白老 第10章随机过程在保险精算中的 应用 ●810.1基本概念 2/100 ●S10.2经典破产理论介绍 GoBack FullScreen Close Quit
2/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 110Ÿ ëÅLß3x°é• A^ • § 10.1 ƒ Vg • § 10.2 ²;ªnÿ0
§10.1 基本概念 花 本节首先引入保险精算中的一些基本概念。 定义10.1.1复利计算期与基本的时间单位不一致产 生了利率的名不副实。将原来规定的结算多次的利率称为名 义利率，以m)表示，m表示结算次数，表示实际年利率， 3/100 则有名义利率与实际利率之间的关系式： 1+i=1+20m m GoBack FullScreen Close Quit
3/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §10.1 ƒ Vg !ƒk⁄\x°é•ò ƒ Vg" ½¬ 10.1.1 E|OéœÜƒ ûm¸†ÿòó ) |«¶ÿB¢"Ú55½(éıg|«°è¶ ¬|«ß± i (m)L´ßmL´(égÍßiL´¢Sc|«ß Kk¶¬|«Ü¢S|«Ém'X™µ 1 + i = [1 + i (m) m ] m
定义10.1.2若将应在未来某时期支付的金额提前到 现在支付，则支付额中应扣除的分金额称为贴现额，单位 货币在单位时间内的贴现额称为贴现率。贴现与利息的区别 在于出发点不一样，利息是在本金基础上的增加额，贴现则 是在累积额基础上的减少额。 同名义利率的定义类似，将原来规定的结算多次的贴现率称 为名义贴现率，以dm表示，m表示结算次数，d表示实际贴 4/100 现率，则有名义贴现率与实际贴现率之间的关系式： I-d=11 m GoBack FullScreen Close Quit
4/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½¬ 10.1.2 eÚA3ô5,ûœ|G7Jc y3|GßK|G•Aûÿ‹©7°èby߸† ¿13¸†ûmSby°èby«"byÜ|E´O 3u—u:ÿòß|E¥3 7ƒ:˛O\ßbyK ¥3\»ƒ:˛~" ”¶¬|«½¬aqßÚ55½(éıgby«° 趬by«ß±d mL´ßmL´(égÍßdL´¢Sb y«ßKk¶¬by«Ü¢Sby«Ém'X™µ 1 − d = [1 − d (m) m ] m
定义10.1.3对名义利率来说，当结算次数m趋近于 无穷大时，可以确切地表示某个时点上的利率水平，称之为 利息力，定义为： 6=lim u(m)=lim m[(1+-1]=lim (1+)责-(1+)0 m→oo m→oo 1/m 即为函数(1+)在t=0处的导数，即 5/100 6=ln(1+) GoBack FullScreen Close Quit
5/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½¬ 10.1.3 ȶ¬|«5`ß(égÍm™Cu ðåûßå±(É/L´,áû:˛|«Y²ß°Éè |EÂß½¬èµ δ = lim m→∞ u (m) = lim m→∞ m[(1+i) 1 m−1] = lim m→∞ (1 + i) 1 m − (1 + i) 0 1/m =èºÍ(1 + i) t3t = 0?Íß= δ = ln(1 + i)
§10.2 经典破产理论介绍 花 破产论的研究起源于瑞典精算师Lundberg在1903年 发表的博士论文，但他的工作不符合现代数学的严格标准， 以Cramer为首的瑞典学派将Lundberg的工作奠定在坚实 的数学基础之上，同时发展了严格的随机过程理论。本节将 6/100 介绍Lundberg-Cramer经典破产模型（简称L-C模型）。 GoBack FullScreen Close Quit
6/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §10.2 ²;ªnÿ0 ªÿԃ ua;°éìLundberg31903c uLƨÿ©ß¶ÛäÿŒ‹yìÍÆÓÇIOß ±Cramer èƒa;ÆÚLundbergÛäC½3j¢ Íƃ:ɲߔûu– ÓÇëÅLßnÿ" !Ú 0 Lundberg-Cramer ²;ª .£{°L-C .§"
10.2.1破产问题的描述 首先我们假设索赔额模型为复合Poisson过程，具体定 义如下。 定义10.2.1 Lundberg-Cramer经典破产模型： 设保险公司在时刻t的盈余(surplus)可表示为 7/100 N(t) U(t)=u+ct-∑Xk,t≥0 (10.2.1) 1 其中u是初始资本，c是保险公司单位时间征收的保险费率， Xk,k=1,2,..表示第k次索赔额，N(t)表示到时刻t发 生的索赔次数，即∑9X表示到时刻为止的累积索赔金 额。 GoBack FullScreen Close Quit
7/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 10.2.1 ªØK£„ ƒk·Çb¢ .èE‹PoissonLß߉N½ ¬Xe" ½¬ 10.2.1 Lundberg-Cramer²;ª .µ x˙i3ûètJ{(surplus)åL´è U(t) = u + ct − X N(t) 1 Xk, t ≥ 0 (10.2.1) Ÿ•u¥–©] ,c¥x˙i¸†ûm¬x§«, Xk, k = 1, 2, . . . L´1kg¢ßN(t)L´ûèt u )¢gÍß= PN(t) k=1 XkL´ûètèé\»¢7 "
y {Xk,k≥1}是恒正的独立同分布随机变量序列，记F(x)= P(X1≤x),x≥0，h=EX1=J[1-F(x)]dx: {N(t),t≥0}是参数为入（入>0）的Poisson过程，且与 {Xk,k≥1相互独立. 由模型的独立性假定有 E[S(t)]=E[N(t)]E[X]=入tμ 8/100 保险公司为运作上的安全，要求 ct-E[S(t)]=(c-λ)t>0,t≥0. 令 c=(1+0)4 (10.2.2) 其中0>0，称为相对安全负载(relative security load- GoBack ing).盈余过程的一条样本路径： FullScreen Close Quit
8/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit {Xk, k ≥ 1}¥ð’·”©ŸëÅC˛SßPF(x) = P(X1 ≤ x), ∀x ≥ 0, µ = EX1 = R ∞ 0 [1 − F(x)]dx¶ {N(t), t ≥ 0}¥ÎÍèλ (λ > 0)PoissonLß, ÖÜ {Xk, k ≥ 1}Ép’·. d .’·5b½k E[S(t)] = E[N(t)]E[X1] = λtµ x˙iè$ä˛S ßᶠct − E[S(t)] = (c − λµ)t > 0, t ≥ 0. - c = (1 + θ)λµ (10.2.2) Ÿ•θ > 0, °èÉÈS K1(relative security loading). J{Lßò^ ¥ª:
花 由泊松过程具有平稳独立增量以及L-C模型的独立性假 9/100 定知{ct-S(t),t≥0}为平稳独立增量过程.于是由强大数 定律得 lim U(t)=+0o, a.5. t→00 但这并不能排除在某一瞬时，盈余过程可能取负值，这时称 保险公司“破产”，称 GoBack T=inf{t:U(t)<0},inf=+ (10.2.3) FullScreen Close Quit
9/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit d—tL߉k²’·O˛±9L-C .’·5b ½{ct − S(t), t ≥ 0}è²’·O˛Lß. u¥dråÍ ½Æ lim t→∞ U(t) = +∞, a.s. ˘øÿU¸ÿ3,ò]ûßJ{LßåUKäߢû° x˙i“ª”, ° T = inf{t : U(t) < 0}, inf φ = +∞ (10.2.3)
y 为破产时刻.所以Lundberg-Cramer研究的是保险公司 最终破产的概率 Ψ(u)=P(T<olU(0)=u)u≥0 (10.2.4) 简称为破产概率.破产概率可以作为评价保险公司偿付能力 的一个重要数量指标。记 R(u)=1-亚(u)=P{U(t)≥0U(0)=u} (10.2.5) 10/100 则它表示初始盈余为时保险公司永不破产的概率，也称为 生存概率。 以下我们的工作就是分析破产概率亚(u)和生存概率R(u)。 GoBack FullScreen Close Quit
10/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit èªûè. §± Lundberg-Cram`erÔƒ¥x˙i Å™ªV« Ψ(u) = P(T < ∞|U(0) = u), u ≥ 0 (10.2.4) {°èªV«.ªV«å±äèµdx˙iÄGU òááͲçI"P R(u) = 1 − Ψ(u) = P{U(t) ≥ 0|U(0) = u} (10.2.5) KßL´–©J{èuûx˙i[ÿªV«ßè°è )V«" ±e·ÇÛä“¥©¤ªV«Ψ(u)⁄)V«R(u)"
10.2.2调节系数与Lundberg不等式 花 我们引入调节系数的概念，并利用调节系数得到破产概 率的一个上界。 定义10.2.2假设单次索赔额的矩母函数 ox=Be-eae=1+re0 (10.2.6) 11/100 至少在包含原点的某个邻域内存在.其次，要求方程 x()=1+r=1+(1+0)μr C (10.2.7)） 存在正解，记为R,称为调节系数。 GoBack FullScreen Close Quit
11/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 10.2.2 N!XÍÜLundbergÿ ™ ·Ç⁄\N!XÍVgßø|^N!XͪV «òá˛." ½¬ 10.2.2 b¸g¢›1ºÍ φX(r) = E(e rX) = Z ∞ 0 e rxdF(x) = 1+r Z ∞ 0 e rx[1−F(x)]dx (10.2.6) ñ3ù¹:,áçS3. Ÿgßá¶êß φX(r) = 1 + c λ r = 1 + (1 + θ)µr (10.2.7) 3)ßPèRß°èN!XÍ"