第4章几何元素间的相对位置 几何元素间的相对位置关系可以分为从属、平行、相交砲包括正交 几种情形。在前一章中已研究了点、线、面之间的从属关系,两直线 间的平行、相交、交叉关系。本章仅研完直线与平面、平面与平面间 的平行、相交关系。 学时划分:本章两讲4学时。第一讲:§4.1~§4.2,第二讲:§4. ~§44。(若将§41放在第三章讲,第二讲后面可用于讲解习题) 重点平行关系的判别及应用、相交关系中求交点及交线方法、可见性判 别。 难点一求平面与平面的交线、垂直关系及其应用 4.1平行关系 4,1.1直线与平面平行 几何条件:如果一直线与平面上的某一直线平行,则此直线与该平面互相平 行。由此可知,直线与平面平行的问题可转化为两直线平行的问题。根据几何条 件及两直线平行的投影性质,就能解决其作图问题。 例4—1已知CEF和直线AB(p67图4-1(a),判断AB和∠CEF是否平行 图4-1 分析若能够在ACFF上作出与AB平行的直线,则可判定它们相互平行(因为, 若直线与平面平行,则必将与平面中一组直线平行,所以肯定能找到其中一条与 已知直线平行的直线
第4章 几何元素间的相对位置 几何元素间的相对位置关系可以分为从属、平行、相交(包括正交) 几种情形。在前一章中已研究了点、线、面之间的从属关系，两直线 间的平行、相交、交叉关系。本章仅研究直线与平面、平面与平面间 的平行、相交关系。 学时划分：本章两讲4学时。第一讲：§4.1～§4.2，第二讲：§4.3 ～§4.4。（若将§4.1放在第三章讲，第二讲后面可用于讲解习题） 重点—平行关系的判别及应用、相交关系中求交点及交线方法、可见性判 别。 难点—求平面与平面的交线、垂直关系及其应用。 4．1 平行关系 4，1．1 直线与平面平行 几何条件：如果一直线与平面上的某一直线平行，则此直线与该平面互相平 行。由此可知，直线与平面平行的问题可转化为两直线平行的问题。根据几何条 件及两直线平行的投影性质，就能解决其作图问题。 例4—1 已知⊿CEF和直线AB(p67图4—1(a))，判断AB和⊿CEF是否平行。 分析 若能够在⊿CEF上作出与AB平行的直线，则可判定它们相互平行（因为， 若直线与平面平行，则必将与平面中一组直线平行，所以肯定能找到其中一条与 已知直线平行的直线）
作图 (1)在CEF上作一辅助线CD。先作出cdab,再作出正面投影cd"; (2)观察cd与ab是否平行。因为cd与ab不平行,所以CD与AB不平行,因 而直线AB与ACEF不平行。 例4—2已知直线AB及点C,过点C作平面平行于AB(P68图4-2(a)) 分析只要过C作直线CDAB,则包含CD所作的任一平面均与AB平行,本题 为多解题,求出一解即可。 作图 (b) (1)过c作cdab、过c作cdab(因而CD|AB); (2)过C作直线CE,则CD与CE所确定的平面即为所求平面(E为空间任意 点 4.1.2平面与平面平行 几何条件:如果一个平面内的相交两直线对应地平行于另一个平面内的相交 两直线,则这两个平而互相平行(P68图43)。 如左图所示,因ABA1B1、BCB1C1,所以PQ 根据上述的几何条件和两直线平行的作图方法,就 可解决平行两平面的作图问题。 例4-3判别由ABC和∠DEF所表示的两平面是否 相互平行(P69图4-4(a))
作图 (1)在⊿CEF上作一辅助线CD。先作出cd∥ab，再作出正面投影c'd'； (2)观察c'd'与a'b'是否平行。因为c'd'与a'b'不平行，所以CD与AB不平行，因 而直线AB与⊿CEF不平行。 例4—2 已知直线AB及点C，过点C作平面平行于AB(P68图4—2(a))。 分析 只要过C作直线CD∥AB，则包含CD所作的任一平面均与AB平行，本题 为多解题，求出一解即可。 作图 (1) 过c'作c'd'∥a'b'、过c作cd∥ab（因而CD∥AB）； (2) 过C作直线CE，则CD与CE所确定的平面即为所求平面(E为空间任意一 点)。 4．1．2 平面与平面平行 几何条件：如果一个平面内的相交两直线对应地平行于另一个平面内的相交 两直线，则这两个平面互相平行(P68图4—3)。 如左图所示，因AB∥A1B1、BC∥B1C1，所以P∥Q。 根据上述的几何条件和两直线平行的作图方法，就 可解决平行两平面的作图问题。 例4—3 判别由⊿ABC和⊿DEF所表示的两平面是否 相互平行(P69图4—4(a))
分析根据两平面相互平行的条件,如果能在一平面内作出与另一平面内的一对 相交直线对应平行的一对相交直线,则表明这两个平面互相平行 作图 (1)作fnla'c,作fmn‖bc; (2)求FN及FM的水平投影n和fm。因为 In'llac'、 fellas,而fm'bc、fm‖bc, 所以FNAC、FM‖BC。这说明两平面内有一对相交直线对应平行,故 ∠ABC‖∠DEF。 4.2相交关系 直线与平面若不平行,则一定相交,且直线与平面只能交于一点。该点是 直线和平面的共有点,既在直线上,又在平面内。因此,在求交点的作图过程 中,将涉及在平面内取点、取直线的作图。 平面与平面若不平行,则一定相交。两平面的交线一定是一条直线,这条直 线为两平面所共有。因此,如果能设法求出两平面的两个共有点,或是一个共有 点和交线的方向,就可求出两平面的交线 4.2.1直线或平面有积聚性 当直线或平面处于特殊位置时,此时直线或平面的投影有积聚性,因此可利 用其积聚性从图上直接求出其交点或交线 1.平面有积聚性 平面有积聚性,意味着相交的平面是特殊位置平面,如投影面垂直面或投影 面平行面 如P70图45所示,直线EF与水平面AABC相交。fe与abc的交点k便是交 点K的正面投影。交点K属于ABC,也属与直线EF。根据这一几何条件,可在
分析 根据两平面相互平行的条件，如果能在一平面内作出与另一平面内的一对 相交直线对应平行的一对相交直线，则表明这两个平面互相平行。 作图 (1)作f'n'∥a'c'，作f'm'∥b'c'； (2)求FN及FM的水平投影fn和fm。因为f'n'∥a'c'、fn∥ac，而f'm'∥b'c'、fm∥bc， 所以FN∥AC、FM∥BC。这说明两平面内有一对相交直线对应平行，故 ⊿ABC∥⊿DEF。 4．2 相交关系 直线与平面若不平行，则一定相交，且直线与平面只能交于一点。该点是 直线和平面的共有点，既在直线上，又在平面内。因此，在求交点的作图过程 中，将涉及在平面内取点、取直线的作图。 平面与平面若不平行，则一定相交。两平面的交线一定是一条直线，这条直 线为两平面所共有。因此，如果能设法求出两平面的两个共有点，或是一个共有 点和交线的方向，就可求出两平面的交线。 4．2．1 直线或平面有积聚性 当直线或平面处于特殊位置时，此时直线或平面的投影有积聚性，因此可利 用其积聚性从图上直接求出其交点或交线。 1．平面有积聚性 平面有积聚性，意味着相交的平面是特殊位置平面，如投影面垂直面或投影 面平行面。 如P70图4—5所示，直线EF与水平面⊿ABC相交。f'e'与a'b'c'的交点k'便是交 点K的正面投影。交点K属于⊿ABC，也属与直线EF。根据这一几何条件，可在
ef上找出其水平投影k。点K(k,k)即为直线E与水平面AABC的交点。 为了使图形明晰,图中常用粗实线和虚线来区别可见和不可见部分的投影, 并利用重影点来判别其可见性 图4-5 如P70图45所示,正面投影中由于平面∠ABC的投影积聚为一直线,重合部分 只有交点k,所以没有可见性问题。在水平投影中,直线与平面的投影有部分重 合,相重合的部分有可见性问题。并且交点k是可见与不可见部分的分界点。这 里只有两种可能:FK在AABC上方,而K在下方;或者相反 现在利用重影点判别其可见性。水平投影中与已知直线FE相关的重影点有 两处。现取重影点12来判别直线的可见性。 属于直线上的点为I、属于平面AABC上的点为I显然I、Ⅱ是位于同一条 铅垂投射线上的一对重影点。可以看出:位于EF上的点比位于AABC上的点I 的z坐标值大。因此,对水平投影而言,FK可见,而KE上被△ABC遮住的部分 不可见。 务必意:正面投影与水平投影的可见性不一定相同,所以各个投影中的可 见性一定要分别进行判另别 dlg) n'lm/ 图4-6
ef上找出其水平投影k。点K(k'，k)即为直线EF与水平面⊿ABC的交点。 为了使图形明晰，图中常用粗实线和虚线来区别可见和不可见部分的投影， 并利用重影点来判别其可见性。 如P70图4—5所示，正面投影中由于平面⊿ABC的投影积聚为一直线，重合部分 只有交点k'，所以没有可见性问题。在水平投影中，直线与平面的投影有部分重 合，相重合的部分有可见性问题。并且交点k是可见与不可见部分的分界点。这 里只有两种可能：FK在⊿ABC上方，而KE在下方；或者相反。 现在利用重影点判别其可见性。水平投影中与已知直线FE相关的重影点有 两处。现取重影点12来判别直线的可见性。 属于直线上的点为Ⅰ、属于平面⊿ABC上的点为Ⅱ。显然Ⅰ、Ⅱ是位于同一条 铅垂投射线上的一对重影点。可以看出：位于EF上的点I比位于⊿ABC上的点Ⅱ 的z坐标值大。因此，对水平投影而言，FK可见，而KE上被ΔABC遮住的部分 不可见。 务必注意：正面投影与水平投影的可见性不一定相同，所以各个投影中的可 见性一定要分别进行判别
P70图46表示一个正垂面DEFG与一个水平面△ABC相交。因为这两个平面均 与V面垂直,可以确定其交线为正垂线,故其正面投影积聚为一点,水平投影为 mn。图中的虚线表示了不可见部分(分析交线的求法、可见性的判别)。 图47表示一般位置平面DEG与一个水平面AABC相交。因为∠ABC的正 面投影有积聚性,所以可直接求出DEFG的两个边DG和EF与ABC的交点 Mm,m)和N(n',n),直线MN即为两平面的交线 显然,只有水平投影有可见性问题。从正面投影很容易确定:平面DEFG有 部分(MGFN)在ABC的上面,其水平投影可见,可见与不可见部分的分界 线就是交线MN 2.直线有积聚性 当直线为投影面垂直线时,由于它的一个投影有积聚 性,因此可利用积聚性确定平面与直线的交点 P71图48表示铅垂线AB与4CD相交,由于AB 的水平投影积聚为一点,所以交点的水平投影k与该点重 影,借助面内的辅助线CF(cf,cf可求出k,可见性判别 如图际示 4.2.2直线或平面与一般位置平面相交 1.一般位置的直线与平面相交
P70图4—6表示一个正垂面DEFG与一个水平面ΔABC相交。因为这两个平面均 与V面垂直，可以确定其交线为正垂线，故其正面投影积聚为一点，水平投影为 mn。图中的虚线表示了不可见部分(分析交线的求法、可见性的判别)。 图4—7表示一般位置平面DEFG与一个水平面⊿ABC相交。因为⊿ABC的正 面投影有积聚性，所以可直接求出DEFG的两个边DG和EF与⊿ABC的交点 M(m'，m)和N(n'，n)，直线MN即为两平面的交线。 显然，只有水平投影有可见性问题。从正面投影很容易确定：平面DEFG有 一部分（MGFN）在⊿ABC的上面，其水平投影可见，可见与不可见部分的分界 线就是交线MN。 2．直线有积聚性 当直线为投影面垂直线时，由于它的一个投影有积聚 性，因此可利用积聚性确定平面与直线的交点。 P71图4—8表示铅垂线AB与⊿CDE相交，由于AB 的水平投影积聚为一点，所以交点的水平投影k与该点重 影，借助面内的辅助线CF(c'f'，cf)可求出k'，可见性判别 如图所示。 4．2．2 直线或平面与一般位置平面相交 1．一般位置的直线与平面相交
当直线与平面均处于一般位置时,就不能利用积聚性来求交点,这时可利用辅助 平面法求解。 P7图4%(b表示一般位置直线AB与一般位置平面ADEF相交。如图4 9(a所示,为了求出其交点,可以包含AB直线作一辅助平面(如铅垂面R)。直线 MN就是平面∠DEF与辅助平面R的交线。交线MN与已知直线AB的交点K,即为 直线AB与平面ADEF的交点。 根据以上分析,用辅助平面法求直线与平面交点的方法步骤如下 (1)包含已知直线AB作一辅助平面(辅助面应该为投影面垂直面,如铅垂面R) (图49(c) (2)求辅助面与已知平面的交线; (3)求所得交线与已知直线的交点; (4)利用重影点判别投影可见性。 (举例作图过程,这一方法是求交线的基本方法,要求学生认真 握)
当直线与平面均处于一般位置时，就不能利用积聚性来求交点，这时可利用辅助 平面法求解。 P71图4—9(b)表示一般位置直线AB与一般位置平面⊿DEF相交。如图4— 9(a)所示，为了求出其交点，可以包含AB直线作一辅助平面(如铅垂面R)。直线 MN就是平面⊿DEF与辅助平面R的交线。交线MN与已知直线AB的交点K，即为 直线AB与平面⊿DEF的交点。 根据以上分析，用辅助平面法求直线与平面交点的方法步骤如下： (1) 包含已知直线AB作一辅助平面(辅助面应该为投影面垂直面，如铅垂面R) (图4—9(c))； (2) 求辅助面与已知平面的交线； (3) 求所得交线与已知直线的交点； (4) 利用重影点判别投影可见性。 （举例作图过程，这一方法是求交线的基本方法，要求学生认真 掌握）
2.两个一般位置平面相交 两个一般位置平面相交,求交线的方法有两种:一是辅助平面法;二是三 面共点法。 (1)利用“求直线与一般位置平面交点”的方法求两平面的交线一辅助 平面法。 P72图410(a)表示了求两个 Py 三角形AABC与DEF交线的方 法。 任取∠ABC的一边AC和 ∠DEF的一边DE,分别求出它们 0 0 与另一个三角的交点(这两个交 点即两平面的两个共有点),然后a 连接两点的同面投影就得到两平 面的交线图49b)。求得交线 后再分别判别各投影的可见性 为简化作图,应首先排除不直接 (a) (b) 相交的边线。 (举例画圜,讲解、分析作图过程) (2)利用“三面共点原理”求两平面的交线
2．两个一般位置平面相交 两个一般位置平面相交，求交线的方法有两种：一是辅助平面法；二是三 面共点法。 (1)利用“求直线与一般位置平面交点”的方法求两平面的交线—辅助 平面法。 P72图4—10(a)表示了求两个 三角形⊿ABC与⊿DEF交线的方 法。 任取⊿ABC的一边AC和 ⊿DEF的一边DE，分别求出它们 与另一个三角形的交点(这两个交 点即两平面的两个共有点)，然后 连接两点的同面投影就得到两平 面的交线(图4—9(b))。求得交线 后再分别判别各投影的可见性。 为简化作图，应首先排除不直接 相交的边线。 （举例画图，讲解、分析作图过程） (2)利用“三面共点原理”求两平面的交线
P b (a) 图4-11 如P73图411乐示,∠ABC与两平行直线DF、EG决定的平面相交。为求它们的 交线时,可作一辅助平面P,使它与两平面分别交于直线Ⅲ和IIV。由于这两直 线同在P面内,所以它们一定相交于一点K,且点K必为ABC和两平行直线 DF、EG决定的平面的共有点交点。用同样的方法,再作辅助平面Q,可求得 另一共有点M。直线MK即为4ABC与DF、EG所决定平面的交线。 为使作图简便,辅助平面一般都取特殊位置平面(图4-11中取的是水平 面),并取QP,都是为了简化作图。 4.3垂直关系 4 1直线与平面垂直 根据初等几何学可知,如果一直线垂直于一平面。则此直线一定垂直于该平 面内的所有直线。判定直线与平面垂直的几何条件为:若直线同时垂直于一平面 内相交两直线,则该直线与该平面垂直。 如P73图412所示,若直线AK垂直于平 面P,那么它一定也垂直于该平面内过垂足的 水平线CD。因此,依据直角投影定理可知, 直线AK的水平投影一定与平面内水平线CD的 水平投影垂直(同一平面内的一切水平线 包括水平迹线都互相平行),因此可得下列 结论:如果一直线垂直于一平面,则该直线 的水平投影一定垂直于该平面内任一条水平 线的水平投影。同理,可得结论:如果一直 图4-12 线垂直于一平而,则该直线的正面投影一定垂直千该平面内任何一条正平线的正 面投影
如P73图4—11所示，⊿ABC与两平行直线DF、EG决定的平面相交。为求它们的 交线时，可作一辅助平面P，使它与两平面分别交于直线ⅠⅡ和ⅢⅣ。由于这两直 线同在P面内，所以它们一定相交于一点K，且点K必为⊿ABC和两平行直线 DF、EG决定的平面的共有点—交点。用同样的方法，再作辅助平面Q，可求得 另一共有点M。直线MK即为⊿ABC与DF、EG所决定平面的交线。 为使作图简便，辅助平面一般都取特殊位置平面(图4—11中取的是水平 面)，并取Q∥P，都是为了简化作图。 4．3 垂直关系 4．3．1 直线与平面垂直 根据初等几何学可知，如果一直线垂直于一平面。则此直线一定垂直于该平 面内的所有直线。判定直线与平面垂直的几何条件为：若直线同时垂直于一平面 内相交两直线，则该直线与该平面垂直。 如P73图4—12所示，若直线AK垂直于平 面P，那么它一定也垂直于该平面内过垂足的 水平线CD。因此，依据直角投影定理可知， 直线AK的水平投影一定与平面内水平线CD的 水平投影垂直（同一平面内的一切水平线— 包括水平迹线都互相平行），因此可得下列 结论：如果一直线垂直于一平面，则该直线 的水平投影一定垂直于该平面内任一条水平 线的水平投影。同理，可得结论：如果一直 线垂直于一平面，则该直线的正面投影一定垂直于该平面内任何一条正平线的正 面投影
根据上述结论,可以利用直角投影定理在投影图上解决有关直线与平面垂直 的作图问题。 例4—4求点D到∠ABC的距离(P74图4-13(a)) (a) 分析点到平面的距离就是点到平面垂线的长。因此首先要过D作∠ABC的垂 线,再求出垂足K,然后利用直角三角形法求出DK的实长。 作图 (1)在AABC内引—条正平线AF和一条水平线AL(作aOX,alOX); (2)作DE⊥∠ABC作 de'la'f,deal)(图413(b) (3)求出垂足K=DE∩AABC(辅助平面法) (4)利用直角三角形法求得DK的实长(图4-13(c) 例4—5通过已知点A作一直线,垂直于一般位置直线BC(P74图4-14)
根据上述结论，可以利用直角投影定理在投影图上解决有关直线与平面垂直 的作图问题。 例4—4 求点D到⊿ABC的距离(P74图4—13(a))。 分析 点到平面的距离就是点到平面垂线的长。因此首先要过D作⊿ABC的垂 线，再求出垂足K，然后利用直角三角形法求出DK的实长。 作图 (1) 在⊿ABC内引一条正平线AF和一条水平线AL(作al∥OX，a'l'∥OX)； (2) 作DE⊥⊿ABC(作d'e'⊥a'f'，de⊥al)(图4—13(b))； (3) 求出垂足K＝DE∩⊿ABC(辅助平面法)； (4) 利用直角三角形法求得DK的实长(图4—13(c))。 例4—5 通过已知点A作一直线，垂直于一般位置直线BC(P74图4—14)
分析空间两互相垂直的一般位置直线,其投影并不反映垂直关系。因此,不可 能在投影图上直接画出。 如图4-14(a)所示,为解决这一问题,我们设想,过A点且与直线BC垂直的 所有直线构成一平面即过A、且与BC垂直的平面Q。作出了Q,再求出交点 K。这种方法称为“轨迹法”。因为AK∈Q,所以AK⊥BC,故AK为所求 作图 (1)过A作正平线AD⊥BC、水平线AE⊥BC(作ad⊥b'c',adOx;ae⊥be aeOX(图4-14(b) (2)求交点K=BC∩∠ADE,AK即为所求(图4-14(c) 4.3.2平面与平面垂直 几何条件:若一平面中有一直线垂直于另一平面,则两平面互相垂直。推 论:如果一直线垂直于一平面,则包含此直线的所有平面都垂直于该平面,如 P75图4-15所示 例4—6包含点M作平面与∠ABC垂直(图4-16(a) 分析过点M作MF⊥AABC,包含MF的平面即为所求。此题多解 作图 (1)在AABC内作一条正平线CD(先作cdOX,再作cd和条水平线CE(先 作 c'e'lIoX,再作ce); (2)作MF⊥CD,且MF⊥CE; (3)作MG(G任意),则GMF为所求
分析 空间两互相垂直的一般位置直线，其投影并不反映垂直关系。因此，不可 能在投影图上直接画出。 如图4—14(a)所示，为解决这一问题，我们设想，过A点且与直线BC垂直的 所有直线构成一平面—即过A、且与BC垂直的平面Q。作出了Q，再求出交点 K。这种方法称为“轨迹法”。因为AK∈Q，所以AK⊥BC，故AK为所求。 作图 (1) 过A作正平线AD⊥BC、水平线AE⊥BC(作a'd'⊥b'c'，ad∥OX；ae⊥bc， a'e'∥OX)(图4—14(b))； (2) 求交点K＝BC∩⊿ADE，AK即为所求(图4—14(c))。 4．3．2 平面与平面垂直 几何条件：若一平面中有一直线垂直于另一平面，则两平面互相垂直。推 论：如果一直线垂直于一平面，则包含此直线的所有平面都垂直于该平面，如 P75图4—15所示。 例4—6 包含点M作平面与⊿ABC垂直(图4—16(a))。 分析 过点M作MF⊥⊿ABC，包含MF的平面即为所求。此题多解。 作图 (1) 在⊿ABC内作一条正平线CD(先作cd∥OX，再作c'd')和—条水平线CE(先 作c'e'∥OX，再作ce)； (2) 作MF⊥CD，且MF⊥CE； (3) 作MG(G任意)，则GMF为所求。 举
