第3章运动守恒定律 3.1功和能 3.1.1功 (1)恒力的功：力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。 数学表达式：A=附cos8=京8 )变力作功：如果作用力的大小或方向是变化的，或者移动的轨迹是一条曲线，求这样的力 作 的功问题就属于变力作功。 数学表达式：A=心Fcos然=京本 (3)功率：单位时间力对物体所作的功。 平均功率：刀=△4 △t 瞬时功率：N==方寸 d 3.1.2机械能 物体作机械运动所具有的能叫机械能。机械能有动能和势能两种。 动能：描述物体运动状态的物理量。 1 重力势能：描述物体系统内部物体相对位置的物理量。 E。=mg助 弹性势能：描述物体和弹簧组成系统物体所具有的势能。 3.1.3动能定理 当合外力对物体作功时，物体的动能要发生变化，它们之间的关系为： A=五m+左m 上式表明：合外力对物体所作的功等于物体动能的增量。 3.1.4重力作功与重力势能的关系 当重力作功时，物体的重力势能要发生变化，它们之间的关系为： A=mg的，-mg头 上式表明：重力对物体所作的功等于物体重力势能的减小
第3章 运动守恒定律 3.1 功和能 3.1.1 功 (1) 恒力的功：力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。 数学表达式： (2) 变力作功：如果作用力的大小或方向是变化的，或者移动的轨迹是一条曲线，求这样的力 作 的功问题就属于变力作功。 数学表达式： (3) 功率：单位时间力对物体所作的功。 平均功率： 瞬时功率： 3.1.2 机械能 物体作机械运动所具有的能叫机械能。机械能有动能和势能两种。 动能：描述物体运动状态的物理量。 重力势能：描述物体系统内部物体相对位置的物理量。 弹性势能：描述物体和弹簧组成系统物体所具有的势能。 3.1.3 动能定理 当合外力对物体作功时，物体的动能要发生变化，它们之间的关系为： 上式表明：合外力对物体所作的功等于物体动能的增量。 3.1.4 重力作功与重力势能的关系 当重力作功时，物体的重力势能要发生变化，它们之间的关系为： 上式表明：重力对物体所作的功等于物体重力势能的减小
3.1.5械能转换与守恒定律 作用在物体上的力可分为保守力和耗散力，保守力对物体作功与路径无关，只和始末位置有 关。耗散力对物体作功则与路径有关。如果一个物体系统，有外力对它作功时，它的机械能就会改 变。如果没有外力，而内力只有保守力对物体作功时，则系统的机械能可以相互转换，其总和保持 不变，即： E。+g,=卫e+a 这一结论就是机械能转换与守恒定律。若内力包含有耗散力，由于耗散力作功，虽然无外力存 在，系统的机械能也不守恒。 3.1.6功能原理 如果一个物体系统，有外力和耗散力（耗散内力）对它作功，这时外力和耗散力所作的功等于系 统机械能的增量。 A=A+A=(E+B)-(E+尽) 式中A表示外力做功？耗散内力做功 3.1.7能量转换与守恒定律 自然界中各种运动形式在一定的条件下可以相互转化，伴随着运动形式的转化，各种形式的能量也 可以相互转换，但能量的总和保持不变，能量不能创生也不能消灭，只能从一种形式的能量转换成 另一种形式。这就是能量转换与守恒定律。 3.1.8学习指导 一个力究竟是内力还是外力，主要取决于怎样选取研究对象。如，一物体与地球有相互作用，若选 择物体为研究对象，那么地球对它的作用力是外力。若选择物体和地球一起作为研究对象，则物体 与地球之间的作用力是内力。 功和能是两个既有区别又有联系的物理量，作功总是涉及系统状态的变化，因此它不仅与始末状态 有关，而且还和过程有关。能量是物体状态的单值函数，一旦状态确定，能量的数值就可以确定。 物体具有能量，但它可以不作功，只有当能量变化时才作功，所以说功是能量变化的量度。 3.2动量和动量守恒定律 3.2.1动量和冲量 动量：物体的质量与其速度的乘积称为该物体的动量，用可表示。方=m 冲量：作用在物体上的力与作用时间的乘积称为力对物体的冲量，用了表示。 恒力的冲量：了=京世 变力的冲量：了-京 3.2.2动量原理 物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量。这一结论称为动量原理
3.1.5 械能转换与守恒定律 作用在物体上的力可分为保守力和耗散力，保守力对物体作功与路径无关，只和始末位置有 关。耗散力对物体作功则与路径有关。如果一个物体系统，有外力对它作功时，它的机械能就会改 变。如果没有外力，而内力只有保守力对物体作功时，则系统的机械能可以相互转换，其总和保持 不变，即： 这一结论就是机械能转换与守恒定律。若内力包含有耗散力，由于耗散力作功，虽然无外力存 在，系统的机械能也不守恒。 3.1.6 功能原理 如果一个物体系统，有外力和耗散力（耗散内力）对它作功，这时外力和耗散力所作的功等于系 统机械能的增量。 式中 表示外力做功 耗散内力做功 3.1.7 能量转换与守恒定律 自然界中各种运动形式在一定的条件下 可以相互转化，伴随着运动形式的转化，各种形式的能量也 可以相互转换，但能量的总和保持不变，能量不能创生也不能消灭，只能从一种形式的能量转换成 另一种形式。这就是能量转换与守恒定律。 3.1.8 学习指导 一个力究竟是内力还是外力，主要取决于怎样选取研究对象。如，一物体与地球有相互作用，若选 择物体为研究对象，那么地球对它的作用力是外力。若选择物体和地球一起作为研究对象，则物体 与地球之间的作用力是内力。 功和能是两个既有区别又有联系的物理量，作功总是涉及系统状态的变化，因此它不仅与始末状态 有关，而且还和过程有关。能量是物体状态的单值函数，一旦状态确定，能量的数值就可以确定。 物体具有能量，但它可以不作功，只有当能量变化时才作功，所以说功是能量变化的量度。 3.2 动量和动量守恒定律 3.2.1 动量和冲量 动量：物体的质量m与其速度的乘积称为该物体的动量，用 表示。 . 冲量：作用在物体上的力与作用时间的乘积称为力对物体的冲量，用 表示。 恒力的冲量： 变力的冲量： 3.2.2 动量原理 物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量。这一结论称为动量原理
数学表达式：7-京=m心-m。-方-户。 3.2.3动量守恒定律 当系统不受外力作用或所受的合外力为零时，系统内部的总动量保持不变。这一结论称为动量守 恒定律。 在打击、碰撞等问题中，由于内力很大，作用时间很短，一些恒定的外力（如重力）的冲量一般 可以忽略。因此这些问题中也可以应用动量守恒定律。 3.2.4碰撞问题 (1)弹性碰撞：若系统在碰撞后完全恢复形变，系统动能的总和在碰撞前后保持不变，这种碰 撞称为弹性碰撞。 两物体作一维对心弹性碰撞的公式： 以-0m-m,。+2m,。 m+?2 -a%+2丝 m +m (2）完全非弹性碰撞：如果两物体在碰撞后，以同一速度运动，并不分开，这种碰撞称为完全非弹性碰 撞。 满足动量守恒定律： 只=y,=m。+m,如 m+m (3)非弹性碰撞及恢复系数：在非弹性碰撞中两物体只部分的恢复了形变。 恢复系数：碰撞后两球的分离速度（心，-y)与碰撞前两球的接近速度(y。-y)之比。 e=2-4 。-V2a 片=y。-+em,。- m,+22 ,=y++m心。- m+m 3.2.5学习指导 (1)动量守恒定律是自然界的普遍规律之一，它不仅适用于宏观和低速现象，而且也适用于微观和 高速现象。 (2)动量是矢量，只要和合力沿某一方向的分力等于零，相应方向的动量就守恒。应用动量守恒定 律解题，不需要知道过程的中间状态情况，因此解题方便。 (3)解决碰撞问题，要看清哪是碰前，哪是碰后，不要把包含几个过程的问题笼统地当作一个过程 来处理。由于碰撞的时间很短，碰后物体可能有位移一般都可略去。 、、t士l士
数学表达式： 3.2.3 动量守恒定律 当系统不受外力作用或所受的合外力为零时，系统内部的总动量保持不变。这一结论称为动量守 恒定律。 在打击、碰撞等问题中，由于内力很大，作用时间很短，一些恒定的外力（如重力）的冲量一般 可以忽略。因此这些问题中也可以应用动量守恒定律。 3.2.4 碰撞问题 (1) 弹性碰撞：若系统在碰撞后完全恢复形变，系统动能的总和在碰撞前后保持不变，这种碰 撞称为弹性碰撞。 两物体作一维对心弹性碰撞的公式： (2) 完全非弹性碰撞：如果两物体在碰撞后,以同一速度运动,并不分开,这种碰撞称为完全非弹性碰 撞。 满足动量守恒定律： (3) 非弹性碰撞及恢复系数：在非弹性碰撞中两物体只部分的恢复了形变。 恢复系数e：碰撞后两球的分离速度 与碰撞前两球的接近速度 之比。 3.2.5 学习指导 (1) 动量守恒定律是自然界的普遍规律之一，它不仅适用于宏观和低速现象，而且也适用于微观和 高速现象。 (2) 动量是矢量，只要和合力沿某一方向的分力等于零，相应方向的动量就守恒。应用动量守恒定 律解题，不需要知道过程的中间状态情况，因此解题方便。 (3) 解决碰撞问题，要看清哪是碰前，哪是碰后，不要把包含几个过程的问题笼统地当作一个过程 来处理。由于碰撞的时间很短，碰后物体可能有位移一般都可略去。 3 3 基本训练
5.5垫小训川孙 3.3.1选择题 1.一炮弹由于特殊原因在水平飞行过程中，突然炸裂成两块，其中一块作自由下落，则另一块着地 点（飞行过程中阻力不计） (A)比原来更远(B)比原来更近 (C)仍和原来一样(D)条件不足，不能判定 2.质量为m的质点，以不变速率v沿图中正三角形ABC的水平光滑 轨道运动。质点越过A角时，轨道作用于质点的冲量的大小为 (A)mv (B)√2mv (C)√3mv (D)2mv 3.A、B两木块质量分别为mA和mg,且mB=2mA,两者用一轻弹 簧连接后静止于光滑水平桌面上，如图所示。若用外力将两木块压 近使弹簧被压缩，然后将外力撤去，则此后两木块运动动能之 比EKA/EKB为 (A) (B)2 (C)2 (D)W2/2 4.在水平冰面上以一定的速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮 弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力） (A)总动量守恒 (B)总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向动量不守恒。 (C)总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒。 (D)总动量在任何方向的分量均不守恒。 5.粒子B的质量是粒子A的质量的4倍，开始时粒子A的速度为(3行+4)，粒子B的速度为(2行-7) ),由于两者的相互作用，粒子A的速度变为(7元-4方)，此时粒子B的速度等于 (A)元-5方(B)2-7j(C)0(D)5-3方 6.如图所示，砂子从h=0.8m高处下落到以3m/s的速率水平向右运 动的传送带上，取重力加速度g=10m/s2,传送带给予砂子的作用力 的方向为
3.3 基本训练 3.3.1 选择题 1．一炮弹由于特殊原因在水平飞行过程中，突然炸裂成两块，其中一块作自由下落，则另一块着地 点（飞行过程中阻力不计） (A) 比原来更远 (B) 比原来更近 (C) 仍和原来一样 (D) 条件不足，不能判定 2．质量为m的质点，以不变速率v沿图中正三角形ABC的水平光滑 轨道运动。质点越过A角时，轨道作用于质点的冲量的大小为 （A）mv (B) mv (C) mv (D) 2mv 3．A、B两木块质量分别为mA和mB，且mB=2mA，两者用一轻弹 簧连接后静止于光滑水平桌面上，如图所示。若用外力将两木块压 近使弹簧被压缩，然后将外力撤去，则此后两木块运动动能之 比 EKA/EKB为 （A） (B) 2 (C) (D) 4．在水平冰面上以一定的速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮 弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力） (A) 总动量守恒 (B) 总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向动量不守恒。 (C) 总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒。 (D) 总动量在任何方向的分量均不守恒。 5．粒子B的质量是粒子A的质量的4倍，开始时粒子A的速度为（3 +4 ）,粒子B的速度为（2 -7 ）,由于两者的相互作用，粒子A的速度变为（7 -4 ）,此时粒子B的速度等于 （A） -5 (B)2 -7 (C) 0 (D)5 -3 6．如图所示，砂子从h=0.8m高处下落到以3m/s的速率水平向右运 动的传送带上，取重力加速度g=10m/s2，传送带给予砂子的作用力 的方向为
(A)与水平夹角53向下 (B)与水平夹角53向上 (C)与水平夹角37向上 (D)与水平夹角37向下 7.体重身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端，他们由初速为零向 上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 (A)甲先到达(B)乙先到达(C)同时到达(D)谁先到达不能确定 8.一质点受力=3x2:(S1)作用，沿X轴正方向运动。从X=0到X=2m过程中，力F作功为 (A)8J(B)12J (C)16J(D)24J 9.一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力京=F(x+y)作用在质点上在该质点从坐标 原点运动到(0,2R)位置过程中，力京对它所作的功为 (A)FoR2 (B)2FoR2 (C)3FoR2 (D)4F 10.今有一倔强系数为K的轻弹簧竖直放置，下端悬一质量为m的 小球，开始时使弹簧为原长而小球恰好与地接触，今将弹簧上端缓 慢的提起，直到小球刚能脱离地面为止，在此过程中外力做功为 (A)g (B)g(C)g 22 (D) 2 4k 3 2k (E)4m'g k 11.如图所示，子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块而不穿出，以地面为参照系，指出下列说 法中正确的是 (A)子弹的动能转变为木块的动能 (B)子弹-木块系统的机械能守恒 (C)子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功 777 (D)子弹克服木块阻力所做的功等于这一过程中产生的热 I2.质量为m的一艘宇宙飞船关闭发动机返回地球时，可认为该飞船只在地球的引力场中运动。己知 地球质量为M,万有引力恒量为G。则当它从距地球中心R处下降到R2处时，飞船增加的动能应等于
(A) 与水平夹角53o向下 (B) 与水平夹角53o向上 （C）与水平夹角37o向上 （D）与水平夹角37o向下 7．体重身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端，他们由初速为零向 上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 （A）甲先到达 （B）乙先到达 （C）同时到达 （D）谁先到达不能确定 8．一质点受力 =3x2 (SI)作用，沿X轴正方向运动。从X=0到X=2m过程中，力 作功为 （A）8J （B）12J （C）16J （D）24J 9.一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力 =F0 (x +y )作用在质点上.在该质点从坐标 原点运动到(0,2R)位置过程中,力 对它所作的功为 (A) F0R 2 (B) 2F0R 2 (C) 3F0R 2 (D) 4F 10．今有一倔强系数为K的轻弹簧竖直放置，下端悬一质量为m的 小球，开始时使弹簧为原长而小球恰好与地接触，今将弹簧上端缓 慢的提起，直到小球刚能脱离地面为止，在此过程中外力做功为 (A) （B） (C) （D） (E) 11．如图所示，子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块而不穿出，以地面为参照系，指出下列说 法中正确的是 （A）子弹的动能转变为木块的动能 （B）子弹-木块系统的机械能守恒 （C）子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功 （D）子弹克服木块阻力所做的功等于这一过程中产生的热 12．质量为m的一艘宇宙飞船关闭发动机返回地球时，可认为该飞船只在地球的引力场中运动。已知 地球质量为M，万有引力恒量为G。则当它从距地球中心R1处下降到R2处时，飞船增加的动能应等于
GMm GMm R1-R2 (A) (B) R R (C)GMm RR2 (D)GaMm8- R (E)GM FR 13.速度为V的子弹，打穿一块木板后速度变为零，设木板对子弹的阻力是恒定的.那么，当子弹射入木 板的深度等于其厚度的一半时，子弹的速度是 (A)(B)v/4 (C)v (D)/2 14.质量为的质点在外力作用下，其运动方程为： 产=Acosa+Bsim 式中A、B、o都是正的常数。则力在t1=0到t2=π/(2o)这段时间内所作的功为 (A)m(A2+B2)(B)ma(2+B2) (C)2m42-B)(D)1ma(82-A) 2 3.3.2填空题 1.两个相互作用的物体A和B,无摩擦地在一条水平直线上运动。物体A的动量是时间的函数，表达 式为：p=p0bt,式中po、b分别为正常数，t是时间。在下列两种情况下，写出物体B的动量作为 时间的函数表达式： (①)开始时，若B静止，则PB1一： (2)开始时，若B的动量为-p0，则P2_。 2.水流流过一个固定的涡轮叶片，如图所示。水流流过叶片曲面前后的速度都等于V,每单位时间 流向叶片的水的质量保持不变且等于Q,则水作用于叶片的力的大小为一方向为一。 芒管龄 三年色三主物 3.两块并排的木块A和B,质量分别为m1和m2,静止地放置在光滑 的水平面上，一子弹水平地穿过两木块，设子弹穿过两木块所用的 时间分别为△t1和△t2,木块对子弹的阻力为恒力F,则子弹穿出 后，木块A的速度大小为- -,木块B的速度大小为--- 4.粒子B的质量是粒子A的质量的4倍，开始时粒子A的速度寸A03+4方，粒子B的速度寸B0=2气-7方 ；在无外力作用的情况下两者发生碰撞，碰后粒子A的速度变为可=7-4方，则此时粒子B的速度可 B= 5.质量m为10kg的木箱放在地面上，在水平拉力F的作用下由静止 开始沿直线运动，其拉力随时间的变化关系如图所示。若已知木箱
（A） (B) (C) (D) (E) 13．速度为V的子弹,打穿一块木板后速度变为零,设木板对子弹的阻力是恒定的.那么,当子弹射入木 板的深度等于其厚度的一半时,子弹的速度是 （A） （B）v/4 （C） （D） 14．质量为m的质点在外力作用下，其运动方程为： 式中A、B 、ω都是正的常数。则力在t1=0到t2=π/（2ω）这段时间内所作的功为 (A) （B） (C) （D） 3.3.2 填空题 1．两个相互作用的物体A和B，无摩擦地在一条水平直线上运动。物体A的动量是时间的函数，表达 式为:ρA=ρ0-bt，式中ρ0、b分别为正常数，t是时间。在下列两种情况下，写出物体B的动量作为 时间的函数表达式： (1) 开始时，若B静止，则ρB1= ； (2) 开始时，若B的动量为-ρ0 ，则ρB2= 。 2．水流流过一个固定的涡轮叶片，如图所示。水流流过叶片曲面前后的速度都等于V，每单位时间 流向叶片的水的质量保持不变且等于Q，则水作用于叶片的力的大小为 ,方向为 。 3．两块并排的木块A和B，质量分别为m1 和m2，静止地放置在光滑 的水平面上，一子弹水平地穿过两木块，设子弹穿过两木块所用的 时间分别为Δt1和Δt2，木块对子弹的阻力为恒力F，则子弹穿出 后，木块A的速度大小为---------------,木块B的速度大小为------- ------------。 4．粒子B的质量是粒子A的质量的4倍，开始时粒子A的速度 AO=3 +4 ，粒子B的速度 BO=2 -7 ；在无外力作用的情况下两者发生碰撞，碰后粒子A的速度变为 A=7 -4 ，则此时粒子B的速度 B= 。 5．质量m为10kg的木箱放在地面上，在水平拉力F的作用下由静止 开始沿直线运动，其拉力随时间的变化关系如图所示。若已知木箱
与地面间的摩擦系数μ为0.2，那么在t=4s时，木箱的速度大小 P() 为；在t=7s时，木箱的速度大小为，(g取10m/s2)。 30 0 1() 6.如图所示，一质点在几个力的作用下，沿半径为R的圆周运动， 其中一个力是恒力元，方向始终沿X轴正向，即云=F0广，当质点从AB{一 点沿逆时针方向走过3/4圆周到达B点时，瓦所作的功为W=。 7.一质点在二恒力作用下，位移为△产=3+8方(SI):在此过程中，动能增量为24J,己知其中一 恒力京1=12-3方(SI),则另一恒力所作的功为_。 8.如图所示，质量为m的小球系在倔强系数为k的轻弹簧的一端，弹 簧的另一端固定在0点。开始时弹簧在水平位置A,处于自然状态，原 长为L0·小球由位置A释放，下落到0点正下方位置B时，弹簧的长度为 L,则小球到达B点时的速度大小为VB= 2 9.有一人造地球卫星，质量为m,在地球表面上空2倍于地球半径R的高度沿圆轨道运行，用m、R、引力 常数G和地球的质量M表示 (1)卫星的动能为一； (2)卫星的引力势能为一。 10.倔强系数为k的弹簧，上端固定，下端悬挂重物.当弹簧伸长x0, 重物在0处达到平衡，现取重物在0处时各种势能均为零，则当弹簧长 度为原长时， 系统的重力势能为_： 系统的弹性势能为一； 系统的总势能为_· 11.如图所示，倔强系数为k的弹簧，一端固定在墙壁上，另一端连一 质量为m的物体，物体静止在坐标原点0，此时弹簧长度为原长.物体 与桌面间的摩擦系数为μ.若物体在不变的外力作用下向右移动， 7777 77 则物体到达最远位置时系统的弹性势能E即=一
与地面间的摩擦系数μ为0.2，那么在t=4s时，木箱的速度大小 为 ；在t=7s时，木箱的速度大小为 ，(g取10m/s2)。 6．如图所示，一质点在几个力的作用下，沿半径为R的圆周运动， 其中一个力是恒力 ，方向始终沿X轴正向，即 =F0 ,当质点从A 点沿逆时针方向走过3/4圆周到达B点时， 所作的功为W= 。 7．一质点在二恒力作用下，位移为Δ =3 +8 (SI)；在此过程中，动能增量为24J，已知其中一 恒力 1=12 -3 (SI),则另一恒力所作的功为 。 8．如图所示,质量为m的小球系在倔强系数为k的轻弹簧的一端,弹 簧的另一端固定在O点。开始时弹簧在水平位置A,处于自然状态,原 长为L0.小球由位置A释放,下落到O点正下方位置B时,弹簧的长度为 L,则小球到达B点时的速度大小为VB=_____________ 9．有一人造地球卫星,质量为m,在地球表面上空2倍于地球半径R的高度沿圆轨道运行,用m、R、引力 常数G和地球的质量M表示 (1) 卫星的动能为 ； (2) 卫星的引力势能为 。 10．倔强系数为k的弹簧,上端固定,下端悬挂重物.当弹簧伸长x0, 重物在O处达到平衡,现取重物在O处时各种势能均为零,则当弹簧长 度为原长时, 系统的重力势能为 ； 系统的弹性势能为 ； 系统的总势能为 。 11．如图所示,倔强系数为k的弹簧,一端固定在墙壁上,另一端连一 质量为m的物体,物体静止在坐标原点O,此时弹簧长度为原长.物体 与桌面间的摩擦系数为μ.若物体在不变的外力F作用下向右移动, 则物体到达最远位置时系统的弹性势能EP=