二次函数的图象和性质(3)教学设计 《二次函数的图象和性质(3)》教学设计 北京市三帆中学陈立雪 一、教学內容解析 1.本章的内容和地位 在《义务教育数学课程标准(2011年版)》中,对《二次函数》的课程内容 做出了以下五点要求 (1)通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义 (2)会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质 (3)会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能 由此得到二次函数的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴,并能 解决简单实际问题 (4)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 (5)*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数 从内容上看,学生在八年级时学习了《一次函数》、《反比例函数》两章内容, 《二次函数》一章编排于九年级下册,此后,在《普通高中课程标准实验教科书 数学必修1》的课程中,学生将继续学习和研究指数函数、对数函数、幂函数 等基本初等函数的性质 从方法上看,在研究一次函数和反比例函数时,教材侧重于通过观察函数图 象来直观了解函数的性质.而进入高中后,教材则侧重于通过分析解析式来研究 函数性质.因此,在《二次函数》一章的教学中,我引导学生将研究方法从图象 逐步向解析式转移,让学生在体会数形结合思想的同时,初步经历代数说理的过 程,也为下一学段的学习做好过渡 2.本课的内容和地位 在教学中,本章内容共安排了13个课时,其中第26.1节“二次函数及其图 象”包含了7个课时.教学中为了突出学生的主体地位,适应学生的认知需求, 在本章起始课上,我让学生从已有知识和经验出发,自己定义出一类可称为“二 次函数”的新函数,并探讨对这类函数的进一步研究设想.结合一次函数的研究 经验,依据从特殊到一般的原则,部分学生提出了如下的研究思路: y=ax2+c(a≠0) y=ax2(a40) y=ax2+bx+c(a≠0) y=ax2+bx(a≠0) 为顺应学生的研究思路,我尝试对第26.1节的内容做了调整,安排如下: 北京市三帆中学陈立雪
二次函数的图象和性质（3）教学设计 1 北京市三帆中学 陈立雪 《二次函数的图象和性质（3）》教学设计 北京市三帆中学 陈立雪 一、教学内容解析 1. 本章的内容和地位 在《义务教育数学课程标准（2011 年版）》中，对《二次函数》的课程内容 做出了以下五点要求： （1）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. （2）会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质. （3）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 y=a(x-h) 2+k 的形式，并能 由此得到二次函数的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能 解决简单实际问题. （4）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. （5）*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数. 从内容上看，学生在八年级时学习了《一次函数》、《反比例函数》两章内容， 《二次函数》一章编排于九年级下册，此后，在《普通高中课程标准实验教科书 数学 必修 1》的课程中，学生将继续学习和研究指数函数、对数函数、幂函数 等基本初等函数的性质. 从方法上看，在研究一次函数和反比例函数时，教材侧重于通过观察函数图 象来直观了解函数的性质. 而进入高中后，教材则侧重于通过分析解析式来研究 函数性质. 因此，在《二次函数》一章的教学中，我引导学生将研究方法从图象 逐步向解析式转移，让学生在体会数形结合思想的同时，初步经历代数说理的过 程，也为下一学段的学习做好过渡. 2. 本课的内容和地位 在教学中，本章内容共安排了 13 个课时，其中第 26.1 节“二次函数及其图 象”包含了 7 个课时. 教学中为了突出学生的主体地位，适应学生的认知需求， 在本章起始课上，我让学生从已有知识和经验出发，自己定义出一类可称为“二 次函数”的新函数，并探讨对这类函数的进一步研究设想. 结合一次函数的研究 经验，依据从特殊到一般的原则，部分学生提出了如下的研究思路： 为顺应学生的研究思路，我尝试对第 26.1 节的内容做了调整，安排如下： y=ax2 (a≠0) y=ax2+c(a≠0) y=ax2+bx(a≠0) y=ax2+bx+c(a≠0)
二次函数的图象和性质(3)教学设计 我调整后的内容安排 课时 原来的教学安排 (本课是第5课时) 1课时261.1二次函数 26.1.1二次函数 26.1.2用待定系数法求二次函数 第2课时2612二次函数=2的图象的解析式(1)—利用三点求二 次函数的解析式 2613二次函数y=a(x-h)2+k的 26.1.3二次函数的图象和性质(1) 第3课时图象(1)—形如y=ax2+c(a40) 形如y=ax2(a0)的二次函数 的二次函数 2613二次函数y=a(x-h)2+k的 26.1.3二次函数的图象和性质(2) 第4课时|图象(2)—形如y=a(x2(a0) 形如y=ax2+c(a40)的二次函数 的二次函数 26.1.3二次函数的图象和性质(3) 2613二次函数y=a(x-h)2+k的 第5课时图象(3) 形如 y=ax2+bx(a40)和 y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数(数字 y=ax-h)2+k(a0)的二次函数 系数) 26.1.3二次函数的图象和性质(4) 第6课时|2614二次函数y=an2+bx+c的 图象 次函数y=ax2+bx+c(a+0)的 般规律 第7课时+2615用待定系数法求二次函2614用待定系数法求二次函数 的解析式(2)—利用顶点坐标 数的解析式 或对称轴求解析式 原教学安排以抛物线的平移作为主线,知识间的逻辑关系清晰,先从特殊到 一般地研究形如y=a(x-h2+k(a0)的二次函数,最后提出形如y=ax2+bx+c(a≠0)的 次函数,学生自然就能想到将后者配方变形为已学过的形式,这样的设计便于 突出重点、突破难点 而我尝试对内容作调整则是立足于尊重学生的认知需求,保护学生学习的主 动性.此外,我校学生程度较好,具备一定的研究问题的能力,也乐于探究问题. 因此,我结合学生学情制定了本课的教学目标,并且对教学情境、问题设计、代 数说理等方面的内容和难度进行了反复推敲,进行这节课的尝试从学生的课后 反馈来看,取得了较好的教学效果 二、学生学情分析 授课班级的学生程度较好,基础扎实,思维灵活,具备一定的探索数学问题 北京市三帆中学陈立雪
2 二次函数的图象和性质（3）教学设计 北京市三帆中学 陈立雪 课时 原来的教学安排 我调整后的内容安排 （本课是第 5 课时） 第 1 课时 26.1.1 二次函数 26.1.1 二次函数 第 2 课时 26.1.2 二次函数 y=ax2 的图象 26.1.2 用待定系数法求二次函数 的解析式（1）——利用三点求二 次函数的解析式 第 3 课时 26.1.3 二次函数 y=a(x-h) 2+k 的 图象（1）——形如 y=ax2+c(a≠0) 的二次函数 26.1.3 二次函数的图象和性质（1） ——形如 y=ax2 (a≠0)的二次函数 第 4 课时 26.1.3 二次函数 y=a(x-h) 2+k 的 图象（2）——形如 y=a(x-h) 2 (a≠0) 的二次函数 26.1.3 二次函数的图象和性质（2） ——形如 y=ax2+c(a≠0)的二次函数 第 5 课时 26.1.3 二次函数 y=a(x-h) 2+k 的 图象（ 3 ） —— 形 如 y=a(x-h) 2+k(a≠0)的二次函数 26.1.3 二次函数的图象和性质（3） —— 形 如 y=ax2+bx(a≠0) 和 y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数（数字 系数） 第 6 课时 26.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的 图象 26.1.3 二次函数的图象和性质（4） ——二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的 一般规律 第 7 课时 *26.1.5 用待定系数法求二次函 数的解析式 26.1.4 用待定系数法求二次函数 的解析式（2）——利用顶点坐标 或对称轴求解析式 原教学安排以抛物线的平移作为主线，知识间的逻辑关系清晰，先从特殊到 一般地研究形如 y=a(x-h) 2+k(a≠0)的二次函数，最后提出形如 y=ax2+bx+c(a≠0)的 二次函数，学生自然就能想到将后者配方变形为已学过的形式，这样的设计便于 突出重点、突破难点. 而我尝试对内容作调整则是立足于尊重学生的认知需求，保护学生学习的主 动性. 此外，我校学生程度较好，具备一定的研究问题的能力，也乐于探究问题. 因此，我结合学生学情制定了本课的教学目标，并且对教学情境、问题设计、代 数说理等方面的内容和难度进行了反复推敲，进行这节课的尝试. 从学生的课后 反馈来看，取得了较好的教学效果. 二、学生学情分析 授课班级的学生程度较好，基础扎实，思维灵活，具备一定的探索数学问题
次函数的图象和性质(3)教学设计 的能力,并乐于探究具有一定挑战性的问题. 在知识基础方面,学生八年级时学习了一次函数和反比例函数,会用描点法 绘制函数图象,会用待定系数法求函数解析式,能够借助函数图象描述出函数的 简单性质,能够理解函数的解析式、图象和性质之间的内在联系. 通过《二次函数》一章前几课时的学习,学生已经了解到二次函数的图象是 抛物线,会用不共线的三点坐标求出二次函数的解析式,掌握了形如y=ax2+c(a≠0) 的二次函数的图象和性质,并能从解析式上对函数的最值、对称性、增减性等特 征进行说明 在研究能力方面,学生在七年级时参加了我校开展的研究性学习课程,具备 较强的解决问题的能力.而在学习一次函数时,学生经历过自己提出问题、设计 方案、解决问题的过程.比如,在学了正比例函数y=kx后,研究一次函数y=kx+b 时,学生就提出想要研究“b对函数图象的影响”这样的问题,为解决问题,部 分学生针对性地设计出函数组(如y=2x+1,y=2x+2,y=2x-1;或=x+1,y=2x+1, y=x+1等),还有一些学生从解析式中猜想出了直线的上下平移关系,最终从不 同解法中总结出“b的几何意义” 因此,学生们不仅能够适应本课教学内容的调整,还能够从中表现出更强的 自主性,获得更高的能力提升空间 、教学目标设置 1.教学目标 1)会将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k(a:0)的形式,并确定其 开口方向、对称轴和顶点坐标 (2)经历从特殊到一般的研究过程,体会数与形的内在联系; (3)能利用二次函数的图象特征推测函数的性质,并利用二次函数的解析式对 其图象特征进行解释和判断 (4)感受数学的直观性、抽象性、严谨性,在方法迁移的过程中获得成功的体 验 2.教学重点、教学难点 教学重点:形如y=ax2+bx(a≠0)的数字系数的二次函数的图象与性质 教学难点:从解析式的角度对二次函数图象的对称性进行说理论证 四、教学策略分析 教学面临的问题 对本课而言,学生要掌握用配方的方法将数字系数的二次函数化为 北京市三帆中学陈立雪
二次函数的图象和性质（3）教学设计 3 北京市三帆中学 陈立雪 的能力，并乐于探究具有一定挑战性的问题. 在知识基础方面，学生八年级时学习了一次函数和反比例函数，会用描点法 绘制函数图象，会用待定系数法求函数解析式，能够借助函数图象描述出函数的 简单性质，能够理解函数的解析式、图象和性质之间的内在联系. 通过《二次函数》一章前几课时的学习，学生已经了解到二次函数的图象是 抛物线，会用不共线的三点坐标求出二次函数的解析式，掌握了形如y=ax2+c(a≠0) 的二次函数的图象和性质，并能从解析式上对函数的最值、对称性、增减性等特 征进行说明. 在研究能力方面，学生在七年级时参加了我校开展的研究性学习课程，具备 较强的解决问题的能力. 而在学习一次函数时，学生经历过自己提出问题、设计 方案、解决问题的过程. 比如，在学了正比例函数 y=kx 后，研究一次函数 y=kx+b 时，学生就提出想要研究“b 对函数图象的影响”这样的问题，为解决问题，部 分学生针对性地设计出函数组（如 y=2x+1，y=2x+2，y=2x-1；或 y=x+1，y=2x+1， y=-x+1 等），还有一些学生从解析式中猜想出了直线的上下平移关系，最终从不 同解法中总结出“b 的几何意义”. 因此，学生们不仅能够适应本课教学内容的调整，还能够从中表现出更强的 自主性，获得更高的能力提升空间. 三、教学目标设置 1. 教学目标 （1）会将数字系数的二次函数的表达式化为 y=a(x-h) 2+k(a≠0)的形式，并确定其 开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）经历从特殊到一般的研究过程，体会数与形的内在联系； （3）能利用二次函数的图象特征推测函数的性质，并利用二次函数的解析式对 其图象特征进行解释和判断； （4）感受数学的直观性、抽象性、严谨性，在方法迁移的过程中获得成功的体 验. 2. 教学重点、教学难点 教学重点：形如 y=ax2+bx(a≠0)的数字系数的二次函数的图象与性质. 教学难点：从解析式的角度对二次函数图象的对称性进行说理论证. 四、教学策略分析 1. 教学面临的问题 对本课而言，学生要掌握用配方的方法将数字系数的二次函数化为
二次函数的图象和性质(3)教学设计 y=a(xh)2+k(a≠0)的形式,这需要考虑以下问题: (1)在学生提出的研究思路中,y=ax2+bx(a40)和y=ax2+bx+c(a0)两种形式 的二次函数所使用的方法本质上是一样的,应当通过教学让学生意识到这种关系, 使知识融合为一体 (2)在研究以上两种形式的二次函数时,如果直接面对解析式,学生可能 在绘制图象时已经遇到障碍,根据描出的有限几个点确定不出顶点或对称轴的位 置,让代数变形的探究缺乏支撑 (3)由于本课所研究的问题有一定难度,容易让学生感觉枯燥,所以问题 情境的设计要尽量新颖、浅显,保护学生的积极性 2.教学方法的选择 本课主要采用了教师启发讲授和学生探究相结合的方法,包括教师的启发讲 授、提问、演示,以及学生的练习、展示、讨论等过程 3.教学情境的设计 为了让课堂更丰富,同时加强知识之间的联系,我将所研究的几个二次函数 用一个桥拱的情境串联起来,从图形入手,由浅入深地实现问题的引入、探究 推广和提升 如图是一座桥的抛物线形桥拱.当水面在BC时, 拱顶离水面的距离AD=2m,水面宽BC=2m. 问题1:请建立适当的平面直角坐标系,指出抛物线的 顶点坐标和对称轴,并求出此时拋物线的解析式(单B1D-C 位:m) 问题2:某同学算出桥拱的解析式是y=2x2+4x-2.你知道他是怎么建 立坐标系的吗? 问题3:在拱桥的问题中, (1)你发现y、卫、乃、y4的图象之间有什么联系? (2)如果以C为原点,直线BC为x轴,你能直接写出桥拱所在抛 物线的解析式吗? (3)在(2)的条件下,桥拱在水中的倒影y也是抛物线,你能直接 写出它的解析式吗?想一想,你的依据是什么 在问题1中,根据学生建系方式的不同,可以分别得到几类不同形式的二次 函数,这样就把几节课的知识巧妙地串联起来了.同时能够很快得出新形式的 次函数的对称轴和顶点坐标,为后面的探究确定了目标、 问题2在背景上看似问题1的延续,实则在思维上与问题1互逆,在方法上 北京市三帆中学陈立雪
4 二次函数的图象和性质（3）教学设计 北京市三帆中学 陈立雪 y=a(x-h) 2+k(a≠0)的形式，这需要考虑以下问题： （1）在学生提出的研究思路中，y=ax2+bx(a≠0)和 y=ax2+bx+c(a≠0)两种形式 的二次函数所使用的方法本质上是一样的，应当通过教学让学生意识到这种关系， 使知识融合为一体； （2）在研究以上两种形式的二次函数时，如果直接面对解析式，学生可能 在绘制图象时已经遇到障碍，根据描出的有限几个点确定不出顶点或对称轴的位 置，让代数变形的探究缺乏支撑； （3）由于本课所研究的问题有一定难度，容易让学生感觉枯燥，所以问题 情境的设计要尽量新颖、浅显，保护学生的积极性。 2. 教学方法的选择 本课主要采用了教师启发讲授和学生探究相结合的方法，包括教师的启发讲 授、提问、演示，以及学生的练习、展示、讨论等过程. 3. 教学情境的设计 为了让课堂更丰富，同时加强知识之间的联系，我将所研究的几个二次函数 用一个桥拱的情境串联起来，从图形入手，由浅入深地实现问题的引入、探究、 推广和提升. 如图是一座桥的抛物线形桥拱. 当水面在 BC 时， 拱顶离水面的距离 AD=2m，水面宽 BC=2m. 问题 1：请建立适当的平面直角坐标系，指出抛物线的 顶点坐标和对称轴，并求出此时抛物线的解析式. （单 位：m） 问题 2：某同学算出桥拱的解析式是 y4=-2x 2+4x-2. 你知道他是怎么建 立坐标系的吗？ 问题 3：在拱桥的问题中， （1）你发现 y1、y2、y3、y4 的图象之间有什么联系？ （2）如果以 C 为原点，直线 BC 为 x 轴，你能直接写出桥拱所在抛 物线的解析式吗？ （3）在（2）的条件下，桥拱在水中的倒影 y′也是抛物线，你能直接 写出它的解析式吗？想一想，你的依据是什么. 在问题 1 中，根据学生建系方式的不同，可以分别得到几类不同形式的二次 函数，这样就把几节课的知识巧妙地串联起来了. 同时能够很快得出新形式的二 次函数的对称轴和顶点坐标，为后面的探究确定了目标. 问题 2 在背景上看似问题 1 的延续，实则在思维上与问题 1 互逆，在方法上 2m 2m B D C A
二次函数的图象和性质(3)教学设计 又是问题1的推广,让研究的对象过渡为形如y=ax2+bx+c(a0)的二次函数,这 两种二次函数在形式上有差异,但知识间是有联系的,因而解决问题的方法是 样的 问题3留给学有余力的学生在课下探究,希望他们通过观察和思考,找到抛 物线位置和开口方向的决定因素,理解同一条抛物线在不同坐标系下所对应的不 同解析式之间的联系,其实这种联系是双向的:通过y的平移可以得出y、υ3 y的图象;从更高层面理解,y、、的性质本质上就是由y的性质得到的.随 着理解的深入,学生对这些知识的理解经历着由感性到理性的过程 如果去掉桥拱的问题背景,学生实际要研究的是以下三个二次函数: =-2x2+4x→ -2x2+4 →|y=2x2-3x 这三个二次函数在形式和方法上由易到难 函数υ3是由图象得解析式,便于探究规律,形成方法.函数y容易配方, 也较容易绘制出图象还可以由前一个函数y图象的平移得到这个函数的性质, 可以让学生在方法迁移的过程中体会知识之间的联系,并获得成功的体验.最后 通过研究函数y=2x2-3x-1,巩固本课所学方法,并梳理研究二次函数的方法和过 4.教学中的问题设计 本课教学中涉及到新方法的引入,研究过程中也会面临一些思维难题,因此, 针对教学中的某些环节,我通过设计启发性或阶梯性的问题来帮助学生突破难 (1)引入配方方法的三步引导 【环节2】探究求解 ①对y3=2x2+4x,求证:当x=1时ymax=2 在环节2中证明函数最值时,需要引导学生对解析式进行配方变形.由于本 章前几课时的研究中均没有出现配方,学生不容想到,所以需要给学生适当的引 导.在这里,我设计了三步引导来完成证明过程 第1步:联想y=ax2+c(a≠0)的情形 当a<0时顶点(0,C)是最高点,这是因为ax2<0,从而y=ax2+cc, 且当x=0时函数有最大值c,所以(0,c)是图象的最高点,这是利用了 x2的非负性,来确定函数的最值和取得最值的条件,同时确定图象的 最高或最低点 第2步:确定解析式的变形目标 若能够将解析式y3=2x2+4x也变形成y=aMP+N的形式,其中M 北京市三帆中学陈立雪
二次函数的图象和性质（3）教学设计 5 北京市三帆中学 陈立雪 又是问题 1 的推广，让研究的对象过渡为形如 y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数，这 两种二次函数在形式上有差异，但知识间是有联系的，因而解决问题的方法是一 样的. 问题 3 留给学有余力的学生在课下探究，希望他们通过观察和思考，找到抛 物线位置和开口方向的决定因素，理解同一条抛物线在不同坐标系下所对应的不 同解析式之间的联系，其实这种联系是双向的：通过 y1 的平移可以得出 y2、y3、 y4 的图象；从更高层面理解，y2、y3、y4 的性质本质上就是由 y1 的性质得到的. 随 着理解的深入，学生对这些知识的理解经历着由感性到理性的过程. 如果去掉桥拱的问题背景，学生实际要研究的是以下三个二次函数： y 2x 4x 2 3 = − + → 2 4 2 2 y4 = − x + x − → 2 3 1 2 y = x − x − 这三个二次函数在形式和方法上由易到难. 函数 y3 是由图象得解析式，便于探究规律，形成方法. 函数 y4 容易配方， 也较容易绘制出图象，还可以由前一个函数 y3 图象的平移得到这个函数的性质， 可以让学生在方法迁移的过程中体会知识之间的联系，并获得成功的体验. 最后 通过研究函数 y=2x 2 -3x-1，巩固本课所学方法，并梳理研究二次函数的方法和过 程. 4. 教学中的问题设计 本课教学中涉及到新方法的引入，研究过程中也会面临一些思维难题，因此， 针对教学中的某些环节，我通过设计启发性或阶梯性的问题来帮助学生突破难 点. （1）引入配方方法的三步引导 【环节 2】探究求解 ①对 y3=-2x 2+4x，求证：当 x=1 时 ymax=2. 在环节 2 中证明函数最值时，需要引导学生对解析式进行配方变形. 由于本 章前几课时的研究中均没有出现配方，学生不容想到，所以需要给学生适当的引 导. 在这里，我设计了三步引导来完成证明过程： 第 1 步：联想 y=ax2+c(a≠0)的情形 当 a<0 时顶点(0,c)是最高点，这是因为 ax2≤0，从而 y=ax2+c≤c， 且当 x=0 时函数有最大值 c，所以(0,c)是图象的最高点. 这是利用了 x 2 的非负性，来确定函数的最值和取得最值的条件，同时确定图象的 最高或最低点. 第 2 步：确定解析式的变形目标 若能够将解析式 y3=-2x 2+4x 也变形成 y=aM2+N 的形式，其中 M
二次函数的图象和性质(3)教学设计 是含x的式子、N是常数,那么就可以通过M的非负性求出函数取 得最大或最小值的条件 第3步:想到用配方的方法将解析式变形成需要的形式 其实,如果不做前两步分析,仍然会有部分学生想到使用配方的方法.但二 次函数存在最值,其本质是因为实数的平方具有非负性,所以我认为应该通过教 师的引导和分析使学生看到这层本质,而不是机械地使用配方的方法解题 (2)为研究函数对称性而设计的阶梯性问题 【环节2】探究求解 ③二次函数y=2x2+4x的对称性 对二次函数对称性的描述是本课的教学难点.除了前两课时教学中的适当 铺垫外,教学中我还设计了三个阶梯性问题,来帮助学生找到思路 第1问:你能从图象上找出一组对称点吗? 第2问:为什么说它们关于直线x=1对称?它们的橫坐标、纵坐标分 别有什么关系? 第3问:推广到一般情形,可以怎么证明函数的对称性?(换句话说, 这样的对称点可以怎么找出来? 通过第1问和第2问,学生已经可以总结出:关于直线x=1对称的两点M xu+x N,其坐标应该满足yM=yx,21.所以在第3问时学生的思路就顺畅多 了,在课堂上共提出了三种思路 思路1:在抛物线上找两点M、N,使y=y,证明此时 +xN= 思路2:在抛物线上取一点Mm,n),则它关于直线x=1的对称点为 N(2-m,n),证明点N也在拋物线上 思路3:对任意m>0,在抛物线上取M、N,使xM=1-m,xN=1+m,证 明此时yN 在高中必修1教材中,主要采用上面的思路3来论证二次函数的对称性,但 这里学生能够提出其它思路,主要是从前面的引导提问及阶段性结论中受到了启 5.教具的设计和使用 在教学设计过程中,我开发了教学ppt和几何画板课件 对预设中的问题,在pt课件中都有一定的准备.而对于课堂上可能出现的 预设外情况,则可以用交互性更强的几何画板课件进行演示 此外,在学生可能需要绘制函数图象的环节,我将几何画板课件设计为输入 北京市三帆中学陈立雪
6 二次函数的图象和性质（3）教学设计 北京市三帆中学 陈立雪 是含 x 的式子、N 是常数，那么就可以通过 M2 的非负性求出函数取 得最大或最小值的条件. 第 3 步：想到用配方的方法将解析式变形成需要的形式. 其实，如果不做前两步分析，仍然会有部分学生想到使用配方的方法. 但二 次函数存在最值，其本质是因为实数的平方具有非负性，所以我认为应该通过教 师的引导和分析使学生看到这层本质，而不是机械地使用配方的方法解题. （2）为研究函数对称性而设计的阶梯性问题 【环节 2】探究求解 ③二次函数 y3=-2x 2+4x 的对称性. 对二次函数对称性的描述是本课的教学难点. 除了前两课时教学中的适当 铺垫外，教学中我还设计了三个阶梯性问题，来帮助学生找到思路. 第 1 问：你能从图象上找出一组对称点吗？ 第 2 问：为什么说它们关于直线 x=1 对称？它们的横坐标、纵坐标分 别有什么关系？ 第 3 问：推广到一般情形，可以怎么证明函数的对称性？（换句话说， 这样的对称点可以怎么找出来？） 通过第 1 问和第 2 问，学生已经可以总结出：关于直线 x=1 对称的两点 M、 N，其坐标应该满足 1 2 , = + = M N M N x x y y . 所以在第 3 问时学生的思路就顺畅多 了，在课堂上共提出了三种思路. 思路 1：在抛物线上找两点 M、N，使 M N y = y ，证明此时 1 2 = M + N x x . 思路 2：在抛物线上取一点 M(m,n)，则它关于直线 x=1 的对称点为 N(2-m,n)，证明点 N 也在抛物线上. 思路 3：对任意 m>0，在抛物线上取 M、N，使 xM=1-m，xN=1+m，证 明此时 yM=yN. 在高中必修 1 教材中，主要采用上面的思路 3 来论证二次函数的对称性，但 这里学生能够提出其它思路，主要是从前面的引导提问及阶段性结论中受到了启 发. 5. 教具的设计和使用 在教学设计过程中，我开发了教学 ppt 和几何画板课件. 对预设中的问题，在 ppt 课件中都有一定的准备. 而对于课堂上可能出现的 预设外情况，则可以用交互性更强的几何画板课件进行演示. 此外，在学生可能需要绘制函数图象的环节，我将几何画板课件设计为输入
二次函数的图象和性质(3)教学设计 7 横坐标后自动计算出纵坐标,并描出对应的点.这样设计是为了在有限的时间内 更高效地展示出学生解决问题的不同思路,促进思维的碰撞 五、教学过程设计 为达到教学目标,我为本课设计了四个教学环节,教学流程如下: 【环节1】 通过桥拱的问题1,巩固已学过的两类特殊二次函 温故求新数的图象和性质,引出本课需要研究的问题 【环节2】 从图象入手,寻求解析式与图象特征之间的联系, 探究求解找到研究二次函数=+bx的方法 【环节3】通过桥拱的问题2,将研究方法推广到形如y=ax2+bx+c 推广迁移|的二次函数,体会知识和方法之间的联系 【环节4】 对研究函数的一般思路和方法进行总结,并布置作业 总结提升 温故求新 在前两节课,我们研究了形如y=ax2(a+0)和y=ax2+c(a40)的二次函数,其中 y=ax2又可以看做y=ax2+c当c=0时的特殊情形,而y=ax2+c则可以看做由y=ax 向上或向下平移得到 在研究中我们还了解到,二次函数的解析式和图象特征之间存在着对应关系 已知解析式可以得出对应图象的特点,反之,知道了图象的某些条件也可以求出 对应的解析式.请看下面的问题 如图是一座桥的拋物线形桥拱.当水面在BC时,拱顶离水面的 距离AD=2m,水面宽BC=2m 问题1:请建立适当的平面直角坐标系,指出抛物线的顶点坐标和对 称轴,并求出此时抛物线的解析式.(单位:m) 4 2m 2m 2r 分析与解:可以选取图中任意点作为坐标原点建系,求出的解析式各不相同 (选取有代表性的学生解答,投影展示,教师在黑板上画图以便总结、比较.) 北京市三帆中学陈立雪
二次函数的图象和性质（3）教学设计 7 北京市三帆中学 陈立雪 横坐标后自动计算出纵坐标，并描出对应的点. 这样设计是为了在有限的时间内 更高效地展示出学生解决问题的不同思路，促进思维的碰撞. 五、教学过程设计 为达到教学目标，我为本课设计了四个教学环节，教学流程如下： 1. 温故求新 在前两节课，我们研究了形如 y=ax2 (a≠0)和 y=ax2+c(a≠0)的二次函数，其中 y=ax2 又可以看做 y=ax2+c 当 c=0 时的特殊情形，而 y=ax2+c 则可以看做由 y=ax2 向上或向下平移得到. 在研究中我们还了解到，二次函数的解析式和图象特征之间存在着对应关系： 已知解析式可以得出对应图象的特点，反之，知道了图象的某些条件也可以求出 对应的解析式. 请看下面的问题. 如图是一座桥的抛物线形桥拱. 当水面在 BC 时，拱顶离水面的 距离 AD=2m，水面宽 BC=2m. 问题 1：请建立适当的平面直角坐标系，指出抛物线的顶点坐标和对 称轴，并求出此时抛物线的解析式. （单位：m） 分析与解：可以选取图中任意点作为坐标原点建系，求出的解析式各不相同. （选取有代表性的学生解答，投影展示，教师在黑板上画图以便总结、比较. ） 2m 2m B D C A A B C D 2m 2m 【环节 1】 温故求新 【环节 2】 探究求解 【环节 3】 推广迁移 【环节 4】 总结提升 通过桥拱的问题 1，巩固已学过的两类特殊二次函 数的图象和性质，引出本课需要研究的问题. 从图象入手，寻求解析式与图象特征之间的联系， 找到研究二次函数 y=ax2+bx 的方法. 通过桥拱的问题 2，将研究方法推广到形如 y=ax2+bx+c 的二次函数，体会知识和方法之间的联系. 对研究函数的一般思路和方法进行总结，并布置作业
二次函数的图象和性质(3)教学设计 解1:如图,以A为原点,以直线AD为y轴建立坐标系.则抛物线 顶点是A(00),对称轴是y轴,且经过B(-1,2)、C(1,-2),设抛物线为B y=ax2,解得a=2,所以y=2x2 解2:如图,以D为原点,以直线AD为y轴建立坐标系.则抛物线 顶点是A(0,2),对称轴是y轴,且经过B(-10)、C(1,0),设抛物线为 y2=ax2+c,解得y2=2x2+2 解3:如图,以B为原点,以直线BC为x轴建立坐标系.则顶点是 A(1,2),对称轴是直线x=1,且经过B(00),C(2,0)设抛物线为 y3=ax2+bx+c,解得y=2x2+4y 在前两种解法中,分别用到了形如y=ax2和y=ax2+c两类特殊二次函数的图 象来求解析式.反过来,对这两种特殊形式的二次函数,若知道了它们的解析式 也可找到顶点坐标和对称轴,并画出图象 而在第三种解法中,由图象知道了此时抛物线的顶点坐标为(1,2),对称轴是 直线x=1,并求出了解析式.可如果仅知道抛物线的解析式y3=2x2+4x,能否确 定出它的顶点坐标和对称轴呢? 【设计说明】 通过桥拱的问题1,复习已经学过的两类二次函数,并提出新形式的二次函 数—y=ax2+bx(a40) 在这个情境中,没有先给出函数解析式再绘图、研究,而是将同一条抛物线 放在不同的坐标系下求解析式,这样学生便于得到新函数的图象特征,为下一环 节的论证说理找到目标 2.探究求解 要研究这一问题,我们不妨先将这些图象特征转化为对应的代数特征,再寻 求它们与解析式之间的联系 (1)整理出抛物线y=-2x2+4x的开口方向、顶点坐标、对称轴、趋势等图 象特征 (2)根据图象的特征,描述出二次函数y=2x2+4x的对应性质 北京市三帆中学陈立雪
8 二次函数的图象和性质（3）教学设计 北京市三帆中学 陈立雪 解 1：如图，以 A 为原点，以直线 AD 为 y 轴建立坐标系. 则抛物线 顶点是 A(0,0)，对称轴是 y 轴，且经过 B(-1,-2)、C(1,-2)，设抛物线为 y1=ax2，解得 a=-2，所以 y1=-2x 2 . 解 2：如图，以 D 为原点，以直线 AD 为 y 轴建立坐标系. 则抛物线 顶点是 A(0,2)，对称轴是 y 轴，且经过 B(-1,0)、C(1,0)，设抛物线为 y2=ax2+c，解得 y2=-2x 2+2. 解 3：如图，以 B 为原点，以直线 BC 为 x 轴建立坐标系. 则顶点是 A(1,2)，对称轴是直线 x=1，且经过 B(0,0)，C(2,0). 设抛物线为 y3=ax2+bx+c，解得 y3=-2x 2+4x. 在前两种解法中，分别用到了形如 y=ax2 和 y=ax2+c 两类特殊二次函数的图 象来求解析式. 反过来，对这两种特殊形式的二次函数，若知道了它们的解析式 也可找到顶点坐标和对称轴，并画出图象. 而在第三种解法中，由图象知道了此时抛物线的顶点坐标为(1,2)，对称轴是 直线 x=1，并求出了解析式. 可如果仅知道抛物线的解析式 y3=-2x 2+4x，能否确 定出它的顶点坐标和对称轴呢？ 【设计说明】 通过桥拱的问题 1，复习已经学过的两类二次函数，并提出新形式的二次函 数——y=ax2+bx(a≠0). 在这个情境中，没有先给出函数解析式再绘图、研究，而是将同一条抛物线 放在不同的坐标系下求解析式，这样学生便于得到新函数的图象特征，为下一环 节的论证说理找到目标. 2. 探究求解 要研究这一问题，我们不妨先将这些图象特征转化为对应的代数特征，再寻 求它们与解析式之间的联系. （1）整理出抛物线 y3=-2x 2+4x 的开口方向、顶点坐标、对称轴、趋势等图 象特征. （2）根据图象的特征，描述出二次函数 y3=-2x 2+4x 的对应性质. x y B D C A x y B D C A x y B D C A
二次函数的图象和性质(3)教学设计 图象特征 函数性质 13=2x2+4x 开口 向下 方向 当x=1时ymax=2 最值 顶点 坐标 (1,2) 对称 ‖*对任意m>0,当自变量x分别对称 直线x=1 取1-m和1+m时,对应的函数 轴 值相等 在对称轴左侧图象从左到右 曲线上升 当x1时y随x增大而增大;增减 趋势在对称轴右侧图象从左到右当x1时y随x增大而减小 下降 (3)从解析式的角度对函数的性质进行论证 ①首先论证:当x=1时ymax=2 联想y=ax2+c(a:0)的情形:当a<0时顶点(0c)是最高点,这是因为ax2≤0, 从而y=ax2+c≤c,且当x=0时函数有最大值c,所以(0,c)是图象的最高点.这是利 用了x2的非负性,来确定函数的最值和取得最值的条件,同时确定图象的最高 或最低点 类似的,若能够将解析式y=2x2+4x也变形成y=aMP+N的形式,其中M是 含x的式子、N是常数,那么就可以通过M的非负性求出函数取得最大或最小 值的条件,确定图象的最高或最低点 这个过程与解一元二次方程时使用的配方法比较类似,不妨也试着对函数解 析式的二次项、一次项进行配方:y=2x2+4x=2(x2-2x)=-2(x2-2x+1)+2=2x-1)2+2, 由于(x-1)≥0,所以y3=2(x-1)2+2≤2,且当x=1时,函数有最大值2 ②其次来看这个函数的增减性.(说理) 由配方得到y3=-2(x-1)+2,所以(x-1)越大,y的值越小.因此,当x≤1时, x越小函数值越小,即y随x的增大而增大;当x1时,x越大函数值越小,即y 随x的增大而减小 ③最后来分析二次函数y3=2x2+4x的对称性 北京市三帆中学陈立雪
二次函数的图象和性质（3）教学设计 9 北京市三帆中学 陈立雪 图象特征 函数性质 y3=-2x 2+4x 开口 方向 向下 当 x=1 时 ymax=2. 最值 顶点 坐标 (1,2) 对称 轴 直线 x=1 *对任意 m>0，当自变量 x 分别 取 1-m 和 1+m 时，对应的函数 值相等. 对称 性 曲线 趋势 在对称轴左侧图象从左到右 上升； 在对称轴右侧图象从左到右 下降. 当 x≤1 时 y 随 x 增大而增大； 当 x>1 时 y 随 x 增大而减小. 增减 性 （3）从解析式的角度对函数的性质进行论证. ①首先论证：当 x=1 时 ymax=2. 联想 y=ax2+c(a≠0)的情形：当 a1 时，x 越大函数值越小，即 y 随 x 的增大而减小. ③最后来分析二次函数 y3=-2x 2+4x 的对称性. x y B D C A
10二次函数的图象和性质(3)教学设计 学生描述对称性时可能会遇到困难,需要有教师的几步引导并配合课件演示: (A找几组具体的对称点:(先从图象上具体的点入手,你能从图象上找出 组对称点吗?) (B)总结这些点的坐标特点.(为什么说它们关于直线x=1对称?它们的横坐 标、纵坐标分别有什么关系?) (C)推广到一般情形,可以怎么描述?(这样的对称点可以怎么找出来?) 当自变量分别取xM、x时,设对应的函数值分别为yMy 〖预案1〗从横坐标入手:可以从(1,0)点向左右等距离地取两个点,把它们的横 坐标作为自变量,来判断图象上对应点的纵坐标是否相等 对于任意实数m>0: 取xMF=1-m,则y=2(1-m2+4(1-m)=2m2+2 取xN=1+m,则y=2(1+m)2+4(1+m)=-2m2+2 (若将横坐标代入配方后的解析式,计算更简便.) 所以M,即点(1-myM)、(1+mJ)关于直线x=1对称,所以二次函数 y3=2x2+4x图象的对称轴是直线x=1 〖预案2〗从纵坐标入手:由于函数的最大值是2,可以在直线y=2下方画一条 平行于x轴的直线,这条直线与抛物线有两个交点,求出交点的横坐标,判断它 们到直线x=1的距离是否相等.比如:当y=1.5时,求出x=0.5,x2=1.5,它们到 直线x=1的距离都是0.5,是关于直线x=1对称的 令y=m,则:2x2+4xmn,)用配方法解:2(x1)=m2,(x1y=2-", 所以,当m2时,x12=1± n 关于直线x=1对称 〖预案3〗从图象上任意点入手,证明其对称点也在抛物线上 设Mmn)是抛物线上任意一点,则m=2m2+4m,作点M关于直线x=1的对 称点N,则N(2-m,n) 当x=2-m时,y=2(2-m)2+4(2-m)=-2m2+4m=n,所以N也在抛物线上,因此 图象的对称轴是直线x=1 小结:从上面的研究中会发现,在二次函数的主要性质中,对称轴、顶点坐标、 最值三者是相互关联的,只要确定了其中之一,就能够很快地说出函数的其它性 质.而对称轴和顶点是从函数的图象上得到的,最值则可以通过对解析式配方变 形求出来.所以,在研究形如y=ax2+bx的二次函数时,无论是先知道了图象,还 是先知道解析式,都可以推导出函数的性质 北京市三帆中学陈立雪
10 二次函数的图象和性质（3）教学设计 北京市三帆中学 陈立雪 学生描述对称性时可能会遇到困难，需要有教师的几步引导并配合课件演示： (A)找几组具体的对称点；（先从图象上具体的点入手，你能从图象上找出一 组对称点吗？） (B)总结这些点的坐标特点. （为什么说它们关于直线 x=1 对称？它们的横坐 标、纵坐标分别有什么关系？） (C)推广到一般情形，可以怎么描述？（这样的对称点可以怎么找出来？） 当自变量分别取 xM、xN 时，设对应的函数值分别为 yM、yN. 〖预案 1〗从横坐标入手：可以从(1,0)点向左右等距离地取两个点，把它们的横 坐标作为自变量，来判断图象上对应点的纵坐标是否相等. 对于任意实数 m>0： 取 xM=1-m，则 yM=-2(1-m) 2+4(1-m)=-2m2+2； 取 xN=1+m，则 yN=-2(1+m) 2+4(1+m)=-2m2+2. （若将横坐标代入配方后的解析式，计算更简便. ） 所以 yM=yN，即点(1-m,yM)、(1+m,yN)关于直线 x=1 对称，所以二次函数 y3=-2x 2+4x 图象的对称轴是直线 x=1. 〖预案 2〗从纵坐标入手：由于函数的最大值是 2，可以在直线 y=2 下方画一条 平行于 x 轴的直线，这条直线与抛物线有两个交点，求出交点的横坐标，判断它 们到直线 x=1 的距离是否相等. 比如：当 y=1.5 时，求出 x1=0.5，x2=1.5，它们到 直线 x=1 的距离都是 0.5，是关于直线 x=1 对称的. 令 y=n，则：-2x 2+4x=n，用配方法解：-2(x-1)2=n-2，(x-1)2= 2 2 − n ， 所以，当 n≤2 时， 2 2 1 1,2 n x − = ，关于直线 x=1 对称. 〖预案 3〗从图象上任意点入手，证明其对称点也在抛物线上. 设 M(m,n)是抛物线上任意一点，则 n=-2m2+4m，作点 M 关于直线 x=1 的对 称点 N，则 N(2-m,n). 当 x=2-m 时，y=-2(2-m) 2+4(2-m)=-2m2+4m=n，所以 N 也在抛物线上，因此 图象的对称轴是直线 x=1. 小结：从上面的研究中会发现，在二次函数的主要性质中，对称轴、顶点坐标、 最值三者是相互关联的，只要确定了其中之一，就能够很快地说出函数的其它性 质. 而对称轴和顶点是从函数的图象上得到的，最值则可以通过对解析式配方变 形求出来. 所以，在研究形如 y=ax2+bx 的二次函数时，无论是先知道了图象，还 是先知道解析式，都可以推导出函数的性质