白老 第5章Markov链 ●5.1基本概念 ·5.2状态的分类及性质 2/113 ·5.3极限定理及平稳分布 ·5.4 Markov链的应用 5.5连续时间Markov链 GoBack FullScreen Close Quit
2/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 15Ÿ MarkovÛ • 5.1 ƒ Vg • 5.2 G©a95ü • 5.3 4Žn9²©Ÿ • 5.4 MarkovÛA^ • 5.5 ÎYûmMarkovÛ
有一类随机过程，它具备所谓的“无后效性”(Markov'性)， 即要确定过程将来的状态，知道它此刻的情况就足够了， 并不需要对它以往状况的认识，这类过程称为Markov过 程.我们将介绍Markov过程中最简单的两种类型：离散时间 的Markov链（简称马氏链）及连续时间的Markov链， 3/113 GoBack FullScreen Close Quit
3/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit kòaëÅLßß߉§¢/Ã50(Markov5)ß =á(½LßÚ5Gßßdèú¹“v ß øÿIáÈß± G¹@£ß˘aLß°èMarkovL ß.·ÇÚ0 MarkovLß•Å{¸¸´a.µl—ûm MarkovÛ({°ÍºÛ)9ÎYûmMarkovÛ
§5.1 基本概念 $5.1.1 arkov链的定义及一些例子 定义5.1.1随机过程{Xn,n=0,1,2,·}称为Markov 链，若它只取有限或可列个值（若不另外说明，以非负整数 集{0,1,2，…}来表示)，并且对任意的n≥0，及任意状 态i,j,i0i1…,in-1,有 4/113 P{Xn+1=X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1,Xn= =P{Xn+1=jXn=i} (5.1.1) 其中Xn=表示过程在时刻n处于状态，称{0,1,2，·}为 该过程的状态空间，记为S.式(5.1.1)刻画了Markov链的 特性，称为arkov'性. GoBack FullScreen Close Quit
4/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §5.1 ƒ Vg §5.1.1 MarkovÛ½¬9ò ~f ½¬ 5.1.1 ëÅLß{Xn, n = 0, 1, 2, · · · }°èMarkov ÛßeßêkŽåáä(eÿ, `²ß±öKÍ 8{0, 1, 2, · · · }5L´)ßøÖÈ?ø n ≥ 0ß9?øG i, j, i0, i1 · · · , in−1ßk P{Xn+1 = j|X0 = i0, X1 = i1, · · · , Xn−1 = in−1, Xn = i} = P{Xn+1 = j|Xn = i} (5.1.1) Ÿ•Xn = iL´Lß3ûèn?uGiß°{0, 1, 2, · · · }è TLß GòmßPèS. ™(5.1.1)èx MarkovÛ A5ß°èMarkov5
定义5.1.2称(5.1.1)式中的条件概率P{Xn+1=Xn= i}为Markov链{Xn,n=0,1,2,·}的一步转移概率，简称 转移概率，记为p,它代表处于状态的过程下一步转移到 状态的概率. 一般情况下，转移概率与状态i,和时刻n有关 定义5.1.3当Markov链的转移概率p=P{Xn+1= Xn=}只与状态i,有关，而与n无关时，称之为时齐Markov 5/113 链；否则，就称之为非时齐的 在本书中，我们只讨论时齐Markov链，并且简称为Markov链 GoBack FullScreen Close Quit
5/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½¬ 5.1.2 °(5.1.1)™•^áV« P{Xn+1 = j|Xn = i}èMarkovÛ{Xn, n = 0, 1, 2, · · · }ò⁄=£V«ß{° =£V«ßPèpijßßìL?uGiLßeò⁄=£ GjV«. òÑú¹eß=£V«ÜGi, j⁄ûènk'. ½¬ 5.1.3 MarkovÛ=£V« pij = P{Xn+1 = j|Xn = i}êÜGi, jk'ß ÜnÃ'ûß°Éèû‡Markov Û¶ƒKß“°Éèöû‡. 3 ÷•ß·Çê?ÿû‡MarkovÛßøÖ{°èMarkovÛ
当Markov链的状态为有限时，称为有限链， 否则称为 无限链.但无论状态有限还是无限，我们都可以将p(亿，j∈ S)排成一个矩阵的形式，令 P00P01P02··: P=(pij)= P10P11P12··· (5.1.2) P20P21P22· 6/113 称P为转移概率矩阵，一般简称为转移矩阵.由于概率是非 负的，且过程必须转移到某个状态，所以容易看出P(⑦，j∈ S)有性质 (1)pi≥0，i,j∈S; (5.1.3) (2)∑jesP=1,i∈S. GoBack FullScreen Close Quit
6/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit MarkovÛGèkÅûß°èkÅÛ߃K°è ÃÅÛ.ÃÿGkÅÑ¥ÃÅß·Ç—å±Úpij(i, j ∈ S)¸§òá› /™ß- P = (pij) = p00 p01 p02 · · · p10 p11 p12 · · · p20 p21 p22 · · · ... ... ... ... (5.1.2) °Pè=£V«› ß òÑ{°è=£› .duV«¥ö KßÖLß7L=£,áGߧ±N¥w—pij(i, j ∈ S)k5ü (1) pij ≥ 0, i, j ∈ S; (2) P j∈S pij = 1, ∀i ∈ S. (5.1.3)
定义5.1.4称矩阵为随机矩阵，若矩阵元素具有(5.1.3) 式中两条性质. 易见随机矩阵每一行元素的和都为1. 例5.1.1（一个简单的疾病、死亡模型，Fix-Neyman) 考虑一个包含两个健康状态S1,S2以及两个死亡状态S3,S4 (即由不同原因引起的死亡)的模型若个体病愈，则认为它 处于状态S1,若它患病，说它处于S2,个体可以从S1,S2进 7/113 入S3和S4,易见这是一个马氏链的模型，转移矩阵为 P11P12P13P14 P P21P22P23P24 0010 0001 GoBack FullScreen Close Quit
7/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½¬ 5.1.4 °› èëÅ› ße› ɉk(5.1.3) ™•¸^5ü. ¥ÑëÅ› zò1É⁄—è1. ~ 5.1.1 (òá{¸;æ!k .ßFix-Neyman) ƒòáù¹¸áËxGS1, S2 ±9¸ák GS3, S4 (=dÿ”œ⁄Âk ) ..eáNæïßK@èß ?uGS1ßeßáæß`ß?uS2ßáNå±lS1,S2? \S3⁄S4ß¥Ñ˘¥òáÍºÛ .ß=£› è P = p11 p12 p13 p14 p21 p22 p23 p24 0 0 1 0 0 0 0 1
例5.1.2（赌徒的破产或称带吸收壁的随机游动）系统 的状态是0~，反映赌博者在赌博期间拥有的钱数，当他 输光或拥有钱数为时，赌博停止，否则他将持续赌博.每次 以概率p赢得1，以概率g=1-p输掉1.这个系统的转移矩 阵为 1000..000 q0p0.000 P 0q0p…000 8/113 三 0000·q0p 0000.001 (n+1)×(n+1) GoBack FullScreen Close Quit
8/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 5.1.2 (Ÿ‰ª½°ë·¬9ëÅiƒ) X⁄ G¥0 ∼ nßáNŸÆˆ3ŸÆœmPkaÍ߶ —1½PkaÍènûßŸÆ é߃K¶Ú±YŸÆ.zg ±V«pI1 ß±V«q = 1 − p—K1.˘áX⁄=£› è P = 1 0 0 0 · · · 0 0 0 q 0 p 0 · · · 0 0 0 0 q 0 p · · · 0 0 0 · · · · · · · · 0 0 0 0 · · · q 0 p 0 0 0 0 · · · 0 0 1 (n+1)×(n+1)
y 例5.1.3（带反射壁的随机游动)设上例中当赌博者输 光时将获得赞助1让他继续赌下去，就如同一个在直线上做 随机游动的球在到达左侧0点处就立刻反弹回1一样，这就是 一个一侧带有反射壁的随机游动.此时转移矩阵为 0100·000 q0p0·000 0q0p··000 P 三 ::: ::: 9/113 0000.·q0p 0000.001 (n+1)×(n+1) 同样可考虑两侧均有反射壁的情况 GoBack FullScreen Close Quit
9/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 5.1.3 (ëá9ëÅiƒ) ˛~•ŸÆˆ— 1ûÚº7œ14¶UYŸeß“X”òá3ÜDzâ ëÅiƒ•3àÜ˝0:?“·èá£1òߢ“¥ òáò˝ëká9ëÅiƒ.dû=£› è P = 0 1 0 0 · 0 0 0 q 0 p 0 · · · 0 0 0 0 q 0 p · · · 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 · · · q 0 p 0 0 0 0 · · · 0 0 1 (n+1)×(n+1) ”僸˝˛ká9ú¹
例5.1.4（自由随机游动）设一个球在全直线上做无限 制的随机游动，它的状态为0，士1，士2，·.它仍是一个Markov链 转移矩阵为 ..0g0 P 90p0.. 10/113 0 90p… GoBack FullScreen Close Quit
10/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 5.1.4 (gdëÅiƒ)òá•3 ÜDzâÃÅ õëÅiƒßßGè0, ±1, ±2, · · · .ßE¥òáMarkovÛß =£› è P = · · · · · · · · · · · · · · q 0 p 0 · · · · · · · · · 0 q 0 p · · · · · · ... ... ... · · · · · · q 0 p 0 · · · · · · · · · 0 q 0 p · · · · · · · · · · · · · ·
例5.1.5（图上的简单随机游动）设有一蚂蚁在如图5- 花 1上爬行，当两个结点相临时，蚂蚁将爬向它临近的一点， 并且爬向任何一个邻居的概率是相同的 11/113 则此Markov链的转移矩阵为 0 000 1-2 0 000 020 P= 44 44 001000 0000号 000010 GoBack FullScreen Close Quit
11/113 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 5.1.5 („˛{¸ëÅiƒ) kòȨ3X„5- 1˛˜1߸á(:ÉûßȨژïßCò:ß øÖ˜ï?¤òáÿV«¥É”. KdMarkovÛ=£› è P = 0 1 2 1 2 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 1 4 1 4 0 1 4 1 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0