白 第7章Brown运动 7.1基本概念与性质 ·7.2 Gauss:过程 2/59 7.3 Brown运动的鞅性质 ·7.4 Brown运动的Markov性 7.5 Brown运动的最大值变量及反正弦律 7.6 Brown运动的几种变化 ·7.7高维Brown运动 GoBack FullScreen Close Quit
2/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 17Ÿ Brown$ƒ • 7.1 ƒ VgÜ5ü • 7.2 GaussLß • 7.3 Brown$ƒ5ü • 7.4 Brown$ƒMarkov5 • 7.5 Brown$ƒÅåäC˛9áuÆ • 7.6 Brown$ƒA´Cz • 7.7 pëBrown$ƒ
§7.1 基本概念与性质 我们从讨论简单的随机游动开始.设有一个粒子在直线 上随机游动，在每个单位时间内等可能地向左或向右移动一 个单位的长度.现在加速这个过程，在越来越小的时间间隔 中走越来越小的步子.若能以正确的方式趋于极限，我们就 得到Brown:运动.详细地说就是令此过程每隔△t时间等概率 地向左或向右移动△x的距离.如果以X(t)记时刻t粒子的位 置，则 X(t)=△x(X1+·+Xt/△t) (7.1.1) 其中[t/△表示t/△t的整数部分，其中 如果第步向右 Xi= +1, ,如果第步向左
§7.1 ƒ VgÜ5ü ·Çl?ÿ{¸ëÅiƒm©.kòá‚f3ÜÇ ˛ëÅiƒß3zḆûmS åU/ïܽïm£ƒò Ḇ›. y3\Ñ˘áLßß35ûmmÖ •r5⁄f.eU±(ê™™u4Åß·Ç“ Brown$ƒ.ç[/`“¥-dLßzÖ∆tûm V« /ïܽïm£ƒ∆xÂl.XJ±X(t)Pûèt‚f† òßK X(t) = ∆x(X1 + · · · + X[t/∆t]) (7.1.1) Ÿ•[t/∆t]L´t/∆tÍ‹©ßŸ• Xi = ( +1, XJ1i⁄ïm −1, XJ1i⁄ïÜ
y 且假设诸X;相互独立 1 P{Xi=1}=P{X=-1} 2 由于E[X=0,Var[Xd=E[X]=1及(7.1.1)， 我们有 E[X(t)]=0,Var[X(t)]=(△x)[t/△t.现在要令△x和△t趋 于零，并使得极限有意义.如果取△x=△t,令△t→0， 则var[X(t)]→0，从而X(t)=0,a.s如果取△t=（(△c)3, 4/59 则Var[X(t)】→o,这是不合理的.因为粒子的运动是连 续的，不可能在很短时间内远离出发点.因此，我们作下面 的假设：令△x=σ√公t,σ为某个正常数，从上面的讨论 可见，当△t→0时，E[X(t)]=0,Var[X(t)]→o2t. GoBack FullScreen Close Quit
4/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ÖbÃXiÉp’· P{Xi = 1} = P{Xi = −1} = 1 2 duE[Xi] = 0, V ar[Xi] = E[X2 i ] = 19(7.1.1)ß·Çk E[X(t)] = 0,V ar[X(t)] = (∆x) 2 [t/∆t].y3á-∆x⁄∆t™ u"ßø¶4Åkø¬.XJ∆x = ∆tß-∆t → 0ß Kvar[X(t)] → 0ßl X(t) = 0, a.s..XJ∆t = (∆x) 3 ß KV ar[X(t)] → ∞ߢ¥ÿ‹n. œè‚f$ƒ¥Î YßÿåU3È·ûmSl—u:.œdß·Çäe° bµ-∆x = σ √ ∆tß σè,á~Íßl˛°?ÿ åÑß∆t → 0ûßE[X(t)] = 0, V ar[X(t)] → σ 2 t
下面来看这一极限过程的一些直观性质.由式(7.1.1)及 中心极限定理可得： (1)X(t)服从均值为0，方差为σ2t的正态分布 此外，由于随机游动的值在不相重叠的时间区间中的变 化是独立的，所以有 (2){X(t),t≥0}有独立增量 又因为随机游动在任一时间区间中的位置变化的分布只 5/59 依赖于区间的长度，可见 (3){X(t),t≥0}有平稳增量. GoBack FullScreen Close Quit
5/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit e°5w˘ò4ÅLßò Ü*5ü.d™(7.1.1)9 •%4Žnåµ (1)X(t)—l˛äè0,ê èσ 2 t©Ÿ. d ßduëÅiƒä3ÿÉUûm´m•C z¥’·ß§±k (2){X(t), t ≥ 0}k’·O˛. qœèëÅiƒ3?òûm´m•†òCz©Ÿê ù6u´m›ßåÑ (3){X(t), t ≥ 0}k²O˛
下面我们就给出Brown:运动的严格定义. 定义7.1.1随机过程{X(t),t≥0}如果满足： (1)X(0)=0; (2){X(t),t≥0}有平稳独立增量； (3)对每个t>0,X(t)服从正态分布N(0,σ2t). 则称{X(t),t≥O为Brown运动，也称为Vieneri过程 常记为{B(t),t≥0或{W(t),t≥0}. 6/59 如果o=1,我们称之为标准Brown:运动，如果g≠1， 则可考虑{X(t)/o,t≥0}，它是标准Brown:运动.故不失一 般性，可以只考虑标准Brown运动的情形. 由于这一定义在应用中不是十分方便，我们不加证明地 给出下面的性质作为Brown运动的等价定义，其证明可以 在许多随机过程的著作中找到. GoBack FullScreen Close Quit
6/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit e°·Ç“â—Brown$ƒÓǽ¬. ½¬ 7.1.1 ëÅLß{X(t), t ≥ 0}XJ˜vµ (1) X(0) = 0; (2) {X(t), t ≥ 0}k²’·O˛¶ (3) Èzát > 0, X(t)—l©ŸN(0, σ2 t). K°{X(t), t ≥ 0}èBrown$ƒßè°èWienerLß. ~Pè{B(t), t ≥ 0} ½ {W(t), t ≥ 0}. XJσ = 1ß·Ç°ÉèIOBrown$ƒßXJσ 6= 1ß Kåƒ{X(t)/σ, t ≥ 0}ßߥIOBrown$ƒ.ÿîò Ñ5ßå±êƒIOBrown$ƒú/. du˘ò½¬3A^•ÿ¥õ©êBß·Çÿ\y²/ â—e°5üäèBrown$ƒ d½¬ßŸy²å± 3NıëÅLßÕä•È
y 性质7.1.1 Brown运动是具有下述性质的随机过程{B(t),t≥ 0}. (1)(正态增量)B(t)-B(s)~N(0,t-s),即B(t) B(s)服从均值为0，方差为t一s的正态分布.当s=0时， B(t)-B(0)N(0,t). (2)(独立增量)B(t)-B(s)独立于过程的过去状态B(u),0≤ u≤s. 7/59 (3)(路径的连续性)B(t),t≥0是的连续函数 注：性质7.1.1中我们并没有假定B(0)=0,因此我们 称之为始于x的Brown运动，所以有时为了强调起始点，也 记为{Br(t)}.这样，定义7.1.1所指的就是始于0的Brown运 动{B(t)}.易见， B(t)-x=B(t) (7.1.2) GoBack FullScreen Close Quit
7/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 5ü7.1.1 Brown$ƒ¥‰ke„5üëÅLß{B(t), t ≥ 0}. (1) (O˛)B(t) − B(s) ∼ N(0, t − s)ß=B(t) − B(s)—l˛äè0,ê èt − s©Ÿ. s = 0ûß B(t) − B(0) ∼ N(0, t). (2) (’·O˛)B(t)−B(s)’·uLßLGB(u), 0 ≤ u ≤ s. (3) (¥ªÎY5)B(t), t ≥ 0 ¥tÎYºÍ. 5µ5ü7.1.1•·Çøvkb½B(0) = 0ßœd·Ç °Éè©uxBrown$ƒß§±kûè rN©:ßè Pè{Bx (t)}.˘ß½¬7.1.1§ç“¥©u0Brown$ ƒ{B0 (t)}. ¥Ñß B x (t) − x = B 0 (t) (7.1.2)
(7.1.2)式按照下面的定义7.1.2称为Brown运动的空 间齐次性.此性质也说明，Bx(t)和x+B(t)是相同的，我 们只需研究始于0的Brown运动就可以了，如不加说明， Brown运动就是始于O的Brown:运动. 定义7.1.2设{X(t),t≥0}是随机过程，如果它的有 限维分布是空间平移不变的，即 8/59 P{X(t)≤x1,X(t2)≤x2,·,X(tn)≤xnX(O)=0} =P{X(t)≤c1+x,X(t2)≤x2+x,·,X(tn)≤xn+xX(0)=x} 则称此过程为空间齐次的. GoBack FullScreen Close Quit
8/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit (7.1.2)™UÏe°½¬7.1.2 °èBrown$ƒò m‡g5.d5üè`²ßBx (t)⁄x + B0 (t)¥É”ß· ÇêIÔƒ©u0 Brown$ƒ“å± ßXÿ\`²ß Brown$ƒ“¥©u0Brown$ƒ. ½¬ 7.1.2 {X(t), t ≥ 0}¥ëÅLßßXJßk Åë©Ÿ¥òm²£ÿCß= P{X(t1) ≤ x1, X(t2) ≤ x2, · · · , X(tn) ≤ xn|X(0) = 0} = P{X(t1) ≤ x1 + x, X(t2) ≤ x2 + x, · · · , X(tn) ≤ xn + x|X(0) = x} K°dLßèòm‡g
面给出关于Brwon运动的概率计算的例子 例7.1.1设{B(t),t≥0}是标准Brown:运动，计算 P{B(2)≤0}和P{B(t)≤0，t=0,1,2} 解由于B(2)~N(0,2),所以P{B(2)≤0}=因 为B(0)=0,所以P{B(t)≤0，t=0,1,2}=P{B(t)≤ 0,t=1,2}=P{B(1)≤0，B(2)≤0.虽然B(1)和B(2)不 9/59 是独立的，但由性质7.1.1(2)和(3)可知B(2)-B(1)与B(1)是 相互独立的标准正态分布随机变量，于是利用分解式 B(2)=B(1)+(B(2)-B(1) 我们有 GoBack FullScreen Close Quit
9/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit °â—'uBrwon$ƒV«Oé~f. ~ 7.1.1 {B(t), t ≥ 0}¥IOBrown$ƒßOé P{B(2) ≤ 0}⁄ P{B(t) ≤ 0, t = 0, 1, 2}. ) duB(2) ∼ N(0, 2)ߧ±P{B(2) ≤ 0} = 1 2 .œ èB(0) = 0ߧ±P{B(t) ≤ 0, t = 0, 1, 2} = P{B(t) ≤ 0, t = 1, 2} = P{B(1) ≤ 0, B(2) ≤ 0}. è,B(1)⁄B(2)ÿ ¥’·ßd5ü7.1.1(2)⁄(3)åB(2)−B(1)ÜB(1)¥ Ép’·IO©ŸëÅC˛ßu¥|^©)™ B(2) = B(1) + (B(2) − B(1)) ·Çk
花 P{B(1)≤0，B(2)≤0} =P{B(1)≤0，B(1)+(B(2)-B(1)≤0} =P{B(1)≤0，B(2)-B(1)≤-B(1)} = P{B(2)-B(1)≤-x}(r)dx = Φ(-x)dΦ(r) 10/59 这里Φ和分别表示标准正态分布的分布函数和密度函数.由 积分变量替换公式得 人ao以-t=e=- GoBack FullScreen Close Quit
10/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit P{B(1) ≤ 0, B(2) ≤ 0} = P{B(1) ≤ 0, B(1) + (B(2) − B(1)) ≤ 0} = P{B(1) ≤ 0, B(2) − B(1) ≤ −B(1)} = Z 0 −∞ P{B(2) − B(1) ≤ −x}φ(x)dx = Z 0 −∞ Φ(−x)dΦ(x) ˘pΦ⁄φ©OL´IO©Ÿ©ŸºÍ⁄ó›ºÍ.d »©C˛OÜ˙™ Z ∞ 0 Φ(x)φ(−x)dx = Z ∞ 0 Φ(x)dΦ(x) = Z 1 1 2 ydy = 3 8
如果过程从x开始，B(O)=x,则B(t)心N(x,t),于 是 P{B(t)∈(a,b)}= (-x)2 这里，概率P的下标x表示过程始于x.积分号中的函数 1 pi(x,y)= _y-x2 2t (7.1.3) /2πt 11/59 称为Brown运动的转移概率密度.利用独立增量性以及转移 概率密度，我们可以计算任意Brown:运动的有限维分布 Pc{B(t)≤c1,…,B(tn)≤cn} T2 = Pu(,)din pt2-t(y1,y2)dy2·· pi-t-(Un-1,Un)dyn (7.1.4) GoBack FullScreen Close Quit
11/59 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit XJLßlxm©ßB(0) = xßKB(t) ∼ N(x, t)ßu ¥ Px{B(t) ∈ (a, b)} = Z b a 1 √ 2πt e − (y−x) 2 2t dy. ˘pßV«PxeIxL´Lß©ux.»©“•ºÍ pt(x, y) = 1 √ 2πt e − (y−x) 2 2t (7.1.3) °èBrown$ƒ=£V«ó›.|^’·O˛5±9=£ V«ó›ß·Çå±Oé?øBrown$ƒkÅë©Ÿ Px{B(t1) ≤ x1, · · · , B(tn) ≤ xn} = Z x1 −∞ pt1 (x, y1)dy1 Z x2 −∞ pt2−t1 (y1, y2)dy2 · · · Z xn −∞ ptn−tn−1 (yn−1, yn)dyn (7.1.4)