第5篇 机械振动于机械波 第12章机械振动 12.1本章主要内容 12.1.1简谐振动 若振动物体在任意时刻所受的力、加速度、位移满足下列运动规律，物体作谐振动。 动力学方程：子=-x 运动学方程： a=-0'x 微分学方程：dx,k mx-0 谐振动方程：x=Ac0s(t+) 12.1.2描写谐振动的基本物理量 (1)周期T:物体作一次全振动所需要的时间。 弹簧振子：T=2x 单摆：T=2r E 1 (2)频率v:单位时间内物体所作的完全振动的次数v= (3) 角频率。：物体在2π秒内所作的全振动的次数0=2红=2xv。 (4)振幅A：物体离开平衡位置最大位移的绝对值。可由任意时刻的位置和速度求得。 x'+a (⑤)相位(+)：决定谐振动物体运动状态的物体量。初相位g：t=0时刻的相位称为初相位。 coS= sing=-- ar。 12.1.3描写谐振动的常用方法 (1)波形法：根据振动图用x一t曲线描写谐振动规律。 (②)旋转矢量法：用绕ox轴的原点0，以角频率ω为角速度，沿逆时针旋转的矢量(A的大小等于谐振动的振 幅)的端点在ox轴的投影表示谐振。 12.1.4相位关系判断 在振动方程种初相位+9表示超前，初相位为-”表示滞后。 如：x,-Aaa(at+)x2=Ac0satx-Aco(a- 其中：x1超前x2为π/2，x2超前x3为π/2，x1超前x3为π。在振动图中如果几条振动曲线判别相位关系可用同相位 点之间位置比较，左者超前，右者滞后
第5篇 机械振动于机械波 第12章 机械振动 12.1 本章主要内容 12.1.1 简谐振动 若振动物体在任意时刻所受的力、加速度、位移满足下列运动规律，物体作谐振动。 动力学方程： 运动学方程： 微分学方程： 谐振动方程： 12.1.2 描写谐振动的基本物理量 (1) 周期T：物体作一次全振动所需要的时间。 弹簧振子： 单摆： (2) 频率 ：单位时间内物体所作的完全振动的次数 。 (3) 角频率 ：物体在2π秒内所作的全振动的次数 。 (4) 振幅А：物体离开平衡位置最大位移的绝对值。可由任意时刻的位置和速度求得。 (5) 相位 :决定谐振动物体运动状态的物体量。初相位 ：t=0 时刻的相位称为初相位。 12.1.3 描写谐振动的常用方法 (1) 波形法:根据振动图用x—t曲线描写谐振动规律。 (2) 旋转矢量法：用绕ox轴的原点O，以角频率ω为角速度，沿逆时针旋转的矢量 (А的大小等于谐振动的振 幅)的端点在ox轴的投影表示谐振。 12.1.4 相位关系判断 在振动方程种初相位 表示超前，初相位为 表示滞后。 如： 其中：x1超前x2为π/2，x2超前x3为π/2，x1超前x3为π。在振动图中如果几条振动曲线判别相位关系可用同相位 点之间位置比较，左者超前，右者滞后
12.1.5谐振动的能量 动能：足-mw-号ma2Asin(a这+p 势能：，= kx cos (as+g 总能量：B=名+g,=方m@A=kA 1 12.1.6谐振动的合成 (1)两个同方向.同频率的谐振动的合成。1=①2=⊙ X =A cos(at+)x,=A cos(a+) 合振动方程：x=x+x=Ac0s(at+可) 其中：A=A+A+2AA,c0g,-9,） tgA sing+A sing, A cosg +A cos (②)两个相同垂直的同频率谐振动的合成：合振动轨迹一般为一椭圆，椭圆形状由相位差？，一g决定。 (3)拍与拍频：两个频率较大，而频率之差很小的同方向谐振动合成时产生振幅时而加强时而减弱的现象叫拍。单 位时间内加强或减弱的次数叫拍频v=山。-Y 12.1.7阻尼振动.受迫振动.共振 ()阻尼振动：弹簧振子除受弹性回复力F=-:作用外，若还受阻力了-v必 作用其方程可写成 +28 d'x +,'x=02B-9@m,'= n 若：B>⊙0过阻尼：B=ω0临界阻尼：B〈o0弱阻尼 (2)受迫振动：弹簧振子除受弹性回复力 R=-:F=-kx和阻尼力乃=-v女外，若还受到随时间t变化的外 力见心)的作用，则其运动方程可写为： 成+，x=),h)=@ 峦+23放+。 运动方程为： x=Acos(Pt-@) h 其中：A=- @。2-p)°+4Bp2 9g号 (3)共振：在受迫的稳定振动中，振幅A虽强迫力的角频率P的变化，当强迫力的角频率P取某一值时，振幅取最 大值的现象称为共振现象。 当： P=@,-2 则：A=A=。一 288°-四
12.1.5 谐振动的能量 动能： 势能： 总能量： 12.1.6 谐振动的合成 (1) 两个同方向．同频率的谐振动的合成ω１＝ω２＝ω 合振动方程： 其中： (2) 两个相同垂直的同频率谐振动的合成：合振动轨迹一般为一椭圆，椭圆形状由相位差 决定。 (3) 拍与拍频：两个频率较大，而频率之差很小的同方向谐振动合成时产生振幅时而加强时而减弱的现象叫拍。单 位时间内加强或减弱的次数叫拍频 12.1.7 阻尼振动．受迫振动．共振 (1) 阻尼振动：弹簧振子除受弹性回复力 作用外，若还受阻力 作用其方程可写成 若：β＞ω０过阻尼；β＝ω０临界阻尼；β<ω０弱阻尼 (2) 受迫振动：弹簧振子除受弹性回复力 F=-kx和阻尼力 外，若还受到随时间t变化的外 力 的作用，则其运动方程可写为： , 运动方程为： 其中： （3） 共振：在受迫的稳定振动中，振幅A虽强迫力的角频率P的变化，当强迫力的角频率Ｐ取某一值时，振幅取最 大值的现象称为共振现象。 当： P= 则：
12.1.8学习指导 本章的重点是研究谐振东。必须掌握求振动的表达式，以及振动的物理量。谐振的方程表达式：x=Acos(+) 求三个特征量aA、P (1)频率o:是振动系统的固有频率，由系统本身的性质所决定。 对弹簧振子 对于单摆， 与初始条件无关。 = m (2)振幅A: 根据振动的初始条件求得： 根据任何时刻的位移和速度求得： 根据振动的能量所决定： A= 或 A=12E a心Ym (3)初为相g:可以由初始状态(x0,v0)所确定。 用解析法求g的步骤： 第一步：由x0得到c0Sg=，这时g的取值不是唯一确定。 A 第二步：由v0得到$g=-，这时g的取值不是唯一确定。 Ao? 第三步：由cosg,simg的正负确定P所在的象限。 第四步：由c0sg值求出”在0~2π范围的值。 (4)用旋转矢量法求”的步骤： 第一步：画出ox轴，标出一A,A的位置，根据xo找出矢量才在ox轴上的投影。 第二步：根据运动方向画出旋转矢量京。 第三步：由几何知识求出月与0x轴的夹角。 12.2基本训练 12.2.1选择题 1.一物体作简谐振动，振动方程为x=Acos(t廿π/4)在=T4(T为周期)时刻，物体的加速度为 2A2 (A).1 吃万4。 g克万Aa2 o)号5A。2 2.轻质弹簧下挂一小盘，小盘作简谐振动，平衡位置为原点，位移向下为正，并采用余弦表示。小盘处于最低位 置时刻有一小物体落到盘上并粘住。如果以新的平衡位置为原点，设新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离 小于原振幅，小物体与盘相碰为计时零点，那么新的位移表示式的初相在
12.1.8 学习指导 本章的重点是研究谐振东。必须掌握求振动的表达式，以及振动的物理量。谐振的方程表达式： 求三个特征量 （1） 频率ω：是振动系统的固有频率，由系统本身的性质所决定。 对弹簧振子 ，对于单摆， 与初始条件无关。 （2） 振幅A： 根据振动的初始条件求得： 根据任何时刻的位移和速度求得： 根据振动的能量所决定： 或 （3）初为相 ：可以由初始状态（x０,υ０）所确定。 用解析法求 的步骤： 第一步：由x0得到 ，这时 的取值不是唯一确定。 第二步：由υ０得到 ，这时 的取值不是唯一确定。 第三步：由 的正负确定 所在的象限。 第四步：由 值求出 在０～２π范围的值。 （4） 用旋转矢量法求 的步骤： 第一步：画出ox轴，标出－A, A的位置，根据x0找出矢量 在ox轴上的投影。 第二步：根据运动方向画出旋转矢量 。 第三步：由几何知识求出 与ox轴的夹角。 12.2 基本训练 12.2.1 选择题 1. 一物体作简谐振动，振动方程为x=Acos( t+ /4).在t=T/4（T为周期）时刻，物体的加速度为 (A) - A (B) A (C) - A (D) A 2．轻质弹簧下挂一小盘，小盘作简谐振动，平衡位置为原点，位移向下为正，并采用余弦表示。小盘处于最低位 置时刻有一小物体落到盘上并粘住。如果以新的平衡位置为原点，设新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离 小于原振幅，小物体与盘相碰为计时零点，那么新的位移表示式的初相在
四0之间 (®》元之间 (C)xx之间 (D) 3x~2x之间 3.一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点 v(m/3) 的振动规律用余弦函数描述，则其初位相应为 (A)π16 t(s (B)5π6 (C)5x6 (D)π6 (E)-2x3 4.如图所示，质量为的物体由倔强系数为k1和k2的两个轻弹簧连接在光滑导轨上作微小振动，则该系统的振动频 率为 () v=2x 压+2 m (B)v= 1 1+k2 m 77777777777777777777777777777777777 (C)v= 1 压+ 2x (D) 1 Kki 1m(k +k2) 5. 如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m的物体，再用此 弹簧改系一质量为4m的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧 并联后悬挂质量为m的物体，则这三个系统的周期值之比为 (A)1:2:112 B)1上1：2 (C)1:2:1 (D)1:2:1/4 6.一个质点作简谐振动，振幅为A,在起始时刻质点的位移为2A,且向轴x的正方向运动，代表此简谐振动的旋 转矢量图为 (B)
(A) 0 ~ 之间 （B） ~ 之间 (C) ~ 之间 （D） ~ 2 之间 3．一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点 的振动规律用余弦函数描述，则其初位相应为 (A) /6 (B)5 /6 (C)- 5 /6 (D)- /6 (E) -2 /3 4．如图所示，质量为m的物体由倔强系数为k1和k2的两个轻弹簧连接在光滑导轨上作微小振动，则该系统的振动频 率为 (A) (B) (C) (D) 5．如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m的物体，再用此 弹簧改系一质量为4m的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧 并联后悬挂质量为m的物体，则这三个系统的周期值之比为 (A) 1 : 2 : (B) 1: : 2 (C) 1 : 2 : (D) 1 : 2 : 1/4 6．一个质点作简谐振动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为 A，且向轴x的正方向运动，代表此简谐振动的旋 转矢量图为
7.已知一质点沿y轴作简谐振动。其振动方程为y=Acos(at+3π4)。与之对应的振动曲线是 8.一个简谐振动的振动曲线如图所示。此振动的周期为 (A)12s (B)10s t(s) (C)14s (D)11s v(m/s) 9.用余弦函数描述一简谐振子的振动。若其速度~时间(~)关系曲线如图所 示，则振动的初相位为 t(s) (A)x/6 (B)π/3 (C)π12 (D)2x/3 (E)5x16 10.一物体作简谐振动，振动方程为x=Acos(t+上x)。则该物体在仁O时刻的动能与=T/8(T为振动周期)时刻 的动能之比为： (A)1:4 (B)1:2 (C)1:1 (D)2:1 (E)4:1 11.弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为 (A)kA2 (B)1 kA2 (C)(1/4)kA2 (D)0 12.一质点作简谐振动，其振动方程为x=Acos(mt廿。)。在求质点的振动动能时，得出下面5个表达式： 亏ma2A2sin2(at+) (1) (2)1mm2A2cos2(t+p） (3)1k42sin(amt+e） (4) IkA cos"(t)
7．已知一质点沿y轴作简谐振动。其振动方程为y=Acos( t+3 /4)。与之对应的振动曲线是 8．一个简谐振动的振动曲线如图所示。此振动的周期为 (A) 12s (B) 10s (C) 14s (D) 11s 9．用余弦函数描述一简谐振子的振动。若其速度~ 时间 ( 关系曲线如图所 示，则振动的初相位为 (A) / 6 (B) / 3 (C) / 2 (D) 2 / 3 (E) 5 / 6 10．一物体作简谐振动，振动方程为x=Acos( t+ )。则该物体在t=0时刻的动能与t=T/8（T为振动周期）时刻 的动能之比为： (A) 1 : 4 (B) 1 : 2 (C) 1 : 1 (D) 2 : 1 (E) 4 : 1 11．弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为 (A) kA2 (B) kA2 (C) (1/4) kA2 (D) 0 12．一质点作简谐振动，其振动方程为x=Acos( t+ )。在求质点的振动动能时，得出下面5个表达式： (1) t+ ) (2) t+ ) (3) t+ ) (4) t+ )
(5) 2x2 -mA2 sin2(t) T2 其中是质点的质量，k是弹簧的倔强系数，T是振动的周期。下面结论中正确的是 (A)(1),(4)是对的 (B)(2),(4)是对的 (C)(1),(⑤)是对的 (D)(3),(⑤)是对的 (E)(2),(5)是对的 13.图中所画的是两个简谐振动的振动曲线。若这两个简谐振动可叠 加，则合成的余弦振动的初相为 (B) (D)0 12.2.2填空题 1.一质点沿x轴以x=0为平衡位置做简谐振动。频率为0.25Hz,t=0时x=-0.37cm而 速度等于零，则振幅是 振动的数值表达式为 2.将质量为0.2kg的物体，系于倔强系数k=19N/m的竖直悬挂的弹簧的下端。假定在弹簧不变形的位置将物体由静止 释放，然后物体作简谐振动，则振动频率为一，振幅为一。 3.一竖直悬挂的弹簧振子，自然平衡时弹簧的伸长量为xo.此振子自由振动的周期T=_一。 4.上面放有物体的平台，以每秒5周的频率沿竖直方向作简谐振动，若平台振幅超 0.45m 过m,物体将会脱离平台。（设g=9.8m/s2) 5.一单摆的悬线长=1.5m,在顶端固定点的铅直下方0.45m处有一小钉，如图示，设 两方摆动均较小，则单摆的左右两方振幅之比A1A2的近似值为 0 6.图中用旋转矢量法表示了一个简谐振动。旋转矢量的长度为0.04m,旋转角度o=4πrad/s。此简谐振动以余弦函数 表示的振动方程为x= t 7.一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长为2cm,则该简谐振动的初位相为 振动方程为
(5) t+ 其中m是质点的质量，k是弹簧的倔强系数，T是振动的周期。下面结论中正确的是 (A) (1), (4) 是对的 (B) (2), (4) 是对的 (C) (1), (5) 是对的 (D) (3), (5) 是对的 (E) (2), (5) 是对的 13．图中所画的是两个简谐振动的振动曲线。若这两个简谐振动可叠 加，则合成的余弦振动的初相为 (A) (B) (C) (D) 0 12.2.2 填空题 1. 一质点沿x轴以x=0为平衡位置做简谐振动。频率为0.25Hz，t=0时x=-0.37cm而 速度等于零，则振幅是_________,振动的数值表达式为_________。 2. 将质量为0.2kg的物体，系于倔强系数k=19N/m的竖直悬挂的弹簧的下端。假定在弹簧不变形的位置将物体由静止 释放，然后物体作简谐振动，则振动频率为_____，振幅为_____。 3．一竖直悬挂的弹簧振子，自然平衡时弹簧的伸长量为x0,此振子自由振动的周期T= 。 4．上面放有物体的平台，以每秒5周的频率沿竖直方向作简谐振动，若平台振幅超 过 m，物体将会脱离平台。（设g=9.8m/s2） 5. 一单摆的悬线长l=1.5m，在顶端固定点的铅直下方0.45m处有一小钉，如图示，设 两方摆动均较小，则单摆的左右两方振幅之比A1 /A2的近似值为_________。 6.图中用旋转矢量法表示了一个简谐振动。旋转矢量的长度为0.04m,旋转角度ω=4πrad/s。此简谐振动以余弦函数 表示的振动方程为x=_______. 7.一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长为2cm，则该简谐振动的初位相为_________，振动方程为 _________
t=0 t+/4 8/4 8.己知三个简谐振动曲线如图所示，则振动方程分别为： X1= X2= X3= x(cm) 9.两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为： 方=6×102c0s(t+)(SD () 0.0m x2=2×102sin(r-50 (SD 0 ≥t(s) 它们的合振动的振幅为一，初位相为一。 0.04 10.图中所示为两个简谐振动的振动曲线，若以余弦函数表示这两个 振动的合成结果，则合振动的方程为x=x+x?=一
8. 已知三个简谐振动曲线如图所示，则振动方程分别为： x1=_________, x2=_________, x3=_________. 9．两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为： (SI) (SI) 它们的合振动的振幅为 ，初位相为 。 10. 图中所示为两个简谐振动的振动曲线，若以余弦函数表示这两个 振动的合成结果，则合振动的方程为 _________