中国人民大学：《应用随机过程 Applied Stochastic Processes》课程教学资源（课件讲稿）第2章 随机过程的基本概念和类型

第2章随机过程的基本概念与类型 ·2.1基本概念 2/28 2.2有限维分布与Kolmogorov定理 ·2.3随机过程的基本类型 GoBack FullScreen Close Quit

2/28 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 12Ÿ ëÅL߃VgÜa. • 2.1 ƒVg • 2.2 kÅë©ŸÜKolmogorov½n • 2.3 ëÅL߃a

82.1 基本概念 定义2.1.1随机过程是概率空间(2，F,P)上的一族 随机变量{X(t),t∈T},其中t是参数，它属于某个指标 集T,T称为参数集. 注： ●当T={0,1,2,…}时称之为随机序列或时间序列 3/28 ●随机过程{X(t,w),t∈T,w∈2}是定义在T×2上的二 元函数 ·参数空间T是向量集合时，随机过程{X(t),v∈T称为 随机场 随机过程的分类：(1)X(t)表示系统在时刻t所处的状 态. GoBack FullScreen Close Quit

3/28 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §2.1 ƒVg ½¬ 2.1.1 ëÅLߥV«òm(Ω, F, P)˛òx ëÅC˛{X(t), t ∈ T}ߟ•t¥ÎÍßß·u,áçI 8T, T°èÎÍ8. 5µ • T = {0, 1, 2, · · · } û°ÉèëÅS½ûmS. • ëÅLß{X(t, ω), t ∈ T, ω ∈ Ω}¥½¬3T × Ω˛ ºÍ. • ÎÍòmT ¥ï˛8‹ûßëÅLß{X(t), v ∈ T}°è ëÅ|. ëÅLß©a: £1§X(t)L´X⁄3ûèt§?G .

(2)X(t)的所有可能状态构成的集合为状态空间，记为S. (3)依照状态空间可分为连续状态和离散状态； (4)依照参数集，可分为离散参数过程和连续参数过程 4/28 注：一般如果不作说明都认为状态空间是实数集R或R的 子集。 例2.1.1（随机游动）一个醉汉在路上行走，以概 率p前进一步，以概率1一p后退一步（假定其步长相同） 以X(t)记他在路上的位置，则X(t)就是直线上的随机游动， 例2.1.2(Brown运动)英国植物学家Brown注意到 GoBack FullScreen Close Quit

4/28 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit £2§X(t)§kåUG§8‹èGòmßPèS. £3§ùÏGòmå©èÎYG⁄l—G¶ £4§ùÏÎÍ8ßå©èl—ÎÍLß⁄ÎYÎÍLß. 5µòÑXJÿä`²—@èGòm¥¢Í8R½R f8. ~ 2.1.1 £ëÅiƒ§òáÄ«3¥˛1rß±V «pc?ò⁄ß±V«1 − p￾Úò⁄£b½Ÿ⁄É”§. ±X(t)P¶3¥˛†òßKX(t)“¥ÜDzëÅiƒ. ~ 2.1.2 (Brown$ƒ) =Iá‘Æ[Brown5ø

飘浮在液面上的微小粒子不断进行无规则的运动，这种运 动后来称为Brown运动.它是分子大量随机碰撞的结果.若 记(X(t),Y(t)为粒子在平面坐标上的位置，则它是平面上 的Brown运动. 例2.1.3 (排队模型)顾客来到服务站要求服务，当 服务站中的服务员都忙碌，即服务员都在为别的顾客服 务时，来到的顾客就要排队等候.顾客的到来、每个顾客 5/28 所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t时刻 的队长，用Y(t)表示t时刻到来的顾客所需的等待时间， 则{X(t),t∈T},{Y(t),t∈T}都是随机过程. GoBack FullScreen Close Quit

5/28 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit £23ó°˛á‚fÿ‰?1Ã5K$ƒ, ˘´$ ƒ￾5°èBrown$ƒ. ߥ©få˛ëÅ-E(J.e P(X(t), Y (t))è‚f3²°ãI˛†òßKߥ²°˛ Brown$ƒ. ~ 2.1.3 £¸Ë.§ê5—÷’ᶗ÷.  —÷’•—÷ —a²ß=—÷ —3èOê— ÷ûß5ê“á¸Ëˇ. ê5!záê §I—÷ûm—¥ëÅߧ±XJ^X(t)L´tûè Ëß^ Y (t)L´tûè5ê§Iñûmß K{X(t), t ∈ T}, {Y (t), t ∈ T}—¥ëÅLß.

§2.2 有限维分布与Kolmogorov.定理 花 定义2.2.1对任意有限个t1,·,tn∈T,定义随机过 程的n维分布，，tn(c1,·,xn): ,,tn(c1,…,cn）=P(X(t1)≤c1,·,X(tn)≤xn. 随机过程的所有的一维分布，二维分布，··，维分布等等 6/28 的全体 {F,tn(c1,…,xn),t,…,tn∈T,n≥1} 称为随机过程{X(t),t∈T}的有限分布族 注：知道了随机过程的有限维分布就知道了{X(t),t∈ T}中任意个随机变量的联合分布.也就掌握了这些随机变 GoBack 量之间的相互依赖关系， FullScreen Close Quit

6/28 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §2.2 kÅë©ŸÜKolmogorov½n ½¬ 2.2.1 È?økÅát1, · · · , tn ∈ Tß½¬ëÅL ßnë©Ÿ Ft1,··· ,tn (x1, · · · , xn)µ Ft1,··· ,tn (x1, · · · , xn) = P(X(t1) ≤ x1, · · · , X(tn) ≤ xn). ëÅLߧkòë©Ÿßë©Ÿß· · · , në©Ÿ N {Ft1,··· ,tn (x1, · · · , xn), t1, · · · , tn ∈ T, n ≥ 1} °èëÅLß{X(t), t ∈ T}kÅ©Ÿx. 5µ ëÅLßkÅë©Ÿ“ {X(t), t ∈ T}•?ønáëÅC˛È‹©Ÿ. è“›º ˘ ëÅC ˛ÉmÉpù6'X

分布族的性质：(1)对称性 对(1,2，·，n)的任一排列(1,2，·，jn),有 F16n（(c,…,Cn） =P(X(t)≤x,…,X(tn)≤xn) =P(X(t)≤ct,·,X(tn)≤xtn) =f,…tn(c1,…,cn). 7/28 (2)相容性 对于m<n,有 ,…,tm,tm+l,…tn(c1,…,xm,0o,…,∞）=F,…,tn(c1,·,cm）. 定理2.2.1设分布函数族{F1,…,tn(c1,·,xn),t1,·,tn∈ T,n≥1}满足上述的对称性和相容性，则必存在一个随机 GoBack FullScreen Close Quit

7/28 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ©Ÿx5ü: (1) È°5 È (1, 2, · · · , n)?ò¸(j1, j2, · · · , jn)ßk Ftj1 ,··· ,tjn (xj1 , · · · , xjn ) = P(X(tj1 ) ≤ xj1 , · · · , X(tjn ) ≤ xjn ) = P(X(t1) ≤ xt1 , · · · , X(tn) ≤ xtn ) = Ft1,··· ,tn (x1, · · · , xn). (2) ÉN5 Èu m < nßk Ft1,··· ,tm,tm+1,···tn (x1, · · · , xm, ∞, · · · , ∞) = Ft1,··· ,tm(x1, · · · , xm). ½n 2.2.1 ©ŸºÍx{Ft1,··· ,tn (x1, · · · , xn), t1, · · · , tn ∈ T, n ≥ 1} ˜v˛„È°5⁄ÉN5ßK73òáëÅ

过程{X(t),t∈T},使 {F,…,tn(x1,…,xn),t1,…,tn∈T,n≥1} 恰好是{X(t),t∈T}的有限维分布族. 注：随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征 的完整描述，它是证明随机过程存在性的有力工具.但是在实 际问题中，要知道随机过程的全部有限维分布是不可能的， 8/28 因此，人们想到了用随机过程的某些数字特征来刻画随机过 程. 定义2.2.2设{X(t),t∈T是一随机过程. (1)称X(t)的期望x(t)=E[X(t)]为过程的均值函 数（如果存在的话）： (2)如果t∈T,E[X2(t)]存在，则称随机过程{X(t),t∈ GoBack FullScreen Close Quit

8/28 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit Lß{X(t), t ∈ T}߶ {Ft1,··· ,tn (x1, · · · , xn), t1, · · · , tn ∈ T, n ≥ 1} T–¥{X(t), t ∈ T}kÅë©Ÿx. 5µëÅLßkÅë©ŸºÍx¥ëÅLßV«A £„,ߥy²ëÅLß35kÂÛ‰.¥3¢ SØK•ßáëÅLß‹kÅë©Ÿ¥ÿåUß œdß<Çé ^ëÅLß, ÍiA5èxëÅL ß. ½¬ 2.2.2 {X(t), t ∈ T}¥òëÅLß. (1) °X(t)œ" µX(t) = E[X(t)]èLß˛äº Í(XJ3{). (2)XJ∀t ∈ T, E[X2 (t)]3ßK°ëÅLß{X(t), t ∈

T}为二阶矩过程 此时，称函数Y(t1,t2)=E[(X(t1)-ux(t1)(X(t2)-ux(t2)], t1,t2毛 T为过程的协方差函数；称Var[X(t)=Y(t,t)为过程的方 差函数；称Rx(s,t)=EX(s)X(t)],s,t∈T为自相关函 数. 由Schwartz不等式知，二阶矩过程的协方差函数和自相 关函数存在，且有Yx(s,t)=Rx(s,t)-ux(s)ux(t): 9/28 例2.2.1X(t)=Xo+tV,a≤t≤b,其中Xo和V是 相互独立且服从N(0,1)分布的随机变量. 注：易知X(t)服从正态分布，且X(t),·,X(t)也是n维 正态分布.所以只要知道它的一阶矩和二阶矩就完全确定了 GoBack FullScreen Close Quit

9/28 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit T} è›Lß. dûß°ºÍγ(t1, t2) = E[(X(t1)−µX(t1))(X(t2)−µX(t2))], t1, t2 ∈ T èLßêºÍ¶°V ar[X(t)] = γ(t, t)èLßê ºÍ¶°RX(s, t) = E[X(s)X(t)], s, t ∈ T ègÉ'º Í. dSchwartzÿ™ß›LßêºÍ⁄gÉ 'ºÍ3ßÖk γX(s, t) = RX(s, t) − µX(s)µX(t). ~ 2.2.1 X(t) = X0 + tV, a ≤ t ≤ b, Ÿ•X0⁄V ¥ Ép’·Ö—lN(0, 1)©ŸëÅC˛. 5µ¥X(t)—l©ŸßÖX(t1), · · · , X(tn)è¥në ©Ÿ. §±êáßò›⁄›“(½

它的分布 液 ux(t)=E[X (t)]=E(Xo+tV)=EXo+tEV=0 Y(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[(Xo+tiv)(Xo+t2V)] =E[X]+t1t2E[V]=1+tt2. 10/28 GoBack FullScreen Close Quit

10/28 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ß©Ÿ. µX(t) = E[X(t)] = E(X0 + tV ) = EX0 + tEV = 0 γ(t1, t2) = E[X(t1)X(t2)] = E[(X0 + t1V )(X0 + t2V )] = E[X2 0 ] + t1t2E[V 2 ] = 1 + t1t2

§2.3 随机过程的基本类型 花 $2.3.1 平稳过程 定义2.3.1如果随机过程{X(t),t∈T对任意的t1,·,tn∈ T和任意的h(使得t,+h∈T)有， (X(t+h),·,X(tn+h)与(X(t),·,X(tn)具有相同 的联合分布，记为 11/28 (X(t+h),…,X(tn+h)(X(t1),…,X(tn)(2.3.1) 则称{X(t),t∈T}为严平稳的. 定义2.3.2如果随机过程X(t)的所有二阶矩都存在， 并且均值函数E[X(t)]=以，协方差函数Y(t,s)只与时间差t- s有关，则称{X(t),t∈T}为宽平稳过程或二阶平稳过程. GoBack FullScreen Close Quit

11/28 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §2.3 ëÅL߃a. §2.3.1 ²­Lß ½¬ 2.3.1 XJëÅLß{X(t), t ∈ T}È?øt1, · · · , tn ∈ T⁄?øh(¶ti + h ∈ T)kß (X(t1 + h), · · · , X(tn + h))Ü (X(t1), · · · , X(tn))‰kÉ” È‹©ŸßPè (X(t1+h), · · · , X(tn+h)) d= (X(t1), · · · , X(tn)) (2.3.1) K°{X(t), t ∈ T}èÓ²­. ½¬ 2.3.2 XJëÅLßX(t)§k›—3, øÖ˛äºÍE[X(t)] = µ,êºÍγ(t, s)êÜûmt − sk'ßK°{X(t), t ∈ T}è°²­Lß½²­Lß