关