《应用随机过程》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16090903 课程名称：应用随机过程 英文名称：Applied Stochastic Processes 课程类别：专业课 学 时：48 学 分.3 适用对象：理科和工科类二年级或三年级本科生 考核方式：考试 先修课程：概率论与数理统计、微积分、线性代数、计算机程序语言 二、课程简介 中文简介 《应用随机过程》是本科生的一门重要的专业基础课程，是现代概率论的一个重 要内容。它是一门研究随时间和空间变化的随机现象并对其建模和分析的学科，在物 理、生物、工程技术、社会科学、计算机科学、经济和管理等领域都得到了广泛的应 用。本课程介绍随机过程的基本理论和几类重要随机过程模型与应用背景，主要包括 Poisson过程、更新过程、离散时间与连续时间的Markov链、鞅过程、Brown运动以 及随机积分和随机微分方程初步，最后简略讲述随机过程在金融和保险精算中的应 用，以及Markov链的Monte Carlo模拟方法。 英文简个 KApplied Stochastic Processes)is an important professional basic course for undergraduates and an important part of modern probability theory.It is a subject to research,model and analyze random phenomena of changing with time and space.Stochastic processes have been widely used in physics,biology, engineering technology,social science,computer science,economics and management and other fields.This course introduces the basic theory of stochastic process and several kinds of important stochastic process models and their application.These stochastic process models mainly include the Poisson process,Renewal process,discrete time and continuous time Markov chains,Martingale,Brown motion and preliminary of stochastic integral and
1 《应用随机过程》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：16090903 课程名称：应用随机过程 英文名称：Applied Stochastic Processes 课程类别：专业课 学 时：48 学 分：3 适用对象：理科和工科类二年级或三年级本科生 考核方式：考试 先修课程：概率论与数理统计、微积分、线性代数、计算机程序语言 二、课程简介 中文简介 《应用随机过程》是本科生的一门重要的专业基础课程，是现代概率论的一个重 要内容。它是一门研究随时间和空间变化的随机现象并对其建模和分析的学科，在物 理、生物、工程技术、社会科学、计算机科学、经济和管理等领域都得到了广泛的应 用。本课程介绍随机过程的基本理论和几类重要随机过程模型与应用背景，主要包括 Poisson 过程、更新过程、离散时间与连续时间的 Markov 链、鞅过程、Brown 运动以 及随机积分和随机微分方程初步，最后简略讲述随机过程在金融和保险精算中的应 用，以及 Markov 链的 Monte Carlo 模拟方法。 英文简介 《Applied Stochastic Processes》is an important professional basic course for undergraduates and an important part of modern probability theory.It is a subject to research, model and analyze random phenomena of changing with time and space. Stochastic processes have been widely used in physics, biology, engineering technology, social science, computer science, economics and management and other fields.This course introduces the basic theory of stochastic process and several kinds of important stochastic process models and their application. These stochastic process models mainly include the Poisson process, Renewal process, discrete time and continuous time Markov chains, Martingale, Brown motion and preliminary of stochastic integral and
stochastic differential equations.Finally,some application of stochastic process in the financial,insurance actuarial and MCMC simulation method are introduced. 三、课程性质与教学目的 (一)该课程的性质 《应用随机过程》是普通高等学校理科和工科学生的专业基础课程，可以作为数学与 应用数学类、统计类、金融类、工程技术类专业的必修课，也可以作为物理类、经济 类、计算机类专业的选修课。它是在学生掌握了概率论与数理统计、微积分、线性代 数等一定的高等数学理论知识的基础上开设的，要求学生掌握随机过程的基本理论和 研究方法，并能初步应用到金融或保险精算中。 (二)该课程的教学目标 (1)从生活中的需要出发，结合研究随机现象客观规律性的特点，并根据随机过程 的内容和知识结构，着重从随机过程的基本理论和基本方法出发，就实际应用中的典 型随机过程做应用研究，并在理论、观点和方法上予以总结、提高及应用 (2)对各个章节的教学，随机过程侧重于基本思想和基本方法的探讨，介绍随机过 程的基本概念，建立以分布函数等研究相关问题概率的实际应用思路，寻求解决统计 和随机过程问题的方法。着重基本思想及方法的培养和应用。 (3)结合学生实际，利用实际案例进行分析，培养学生的辩证唯物主义思想和爱国 精神，树立正确的人生观、价值观和世界观，培养新时代中国特色社会主义的大学生 四、教学内容及要求 第一章预备知识 (一)目的与要求 1.概率论和微积分是随机过程的主要基础。通过本章的学习，复习并扩 展概率论方面的内容，为随机过程的学习提供必备的数学工具和打下坚实 基础。 2.让学生明白“磨刀不误欣柴工”的首理、知首基出教音和知识连贯性 的重要性，平稳中求发展，把党的教育方针作为我们教书育人和学习的指 路灯。 (二)教学内容 1.主要内容 本章主要复习和扩展概率论的一些知识点。弘扬爱国精神和肯定党的教育 方针和教育政策
2 stochastic differential equations. Finally, some application of stochastic process in the financial,insurance actuarial and MCMC simulation method are introduced. 三、课程性质与教学目的 （一）该课程的性质 《应用随机过程》是普通高等学校理科和工科学生的专业基础课程，可以作为数学与 应用数学类、统计类、金融类、工程技术类专业的必修课，也可以作为物理类、经济 类、计算机类专业的选修课。它是在学生掌握了概率论与数理统计、微积分、线性代 数等一定的高等数学理论知识的基础上开设的，要求学生掌握随机过程的基本理论和 研究方法，并能初步应用到金融或保险精算中。 （二）该课程的教学目标 （1）从生活中的需要出发，结合研究随机现象客观规律性的特点，并根据随机过程 的内容和知识结构，着重从随机过程的基本理论和基本方法出发，就实际应用中的典 型随机过程做应用研究，并在理论、观点和方法上予以总结、提高及应用。 （2）对各个章节的教学，随机过程侧重于基本思想和基本方法的探讨，介绍随机过 程的基本概念，建立以分布函数等研究相关问题概率的实际应用思路，寻求解决统计 和随机过程问题的方法。着重基本思想及方法的培养和应用。 （3）结合学生实际，利用实际案例进行分析，培养学生的辩证唯物主义思想和爱国 精神，树立正确的人生观、价值观和世界观，培养新时代中国特色社会主义的大学生。 四、教学内容及要求 第一章 预备知识 （一）目的与要求 1. 概率论和微积分是随机过程的主要基础。通过本章的学习，复习并扩 展概率论方面的内容，为随机过程的学习提供必备的数学工具和打下坚实 基础。 2. 让学生明白“磨刀不误砍柴工”的道理、知道基础教育和知识连贯性 的重要性，平稳中求发展，把党的教育方针作为我们教书育人和学习的指 路灯。 （二）教学内容 1. 主要内容 本章主要复习和扩展概率论的一些知识点。弘扬爱国精神和肯定党的教育 方针和教育政策
2.基本概念和知识点 概率的基本性质、全概率公式、数字特征、矩母函数、特征函数、独立性 (卷积公式)、Riemann--Stieltjes积分、条件期望、大数定律等，另 外还包括概率空间、随机变量、分布函数、常见概率分布、集合序列的收 敛性、随机变量序列的收敛性等。 3.问题与应用（能力要求） 通过本章的学习，为后续章节作准备，提升学生的理解、综合归纳和应用 能力。 (三)思考与实践 1.做好笔记，归纳总结。 2.课后习题1.1和1.3。 (四)教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学、慕课视频、“雨课堂”或“学习通”辅助教学。 第二章随机过程的基本概念和基本类型 (一)目的与要求 1.知道我国在“随机过程”领域的代表人物以及他们的贡献，推行爱国 主义教育。 2.结合实际案例理解随机过程的定义、概率性质及分类等基本概念，明 白理论联系实际的重要性。 3.理解平稳过程遍历性的含义，体会抓事物本质的辩证法思想和坚持中 国共产党的领导路线不动摇。 4.知道随机过程与概率论的区别，利用比较学习法提升知识的理解。 (二)教学内容 第一节基本概念 1.主要内容 结合实际案例理解随机过程的基本概念。会用计算机程序语言模拟随机过 程的样本轨道。知道随机过程与概率论的区别。培养爱国主义、求真务实、 与时俱进的时代精神， 2.基本概念和知识点 随机过程的发展历程和基本概念（状态集、参数集、随机变量和样本函数）： 3,问题与应用（能力要求） 通过本节的学习，能够发现实际生活中的一些随机过程的例子，提升学生 发现问题、理解和实际应用的能力。会用计算机程序语言模拟随机过程的 3
3 2. 基本概念和知识点 概率的基本性质、全概率公式、数字特征、矩母函数、特征函数、独立性 （卷积公式）、Riemann-Stieltjes 积分、条件期望、大数定律等， 另 外还包括概率空间、随机变量、分布函数、常见概率分布、集合序列的收 敛性、随机变量序列的收敛性等。 3. 问题与应用（能力要求） 通过本章的学习，为后续章节作准备，提升学生的理解、综合归纳和应用 能力。 （三）思考与实践 1. 做好笔记，归纳总结。 2. 课后习题 1.1 和 1.3。 （四）教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学、慕课视频、“雨课堂”或“学习通”辅助教学。 第二章 随机过程的基本概念和基本类型 （一）目的与要求 1. 知道我国在“随机过程”领域的代表人物以及他们的贡献，推行爱国 主义教育。 2. 结合实际案例理解随机过程的定义、概率性质及分类等基本概念，明 白理论联系实际的重要性。 3. 理解平稳过程遍历性的含义，体会抓事物本质的辩证法思想和坚持中 国共产党的领导路线不动摇。 4. 知道随机过程与概率论的区别，利用比较学习法提升知识的理解。 （二）教学内容 第一节 基本概念 1. 主要内容 结合实际案例理解随机过程的基本概念。会用计算机程序语言模拟随机过 程的样本轨道。知道随机过程与概率论的区别。培养爱国主义、求真务实、 与时俱进的时代精神。 2. 基本概念和知识点 随机过程的发展历程和基本概念（状态集、参数集、随机变量和样本函数）。 3. 问题与应用（能力要求） 通过本节的学习，能够发现实际生活中的一些随机过程的例子，提升学生 发现问题、理解和实际应用的能力。会用计算机程序语言模拟随机过程的
样本轨道，提升学生使用计算机辅助学习的能力。通过比较随机过程和概 率论，提升学生理解问题和分辨是非的能力。 第二节有限维分布与Kolmogorov定理 1.主要内容 会求随机过程的一维和二维分布函数。了解Kolmogorov定理。会计算一 些随机过程的数字特征，培养学生开放思想和积极吸取外来成果为我所用 的良好品质。 2.基本概念和知识点 随机过程的有限维分布、Kolmogorov定理、均值函数、协方差函数、方 差函数和自相关函数。 3.问题与应用（能力要求） 通过本节的学习，能够求解随机过程的一维和二维分布函数以及数字特 征，提升学生理解、计算和推导能力。 第三节随机过程的基本类型 1.主要内容 掌握随机过程几种常用类型的基本含义，能判断实际案例属于哪种或哪几 种随机过程类型。理解均值遍历性和协方差遍历性的含义及条件。培养学 生体会抓事物本质的辩证法思想和坚持中国共产党的领导路线不动摇。培 养学生明辨是非和区别真善美与假丑恶的道德判断能力，增强民族自尊 心、自信心、自豪感和凝聚力，养成良好的文明道德习惯。 2.基本概念和知识点 平稳过程、均值遍历性、协方差遍历性、独立增量过程和平稳增量过程。 3.问题与应用（能力要求 平稳过程的遍历性是大数定律的推广，体现了随机现象的统计规律。通过 本节的学习，能够用模拟轨道的方法寻求随机现象的统计规律，提升了学 生的理解、证明、分类归纳和使用计算机程序语言的能力。 (三)思考与实践 1.利用一种计算机程序语言模拟随机过程的样本轨道。 2.探索随机过程在生活中的实际案例。 3.课后习题2.2、2.3、2.6、2.7 (四)教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学、慕课视频、“雨课堂”或“学习通”辅助教学、 分组讨论
4 样本轨道，提升学生使用计算机辅助学习的能力。通过比较随机过程和概 率论，提升学生理解问题和分辨是非的能力。 第二节 有限维分布与 Kolmogorov 定理 1. 主要内容 会求随机过程的一维和二维分布函数。了解 Kolmogorov 定理。会计算一 些随机过程的数字特征。培养学生开放思想和积极吸取外来成果为我所用 的良好品质。 2. 基本概念和知识点 随机过程的有限维分布、Kolmogorov 定理、均值函数、协方差函数、方 差函数和自相关函数。 3. 问题与应用（能力要求） 通过本节的学习，能够求解随机过程的一维和二维分布函数以及数字特 征，提升学生理解、计算和推导能力。 第三节 随机过程的基本类型 1. 主要内容 掌握随机过程几种常用类型的基本含义，能判断实际案例属于哪种或哪几 种随机过程类型。理解均值遍历性和协方差遍历性的含义及条件。培养学 生体会抓事物本质的辩证法思想和坚持中国共产党的领导路线不动摇。培 养学生明辨是非和区别真善美与假丑恶的道德判断能力，增强民族自尊 心、自信心、自豪感和凝聚力，养成良好的文明道德习惯。 2. 基本概念和知识点 平稳过程、均值遍历性、协方差遍历性、独立增量过程和平稳增量过程。 3. 问题与应用（能力要求） 平稳过程的遍历性是大数定律的推广，体现了随机现象的统计规律。通过 本节的学习，能够用模拟轨道的方法寻求随机现象的统计规律，提升了学 生的理解、证明、分类归纳和使用计算机程序语言的能力。 （三）思考与实践 1. 利用一种计算机程序语言模拟随机过程的样本轨道。 2. 探索随机过程在生活中的实际案例。 3. 课后习题 2.2、2.3、2.6、2.7。 （四）教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学、慕课视频、“雨课堂”或“学习通”辅助教学、 分组讨论
第三章Poisson过程 (一)目的与要求 1.Poisson时程是一类入门级随机时程，是学好其它随机时程的基出. 让学生知道夯实基础的重要性，初步体会如何理解和研究随机过程的概率 性质。掌握Poisson过程的定义及其概率性质。 2.要求学生能解决一些Poisson过程的实际案例的概率问题，让学生体 会到理论联系实际的重要性，做到务实求真。 3.知道Poisson过程的几种推广，学会用从简到易、由浅到深的方法学 习新东西、解决新问题，由此体会“实践是检验真理的唯一标准”。 4.通过实际案例，培养学生“平等、公正、文明、和谐、爱国、敬业、 诚信、友善”的社会主义价值观。 5.通过课后思考与实践，培养集体主义精神、关心社会意识和团结协作 能力。 (二)教学内容 第一节Poisson过程 1.主要内容 掌握Poisson过程的两个等价定义，既会直观理解又能严格证明它们的等 价性。会用Poissor过程解决一些实际案例的概率问题。培养学生“平等、 公正、文明、和谐”的社会主义价值观和求真务实的精神。培养学生具有 求索攻坚、立志勒学、自强不息的中华民族优良传统。 2.基本概念和知识点 计数过程的定义、Poisson过程的两个等价定义、课本38页例3.1.3的 结论。 3.问题与应用（能力要求） 通过本节的学习，学会用概率论、数学分析和微分方程知识解决Poisso 过程的某些问题，体会到知识的连贯性，提升学生的证明、推导、理解和 综合分析能力。掌握用联系实际案例的直观法和归纳法理解Poisson过 程，提升学生的感知、形象描述、理解和实际应用能力。 第二节与Poisson过程相联系的若干分布 1.主要内容 会用笔画出或计算机模拟Poisson过程的样本路径，相互学习，培养集体 主义精神，尊重、关心和理解他人，团结协作。掌握两次事件发生的时间 间隔和某次事件发生时刻的分布，由此解决一些实际案例，进行社会主义 教育，包括社会主义现代化建设经济常识、社会发展规律等。了解事件发 5
5 第三章 Poisson 过程 （一）目的与要求 1. Poisson 过程是一类入门级随机过程，是学好其它随机过程的基础， 让学生知道夯实基础的重要性，初步体会如何理解和研究随机过程的概率 性质。掌握 Poisson 过程的定义及其概率性质。 2. 要求学生能解决一些 Poisson 过程的实际案例的概率问题，让学生体 会到理论联系实际的重要性，做到务实求真。 3. 知道 Poisson 过程的几种推广，学会用从简到易、由浅到深的方法学 习新东西、解决新问题，由此体会“实践是检验真理的唯一标准”。 4. 通过实际案例，培养学生“平等、公正、文明、和谐、爱国、敬业、 诚信、友善”的社会主义价值观。 5. 通过课后思考与实践，培养集体主义精神、关心社会意识和团结协作 能力。 （二）教学内容 第一节 Poisson 过程 1. 主要内容 掌握 Poisson 过程的两个等价定义，既会直观理解又能严格证明它们的等 价性。会用 Poisson 过程解决一些实际案例的概率问题。培养学生“平等、 公正、文明、和谐”的社会主义价值观和求真务实的精神。培养学生具有 求索攻坚、立志勤学、自强不息的中华民族优良传统。 2. 基本概念和知识点 计数过程的定义、Poisson 过程的两个等价定义、课本 38 页例 3.1.3 的 结论。 3. 问题与应用（能力要求） 通过本节的学习，学会用概率论、数学分析和微分方程知识解决 Poisson 过程的某些问题，体会到知识的连贯性，提升学生的证明、推导、理解和 综合分析能力。掌握用联系实际案例的直观法和归纳法理解 Poisson 过 程，提升学生的感知、形象描述、理解和实际应用能力。 第二节 与 Poisson 过程相联系的若干分布 1. 主要内容 会用笔画出或计算机模拟 Poisson 过程的样本路径，相互学习，培养集体 主义精神，尊重、关心和理解他人，团结协作。掌握两次事件发生的时间 间隔和某次事件发生时刻的分布，由此解决一些实际案例，进行社会主义 教育，包括社会主义现代化建设经济常识、社会发展规律等。了解事件发
生时刻的条件分布。理解“无记忆性”的含义。学会随机事件的等价转换 培养学生民族团结意识和集体主义精神。 2.基本概念和知识点 Poisson过程的样本路径：两次事件发生的时间间隔和某次事件发生时刻 的分布：事件发生时刻的条件分布：果本43页例3.2.4的结论。 3.问题与应用（能力要求） 通讨本节的学习，学会用想率论和数学分析知识解决Poiss0n讨程的某些 延伸问题，体会到知识的连贯性和延伸，提升学生的理解、拓展和综合分 析能力；会利用本节的结论解决实际问题，比如排队等待时间、课本43 页例3.2.4等，提升学生的实际应用和知识拓展能力。 第三节Poisson过程的推广 1.主要内容 会用计算机程序语言模拟Poisson过程样本路径，培养学生利用计算机和 信息技术解决问题的能力。结合实际案例掌握Poisson过程的几种推广的 含义以及它们的概率性质，培养学生求索攻坚、立志勒学、自强不息的民 族精神，了解“一带一路”的国家政策的爱国情怀。理解齐次Poissor 过程和非齐次Poissor过程的转换方法，让学生知道既要继承和弘扬中华 民族优秀的历史文化传统，同时也要吸收包括资本主义和市场经济在内的 人类文明发展的一切优秀成果。 2.基本概念和知识点 非齐次Poisson过程、复合Poisson过程、条件Poisson过程、累积强度 函数。 3.问题与应用（能力要求 通过本节的学习和课后思考与实践，结合实际案例，学会调整和完善初始 数学模型使其慢慢与实际情况越接近，提升拓展、发散思维和应变能力以 及计算机和信息技术应用能力。在将非齐次Poisson过程转换为齐次 Poisson过程时，学会通过形象直观和理论推导两种方式进行理解，提升 了学生的感知和数学推理能力，会两种思维方式的结合使用。将几种 Poisson过程的推广应用到案例中求解实际问题，提升学生的实际应用能 力、综合分析能力、集体主义精神、关心社会的意识和团结协作的能力 (三)思考与实践 1.对Poisson过程模拟仿真，或以小组形式，课后找一些身边的Poisson 过程案例并结合实际情况实地调查，解决某些实际问题。 2.利用一种程序语言模拟Poisson过程的样本轨道
6 生时刻的条件分布。理解“无记忆性”的含义。学会随机事件的等价转换， 培养学生民族团结意识和集体主义精神。 2. 基本概念和知识点 Poisson 过程的样本路径；两次事件发生的时间间隔和某次事件发生时刻 的分布；事件发生时刻的条件分布；课本 43 页例 3.2.4 的结论。 3. 问题与应用（能力要求） 通过本节的学习，学会用概率论和数学分析知识解决 Poisson 过程的某些 延伸问题，体会到知识的连贯性和延伸，提升学生的理解、拓展和综合分 析能力；会利用本节的结论解决实际问题，比如排队等待时间、课本 43 页例 3.2.4 等，提升学生的实际应用和知识拓展能力。 第三节 Poisson 过程的推广 1. 主要内容 会用计算机程序语言模拟 Poisson 过程样本路径，培养学生利用计算机和 信息技术解决问题的能力。结合实际案例掌握 Poisson 过程的几种推广的 含义以及它们的概率性质，培养学生求索攻坚、立志勤学、自强不息的民 族精神，了解“一带一路”的国家政策的爱国情怀。理解齐次 Poisson 过程和非齐次 Poisson 过程的转换方法，让学生知道既要继承和弘扬中华 民族优秀的历史文化传统，同时也要吸收包括资本主义和市场经济在内的 人类文明发展的一切优秀成果。 2. 基本概念和知识点 非齐次 Poisson 过程、复合 Poisson 过程、条件 Poisson 过程、累积强度 函数。 3. 问题与应用（能力要求） 通过本节的学习和课后思考与实践，结合实际案例，学会调整和完善初始 数学模型使其慢慢与实际情况越接近，提升拓展、发散思维和应变能力以 及计算机和信息技术应用能力。在将非齐次 Poisson 过程转换为齐次 Poisson 过程时，学会通过形象直观和理论推导两种方式进行理解，提升 了学生的感知和数学推理能力，会两种思维方式的结合使用。将几种 Poisson 过程的推广应用到案例中求解实际问题，提升学生的实际应用能 力、综合分析能力、集体主义精神、关心社会的意识和团结协作的能力。 （三）思考与实践 1. 对 Poisson 过程模拟仿真，或以小组形式，课后找一些身边的 Poisson 过程案例并结合实际情况实地调查，解决某些实际问题。 2. 利用一种程序语言模拟 Poisson 过程的样本轨道
3.课后习题3.4,3.8,3.10,3.13。 (四)教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学、慕课视频、“雨课堂”或“学习通”辅助教学 分组讨论、小组调研。 第四章更新过程（选讲） (一)目的与要求 1.更新过程是Poisson过程的推广，较Poisson过程更适合实际情况， 应用范围更广泛，但研究难度明显增加，对本科生来说主要是认识一下更 新过程及一些简单应用，涉及到数学分析和微分方程的内容，尽量用结合 实际案例直观理解和形象比喻的方式让学生用心体会，但是，也必须强调 数学的严谨性和逻辑性的重要性，让他们做到既能感知又不脱离数学本 质，培养学生正确的辩证唯物主义思想。 2.知首如何定义更新时程以及与其关联的若干分布。理解更新方程、更 新定理以及它们的应用，有兴趣和学有余力的同学可以了解更新过程的几 种推广形式。将教育与树立正确的人生观、世界观和科学信仰结合起来， 使学生在社会、人生、事业等方面树立正确的理想与奋斗目标。 (二)教学内容 第一节更新过程的定义及若干分布 1.主要内容 理解更新过程的定义，透过现象看本质，培养学生遵循社会发展规律，树 立正确的社会发展观，走可持续发展道路。掌握更新过程的一些概率性质 和等价事件的转换，培养学生“平等、公正、文明、和谐”的社会主义价 值观。 2.基本概念和知识点 更新过程。更新函数及其性质。一些具体的更新过程的更新函数。 3.问题与应用（能力要求） 更新过程的定义与Poisson过程的定义方式不一样，对初学者来说会感觉 更新过程的定义在“绕弯子”，需要学生去发现其中的本质，通过本节的 学习，提升学生的理解、观察和发现能力：通过理解和发现等价事件，提 升学生的理解、比较和创造能力；通过理解更新函数的性质，提升学生的 感知和理解能力：通过求解一些具体的更新过程的更新函数，提升学生的 实例运用和分析能力
7 3. 课后习题 3.4,3.8,3.10,3.13。 （四）教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学、慕课视频、“雨课堂”或“学习通”辅助教学、 分组讨论、小组调研。 第四章 更新过程（选讲） （一）目的与要求 1. 更新过程是 Poisson 过程的推广，较 Poisson 过程更适合实际情况， 应用范围更广泛，但研究难度明显增加，对本科生来说主要是认识一下更 新过程及一些简单应用，涉及到数学分析和微分方程的内容，尽量用结合 实际案例直观理解和形象比喻的方式让学生用心体会，但是，也必须强调 数学的严谨性和逻辑性的重要性，让他们做到既能感知又不脱离数学本 质，培养学生正确的辩证唯物主义思想。 2. 知道如何定义更新过程以及与其关联的若干分布。理解更新方程、更 新定理以及它们的应用。有兴趣和学有余力的同学可以了解更新过程的几 种推广形式。将教育与树立正确的人生观、世界观和科学信仰结合起来， 使学生在社会、人生、事业等方面树立正确的理想与奋斗目标。 （二）教学内容 第一节 更新过程的定义及若干分布 1. 主要内容 理解更新过程的定义，透过现象看本质，培养学生遵循社会发展规律，树 立正确的社会发展观，走可持续发展道路。掌握更新过程的一些概率性质 和等价事件的转换，培养学生“平等、公正、文明、和谐”的社会主义价 值观。 2. 基本概念和知识点 更新过程。更新函数及其性质。一些具体的更新过程的更新函数。 3. 问题与应用（能力要求） 更新过程的定义与 Poisson 过程的定义方式不一样，对初学者来说会感觉 更新过程的定义在“绕弯子”，需要学生去发现其中的本质，通过本节的 学习，提升学生的理解、观察和发现能力；通过理解和发现等价事件，提 升学生的理解、比较和创造能力；通过理解更新函数的性质，提升学生的 感知和理解能力；通过求解一些具体的更新过程的更新函数，提升学生的 实例运用和分析能力
第二节更新方程及其应用（选讲） 1.主要内容 知道更新函数满足更新方程。会求更新方程的解。会用更新方程证明Wald 等式，让学生明白世界多元化、经济全球化、社会一体化的发展趋势。了 解更新方程在预测女婴出生率方面的应用，培养学生具有国防安全意识、 社会发展意识、民族团结意识，努力为国家做贡献。 2.基本概念和知识点 更新方程、卷积公式、Wald等式。 3.问题与应用（能力要求） 更新方程内容比较抽象，要求有比较扎实的概率论、数学分析和微分方程 等基础知识，特别是更新方程解的证明过程、用更新方程证明一些理论问 题和解决实际问题等。通过本节的学习，可以提升学生理解、推导、独立 思考和实际应用能力，明白知识的连贯性和系统性。 第三节更新定理（选讲） 1.主要内容 知道研究随机时程极限形式的原因和重要性，让学生明白社会发展规律 走可持续发展道路。掌握Feller初等更新定理和Blackwell更新定理以 及它们的应用。了解关键更新定理及其应用，培养学生探索求真精神，为 祖国奔月成功喝彩，培养爱国主义精神、民族团结意识和树立正确的理想 和奋斗目标。 2.基本概念和知识点 Feller初等更新定理、Blackwell更新定理、关键更新定理：格点分布。 3.问题与应用（能力要求） 本节几个更新定理的证明过程都比较复杂，课堂上不作要求讲解，但它们 的应用比较重要。通过本节的学习，提升了学生的感知能力、形象和抽象 理解和思维能力、实际运用能力。 第四节更新过程的推广（不作要求） 1.主要内容 知道更新过程的几种推广以及它们的性质和应用，并与Poissor过程的推 广进行比较，理解推广的原因和意义。培养学生求索攻坚、立志勤学、自 强不息、团结协作的民族精神，了解“一带一路”的国家政策的爱国情怀。 2.基本概念和知识 延迟更新过程、更新回报过程、交替更新过程。 3.问题与应用（能力要求） 本节内容作为选讲内容，适合对随机过程感兴趣且学有余力的同学学习
8 第二节 更新方程及其应用（选讲） 1. 主要内容 知道更新函数满足更新方程。会求更新方程的解。会用更新方程证明 Wald 等式，让学生明白世界多元化、经济全球化、社会一体化的发展趋势。了 解更新方程在预测女婴出生率方面的应用，培养学生具有国防安全意识、 社会发展意识、民族团结意识，努力为国家做贡献。 2. 基本概念和知识点 更新方程、卷积公式、Wald 等式。 3. 问题与应用（能力要求） 更新方程内容比较抽象，要求有比较扎实的概率论、数学分析和微分方程 等基础知识，特别是更新方程解的证明过程、用更新方程证明一些理论问 题和解决实际问题等。通过本节的学习，可以提升学生理解、推导、独立 思考和实际应用能力，明白知识的连贯性和系统性。 第三节 更新定理（选讲） 1. 主要内容 知道研究随机过程极限形式的原因和重要性，让学生明白社会发展规律， 走可持续发展道路。掌握 Feller 初等更新定理和 Blackwell 更新定理以 及它们的应用。了解关键更新定理及其应用，培养学生探索求真精神，为 祖国奔月成功喝彩，培养爱国主义精神、民族团结意识和树立正确的理想 和奋斗目标。 2. 基本概念和知识点 Feller 初等更新定理、Blackwell 更新定理、关键更新定理；格点分布。 3. 问题与应用（能力要求） 本节几个更新定理的证明过程都比较复杂，课堂上不作要求讲解，但它们 的应用比较重要。通过本节的学习，提升了学生的感知能力、形象和抽象 理解和思维能力、实际运用能力。 第四节 更新过程的推广（不作要求） 1. 主要内容 知道更新过程的几种推广以及它们的性质和应用，并与 Poisson 过程的推 广进行比较，理解推广的原因和意义。培养学生求索攻坚、立志勤学、自 强不息、团结协作的民族精神，了解“一带一路”的国家政策的爱国情怀。 2. 基本概念和知识点 延迟更新过程、更新回报过程、交替更新过程。 3. 问题与应用（能力要求） 本节内容作为选讲内容，适合对随机过程感兴趣且学有余力的同学学习
通过本节的学习，提升了学生的对比能力、理解能力和实际运用能力：让 学生体会用联系法、比较法和结合实际案例的方法思考和研究问题 (三)思考与实践 1.对比Poisson过程和更新过程，总结它们的联系和区别。以小组形式， 课后找一些身边的更新过程案例并结合实际情况实地调查，解决某些实际 问题。 2.课后习题4.14.3,4.4。 (四)教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学、“雨课堂”或“学习通”辅助教学、分组讨论、 小组调研。 第五章Markov链 (一)目的与要求 L.Markov过程是一类非常重要的随机过程，应用非常广泛。对于本科生 只要求掌握离散状态的Markov过程，即Markov链。重点掌握离散参数离 散状态的时齐Markov链，对于连续参数离散状态的Markov链只做简单讲 解或作为选讲内容，为将来可能的Markov讨程的学习打下基础。 2.学生需要知道什么是Markov链，能在实际案例中构造Markov链。掌 握时齐Markov链的一些概率性质、状态分类、极限问题和一些应用等。 3.通过理论知识和案例分析，让学生知道知法守法，具有纪律和法治意 识，培养学生诚实守信、求真务实、勤俭节约的传统美德，爱国爱民、关 心国家政策、与时俱进的时代精神。 (二)教学内容 第一节基本概念 1,主要内容 知道什么是时齐Markov链，会写实际案例的转移矩阵。知道怎么求n步 转移矩阵并能应用到实际案例中，通过实际案例培养学生的求真务实精神 和勤俭节约的传统美德，关心“一带一路”的国家帮扶政策，弘扬中华悠 久和灿烂的民族文化。 2.基本概念和知识点 时齐Markov链、无后效性、转移概率、转移矩阵、C-K方程。 3.问题与应用（能力要求）
9 通过本节的学习，提升了学生的对比能力、理解能力和实际运用能力；让 学生体会用联系法、比较法和结合实际案例的方法思考和研究问题。 （三）思考与实践 1. 对比 Poisson 过程和更新过程，总结它们的联系和区别。以小组形式， 课后找一些身边的更新过程案例并结合实际情况实地调查，解决某些实际 问题。 2. 课后习题 4.1,4.3,4.4。 （四）教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学、“雨课堂”或“学习通”辅助教学、分组讨论、 小组调研。 第五章 Markov 链 （一）目的与要求 1. Markov 过程是一类非常重要的随机过程，应用非常广泛。对于本科生， 只要求掌握离散状态的 Markov 过程，即 Markov 链。重点掌握离散参数离 散状态的时齐 Markov 链，对于连续参数离散状态的 Markov 链只做简单讲 解或作为选讲内容，为将来可能的 Markov 过程的学习打下基础。 2. 学生需要知道什么是 Markov 链，能在实际案例中构造 Markov 链。掌 握时齐 Markov 链的一些概率性质、状态分类、极限问题和一些应用等。 3. 通过理论知识和案例分析，让学生知道知法守法，具有纪律和法治意 识，培养学生诚实守信、求真务实、勤俭节约的传统美德，爱国爱民、关 心国家政策、与时俱进的时代精神。 （二）教学内容 第一节 基本概念 1. 主要内容 知道什么是时齐 Markov 链，会写实际案例的转移矩阵。知道怎么求 n 步 转移矩阵并能应用到实际案例中，通过实际案例培养学生的求真务实精神 和勤俭节约的传统美德，关心“一带一路”的国家帮扶政策，弘扬中华悠 久和灿烂的民族文化。 2. 基本概念和知识点 时齐 Markov 链、无后效性、转移概率、转移矩阵、C-K 方程。 3. 问题与应用（能力要求）
在写案例的转移矩阵时，从易到难，培养学生循序渐进的学习方法，提升 学生的理解能力和实际应用能力。在引入和推导C-K方程时，引领学生自 己思考，培养他们的独立思考、发现问题、数学推理、比较和创新能力 在某些实际案例中，比如排队系统，培养学生养成遵守规则良好的文明道 德习惯，具有纪律和法治意识。 第二节状态的分类及性质 1.主要内容 学握按互通性分类和常返性分类的区别和联系，培养团结协作意识和民族 团结精神。直观理解和从对立事件理解常返性的含义，让学生知道“换位 思考”的做人道理，学会宽容他人，弘扬团结友爱的优良传统。会通过状 态转移图讨论分类和求周期。能区别首达概率和非首达概率以及如何通过 它们判断常返性，让学生知道谦虚谨慎、戒骄戒躁、认真细致的做人道理。 2.基本概念和知识点 可达、互通、不可约Markov链、周期、首达概率。正常返、零常返和非 常返状态。常返性判断定理。常返性和互通的关系。 3.问题与应用（能力要求） 通过学习互通和常返性两种不同的分类方式，找出它们的区别和联系，提 升学生的全面理解问题和发散思维能力。通过对常返性概念的理解，提升 学生的直觉和感知能力。通过不同的方法判断常返性以及掌握常返性的 些性质，提升学生综合分析和归纳的能力。从对立事件理解非常返状态， 培养学生的逆向思维和换位思考的能力 第三节极限定理及平稳分布 1.主要内容 掌握转移矩阵的极限定理，让学生明白社会发展规律，走可持续发展道路。 知道有限状态Markov链的常返性质，让学生体会到有限和无限的本质区 别，投透过现象看本质，培养学生抓事物本质的辩证法思想，从结论中懂 得诚实守信的重要。会用平稳分布求极限分布并应用到实际案例中，培养 学生求直务实的精神」 2.基本概念和知识点 转移矩阵的极限定理。有限状态Markov链的常返性质。极限分布。平稳 分布。 3.问颗与应用（能力要求） 学会从实际案例中抽象出一般情况，提升学生的综合、抽象、归纳能力： 在用平稳分布求解极限分布时，注意数学的严谨性，提升学生细心、全面 思考和平稳发展的思想。学会将本节知识应用到实际案例中，提升学生的
10 在写案例的转移矩阵时，从易到难，培养学生循序渐进的学习方法，提升 学生的理解能力和实际应用能力。在引入和推导 C-K 方程时，引领学生自 己思考，培养他们的独立思考、发现问题、数学推理、比较和创新能力。 在某些实际案例中，比如排队系统，培养学生养成遵守规则良好的文明道 德习惯，具有纪律和法治意识。 第二节 状态的分类及性质 1. 主要内容 掌握按互通性分类和常返性分类的区别和联系，培养团结协作意识和民族 团结精神。直观理解和从对立事件理解常返性的含义，让学生知道“换位 思考”的做人道理，学会宽容他人，弘扬团结友爱的优良传统。会通过状 态转移图讨论分类和求周期。能区别首达概率和非首达概率以及如何通过 它们判断常返性，让学生知道谦虚谨慎、戒骄戒躁、认真细致的做人道理。 2. 基本概念和知识点 可达、互通、不可约 Markov 链、周期、首达概率。正常返、零常返和非 常返状态。常返性判断定理。常返性和互通的关系。 3. 问题与应用（能力要求） 通过学习互通和常返性两种不同的分类方式，找出它们的区别和联系，提 升学生的全面理解问题和发散思维能力。通过对常返性概念的理解，提升 学生的直觉和感知能力。通过不同的方法判断常返性以及掌握常返性的一 些性质，提升学生综合分析和归纳的能力。从对立事件理解非常返状态， 培养学生的逆向思维和换位思考的能力。 第三节 极限定理及平稳分布 1. 主要内容 掌握转移矩阵的极限定理，让学生明白社会发展规律，走可持续发展道路。 知道有限状态 Markov 链的常返性质，让学生体会到有限和无限的本质区 别，投透过现象看本质，培养学生抓事物本质的辩证法思想，从结论中懂 得诚实守信的重要。会用平稳分布求极限分布并应用到实际案例中，培养 学生求真务实的精神。 2. 基本概念和知识点 转移矩阵的极限定理。有限状态 Markov 链的常返性质。极限分布。平稳 分布。 3. 问题与应用（能力要求） 学会从实际案例中抽象出一般情况，提升学生的综合、抽象、归纳能力； 在用平稳分布求解极限分布时，注意数学的严谨性，提升学生细心、全面 思考和平稳发展的思想。学会将本节知识应用到实际案例中，提升学生的
