中国人民大学：《应用随机过程 Applied Stochastic Processes》课程教学资源（课件讲稿）第3章 Poisson过程

CHUN 第3章Poisson过程 3.1 Poisson过程 ·3.2与Poisson过程相联系的若干分布 2/47 ·3.3 Poisson过程的推广 GoBack FullScreen Close Quit

2/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 13Ÿ PoissonLß • 3.1 PoissonLß • 3.2 ÜPoissonLßÉÈXeZ©Ÿ • 3.3 PoissonLßÌ2

y §3.1 Poisson过程的定义 定义3.1.1随机过程{N(t),t≥0}称为计数过程， 如果N(t)表示从时刻O到t某一特定事件A发生的次数，它具 备以下两个特点： (1)N(t)≥0且取值为整数； (2)s 0)的Poisson过程，如果 (1)N(0)=0; (2)过程有独立增量； GoBack FullScreen Close Quit

3/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §3.1 PoissonLß½¬ ½¬ 3.1.1 ëÅLß{N(t), t ≥ 0} °èOÍLßß XJN(t)L´lûè0t,òA½ØáAu)gÍß߉ ±e¸áA:µ (1) N(t) ≥ 0ÖäèÍ; (2) s 0)PoissonLßßXJ (1) N(0) = 0; (2) Lßk’·O˛;

(3)对任意的s,t≥0， 花 P(N(t+s)-N(s)n)=e-x(At)" m=0,1,2,·· n! 注：(1)Poisson过程是独立平稳增量的计数过程； (2)由于E[N(t)]=t,于是可认为λ是单位时间内发生的事 件的平均次数，故一般称入是Poisson过程的强度或速率. 例3.1.1(Poisson过程在排队论中的应用)在随机服 4/47 务系统中排队现象的研究中，经常用到Poisson过程模型， 例如，到达电话总机的呼叫数目，到达某服务设施的顾客数， 都可以用Poisson过程来描述，以某火车站售票处为例，设 从早上8：00开始，此售票处连续售票，乘客依10人/小时的 平均速率到达，则从9：00到10：00这1小时内最多有5名乘 客来此购票的概率是多少？从10：00-11：00没有人来买票的 GoBack FullScreen Close Quit

4/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit (3) È?øs, t ≥ 0, P(N(t + s) − N(s) = n) = e −λt(λt) n n! , n = 0, 1, 2, · · · 5µ(1)PoissonLߥ’·²­O˛OÍL߶ (2)duE[N(t)] = λt, u¥å@èλ¥¸†ûmSu)Ø á²˛gÍßòÑ°λ¥PoissonLßr›½Ñ«. ~ 3.1.1 (PoissonLß3¸Ëÿ•A^) 3ëÅ— ÷X⁄•¸ËyñÔƒ•ß²~^Poisson Lß.ß ~X,à>{oÅ
Í8ßà,—÷ñêÍß —å±^PoissonLß5£„ß±,ªê’»¶?è~ß l@˛8:00m©ßd»¶?ÎY»¶ß¶êù10</û ²˛Ñ«àßKl9:0010:00˘1ûSÅık5¶¶ ê5d ¶V«¥ıº l10:00-11:00vk<5Ô¶

概率是多少？ 我们用一个Poisson过程来描述.设8：00为0时刻，则9：00 为1时刻，参数入=10.由Poiss0n过程的平稳性知 P(W2)-V)≤5)=∑e0101 5 n! n=0 P(N(3)-N(2)=0)=e-10.1 0！ =e10 5/47 例3.1.2（事故发生次数与保险公司接到的索赔数） 若以N(t)表示某场所在(0，时间内发生不幸事故的数目， 则Poisson:过程就是{N(t),t≥0}的一种很好近似.例如， 保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故就导致一次索 赔)都是可以应用Poisson过程的模型。我们考虑一种最简 单情况，设保险公司每次的赔付都是1，每月平均接到索赔 GoBack 要求4次，则一年中它要付出的金额平均为多少？ FullScreen Close Quit

5/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit V«¥ıº ·Ç^òáPoissonLß5£„. 8:00è0ûè,K9:00 è1ûè,ÎÍλ = 10. dPoissonLß²­5 P(N(2) − N(1) ≤ 5) =X 5 n=0 e −10·1 (10 · 1)n n! , P(N(3) − N(2) = 0) = e −10 · (10)0 0! = e −10 . ~ 3.1.2 (Øu)gÍÜx˙i¢Í) e±N(t)L´,|§3 (0, t]ûmSu)ÿ3ØÍ8ß K PoissonLß“¥{N(t), t ≥ 0}ò´È–Cq. ~Xß x˙iÄû¶gÍ£ògØ“óòg¢ §—¥å±A^PoissonLß."·Çƒò´Å{ ¸ú¹ßx˙izgG—¥1ßz²˛¢ á¶4gßKòc•ßáG—7²˛èıº

设一年开始为0时刻，1月末为时刻1,2月末为时刻2， .··,则年末为时刻12 P(N(12)-N(0)=n)= (4×12)”e4×12 n! 均值 E[N(12)-N(0)]=4×12=48. 为什么实际中有这么多的现象可以用Poisson过程来反 6/47 映呢？其根据是小概率事件原理.我们在概率论的学习中 已经知道，Bernoulli试验中，每次试验成功的概率很小而 试验的次数很多时，二项分布会逼近Poisson分布.这一想法 很自然地推广到随机过程情况.比如上面提到的事故发生的 例子，在很短的时间内发生事故的概率是很小的，但假如考 虑很多个这样很短的时间的连接，事故的发生将会有一个大 GoBack 致稳定的速率，这很类似于Bernoulli试验以及二项分布逼 FullScreen Close Quit

6/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit òcm©è0ûèß1"èûè1ß2"èûè2ß · · · , Kc"èûè12 P(N(12) − N(0) = n) = (4 × 12)n n! e −4×12 . ˛ä E[N(12) − N(0)] = 4 × 12 = 48. èüo¢S•k˘oıyñå±^PoissonLß5á NQº Ÿä‚¥V«Øán. ·Ç3V«ÿÆS• ƲßBernoulli£•ßzg£§ıV«È £gÍÈıûßë©Ÿ¨%CPoisson©Ÿ.˘òé{ Èg,/Ì2ëÅLßú¹.'X˛°JØu) ~fß3È·ûmSu)ØV«¥ÈßbX ƒÈıá˘È·ûmÎßØu)Ú¨kòáå ó­½Ñ«ß˘ÈaquBernoulli£±9ë©Ÿ%

y 近Poisson分布时的假定！ Poisson过程的另一等价定义： 定义3.1.3设{N(t),t≥0是一个计数过程，若满足 (1)'N(0)=0: (2)'过程有平稳独立增量； (3)存在入>0，当h↓0时 7/47 P(N(t+h)-N(t)=1)=λh+o(h); (4)′当h↓0时， P(N(t+h)-N(t)2)=o(h). 则称{N(t),t≥0为Poisson过程. 事实上，把[0，划分为个相等的时间区间，则由条 GoBack 件(4)'可知，当→∞时，在每个小区间内事件发生两 FullScreen Close Quit

7/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit CPoisson©Ÿûb½. PoissonLß,òd½¬: ½¬ 3.1.3 {N(t), t ≥ 0}¥òáOÍLßße˜v (1)0 N(0) = 0¶ (2)0 Lßk²­’·O˛¶ (3)0 3λ > 0, h ↓ 0û P(N(t + h) − N(t) = 1) = λh + o(h); (4)0 h ↓ 0ûß P(N(t + h) − N(t) ≥ 2) = o(h). K°{N(t), t ≥ 0}èPoissonLß. Ø¢˛ßr[0, t]y©ènáÉûm´mßKd^ á(4)0åßn → ∞ûß3zá´mSØáu)¸

次或两次以上的概率趋于0，因此，事件发生一次的概率 p≈（显然会很小），事件不发生的概率为1-p≈1-入， 这恰好是一次Bernoulli试验.其中事件发生一次即为试验 成功，不发生即为失败，再由条件(2)'给出的平稳独立增量 性，N(t)就相当于n次独立Bernoulli试验中试验成功的总 次数，由Poisson分布的二项分布逼近可知N(t)将服从参 数为入t的Poisson分布. 8/47 Poisson过程两定义等价的严格的数学证明： 定理3.1.1满足上述条件(1)'-(4)/的计数过程{N(t),t≥ 0}是Poisson过程，反过来Poisson过程一定满足这4个条 件. 证明：设计数过程{N(t),t≥0}满足条件(1)'~(4)'， GoBack 现证明它是Poisson过程.可以看到，其实只需验证N(t)服从 FullScreen Close Quit

8/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit g½¸g±˛V«™u0ßœdßØáu)ògV« p ≈ λ t n (w,p¨È)ßØáÿu)V«è 1−p ≈ 1−λ t nß ˘T–¥ògBernoulli £.Ÿ•Øáu)òg=è£ §ıßÿu)=èî}ß2d^á(2)0â—²­’·O˛ 5ßN(t)“Éung’·Bernoulli £•£§ıo gÍßdPoisson ©Ÿë©Ÿ%CåN(t)Ú—lÎ ÍèλtPoisson©Ÿ. PoissonL߸½¬dÓÇÍÆy²: ½n 3.1.1 ˜v˛„^á(1)0−(4)0OÍLß{N(t), t ≥ 0}¥PoissonLßßáL5Poisson Lßò½˜v˘4á^ á. y²µOÍLß{N(t), t ≥ 0}˜v^á(1)0 ∼ (4)0 , yy²ß¥PoissonLß. å±w,Ÿ¢êIyN(t)—l

参数为t的Poisson分布即可.记 液 Pn(t)=P(N(t)=n),n=0,1,2. P(h)=P(N(h)≥1) =P(h)+P2(h)+… =1-P(h) 9/47 Po(t+h)=P(N(t+h)=0) =P(N(t+h)-N(t)=0,N(t)=0) =P(N(t)=0)P(N(t+h)-N(t)=O) =Po(t)Po(h) =P(t)(1-λh+o(h)(条件(3)'，(4))· GoBack FullScreen Close Quit

9/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ÎÍèλtPoisson©Ÿ=å. P Pn(t) = P(N(t) = n), n = 0, 1, 2 · · · P(h) = P(N(h) ≥ 1) = P1(h) + P2(h) + · · · = 1 − P0(h) P0(t + h) = P(N(t + h) = 0) = P(N(t + h) − N(t) = 0, N(t) = 0) = P(N(t) = 0)P(N(t + h) − N(t) = 0) = P0(t)P0(h) = P0(t)(1 − λh + o(h))£^á(3)0 , (4)0§

因此 Po(t+h)-Po( 2=-Ae+o, 液 h 令h→0，得 P(t)=-入Po(t) 解此微分方程，得 Po(t)=Ke-Ni, 10/47 其中K为常数.由P(O)=P(N(0)=0)=1得K=1,故 Po(t)=e-At. GoBack FullScreen Close Quit

10/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit œd P0(t + h) − P0(t) h = −λP0(t) + o(h) h , -h → 0ß P 0 0 (t) = −λP0(t). )dá©êß,  P0(t) = Ke−λt , Ÿ•Kè~Í. dP0(0) = P(N(0) = 0) = 1K = 1ß P0(t) = e −λt

同理，当n≥1时，有 液 Pn(t+h)=P(N(t+h)=n) =P(N(t)=n,N(t+h)-N(t)=0) +P(N(t)=n-1,N(t+h)-N(t)=1) +P(N(t+h)=n,N(t+h)-N(t)=2) =Pn(t)Po(h)+Pn-1(t).Pi(h)+o(h) 11/47 =(1-Xh)Pn(t)+XhPn-1(t)+o(h). 于是 Pn.(t+h)-Pn(t) h =-入Pn(t)+λPn-1(t)+o(h), 令h→0得 P(t)=-λPn(t)+入Pn-1(t) GoBack FullScreen Close Quit

11/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ”nßn ≥ 1ûßk Pn(t + h) = P(N(t + h) = n) = P(N(t) = n, N(t + h) − N(t) = 0) +P(N(t) = n − 1, N(t + h) − N(t) = 1) +P(N(t + h) = n, N(t + h) − N(t) ≥ 2) = Pn(t)P0(h) + Pn−1(t) · P1(h) + o(h) = (1 − λh)Pn(t) + λhPn−1(t) + o(h). u¥ Pn(t + h) − Pn(t) h = −λPn(t) + λPn−1(t) + o(h), -h → 0 P 0 n (t) = −λPn(t) + λPn−1(t)