第13章机械波 13.1本章主要内容 13.1.1波动是振动的传播过程 (1)产生机械波的条件：波源和媒质。 (2)横波与纵波：振动方向与传播方向相垂直的波叫横波。振动方向与传播方向一致的波叫纵波。 13.1.2描述波的几个物理量 (1)波长1：同一波线上两振动相位差为2红的质点之间的距离。 (2)频率v：单位时间内通过波线上某一点的完全波的数目。 (3)波速u:单位时间内振动质点所传播的距离。 (④元，I,让的关系u=宁=” 13.13一维平面简振波的波动方程 若x=0处振动方程为y=Acos(成+)，则沿x正方向传播的平面简谐波的波动方程为： y-AcofeK-白+p=Aeos号-克+-Acot-2+p1 13.1.4波动过程是能量的传播过程 (1)平均能量密度：波的能量密度在一个周期内的平均值。 Aw (2)平均能流密度：通过单位面积的平均能流称为平均能流密度。 1-卫-4= 2a4 (3)波的能星：dw=a咖 质元的动能： ,-ipM'oa7sm[at-为+可j 1 质元的势能： 'aVt 1 13.1.5波的干涉 (1)干涉条件：两列波源具有相同的频率或波长：两列波的相位相同或相位差恒定：两列波的振动方向相同。当 满足相干条件的两列波相遇时，在某些地方的振动加强而在另一些地方的振动始终减弱或完全抵消，在空间形 成强度，稳定的分布的现象称为干涉。 (2)相干空间任一点的振动方程为： 波动方程：月，=Ac0sd-2应+) 月，-Ac0ad-2+g,) 任一点的振动方程为：y=乃+y,=Ac0s+可) 式中：A=+月°+24A05△g，△p=(g,-9)-2,-x) g arctg- a)+, 2） cog-受+c0g,-受) (3)相干加强或减弱的条件： X=,x,=y-=少（波程差） 当四，≠平4 相位差：4p=,-)-2元-加强 T元〔2k+D减=0，t1,2A
第13章 机械波 13.1 本章主要内容 13.1.1波动是振动的传播过程 (1) 产生机械波的条件：波源和媒质。 (2) 横波与纵波：振动方向与传播方向相垂直的波叫横波。振动方向与传播方向一致的波叫纵波。 13.1.2 描述波的几个物理量 (1) 波长 ：同一波线上两振动相位差为 的质点之间的距离。 (2) 频率 ：单位时间内通过波线上某一点的完全波的数目。 (3) 波速u：单位时间内振动质点所传播的距离。 (4) 的关系 13.1.3 一维平面简振波的波动方程 若 处 振 动 方 程 为 ， 则 沿 x 正 方 向 传 播 的 平 面 简 谐 波 的 波 动 方 程 为 ： 13.1.4 波动过程是能量的传播过程 (1) 平均能量密度：波的能量密度在一个周期内的平均值。 (2) 平均能流密度：通过单位面积的平均能流称为平均能流密度。 (3) 波的能量： 质元的动能： 质元的势能： 13.1.5 波的干涉 (1)干涉条件：两列波源具有相同的频率或波长；两列波的相位相同或相位差恒定；两列波的振动方向相同。当 满足相干条件的两列波相遇时，在某些地方的振动加强而在另一些地方的振动始终减弱或完全抵消，在空间形 成强度，稳定的分布的现象称为干涉。 (2) 相干空间任一点的振动方程为： 波动方程： 任一点的振动方程为： 式中： , (3) 相干加强或减弱的条件： (波程差 ) 当 相位差：
当 9,=”2 「k2加强 波程差： Ay=Y-Y= (2+流-0士1+2A 13.1.6驻波 两列振幅相同的相干波，在同一直线上沿着相反的方向传播时产生驻波。 设由左向右传播的波为：月，=Acos(ax-2应) 由右向左传播的波为：)，=Ac0s(a+ 则驻波方程为：y=月，+y,=2Ac0s2rco92mt 13.1.7多普勤效应 Va表示声源相对媒质的速度，v表示观察者相对媒质的速度，u表示声波在媒质中的传播速度，规定：声源趋近 观察这时v为正，反之为负：观察者趋近声源时v为正，反之为负：声速u恒为正。 多普勤效应公式：v'=边+ -V u-v (1)当声源和观察者接近时（v>0,,>0）v>y (2)当声源和观察者远离时(vu,7,>u时上式不适用。 13.1.8学习指导 (1)根据已知质点的简谐方程，建立平面简谐波波动方程的方法分三种情况来讨论。由于波动方程中含有x和t 两个子变量因此按x给定，t给定和x,t都变化三种情况讨论。 (2)惠更斯原理对任何波动过程都适用，只要知道了某一时刻的波阵面就可以应用这一原理用几何方法来决定 任意时刻的波阵面。 (3)如果选取原点o处质点振动的初相中不等于零，则沿x轴传播的平面简谐波的波动方程为： w2得 1以 当波沿x轴正方向传播时上式取“一”号 当波沿x轴负方向传时上式取“+”号 (4)波动方程是描写有波传播时媒质中各点的振动情况。因此，首先要明确是用哪个坐标来描写。上式中坐标 轴是沿着波射线的，坐标原点可任意选取。如果选取不同质点的平衡位置作为坐标原点，写出的波动方程是有 区别的。这个区别就反映在波方程中初相”值的不同上。具体写波动方程时，一般选取初相己知的点为原 点。如选取t=O时，位移为正向最大，速度为零的质点的平衡位置为坐标原点，这时初相”为零。不同质点 的相位超前还是落后，是对同一时刻而言，否则无法比较。 13.2基本训练 13.2.1选择题 1.一平面简谐波表达式为y=-0.05simπt-2)(S)，则该波的频率v(H),波速w(ms)及波线上 各点振动的振幅A(m)依次为： W安·方005 B)1,1,-0.05 C3:705 (D)2,2,0.05 2.频率为100Hz,传播速度为300m/s的平面简谐波，波线上两点振动的相位差为π/3，则此两点相距[] (A)2m: (B)2.19m (C)0.5m. (D)28.6m 3.一圆频率为o的简谐波沿x轴的正方向传播，一O时刻的波形如图所示。则=O时刻，x轴上各质点的振动速度v 与x坐标的关系图应为：[]
当 波程差: 13.1.6 驻波 两列振幅相同的相干波，在同一直线上沿着相反的方向传播时产生驻波。 设由左向右传播的波为: 由右向左传播的波为: 则驻波方程为： 13.1.7 多普勤效应 va表示声源相对媒质的速度，v表示观察者相对媒质的速度，u表示声波在媒质中的传播速度，规定： 声源趋近 观察这时υa为正，反之为负；观察者趋近声源时υ为正，反之为负；声速u恒为正。 多普勤效应公式： （1）当声源和观察者接近时（ ） （2）当声源和观察者远离时（ ） （3） 时上式不适用。 13.1.8 学习指导 (1) 根据已知质点的简谐方程，建立平面简谐波波动方程的方法分三种情况来讨论。由于波动方程中含有x和t 两个子变量因此按x给定，t给定和x,t都变化三种情况讨论。 (2) 惠更斯原理对任何波动过程都适用，只要知道了某一时刻的波阵面就可以应用这一原理用几何方法来决定 任意时刻的波阵面。 (3) 如果选取原点o处质点振动的初相φ不等于零，则沿x轴传播的平面简谐波的波动方程为： 当波沿x轴正方向传播时上式取“－”号 当波沿x轴负方向传时上式取“＋”号 (4) 波动方程是描写有波传播时媒质中各点的振动情况。因此，首先要明确是用哪个坐标来描写。上式中坐标 轴是沿着波射线的，坐标原点可任意选取。如果选取不同质点的平衡位置作为坐标原点，写出的波动方程是有 区别的。这个区别就反映在波方程中初相 值的不同上。具体写波动方程时，一般选取初相已知的点为原 点。如选取t=0时，位移为正向最大，速度为零的质点的平衡位置为坐标原点，这时初相 为零。不同质点 的相位超前还是落后，是对同一时刻而言，否则无法比较。 13.2 基本训练 13.2.1 选择题 1．一平面简谐波表达式为 （SI），则该波的频率 （Hz）,波速 （m/s）及波线上 各点振动的振幅A（m）依次为： (A) , , -0.05 （B） , 1, -0.05 （C） , , 0.05 （D）2, 2, 0.05 2．频率为100Hz，传播速度为300m/s的平面简谐波，波线上两点振动的相位差为π/3,则此两点相距[ ] （A）2m . （B）2.19m . （C）0.5m . （D）28.6m . 3．一圆频率为ω的简谐波沿x轴的正方向传播，t=0时刻的波形如图所示。则t=0时刻，x轴上各质点的振动速度v 与x坐标的关系图应为：[ ]
个y( 4ut0 X() (A) v(m/s) (B) 1 V(四/S) X(面 X() V(m/3) (D) v(m/s) 71 X(画， 1 -0A X(⑩) 4.一平面简谐波，沿x轴负方向传播，圆频率为o,波速为u.设t=T/4时 刻的波形如图所示，则该波的表达式为：【】 (A)y=Acos(t-x/u)· (B)y=Acos[(t-x/u)+/2]. (C)y=Acos[ω(t+x/u)]· (D)y=Acos[o (t+x/u)+]. 5.如图所示，有一平面简谐波沿x轴负方向传播，坐标原点O的振动规律为： y=Acos（(ot+po),则B点的振动方程为[】 (A)y=Acos[t-(x/u)+0 (B) y=Acos@[t+(x/u) 0-x (C) y=Acos(o[t-(x/u)]+o0) (D) y=Acos([t+(x/u)]+o} 6.一平面简谐波沿x轴正方向传播，0时刻的波形图如图所示，则P处质点的振动在=O时刻的旋转矢量图是 [] (A)- 0 S (B) (c) 7.在同一媒质中两列相干的平面简谐波的强度之比是引/12=4，则两列波的振幅之比是 (A)A1/A2=4 (B)A1/A2=2 (C)A1/A2=16 (D)A1/A2=1/4 8.一列机械横波在时刻的波形曲线如图所示，则该时刻能量为最大值的媒质质元的位置是： 波速u,横： (A)o',b,d,f (B)a,c,e,g (C)o',d (①)b,f 9.图示为一平面简谐机械波在时刻的波形曲线。若此时A点处媒质质元的振动动能在增大，则[] (A)A点处质元的弹性势能在减小
4．一平面简谐波，沿x轴负方向传播，圆频率为ω,波速为u.设t=T/4时 刻的波形如图所示，则该波的表达式为：[ ] (A) y=Acosω（t-x/u）. (B) y=Acos[ω（t-x/u）+π/2] . (C) y=Acos[ω（t+x/u）] . (D) y=Acos[ω（t+x/u）+π] . 5．如图所示，有一平面简谐波沿x轴负方向传播，坐标原点O的振动规律为: y=Acos（ωt+φ0），则B点的振动方程为[ ] （A） y=Acos[ωt-（x/u）+φ0 ] （B） y=Acosω[t+（x/u）] （C） y=Acos{ω[t-（x/u）]+φ0} （D） y=Acos{ω[t+（x/u）]+φ0} 6．一平面简谐波沿x轴正方向传播，t=0时刻的波形图如图所示，则P处质点的振动在t=0时刻的旋转矢量图是 [ ] 7．在同一媒质中两列相干的平面简谐波的强度之比是I1 / I2 =4，则两列波的振幅之比是 （A）A1 /A2=4 （B）A1 /A2=2 （C）A1 /A2=16 （D）A1 /A2=1/4 8．一列机械横波在t时刻的波形曲线如图所示，则该时刻能量为最大值的媒质质元的位置是： (A) o′，b，d，f (B) a，c，e，g (C) o′，d (D) b，f 9．图示为一平面简谐机械波在t时刻的波形曲线。若此时A点处媒质质元的振动动能在增大，则[ ] (A) A点处质元的弹性势能在减小
(B)波沿x轴负方向传播. (C)B点处质元的振动动能在减小 (D)各点的波的能量密度都不随时间变化 10.如图所示，两列波长为的相干S1 波在P点相遇。S1点的初位相是φ1，S1 到P点的距离是r1;S2点的初位相是 p2,S2到P点的距离是2，，以K代表零 或正，负整数，则P点是干涉极大的条 5 件为：[] (A)r2-r1=k (B)中2-中1=2kT (C)中2-中1+2π(r2-r1)/λ=2kr (D)φ2-φ1+2T(r1-r2)/入=2kT 11.如图所示，S1和$2为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长 为的简谐波，P点是两列波相遇区域中的一点，已知P=21,2P=2.21, 两列波在P点发生相消干涉，若S1的振动方程为y1=Acos(2t+π/2)，则S2的振 动方程为[】 (A）y2=Acos(2πt-π/2) (B)y2=Acos(2πt-) (C)y2=Acos(2πt+/2) (D)y2=2Acos(2t-0.1π) 12,沿着相反方向传播的两列相干波，其波动方程为乃，=Ac0s2x(t-x12)和y,=Ac0s2x(t+x12)。在叠 加后形成的驻波中，各处的振幅是[] (A)A (B)2A (C)2Acos (2X/)(D)2Acos (2x/) 13.某时刻驻波波形曲线如图所示，则a,b两点的位相差是[] (A)π (B)T/2 (C)5π/4 (D)0 14.若在弦线上的驻波表达式是y=0.20sin2xcos20mt(SI)。则形成该驻波的两个反向进行的行波为：【] (A)y1=0.10cos[2T(10t-x)+r/2] y2=0.10cos[2π(10t+x)+π/2] (B)y1=0.10cos[2π(10t-x)-0.25m y2-0.10cos[2π(10t+x)+0.75元 (C)y1=0.10cos[2r(10t-x)+π/2] y2=0.10cos[2m(10t+x)-π/2] (D)y1=0.10cos[2r(10t-x)+0.75π] y2-0.10cos[2π(10t+x)+0.75π] 15.设声波在媒质中的传播速度为u,声源的频率为V,.若声源S不动，而接收器R相对于媒质以速度VR沿着 S、R连线向着声源S运动，则位于S、R连线中点的质点P的振动频率为[】
(B) 波沿x轴负方向传播. (C) B点处质元的振动动能在减小. (D) 各点的波的能量密度都不随时间变化 10．如图所示，两列波长为λ的相干 波在P点相遇。S1点的初位相是φ1 ,S1 到P点的距离是r1 ;S2点的初位相是 φ2 ,S2到P点的距离是r2，,以K代表零 或正，负整数 ,则P点是干涉极大的条 件为：[ ] (A) r2 -r1=kλ (B) φ2-φ1=2kπ (C) φ2-φ1+2π(r2-r1)/λ=2kπ (D) φ2-φ1+2π(r1-r2)/λ=2kπ 11．如图所示，S1和S2为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长 为λ的简谐波，P点是两列波相遇区域中的一点，已知 ， ， 两列波在P点发生相消干涉，若S1的振动方程为y1=Acos（2πt+π/2 ），则S2的振 动方程为[ ] (A) y2=Acos（2πt-π/2） (B) y2=Acos(2πt-π) (C) y2=Acos(2πt+π/2) (D) y2=2Acos(2πt-0.1π) 12，沿着相反方向传播的两列相干波，其波动方程为 和 。在叠 加后形成的驻波中，各处的振幅是[ ] (A)A (B)2A (C)2Acos（2πX/λ） (D)|2Acos（2πx/λ）| 13．某时刻驻波波形曲线如图所示，则a，b两点的位相差是[ ] (A) π (B) π/2 (C) 5π/4 (D) 0 14．若在弦线上的驻波表达式是y=0.20sin2πxcos20πt（SI）。则形成该驻波的两个反向进行的行波为：[ ] (A) y1=0.10cos[2π（10t-x）+π/2 ] y2=0.10cos[2π（10t+x）+π/2 ] (B) y1=0.10cos[2π(10t-x)-0.25π] y2=0.10cos[2π(10t+x)+0.75π] (C) y1=0.10cos[2π(10t-x)+π/2] y2=0.10cos[2π(10t+x)-π/2] (D) y1=0.10cos[2π(10t-x)+0.75π] y2=0.10cos[2π(10t+x)+0.75π] 15．设声波在媒质中的传播速度为u，声源的频率为 .若声源S不动，而接收器R相对于媒质以速度VR 沿着 S、R连线向着声源S运动，则位于S、R连线中点的质点P的振动频率为[ ]
(A)V, (B)Vv 2以 (C)4 uty vs (D) u-yvs 13.2.2填空题 1.一平面简谐波的波动方程为y=0.25cos(125t-0.37x)(SI)）,其圆频率o=,波速u= ,波长 入= 2.一平面简谐波沿Ox轴传播，波动方程为y=Ac0s2x(t-x/2)+】],则x1=L处介质质点振。动的初位相是 :与x1处质点振动状态相同的其它质点的位置是 ；与x1处质点速度大小相 同，但方向相反的其它各质点的位置是 3.图示一简谐波在t=0和t=T/4(T为周期)时的波形图，试另画出P处质点的振动曲线。 =T/ 4.图为=T/4是一平面简谐波的波形曲线，则其波动方程为： y(m〉u=330m/g ◆x(m) 6.10时 5.如图所示，一平面简谐波沿0x轴负方向传播，波长为λ，若P处质点的振动方程是》，=Ac0s2x+r/2), 则该波的波动方程是：；P处质点时刻的振动状态与O处质点t1时刻的振动状态相同。 >X 6.一平面简谐机械波在媒质中传播时，若一媒质质元在时刻的波的能量是10J,则在(t+T)(T为波的周期)时 刻该媒质质元的振动动能是 7.两相干波源S1和S2的振动方程分别是，=Ac0s(t+和y,=Ac0(+),S1距P点3个波长，S2距P点 4.5个波长。设波传播过程中振幅不变，则两波同时传到P点时的合振幅是。 8.如图所示，s和s2为同位相的两相干波源，相距为L,p点距s1为r;波源s,在p点引起的振动振 幅为A1,波源S2在p点引起的振动振幅为A2,两波波长都是)，则p点的振幅A=一· S2 9.两列纵波传播方向成90，在两波相遇区域内的某质点处，甲波引起的振动方程是 月=03cos3)(SI,乙波引起的振动方程是y,=0.3cos3)(S),则0时该点的振动位移大小 是 10.如图所示，波源S1和S2发出的波在P点相遇，P点距波源S1和S2的距离分别为3入和10入3，入为两 列波在介质中的波长，若P点的合振幅总是极大值，则两波源的振动方向一振动频率一波源S2的位相比 S1的位相领先一。 11.如图所示，两相干波源S1与S2相距3入4，入为波长。设两波在S1、S2连线上传播时，它们的振幅都是A, 并且不随距离变化。已知在该直线上在$1左侧各点的合成波强度为其中一个波强度的4倍，则两波源应满足的 位相条件是 0
(A) (B) (C) (D) 13.2.2 填空题 1．一平面简谐波的波动方程为y=0.25cos（125t-0.37x） （SI），其圆频率ω= ，波速u= ，波长 λ= 。 2．一平面简谐波沿Ox轴传播，波动方程为 ，则x1=L处介质质点振。动的初位相是 ____________________;与x1处质点振动状态相同的其它质点的位置是_____________；与x1 处质点速度大小相 同，但方向相反的其它各质点的位置是_ . 3．图示一简谐波在t=0和t=T/4（T为周期）时的波形图，试另画出P处质点的振动曲线。 4．图为t=T/4是一平面简谐波的波形曲线，则其波动方程为:______________________. 5．如图所示，一平面简谐波沿Ox轴负方向传播，波长为λ，若P处质点的振动方程是 ， 则该波的波动方程是: ；P处质点 时刻的振动状态与O处质点t1 时刻的振动状态相同。 6.一平面简谐机械波在媒质中传播时，若一媒质质元在t时刻的波的能量是10J，则在（t+T）（T为波的周期）时 刻该媒质质元的振动动能是 。 7．两相干波源S1和S2的振动方程分别是 和 ,S1 距P 点3个波长，S2 距P 点 4.5个波长。设波传播过程中振幅不变，则两波同时传到P点时的合振幅是 。 ８．如图所示，ｓ1和ｓ2为同位相的两相干波源，相距为L，ｐ点距ｓ1为ｒ；波源ｓ1在ｐ点引起的振动振 幅为A1，波源ｓ2在ｐ点引起的振动振幅为A2，两波波长都是λ，则ｐ点的振幅A＝ ． 9．两列纵波传播方向成900，在两波相遇区域内的某质点处，甲波引起的振动方程是 (SI), 乙 波 引 起 的 振 动 方 程 是 (SI), 则 t=0 时 该 点 的 振 动 位 移 大 小 是 _____________________. 10．如图所示，波源Ｓ１和Ｓ２发出的波在Ｐ点相遇，Ｐ点距波源Ｓ１和Ｓ２的距离分别为3λ和10λ/3, λ为两 列波在介质中的波长,若P点的合振幅总是极大值, 则两波源的振动方向 , 振动频率 , 波源Ｓ2的位相比 Ｓ1的位相领先 。 11．如图所示，两相干波源S1与S2相距3λ/4，λ为波长。设两波在S1、S2连线上传播时，它们的振幅都是A， 并且不随距离变化。已知在该直线上在 S1左侧各点的合成波强度为其中一个波强度的4倍，则两波源应满足的 位相条件是
12.一弦上的驻波表达式为y=0.1cos(a)cos(90m)(SD形成该驻波的两个S1 3入 反向传播的行波的波长为，频率为 Su Sa 3/4)x4 10x/3 13.设平面简谐波沿x轴传播时在x=0处发生反射，反射波的表达式为 y2=Ac0s[2r(t-x/2)+r12] 己知反射点为一自由端，则由入射波和反射波形成的驻波的波节位置的坐标为 14.沿弦线传播的一入射波在X=L处(B点)发生反射，反射点为固定 端（如图），设波在传播和反射过程中振幅不变，且反射波的表达式为 y2=Acos(at +2mx/A), 则入射波的表达式为：y1=一 15.两列波在一根很长的弦线上传播，其方程式为： y1=6.0×102C0Sπ(X-40t)/2(SI) y2=6.0×10-2C0Sπ(X+40t)/2(SD 则合成波的方程为， 在x=0至x=10.0m内波节的位置是；波腹的位置是 16.如果在固定端x=0处反射的反射波方程式是y,=Acos2x(t-x12),设反射波无能量损失，那么入射波的 方程式是y1= 形成的驻波表达式是y=
12．一弦上的驻波表达式为 (SI)形成该驻波的两个 反向传播的行波的波长为 ，频率为 。 13．设平面简谐波沿x轴传播时在x=0处发生反射，反射波的表达式为 已知反射点为一自由端，则由入射波和反射波形成的驻波的波节位置的坐标为 。 14．沿弦线传播的一入射波在X=L处（B点）发生反射，反射点为固定 端（如图），设波在传播和反射过程中振幅不变，且反射波的表达式为 ， 则入射波的表达式为：y1= . 15．两列波在一根很长的弦线上传播，其方程式为： y1=6.0 10-2COSπ(X-40t)/2 (SI) y2=6.0 10-2COSπ(X+40t)/2 (SI) 则合成波的方程为 。 在x=0至x=10.0 m内波节的位置是 ；波腹的位置是 。 16．如果在固定端x=0处反射的反射波方程式是 ，设反射波无能量损失，那么入射波的 方程式是y1= ； 形成的驻波表达式是y=
[is0232] 作 [is0233]
[is0232] [is0233]