中国人民大学：《应用随机过程 Applied Stochastic Processes》课程教学资源（课件讲稿）第6章 鞅

CHUN 第6章鞅 ·6.1基本概念 ·6.2鞅的停时定理及其应用 ·6.3一致可积性 ·6.4鞅收敛定理 ·6.5连续鞅 GoBack FullScreen Close Quit

2/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 16Ÿ  • 6.1 ƒVg • 6.2  û½n9ŸA^ • 6.3 òóå»5 • 6.4 ¬Ò½n • 6.5 ÎY

本章将介绍另一类特殊的随机过程一鞅近几十年来， 鞅理论不仅在随机过程及其他数学分支中占据了重要的地 位，而且在实际问题诸如金融、保险和医学上也得到了广泛 的应用.在此我们将阐述鞅的一些基本理论，并以介绍离散 时间鞅为主. 鞅的定义是从条件期望出发的，所以对条件期望不熟悉 的读者请先学习第1章中的相关内容，这对于理解鞅理论是 3/65 至关重要的. GoBack FullScreen Close Quit

3/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ŸÚ0,òaAœëÅLß .CAõc5ß nÿÿ=3ëÅLß9Ÿ¶ÍÆ©|•”‚ ­á/ †ß Ö3¢SØKÃX7K!x⁄öÆ˛è 2ç A^. 3d·ÇÚ„ò ƒnÿßø±0l— ûmèÃ. ½¬¥l^áœ"—uߧ±È^áœ"ÿŸG ÷ˆûkÆS11Ÿ•É'SNߢÈun)nÿ¥ ñ'­á.

$6.1 基本概念 每个赌博者自然都对能使他在一系列赌博后获得期望收 益最大的策略感兴趣.然而在数学上可以证明，在“公平”的 博弈中，是没有这样的赌博策略的 假设一个赌博者正在进行一系列赌博，每次赌博输赢的 概率都是.令{Y,n=1,2,·},是一列独立同分布的随机 变量，表示每次赌博的结果 4/65 1 P{Yn=1}=P{Yn=-1= -2 这里{n=1}({Yn=-1})表示赌博者在第n次赌博时的 赢（输）. GoBack FullScreen Close Quit

4/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §6.1 ƒVg záŸÆˆg,—ÈU¶¶3òXŸÆ￾ºœ"¬ ÃÅ帗a,., 3ÍÆ˛å±y²ß3/˙²0 Æâ•ß¥vk˘ŸÆ¸—. bòáŸÆˆ3?1òXŸÆßzgŸÆ—I V«—¥1 2 . -{Yn, n = 1, 2, · · · }, ¥ò’·”©ŸëÅ C˛ßL´zgŸÆ(J P{Yn = 1} = P{Yn = −1} = 1 2 ˘p{Yn = 1} ({Yn = −1})L´ŸÆˆ31ngŸÆû I(—)

y 如果赌博者采用的赌博策略（即所下赌注）依赖于前面的 赌博结果，那么他的赌博可以用下面的随机变量序列 bm=bn(Yi,…,Yn-1),n=2,3,. 描述，其中bn<oo是第n次的赌注，若赌赢则获利bn,否则 输掉bn. 设X0是该赌博者的初始赌资，则 5/65 Xn=X+∑bY (6.1.1) 2=1 是他在第n次赌博后的赌资.可以断言 E[Xn+lYi,…,Yn=Xn 事实上，由式(6.1.1)我们可以得到 Xn+1 Xn +on+1Yn+1, GoBack FullScreen Close Quit

5/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit XJŸÆˆÊ^ŸÆ¸—(=§eŸ5)ù6uc° ŸÆ(Jß@o¶ŸÆå±^e°ëÅC˛S bn = bn(Y1, · · · , Yn−1), n = 2, 3, · · · £„ߟ•bn < ∞¥1ngŸ5ßeŸIKº|bn߃K —Kbn. X0¥TŸÆˆ–©Ÿ]ßK Xn = X0 + X n i=1 biYi (6.1.1) ¥¶31ngŸÆ￾Ÿ].å±‰Û E[Xn+1|Y1, · · · , Yn] = Xn. Ø¢˛ßd™(6.1.1)·Çå± Xn+1 = Xn + bn+1Yn+1

y 因此 E[Xn+Y,·,Yn=E[Xn Yi,…,Yn+E[bn+1Yn+,·,YnJ Xn ontiE[Yn+1 Yi,...Yn] (因为Xn与bn+1由，·，Yn确定) Xn +on+1E[Yn+1] (因为{Y}是独立随机变量序列) =Xn(因为E[Yn+1]=0,n≥0) 6/65 这证明了，如果每次赌博的输赢机会是均等的，并且赌博策 略是依赖于前面的赌博结果，则赌博是“公平的”.因此任 何赌博者都不可能将公平的赌博通过改变赌博策略使得赌博 变成有利于自己的赌博. GoBack FullScreen Close Quit

6/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit œd E[Xn+1|Y1, · · · , Yn] = E[Xn|Y1, · · · , Yn] + E[bn+1Yn+1|Y1, · · · , Yn] = Xn + bn+1E[Yn+1|Y1, · · · , Yn] (œèXnÜbn+1dY1, · · · , Yn(½) = Xn + bn+1E[Yn+1] (œè{Yn}¥’·ëÅC˛S) = Xn (œè E[Yn+1] = 0, ∀n ≥ 0) ˘y² ßXJzgŸÆ—IŨ¥˛ßø֟Ƹ —¥ù6uc°ŸÆ(JßKŸÆ¥/˙²0. œd? ¤ŸÆˆ—ÿåUÚ˙²ŸÆœLUCŸÆ¸—¶ŸÆ C§k|ugCŸÆ

y 定义6.1.1随机过程{Xm,n≥0}称为关于{Ym,n≥ 0的下鞅，如果对n≥0Xn是(Yo,·,Yn)的函数，E[X]< 00,并且 E[Xn+Yo,·,Yn]≥Xn (6.1.2) 这里X=max{0,Xmn}. 我们称{Xn,n≥0}为关于{Yn,n≥0的上鞅，如果 对n≥0，Xn是(Yo,·,Yn)的函数，E[X元]<o,并且 7/65 EXn+1Yo,·,Yn]≤Xn (6.1.3) 这里X元=max{0,-Xn}. 若{Xn,n≥0}兼为关于{Yn,n≥0}的下鞅与上鞅，则 称之为关于{Y,n≥0}的鞅，此时 E[Xn+1Yo,·,Yn=Xn (6.1.4) GoBack FullScreen Close Quit

7/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½¬ 6.1.1 ëÅLß {Xn, n ≥ 0}°è'u{Yn, n ≥ 0} eßXJÈn ≥ 0, Xn¥(Y0, · · · , Yn)ºÍßE[X+ n ] < ∞,øÖ E[Xn+1|Y0, · · · , Yn] ≥ Xn (6.1.2) ˘pX+ n = max{0, Xn}. ·Ç°{Xn, n ≥ 0}è'u{Yn, n ≥ 0}˛ßXJ Èn ≥ 0, Xn¥(Y0, · · · , Yn)ºÍ,E[X− n ] < ∞,øÖ E[Xn+1|Y0, · · · , Yn] ≤ Xn (6.1.3) ˘pX− n = max{0, −Xn}. e{Xn, n ≥ 0}oè'u{Yn, n ≥ 0}eܲßK °Éè'u{Yn, n ≥ 0}ß dû E[Xn+1|Y0, · · · , Yn] = Xn. (6.1.4)

鞅描述的是“公平”的赌博，下鞅和上鞅分别描述了 “有利”赌博与“不利”赌博， 下面我们定义关于σ代数的鞅.为此，首先介绍有关概念， 设(2，F,P)是完备的概率空间，我们所讨论的随机变量都是 定义在这个概率空间上的.{Fn,n≥0}是F上的一列o子代数 并且使得FnC Fn+1,n≥0，称之为o子代数流. 随机过程{Xn,n≥0}称为{Fn}适应的，如果n≥ 0,Xn是n可测的，即∀ac∈R,{Xn≤x}∈下：此时 8/65 称{Xm,Fm,n≥0}为适应列.在定义6.1.1中，定义下鞅时， 我们假定了Xn是(o,·,Yn)的函数.令Fn=o{Yo,·,Yn}, n≥0，则{Fm,n≥0}是一个σ代数流.Xn是Yo,·,Yn的函 数的确切含义是{Xn}是{Fn}适应的 GoBack FullScreen Close Quit

8/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit £„¥/˙²0ŸÆße⁄˛©O£„ /k|0ŸÆÜ/ÿ|0ŸÆ. e°·Ç½¬'uσìÍ.èd߃k0k'Vg. (Ω, F, P)¥V«òm߷ǧ?ÿëÅC˛—¥ ½¬3˘áV«òm˛.{Fn, n ≥ 0}¥F˛òσfìÍ øÖ¶Fn ⊂ Fn+1, n ≥ 0ß°ÉèσfìÍ6. ëÅLß{Xn, n ≥ 0}°è{Fn}·Aß XJ∀n ≥ 0, Xn¥Fnåˇß=∀x ∈ Rß {Xn ≤ x} ∈ Fn. dû °{Xn, Fn, n ≥ 0}è·A. 3½¬6.1.1•ß½¬eûß ·Çb½ Xn¥(Y0, · · · , Yn)ºÍ.-Fn = σ{Y0, · · · , Yn}, n ≥ 0ßK{Fn, n ≥ 0}¥òáσìÍ6.Xn¥Y0, · · · , Ynº Í(ɹ¬¥{Xn}¥{Fn}·A

定义6.1.2设{Fm,n≥0}是一个F中的单调递增的 子o代数列.随机过程{Xm,n≥0}称为关于{Fm,n≥0}的 鞅，如果{Xn}是{Fn}适应的，E[Xm]<oo,并且m≥0， 有 E[Xn+1Fn]=Xn (6.1.5) 适应列{Xn,Fn,n≥0}称为下鞅，如果n≥0， E[Xt]<o且E[Xn+1Fn]≥Xn (6.1.6) 9/65 上鞅可以类似定义. 在给出例子之前，先给出由定义直接推出的命题 GoBack FullScreen Close Quit

9/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½¬ 6.1.2 {Fn, n ≥ 0}¥òáF•¸N4O fσìÍ. ëÅLß{Xn, n ≥ 0}°è'u{Fn, n ≥ 0} ßXJ{Xn}¥{Fn} ·AßE[|Xn|] < ∞ßøÖ∀n ≥ 0ß k E[Xn+1|Fn] = Xn (6.1.5) ·A{Xn, Fn, n ≥ 0}°è eßXJ∀n ≥ 0, E[X+ n ] < ∞ Ö E[Xn+1|Fn] ≥ Xn (6.1.6) ˛å±aq½¬. 3â—~fÉcßkâ—d½¬ÜÌ—·K

命题6.1.1（(1)适应列{Xn,下n,n≥0}是下鞅当且仅 当{-Xn,Fn,n≥0}是上鞅. (2)如果{Xm,F},{Yn,Fm}是两个下鞅，a,b是两个 正常数，则{aXn+bYn,Fn}是下鞅. (3)如果{Xn,Fn}{Yn,Fn}是两个下鞅（或上鞅），则 {max(Xn,Yn),Fn}({min(Xn,Yn),Fn})是下（上）. 证明是简单的，留作习题.在本命题以及其他类似命题 中，子o代数列{Fn}可以由{Y,k=1,2,·,n}替代，即 10/65 {Xn}是关于{Yn}的下鞅 若以Xn表示一个赌博者在第n次赌博后所有的赌资 式(6.1.5)表示：平均而言他在下一次赌博结束时的赌资将 等于现时的赌资，与他过去赌博的输赢无关，这也就是说鞅 具有一种“无后效性”，同时这体现的正是博弈的公平 GoBack FullScreen Close Quit

10/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ·K 6.1.1 (1) ·A{Xn, Fn, n ≥ 0}¥eÖ=  {−Xn, Fn, n ≥ 0}¥˛. (2) XJ{Xn, Fn}, {Yn, Fn}¥¸áeß a, b ¥¸á ~Í, K{aXn + bYn, Fn}¥e. (3) XJ{Xn, Fn}, {Yn, Fn}¥¸áe(½˛)ßK {max(Xn, Yn), Fn} ({min(Xn, Yn), Fn}) ¥e(˛). y²¥{¸ß3äSK. 3·K±9Ÿ¶aq·K •ßfσìÍ {Fn}å±d{Yk, k = 1, 2, · · · , n}Oìß= {Xn}¥'u{Yn}e. e±XnL´òáŸÆˆ31ngŸÆ￾§kŸ]. ™(6.1.5)L´µ²˛ Û¶3eògŸÆ(ÂûŸ]Ú uyûŸ]ßܶLŸÆ—IÃ'.˘è“¥` ‰kò´/Ã￾50 ß”û˘Ny¥Æâ˙²

例6.1.1设X1,X2,·是一族零均值独立随机变量序 列，且EX<o,令S=0,Sn=∑=1Xk,则{Sn}是（关 于Fn=o(X1,X2,·,Xn)的)鞅.另外，若Xk(k=1,2,)均 值为u≠0，则{Mn=Sn-nu}是（关于{Fn}的）鞅. 证明：当E[X=0,(k=1,2,…)时，易见Sn是Fn可 测的，而且ElSn】≤∑1EX<oo,于是 E[Sn+1Fn]=E[X1+X2+...+Xn+Fn] 11/65 =E[X1+...+XnFn]+E[Xn+1Fn] =Sn 从而{Sn}是一个关于{Fn}的鞅.同理可以证明，当EX]= u≠0，(k=1,2,…)时，{Mn}也是一个关于{Fn}的. GoBack FullScreen Close Quit

11/65 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 6.1.1 X1, X2, · · · ¥òx"˛ä’·ëÅC˛S ßÖE[|Xi|] < ∞, -S0 = 0, Sn = Pn k=1 XkßK{Sn}¥(' uFn = σ(X1, X2, · · · , Xn)). , ßeXk(k = 1, 2, · · · )˛ äè µ 6= 0ßK{Mn = Sn − nµ}¥('u{Fn}). y²µE[Xk] = 0, (k = 1, 2, · · · )ûߥÑSn¥Fnå ˇß ÖE[|Sn|] ≤ Pn i=1 E[|Xi|] < ∞ßu¥ E[Sn+1|Fn] = E[X1 + X2 + · · · + Xn+1|Fn] = E[X1 + · · · + Xn|Fn] + E[Xn+1|Fn] = Sn l {Sn}¥òá'u{Fn}. ”nå±y²ßE[Xk] = µ 6= 0, (k = 1, 2, · · · )ûß{Mn}è¥òá'u{Fn}