免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com 一元二次方程根与系数的关系公开课教案 授课教师:三星中学胡圣利 教材出处:义务教育课程标准实验教科书(华师大版)23.3实践与探索第2课时根与系 数的关系。 授课时间:2011年6月 教学目标 1、知识目标:巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识,掌握一元二次方程的根与 系数的关系并会初步应用,会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。 2、能力目标:培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。 3、情感目标:渗透由特殊到一般,再由一般到特殊的认识事物的规律。培养学生去发现 规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。 教学重点:根与系数的关系的推导、运用 教学难点:正确归纳、理解、运用根与系数的关系,培养学生探索和发现意识。 教学方法:发现法,引导法,讲练结合法。 教学过程 、问题情境,导入新课 解下列方程,并填写表格: 方程 xI x2 xt x1‘x2 x=0 x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 观察上面的表格,你能得到什么结论? (1)关于x的方程x2+px+q=0(p、q为常数,p2-4q≥0)的两根x,x2与系数p,q 之间有什么关系? (2)关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x,x2与系数a,b,c之间又有何关系 呢?你能证明你的猜想吗? 探究新知 1、根与系数关系 解压密码联系qq119139686加徽信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 一元二次方程根与系数的关系公开课教案 授课教师：三星中学 胡圣利 教材出处：义务教育课程标准实验教科书（华师大版）23.3 实践与探索第 2 课时根与系 数的关系。 授课时间：2011 年 6 月 教学目标： 1、知识目标：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与 系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。 2、能力目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。 3、情感目标：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养学生去发现 规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。 教学重点：根与系数的关系的推导、运用。 教学难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。 教学方法：发现法，引导法，讲练结合法。 教学过程： 一、问题情境，导入新课： 解下列方程，并填写表格： 方 程 1 x 2 x 1 x + 2 x 1 2 x x 2 x x − = 2 0 2 x x + − = 3 4 0 2 x x − + = 5 6 0 观察上面的表格，你能得到什么结论？ （1）关于 x 的方程 2 2 x px q p q q + + = − 0( 4 0) 、 为常数，p 的两根 1 x ， 2 x 与系数 p，q 之间有什么关系？ （2）关于 x 的方程 2 ax bx c a + + = 0( 0) 的两根 1 x ， 2 x 与系数 a，b，c 之间又有何关系 呢？你能证明你的猜想吗？ 二、探究新知： 1、根与系数关系：
免费下载网址http://jiaoxue5uysl68com/ (1)关于x的方程x2+px+q=0(p、q为常数,p2-4q≥0)的两根x,x2与系数p,q 的关系是: x1+x2=-p 引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考:如果一元二次方程二次项的系 数不为1,根与系数之间又有怎样的关系呢? (2)形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程,如果b2-4ac≥0,两根为x,x2,引导学生利 用上面的结论猜想x,x与各项系数a、b、c之间有何关系。 然后教师归纳,可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程,再利用上面的结 论来研究,即:对于方程ax2+bx+c=0(a≠0) a≠0 0 b C 对于这个结论我们又应该如何证明呢?引导学生利用求根公式给出证明 证明:∵ax2+bx+c=0a≠0),当b2-4ac≥0时根为: -b± 2 设x b+√b2-4ac 4ac vb2-4ac -b-vb2-4ac -2b b √b2 b2-(b2-4ac)4 x1∵x2= 2 4a-2 学生思考、归纳并回答下列问题: (1)你认为什么是根与系数的关系?根与系数的关系有什么作用? (2)运用根与系数的关系要注意些什么? 三、应用举例 例1、不解方程,口答下列方程的两根和与两根积: (1)x2-3x-1=0 (2)2x2+3x-5=0 (3) 2x=0 (4)√2x2+√6x=√3(5)x2-2=0 (6)x2+2x+1=0 解压密码联系qq119139686加徽信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com （1）关于 x 的方程 2 2 x px q p q q + + = − 0( 4 0) 、 为常数，p 的两根 1 x ， 2 x 与系数 p，q 的关系是： 1 2 x x p + = − ， 1 2 x x q = 。 引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次项的系 数不为 1，根与系数之间又有怎样的关系呢？ （2）形如 2 ax bx c a + + = 0( 0) 的方程，如果 2 b ac − 4 0 ，两根为 1 x ， 2 x ，引导学生利 用上面的结论猜想 1 x ， 2 x 与各项系数 a、b、c 之间有何关系。 然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为 1 的一元二次方程，再利用上面的结 论来研究，即：对于方程 2 ax bx c a + + = 0( 0) ∵ a 0 ∴ 2 0 b c x x a a + + = ∴ 1 2 b x x a + = − ， 1 2 c x x a = 对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。 证明：∵ 2 ax bx c a + + = 0( 0) ，当 2 b ac − 4 0 时根为： 2 4 2 b b ac x a − − = 设 2 1 4 2 b b ac x a − + − = ， 2 2 4 2 b b ac x a − − − = ，则 ∴ 2 2 1 2 4 4 2 2 2 2 b b ac b b ac b b x x a a a a − + − − − − − + = + = = − 2 2 2 2 1 2 2 2 4 4 ( 4 ) 4 2 2 4 4 b b ac b b ac b b ac ac c x x a a a a a − + − − − − − − = = = = 学生思考、归纳并回答下列问题： （1）你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？ （2）运用根与系数的关系要注意些什么？ 三、应用举例 例 1、不解方程，口答下列方程的两根和与两根积： （1） 2 x x − − = 3 1 0 （2） 2 2 3 5 0 x x + − = （3） 1 2 2 0 3 x x − = （4） 2 2 6 3 x x + = （5） 2 x − = 2 0 （6） 2 x x + + = 2 1 0
免费下载网址http://jiaoxue5uysl68com/ 例2、已知方程2x2+kx-9=0的一个根是一3,求另一根及k的值。 先让学生求解,再让学生代表介绍解法。教师展示 解法一: 解法二: 方程2x2+kx-9=0的一个根为-3设方程的另一个根为x,由根与系数的关系可知: ∴2×(-3)2+k·(-3)-9=0 -3+x2 (-3) ∴k=3,把k=3代入原方程得 2x2+3x-9=0 ∴x2 解之得:x=-3,x2 k=3,方程的另一个根为 从上面的两种解法中引导学生谈谈有什么启示? 例3、已知、B是方程x2+2x-2005=0的两个实数根,求a2+3a+B的值。 分析:因为a、β是原方程的两个实数根,故都满足原方程,将α代入原方程可得 a2+2a-2005=0,所以ax2+2a=2005,而a2+3a+B=(a2+2a)+(a+B),利用根与系数 的关系可知a+B=-2,从而可求a2+3a+B的值 解:∵∝、β是方程x2+2x-2005=0的两根。由根与系数的关系可知 a+B=-2,a2+2a-2005=0 ∵a2+2a=2005 ∴a2+3a+B=(a2+2a)+(a+B) 2005+(-2) =2003 四、巩固练习: 1、已知方程x2-2kx-9=0的两根互为相反数,求k的值 2、已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍,求m的值。 3、备选题:关于x的方程x2+(2k+1)x+k2-2=0两实数根的平方和等于11,求k的值 五、归纳小结: 1、这节课我们学习了什么知识?有何作用? 2、运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么? 3、这节课我们学到了解决数学哪些方法?运用了哪些数学思想? 六、课后作业 1、若方程x2-4x=1的两个根为x,x2,则x,x2的值是 2、已知a,b是方程x2+x-2009=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为 解压密码联系qq119139686加徽信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 例 2、已知方程 2 2 9 0 x kx + − = 的一个根是－3，求另一根及 k 的值。 先让学生求解，再让学生代表介绍解法。教师展示： 从上面的两种解法中引导学生谈谈有什么启示？ 例 3、已知 2 、 是方程x x + − = 2 2005 0 的两个实数根，求 2 + + 3 的值。 分析：因为 、 是原方程的两个实数根，故都满足原方程，将 代入原方程可得 2 2 + − = + = 2 2005 0 2 2005 ，所以 ，而 2 2 + + = + + + 3 ( 2 ) ( ) ，利用根与系数 的关系可知 + = −2 ，从而可求 2 + + 3 的值。 四、巩固练习： 1、已知方程 2 x kx − − = 2 9 0 的两根互为相反数，求 k 的值。 2、已知关于 x 的方程 2 x x m − + = 3 0 的一个根是另一个根的 2 倍，求 m 的值。 3、备选题：关于 x 的方程 2 2 x k x k + + + − = (2 1) 2 0 两实数根的平方和等于 11，求 k 的值。 五、归纳小结： 1、这节课我们学习了什么知识？有何作用？ 2、运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么？ 3、这节课我们学到了解决数学哪些方法？运用了哪些数学思想？ 六、课后作业： 1、若方程 2 x x − = 4 1 的两个根为 1 x ， 2 x ，则 1 x ， 2 x 的值是 。 2、已知 a b ， 是方程 2 x x + − = 2009 0 的两个实数根，则 2 a a b + + 2 的值为 。 2 2 2 1 2 2 9 0 3 2 ( 3) ( 3) 9 0 3 3 2 3 9 0 3 3 2 3 3 2 x kx k k k x x x x k + − = − − + − − = = = + − = − = 解法一： ∵方程 的一个根为 ∴ ∴ ，把 代入原方程得： 解之得： ＝ ， ＝ ∴ ，方程的另一个根为 1 1 1 1 , 9 3 3 2 2 3 2 x k x x x k − + − − − 解法二： 设方程的另一个根为 由根与系数的关系可知： ＝ ，（ ） ＝ ∴ ＝ ， ＝3 2 2 2 2 2 2 2005 0 2 2 2005 0 2 2005 3 ( 2 ) ( ) x x + − = = − + − = + = + + = + + + 解：∵ 、 是方程 的两根。由根与系数的关系可知： + ， ∴ ∴ =2005+(-2) =2003
免费下载网址http://jiaoxue5uysl68com/ 3、若方程2x2-3x-1=0的两根为x,x,则1+1的值为 4、关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x、x2,且x+x2=7, 求(x1-x2)2的值 板书设计: 元二次方程根与系数的关系 1、对于ax2+bx+c=0(a≠0)的方程,若b2-4ac≥0,两根为x1,x2° 那么x+x2=-b 2、根与系数关系使用的前提是: (1)是一元二次方程,即a≠0。 (2)方程为一般形式。即形如:ax2+bx+c=0。 (3)判别式大于等于零,即b2-4ac≥0。 解压密码联系qq119139686加徽信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网址: jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网址： jiaoxue5u.taobao.com 3、若方程 2 2 3 1 0 x x − − ＝ 的两根为 1 x ， 2 x ， 则 1 2 1 1 x x + 的值为 。 4、关于 x 的一元二次方程 2 x mx m − + − = 2 1 0 的两个实数根分别是 1 2 x x 、 ，且 2 2 1 2 x x + = 7 ， 求 2 1 2 ( ) x x − 的值。 板书设计： 一元二次方程根与系数的关系 1、对于 2 ax bx c a + + = 0( 0) 的方程，若 2 b ac − 4 0 ，两根为 1 x ， 2 x 。 那么 1 2 b x x a + = − ， 1 2 c x x a = 2、根与系数关系使用的前提是： （1）是一元二次方程，即 a 0。 （2）方程为一般形式。即形如： 2 ax bx c + + = 0 。 （3）判别式大于等于零，即 2 b ac − 4 0