供电系统的电力分配 在供电网络系统中，发电机组的功率输出及用户得到的电力分配，与电网中的电气 参数有密切关系。如何根据这些电气参数计算功率负荷，是电气工程中很重要的内容。 作为实际例子，考虑以下三个问题。 1.两台发电机并联运行，共同供电给负载，负载电阻R2=30Q,电路连接方式如 图1所示。由于某种原因，两台发电机的电动势发生差异，E=230V,B1=210V,它 们的内阻R=1Q,R1=0.6Q。求每台发电机中的电流以及它们各自发出的功率，并与 它们单独供电的情况相比较。 R门 R 12 0.62 R2门 12 302 552 300 2307 210V 2307 图1 发电机并联供电 图2 向并联用户供电 2.两台发电机的电动势有差异可能对供电不利，因此撤去一台发电机，把线路让 给用户，电路如图2所示，其中R1=55Q是新增用户相应的负载电阻。这种情况下
供电系统的电力分配
发电机中的电流以及两个用户分配到的功率是多少？并与图1的情祝相比较。 3.图2中的两个用户又可分为若干串 联的子用户，此如左边线路的用户分为R1 =30Q和R3=25Q两个负载电阻，右边线 2 路的用户分为R2=102和R4=202两个 R 302 R 102 负载电阻，同时这二对负载中间叹跨接了第 41 5个负载，其电阻值是R5=20Q,电路图见 202 图3。这时各支路中的电流和功率分配状况 有怎样的变化？ 230V 8 252 202 【分析】分析供电网络的电流电压状 3 况，需要用到基尔霍夫电路定律，包括第一 图3向用户网络供电 第二两个定律。第一定律是基尔霍夫电流平衡定律， 这个定律指出：在电路中，流入任意一个节点的电流必定等于流出该节点的电流。第二 定律是基尔霍夫电压平衡定律，这个定律指出：电路中任一回路内各段电压降的代数和 等于零。运用这两个定律，可以建立关于电路中各支路电流的方程组，从总体上把握电 路的运行状况。 【求解】1.在图1中，首先指定各支路电流的参考方向，见图1。然后根据电流平 衡定律，在节点1处建立方程 1+4=12 接下来在节点1的左右两个回路中应用电，压平衡定律（按顺时针方向绕行），得到 左回路：R1-RI1+瓦-E=0 右回路：41+R212-马=0 把电动势和电阻数值代入并作适当整理，得到联立方程组
[1+4-12=0 1-0.61 =20 (1) 0.61+3012=210 这个方程组用代入法容易求解。用矩阵变换技术体现代入法可显得更加简洁，下面是增 广矩阵的初等变换（带括号的元素是主元）： 1 -110 (0 (1.6 -11-20 (1) -0.6 020 -0.6 020 0 0.6 301210 0 0.6 30210 01 -0.625 1-12.5 0101-8.0247 10-0.375 12.5 10015.1852 00(30.375217.5 0017.1605 于是读出三个电流值为： =15.2A,I1=-8.0A,12=7.2A. 这里负号表示电流的实际方向与一开始指定的参考方向相反。 负载上的电压降为U2=R212=30×7.2=216V,这也是两台发电机的端电压，所以 左边发电机发出的功率是 P=U21=216×15.2=3283.2W 右边发电机发出的功率是 月=U241=216×(-8.0)=-1728W 负号表示右边发电机非但没有发出功率，反而从外部取用了1728W功率。 如果发电机单独供电，那么只要在图1中撤去一条支路，成为没有分叉的单线电路， 用欧姆定律直接算得电流和功率
1=8。=230=74194A,P=12R=7.4194×30=16514w R+&231 4=岛210 =6.8627A,月=8=(6.8627)2×30=1412.9W +R230.6 发电机并联运行时，左发电机发出的功率高达3283.2W,是单独供电的(1651.4W) 近2倍，其中有53%被右发电机消耗掉了，供给用户的功率(3283.2W-1728W=1555.2 W)甚至不如单独供电的1651.4W。 从本例看出，电动势不等的发电机并联运行是不好的，不仅不能使发电机的负担均 匀，相反有的发电机变成了负载，加重了其他发电机的负担。 2.图2是简单的并联电路（红1的参考方向已改），可以用同样的方法建立类似于(1) 式的方程组 1-4-12=0 1+554 =0 -551+3012=230 这个方程的初等变换要简单得多，其过程是： /1 -1 -110 0 -56(-1)1-230 (1) 55 0230 1 55 0230 0 -55 300 0-55 301 0 0 56 11 230 0017.2911 1 55 0 230 10 011.2680 0(-1735) 0-6900 0 103.9769 于是读出三个电流值为：
=11.3A,I1=4.0A,I2=7.3A. 两个负载获得的功率分别是 3=1=(4.0)2×55=880W,B=1R2=(7.3)2×30=1598.7W 发电机发出的总功率是P=P1十P2=2478.7W. 发电机发出的功率此图1减少24.5%，而且都是供给用户的有用功，负载R2获得 的功率(1598.7W)此图1的1555.2W还有所增加。 3.图3的电路比较复杂，有4个节点、3个回路、6条支路。与图1相同，运用电 流平衡定律和电压平衡定律（电流的参考方向已在图3中标示），可得到7个方程 1-4-2 =0 14+15=0 -1+ 马+14 =0 1 -13 15=0 (2) R1+4 +13 =E - 4+R242 -R15=0 R313+R414+Rs15=0 - 不过前4个方程中有一个是多余的，比如将前3个方程加起来可得到第4个方程。我们 把第4个方程去掉，并将电动势和电阻数值代入，用矩阵变换技术解此方程组。下面是 增广矩阵的初等变换过程：
8 -1 -1 001 0 0 -1 0 0 100 11000 100 000 1000 0 1 -1 001 0100 000 1 30 25 ! 230 31 1 0 -30 10 0 -30 10 50 100 -20 0 0 -25 20 00 00 0 25 0 1 1 -1 0000 1000 00 000 31 101 0 -30 001303 010000 0110 10 1101 1016 0100 1111 -20 00 0 0 (10) -30 0 0 0 40 20 40 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 193 000 66165 000000 0 0 0 3 00 0 0 0 0 0 0 0 (←-200) 230 0 0 1 0 0 01 0 7 0 0 0 (35) 0 0 001 0 4 0 0 0 0 0 01 11.5 0 000 011.5 0 0 0 1 0 6.9 0 1000 0 3.45 1 0 0 0 0 0 3.45 0 0 10 008.05 0 00 0 -11.5 0 0 01 0 0 4.6 0 10 0 8.05 00 0001 0 6.9 0 0 0 10 0 4.6 000 011-1.15
最后一步是换行变换，通过换行使所选主元按左上到右下顺序排列。从最后的矩阵中直 接读出各支路的电流数值： =11.5A,I1=3.45A,12=8.05A,3=4.6A,I4=6.9A,15=-1.15A. 负号表示电流I5的实际方向与图中指定的参考方向相反。负载R1~R5获得的功率分别 为： R=R=357.1W,B=R2=6480W,乃=1R3=529.0W, =1R4=952.2W,=1R=26.5W. 与图2相比较，总电流因R5的分流而从11.3A增加到=11.5A;流经R:的电流 原来是4.0A,现在分为两条支路，电流改变为I1=3.45A、I3=4.6A,略有增减，电阻 小者增、电阻大者减；流经R2的电流原来是7.3A,现在也分为两条支路，电流改变为 I2=8.05A、I4=6.9A,也是电阻小者增、电阻大者减. 功率的变化：原来R1获得880W,现在增加到P1十P3=886.1W:原来R2获得1598.7 W,现在增加到P2+P4=1600.2W;发电机发出的功率从2478.7W增加到886.1+1600.2 十26.5=2512.8W。这都是R5的跨接，使得电流从总体上有所增加. 【讨论】求解方程组(2)的矩阵变换中，前三步相当于把前三个方程代入后三个 方程消去人1、I4。由于前三个方程很简单，不必再化简，所以变换可以简化，即前三 个方程完成代入任务后不再参加初等变换。具体做法是前三步选了主元施行初等变换 后，立刻划去主元所在的行和列；为了避免读取错误，最好在矩阵上方标注变量的序号。 简化的矩阵变换过程如下： 1) -1-10 0 0 2 3 4 5 0 0 1 0 -1 1 0 0 1 0 (-1) 1} 0 1 0 0 1 0 0 -1 -1 1 0 0 30 0 25 0 01230 31 1 25 0 0 230 0 -3010 0 -20 -30 10 0 -20 0 0 0 0 -25 20 2010 0 0 -25 20 200
1 2 3 5 0 10 2 3 1 31 56 31230 1 25 0 1230 0 10) -30 -50 0 -30 10 -20 0 20 -25 401 0 0 20-25 40 0 0 59 36 1230 0 0(-200) I230 001-11.5 -3 -5 0 0 7 1 008.05 0 35) 1401 0 1 4 0 0 104.6 从最后矩阵中读取I2=8.05AI3=4.6A, 15=一1.15A,然后回代到方程组(2)的前 三个方程，即可算得=11.5A,11=3.45A,14=6.9A 图3的电路通常称为桥式电路，桥式电路在电气测量中有广泛的应用。如果图3中 散去电阻R5,那么就成了图2。这时两条支路的端电压相同，即 5511=3012. 重新分配R1和R3R2和R4的数值，使得R1:R2=55:30,则R1和R2上的电压降 之此等于 R4=55.30-1, R2423055 这说明节点2、4处的电压相等，再接上R便不会产生电流。现在将R5换成电流计， 设R4是未知电阻，调整R1和R,的比值（使用标准的可调电阻器）使电流计的读数为 0,从而可根据比例关系求出R4的数值。这就是桥式测量仪的设计原理。桥式测量仪的 测量精度比一般的万用电表高得多。 在建立方程组(2)时，我们用到了4个节点、3个回路，用4个节点出现了多余方 程。可以想见，若再用一个回路（如R1、R2R4、R3构成的回路或RR2、R4构成的 回路)，也会产生多余方程。 一个复杂的电路网络中往往线条纵横交错，回路不计其数，即便是图3那样不太复 杂的电路，仔细观察也能发现回路有7个之多。究竟该怎样选取独立回路，避免产生多 余方程呢？这要用到图论的知识。有一个简便的做法：逐个地选取回路，每选一个回路， 按电压平衡原理建立方程后，立即擦去该回路中的一条边（任何一条都可以，但不能擦 去二条或二条以上的边)，然后再选下一个回路，直至没有回路可选为止。这样选出的 回路保证是独立的，不会少选也不会多选