D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1960.05.005 -49一 海板軋輥温度應力與温度雙形的分析 力學敕研組香端、趙凝曾等 一、引蕾 在昆了业生产中，札制藏板与矽纲片的轧輥折断现象特别严重。这不但严重地影响了 生的正常进行，同时因轧輥价格胶阁，进成了时产上的巨大损失。根据现塲观察，电輥折 断的位橙，絕大部分在觀身中部。假若單纯考虑由轧制压力在軋輥中所引起的应力，则札輥 折断的部位应在輥顫处。所以札輥的折断显然与軋輥在高温下工作的特点有关。本艾研究的 月的，就是肝究温度应力对断輥的影响，船出温度应力的引算方法。本文給出稳定温度场及 非稳定温度场雨种情况下的应力及变形的計算公式。对于稳定温度揚，作了一个实例的数字 計算。黏梁衣面最大温度应力可达495kg/Cm2,为資用应力的三分之一左右，这个数值显然 是能忽略的。对于非稳定湿度場，简未进行数字計算。在这方面的工作将艦薇进行。 二、穩定温度場 对于热各向同性的均匀物体，其物理性質不随温度变化时，在无热源的稳定状态下，物 作·点的温度T(,0,z)满足拉普拉斯方程 VT(r,0,z)=0 (1) 试中 v=器+士品+是器+器 02 由于軋輥表面的某一点周期性地与热件接触，且周期敕小，因此可認为温度分佈与？ 无关，于是方程(1)为 v7x,）=8器+股+0 0z2 =0 (2) r or 輥身表面温度根据实测資料，如图1(a)的实線所示。可以用余弦函数 f(2)=△To827+T, (3) 代我表，式中人T=T一T, 边界系件为： T(,土)=T1 (4) T(R,z)=f(z) (6) 分离变数，同时根据边界系件(4)(5)，可得温度場为 Trikr)onks (6)
一 胡 一 薄 板 札棍 温 度 鹰 力 典 瘟度 燮 形 的 分 析 力 攀教研级备端 、 越雄 曾等 一 、 引 雷 在 札魏工业生产 中 ， 札制 薄板与矽剔 片的札辊折 断现象特别严重 。 这不但严重地影响 了 生 产的正常进行 ， 同时 因札辊价格校高 ， 造成 了肘 产 卜的互大揖 失 。 根据现壕聪察 ， 轧棍 断 的 位置 ， 艳大部分在辊身 中部 。 假若翠钝考虑 由轧制压 力在札辊中所引起 的应方 ， 只口姚辊 折 断 的部位应在辊缓处 。 所以 乾辊的折 断显然与札辊在高温下工作的特点有关 。 本文研究的 日的 ， 就是研究温度应 力对 断貌 的影 响 ， 抬 出温度应 力的补算 方法 。 本 文拾出稳定温度场及 非稳定温度堪雨 种情 况下 的应 力及 变形的 补算公式 。 对 于稳定温度踢 ， 作 了一 个实例的数字 补 算 。 粘染 表而最大温度应 力可达 刃 ， 为 查用应 力的三分之一左右 ， 这 个数位显然 是 不能 忽略的 。 对 于非稳定温度踢 ， 街未进行数字补算 。 在这方 面的工作牌撒箱进行 。 二 、 摆定温度瑞 对 于热 各 向 同性的均匀物体 ， 共物理性鬓不随温度变化时 ， 体 中一 点的温度 ， 口 ， 幻 满足拉普拉斯方程 甲 ， ， ， 式 中 在无热源的稳定状态下 ， 物 日二 ‘ ， 、 日， 、 又二 一 十 叭 下丁 一 一石丁 十 ，二万尸 飞石万 向 十 勺 落二蔽 ’ 一 叮 一 汤 由 于轧辊表面 的某一点周期性地与热札件接触 ， 且周期较小 ， 因此可豁为温度分怖与 无关 ， 于是方程 〔 为 军 仑 ， 二 忆 仑 十 — 一 一二 曲一 十 汀 ， 刁么 棍身表面温度机据实测餐料 ， 如 图 的实腺所 示 。 可以 用余弦函数 ‘ 一 △ 箭 代表 ， 式 中八 “ ， 一 ， 边 界系件为 ， 士 二 ， 二 么 分离变 数 ， 同时根据边界系件 ， 可得温度岛为 ， △ 。 。 心 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1960．05．005
-50一 纳.院学报 T {a) (c) (b 岛1 式中右側已含去均匀温度T1,因为它不产生热应力。 三、穩定温度場中的温度应力及变形 温度应力与变形的卧算可归辅为确定一个热孤性位移势中，中滿足泊松方程 了2Φ=1+eT (7) 1-4 式中“为泊松此，心为热膨服系数，假定它們与温度无关。 将温度搐T代天，即得 (+是是+）b=K(ir)ose (8) 式中K,=1+ ；c△T 1-Jo(ikR) 骰特解为 p,）-=ioa,(e)eoew (9) 代入(8）阿得b=一1，因此得 o,2)=-盛il(ikr)eoz (10) 再迭加一个在T=0时滿足双調和函数 V2V2=0 (11) 的解，此解需同时满足下面的边界条件： 当r一R时，0，=0，t:=0 当z=士？时，a=0,.=0 (11A)·
一 的 一 胡 ， 院 李 根 代么少 岛士王 式中右侧 已舍去均匀温度 ， ， 因为它不产生热应 力 。 三 、 摇定温魔场中的温度应力 及变形 握度应 力与变 形的针算可 归箱为确定一 个热弹性位移势 币 ， 必满足泊松方程 甲 必 鱼丝生。 一 群 式 中 群 为 泊松此 ， 为热膨服系数 ， 假定它们 与温度 无 关 。 将温度锡 代入 ， 即得 ， ， 日 日 、 、 ， ， ， 二 丽 厄一 十 亏 一 币 十 而、 少 必 一 入 “ “ 戈’ 少 “ 式 中 一 拼 一 拌 △ 。 敲特解 为 ， ， 卜会 ， 。 代 入 可得 二 一 ， 因此得 。 ， 一泵 一 · 。 。 。 再迭 加一个在 二 时满足 次 稠和 西数 ， 犷二 的解 ， 此解需同时满足下面 的边界条件 当 时 ， 二 ， ， ， “ 当 土 时 ， ” 仇 勺 。 灯 夕
第十二期 -51- 骰(11)式的特解为 r(,z)=inkz〔eJ,(ikr)+e2(ikr)J1(ikr)】 k (12) 即得 (r,z)=-2c2kJo(ikr)sin kz (1s) 已求得中与平后，即可求出分别与它們对应的位力及变形。把刚部分应力与变形迭加即 得最后的应力与变形。 应力为： d,=-GK1co8kz·F1(ikr)+GK2k2 coskz· .[CFs(ikr)C2F6(ikr)] (14) 0=-GK1 coskz·F2(ikr）+GK2k2 coskz· .[C1F10(ikr)-C2F(ikr)] (I5) nz=-GK1 coskz·F3(ikr)+GK2kco8kz· .[CF2(ikr)+C2Fa(ikr)] 16, =GK sin kz.F(ikr)-GK2k2sin kz .[CiF(ikr)+C2Fs(ikr)] (17) 式中 F:=ikrJ (ikr)+Jo(ikr F2=-Jo(ikr> Fs=-ikrJ(ikr)-+2Jo(ikr F=-krJo(ikr) E5=J(ikr）-J(ikr) ikr Fe=(1-2)J(ikr)-(ikr)J(ikr) F=iJo(ikr Fs==krJo(ikr)-2(1-)iJ1(ikr Fa=(ikr)J(ikr)-2(1-/)Jo(ikr) F1o=F(ikr)-s(ikr F11=(1-2)J(ikr) K2=1沙“ 2 並据边界条仆 当r=R附，0，=0，，0 定出 K,(46-F'Fa) C1衣，-FF
羊十二 期 没 式 的特解 为 一 一 二 ， 一 旦奥单〔 。 。 一卜 ， 〕 得 价甘今 ” 少 ，， 二 一 。 已 求得 价与 犷后 ， 即可 求 出分别 与它侧对 应 的 应 力反 变 形 。 把雨部分应 力与变 形迭 加 即 得最后的应 力与变 形 。 应 力为 、了少 、 二一一 又 、了一产、尹‘ ‘ 一 · ， ， 仑 · · 〔 。 一 卜 。 。 〕 ‘ 一 · 十 ，喇 · · 〔 。 ， 。 〕 。 ‘ 一 一 ，仁。 砒 · 骊 十 咖 艺 · ， 〔 ， 卜 ， 〕 丁 ， 二二 吕 骊 ， ‘ 一 ，颐 · ， 〔 ， ， 〕 夕 式 中 ， 十 。 乡 ， 二 。 。 一 ，丈 ， 士 一 。 夕 一 一 。 。 一 。 。 一 沙 。 一 少 “ 。 仁 少 二二 。 一 交 一 ‘ 乡 。 ， 一 处 一 “ 。 。 一 咬 一 卜 一 。 又 乡 ， 二 一 名“ 。 二 一 外毛 业据边界条 件 当 二 时 ， ， 一 “ ， 下 ， 定 出 ，‘ 尸。 一 ‘ ， ‘ 。 ， 、 ” ‘ 。 ， 一 ‘ 。 ‘
-52… 钢院學报 K1(F1F7-E4E) C=Kk(P6F,-F。F8) 其中F,F4,,F6,F7,Fg分别为函数F,F4,F,F6,F,F8当r=R时的植。 位移为： =r,(im）)k+-koogkxC,id,(ikr）+C,krJ.(ir）) (18) W=空id(o)sinz+冬ainw 2 [CiJ(ikr)+C2(ikr)J1(ikr)-4(1-M)C2Jo(ikn)] (19) 四、非爆定瘟度場 与方程（1)条件相同，非稳定温度搐中，物体内一点的温度T(,,z)滿足下列泊松 方程 (+日+)r=品郎 (20) 其中a=心可；Y为此重，c为此热，为导热系数，假定它捫都不是温度的函数。 根据现趨了解，可假骰輥表面上各点温度与間·成線性关系，同时輥身翘預热后， 可腮为起始的温度为稳定状态，故边界边件为 T,0-流(ie)sz+, T(R,Z,)=ATcoskz+T1+ (21) T(r,土l,)=T14wx 式中ω为單位时間内温度的变化。 殷方程(20)的解为 T(r,z;)=ATcoskz+T1+(r,z,) （2) 其中：为輔助函数，它应滿足下列方程与边界条件： V(e,名，)=8能+kcokz 25) △T ()J (ikr)comkz-Tcok (R,z,)=0 (24) (r,土1，)=0 先求方程(23)在零初始条件的解，再求它在齐情况下滿足边界条件(24)的醉，把 雨个解迭抑，即得非稳定温度为
一 貂 一 姻 院 拳 根 。 ，， ，， 一 “ ‘ 二 愁 奋， 二 二 二一犷 二二于 二 二 — 一 认号一离 二二 又 胜， 艺 仁全 ’ 卫” 一 卫 ’ 。 户 ’ ‘ 共中 ‘ 、 ， ，‘ ， ‘ ，， ‘ 。 ， ‘ ， ‘ 分别 为函 数 ， ， 。 ， 。 ， ，， 。 当 时 的值 。 位移为 ， ， ， 二 、 ， ， ， 二二一习 。 丈 十 一王护 一 ， 仁 从’ 一落 一 匕 而 一 自 ， 丫 二 —二一 抓 艺 ，。 一 。李 拙 。 乙 〔 ， 。 一 一子‘ ， 。 〕 少 四 、 非稼定温度塌 ’ 与方程 条 件相同 ， 非稳定温度易 中 ， 物体 内一 点 的温度 ， 口 ， 幼 满足下列泊松 方程 砂、 日 十 一且 晶 十 一 芳 一乒 一 器 其中 一 命 ， 为、 重 ， 为 、 热 ， ‘ 为 导热系数 ， 。 定它。 都 下是温度的， 数 。 根据现锡 了解 ， 可 假投轧辊表面 上各 点温度与 付尚 成徐性关系 ， 同时辊身翘镇热后 ， 可 盼为起始的温度锡为徐定状 态 ， 故边 界边件为 ， 一 入 。 。 袖 册器 、气 护 ‘ ， ， ， △ ， ， ， 士 ， 均二 斗 。 ’ 式中‘ 为琴位时 简 内温度 的变化 。 毅方程 幼夕的解为 ， 几 二 △ 十 、 。 十 誉 ， ， 其 中 誉为输助函 数 ， 它应满足下列方程 与边 界条件 “ 认， ， 叼 二 飞互 合誉 万石 一 十 △ ” 川 从 一 一二 石 右 ， ， 二 右 ， ， △ 。 。 一 △ 璐 普 ， 生 ， 二 先求方程 在零初始条件的解 ， 雨 个解迭加， 即得非稳定温度姿为 再求它在齐次 情况 卜 ‘ 渝足边 界条件 赶 夕 的解 ， 把
第十二期. 00 00 ,=7 B.nJo(r)cosnkz+Tcoskz+D (25) m=1n=1,3,5 其中 k-(4n+c-)ea（.+n0)- 12mnk D=T1+@r 而 A=2[器+A=1时 n-1 80 Aa=(-1)2maR,n=85,…时 07L.合.(ir)cosz-么Took]ru,（2.r)comkdniz R+△T R -小 rJ。(anr)cos2 nkzdrdz -I 五、非摄定温度場中的温度应力與变形 將(25)代人(7)得 00 00 vo-K BnJ(mr)cosnkz+ATcoskz (26) m=1n=1,3,5 1+ 其中 Kn= 1-g 方程(26)的特解为 00 00 0=-K, ()comnca m=1n=1,3,5 -K△cokz (27) 为了滿足边界条件(114)，蒂洪加一个T=0时的应力解。 最后的应力为雨者的选加： (1) d.=2GKaΣmncosnkz+2GK△Tcoskz +GK2k2coskz[dF(ikr)+d2Fe(ikr)] (2) 09=2GKaΣΣFnCO9nkz-2GK8△T'coskz GK2kcoskz(dF(ikr)-d2F(ikr)]
第十 二 期 一 储 一 ” ， ， ， · 卜 刀 刁 “ ，一 。 ， ，· △ 协 ‘ 一 ， ， 叮、 其 中 一 式 通 ，。 ， ” · 。 一 “ “ “ 刀· ’ 十 ’ ” · 。 只， 。 ， 十 一 一 卜田 ‘ 田 ， ， 。 〕 朋 执 。 一豆夏二 辰五万 卞 乙 几 一 少 一 工阴 一 川 。 一 一 飞厂 田 班只 二 吕 ， ， ， … … 正寸 。 。 。 一 △ ， 〕 。 ，犯 。 。 。 ‘ · 叮歹 厂 一 一 。 ” 只 血 一 五 、 非像定温度塌 中的温度应力舆变形 将 代 人 得 田 ， 钓 忆、了、 ‘ 、尹口 。 一 〔刀 刀 “ 。 ，。 十 △ ， 二 “ ， ， 其 中 ， 一 ‘ 鱼止坦乞 。 一 那 方程 乡的特解 为 的 的 ‘ 一 合 刀 刀 二 一 ， ， ，、 ， 、 兵平茸节范砂 一 又‘ 。 吕 “ 一 ， 八 一弄‘ 为 了满足边 界条件 月 ， 需迭 加 一 个 一 寸的 应 力解 。 靖后 的应 力为雨者的迭 加 ‘ ， 一 艺刃 。 艺 于 。 八 一卜 〔 ， 。 ， 〕 交 勺 一 。 另万 。 ，、 乙 一 △ 芬 恤 〔 、 ，。 一 ，， 〕
一64… 妍院學粮 (3) .=2GKiFa cosnkz+GK2kcoskz [d:F2(ikr)+d2F(ikr)] (4 =-2GKFnBin nkz-GK2k2sin kz [d1F(ikr)+d2Fs(ikr)] 式中 =7Z.-4a. (1) g2- Bn k-BnnJo(4mr) (3) B kJo(r)-BnJo(4r) (4) B,on mx年n2en:(r) d1,d2由边界第件r=R时，0，=0，r=0 确定 UFs-VF'6 d1=F"E。-F'。F, VE6-UFs ='g。-FoF, (1) 其中 U=2Ka〔2 a Cosnkz+△Tcoskz) K2k2coskz (2) V 2KazΣF·sin nkz Kak"sin kz 和图分别为里坐当R时的机。 (1)(4) 位移的群算与稳定据州似，.得 on ks kcowku(dxiJ(ikr)+dakrJ.(fkr) wK)nin nks Kinkz+Kkin kz[d J(ikr) k 2 +d2(ikr)J(ikr)-4(I-/)dl2Jo(ikr)j
一 时 翎 陇 攀 板 ， ， ‘ 万万凡 。 。 。 止哪 十 ，琳 〔 。 〕 ， ， 一。 ‘ 穿乙 一 ‘ 。 、 〔 ， ， 。 〕 式 中 。 灭异执 「 〔 ‘ 。 · 。 ‘，，一 州辫 一 ‘ 二‘ 。 ‘ 】 ‘ ， 二 决。 ， ， ， ， 之 ，。 一 』、 。 只 ，。 咯 。 一决撇 。 只 ，。 ·卜 。 ， 。 ， ，。 贺 ，、 布分冲 ， ， 。 ，， 由放界条件 “ 时 ， ， ， ‘ 确定 ‘ 一 卫‘ 卫止 里丛 。 ‘ 一 ‘ 。 ’ ， · 。 二」鱼压‘ 二卫卫丛 一 ‘ 。 ‘ 其 中 二 二 〔万 刃 认 、 血 十 △ 咖 名〕 空 帕 么 盆刃 尸 · ， 认 。 和 ， 。 ，、 分别 为 。 和 、 当 一 时 的位 。 位移的讲算 与稳定锡 相似 ， 得 二 刃 万 ，、 几 ，。 流 。 仑 ， 交只 ，。 ， 飞犷 〔 复 戈 。 〕 二 下擎热粉 石 。 ， 。 。 、 曰 ‘ ，考 ，， 口 矛 臼 ， 劝 孟、 十 ‘ 群 ‘ · 勺 一，‘ 、 〔 主 。 、 。 一 一 ‘ 。 」
第十二期 一55- 六、实例計算 根据以下数据，計算了簿铁材料的薄板軋靚的正应力σ.和变形 覲長的一牛1=475mm 魏身牛徑R=375mm 材料的剪切彈性模数（行=4.5×105kg/cm 泊松比=0.25 热膨脤系数t=14×10~6cm/cm°C 輗身中部与輥边的温度差八T=T2一T1=250°C 計算粘果如下表 e ax kg/cm2 亚 1 -408 -388 -380 -240 -126 0 2 -403 一388 -326 -237 一125 0 马 -282 -268 -228 -166 一 87 4 -90 -86 73 -53 -27.8 0 5 +158 +150 +128 +92.5 +48.7 0 6 +495 +470 +400 +291 +153 0 截面I上正应力σ的分你如图3所示，在I,皿，…截面上的分伟与此相似。距舰的 轴線等远点的正应力·，沿z方向的分佈規律为余弦函数 在靓身中部丁截面上徑向位移最大，結果为： r=R=2.36m 2=0
第十 二 期 一 六 、 实例针算 根据以下数据 ， 针算 了铸敛材料的薄板 戟棍的正应 力。 。 和变形 棍是 的一 半 ” 戟身半趣 四 材料的剪切弹性摸数 二 冰 ” 又 泊松此 产 热膨服系数 。 二 、 一 已 巩厂 “ 棍身中部与唬 边 的温度差 八 二 ， 一 ，二 工 足 万 下 仇 件刁叨 衬歼彩 ，公衬了洲一 封艺 朴算精果如下表 一 · … 卜 … · … ， 谁…且 … 万 一 … 截面 上正应 力 的分怖如 图 所示 ， 在 万 ， 班 ， · …截面上的分怖与此相似 。 万辊的 釉徐等彭点 的正应 力 ，伦 方 向的分怖规律为余弦 函数 在棍身中部 截面上视向位移最大 ， 枯果 为 俨 ， 一 百且日甘
-56一 钢院學报 受拉 一区域 -4 r495 在 B城 周3 当軋制压力为800T,薄板宽度b=700mm輥頸处的值径d=600时，計算H出由札制力在 I截面表面上的正应力为c,=540kg/cm2 七、結·論 (1)温度应力与輥身表面的中部处以及輥頸处的温度之差成線性关系。 (2)温度应力σ，在棍身中部边絲达到最大值，並且为拉应力；而由札制压力所引起的 正应力·在舰身中部的上下边綠一池为拉应力，另一边为压应力。 (3)温度应力与軋制应力此起来不是很小，因此不可略。 (4)因此，絕大部分薄板札輥折断部位不在轧頸而在輥身中部，这显然是由于温度应 力与札制应力二者之和超过材料强度极限所致。 (5)輥身表面的徑向温度变形为余弦函数。 本文中所得秸果是我們工作的第一部分，工作仍黛进行。 本文臂箭数哔致研粗同志审閱过。 参考文献 1.梅蘭(E.Melan),帕尔庫斯(H.Parkus)由于定常温度携而产生的热应力 2.舒宾(T.H.山y6)迭軋薄板工艺学基硼 3.雷柯夫(A.B.几HKoB)热傅导理論 4.A.B.JIbKOB TennonpoBoHOCTb HecToyHoHapHbIX TIpoueccoB 5,吉洪諾夫(A,H.THXOHOB),薩馬尔斯基(A.A.CaMapcKn)数学物理方程
一 一 胡 院 李 权 少砂丫尹 ， 、 、 、 当札制压 力为 别 ， 薄板竟度 口 朝颈处 的武视 二 加 时 ， 针算 出 由水 制 力在 截面表面上的 正应 力为 ， 二 肠 七 、 皓 箫 温度应 力与帆身表面的 中部处以及棍颐处的温度之差 成腺性关系 。 温度应 力， 在辊身中部边椽达到最大值 ， 韭且为拉应 力 而 由丰制压 力所引起 的 正应 力。 在棍身 中部的上下边徐一边为拉应 力 ， 另 一 边 为压 应 力 。 温度应 力与札制 应 力此起来不是很小 ， 因此 不可 略 。 因此 ， 枪大部分薄板札棍折 断部位不 在札硕而 在辊身 中部 ， 这显然是 由于温度应 力与札制 应 力二者之和超过材料强度极 限所致 。 辊身表面 的攫向温度变形为余豉面 数 。 木 文 中所得拮果是我们工作 的第一部分 ， 工作仍磁依进行 。 本 文骨淤数学教研粗 同志审朋趁 。 ’ 。 。 参 考 文 献 梅茵 ， 帕尔库斯 的 由于定 常温度爆 而产生的热应 力 舒宾 ‘ 山扣皿 迭札薄板 工艺 学基础 雷柯夫 。 司 热傅导理谕 刀 曰 协 口月 协。 几 丁‘ 丁。 甘班 双 协 吉拱带夫 ‘ 玖 ， 藻 局尔斯基 二 饮戚 数学物理方程
