中国人民大学：《应用随机过程 Applied Stochastic Processes》课程教学资源（课件讲稿）第1章 预备知识（张波、商豪、邓军）

CHUN 应用随机过程 张波商豪邓军 1/62 中国人民大学 统计学院 GoBack FullScreen Close Quit

1/62 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit A^ëÅLß ‹ Å ˚ Õ "
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CHUN 第1章 预备知识 ●1.1概率空间 ·1.2随机变量与分布函数； 2/62 ·1.3数字特征、矩母函数与特征函数 ·1.4收敛性 ●1.5独立性与条件期望 GoBack FullScreen Close Quit

2/62 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 11Ÿ ˝£ • 1.1 V«òm • 1.2 ëÅC˛Ü©ŸºÍ¶ • 1.3 ÍiA!›1ºÍÜAºÍ • 1.4 ¬Ò5 • 1.5 ’·5Ü^áœ

§1.1 概率空间 随机试验是概率论的基本概念，试验的结果事先不能准 确地预言，但具有如下三个特性： (1)可以在相同的条件下重复进行； (2)每次试验的结果不止一个，但预先知道试验的所有可 能的结果； 3/62 (3)每次试验前不能确定哪个结果会出现. GoBack FullScreen Close Quit

3/62 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §1.1 V«òm ëÅ£¥V«ÿƒVgߣ(JØkÿUO (/˝Û߉kXenáA5: (1)å±3É”^áe­E?1¶ (2)zg£(Jÿéòá,˝k£§kå U(J¶ (3)zg£cÿU(½=á(J¨—y.

样本点(w): 随机试验的基本结果 花 样本空间(2)： 随机试验所有可能结果组成的集合 基本事件： 2中的样本点w 必然事件： 样本空间2 不可能事件： 空集0 事件： 由基本事件组成的中的子集A 4/62 GoBack FullScreen Close Quit

4/62 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit :(ω)µ ëÅ£ƒ(J òm(Ω)µ ëÅ£§kåU(J|§8‹ ƒØáµ Ω•:ω 7,Øáµ òmΩ ÿåUØáµ ò8∅ Øáµ dƒØá|§Ω•f8A

y 定义1.1.1设2是一个样本空间（或任意一个集合）， F是2的某些子集组成的集合族.如果满足： (1)2∈F; (2) 若A∈F,则Ae=2\A∈F; (3)若An∈F,n=1,2,…,则U1An∈F: 则称F为σ代数.(2，F)称为可测空间，F中的元素称为随机 事件。 5/62 注：如果F是事件的o代数，则(1)0∈F;(2)当An∈ F, n=1,2,,∩1An∈F. 以2的某些子集为元素的集合称为(2上的)集类.对 于2上的任一非空集类C,存在包含C的最小σ代数，即 ∩{H孔为包含C的o代数}，称为由C生成的o代数，记为o(C) GoBack FullScreen Close Quit

5/62 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½¬ 1.1.1 Ω¥òáòm(½?øòá8‹)ß F¥Ω, f8|§8‹x. XJ˜vµ (1) Ω ∈ F; (2) eA ∈ FßKAc = Ω \ A ∈ F¶ (3) eAn ∈ F, n = 1, 2, · · · ßK S∞ n=1 An ∈ F¶ K°FèσìÍ. (Ω, F)°èåˇòmßF•É°èëÅ Øá. 5: XJF¥ØáσìÍßK(1) ∅ ∈ F; (2) An ∈ F, n = 1, 2, . . . ß T∞ n=1 An ∈ F. ±Ω, f8èÉ8‹°è(Ω˛)8a. È uΩ˛?òöò8aCß3ù¹CÅσìÍß= T {H|Hèù¹CσìÍ}ß°èdC)§σìÍßPèσ(C).

定义1.1.2设2=R.由所有半无限区间(-o,x)生 成的o代数（即包含集族{(-∞，x),x∈R的最小σ代数）称 为R上的Borel a代数，记为B(R),其中的元素称为Borel 集合.类似地，可定义Rn上的Borel a代数B(Rm). 定义1.1.3设{An,n≥1}为一集合序列.令 l1 im sup An=∩UAe; lim inf An=U∩Ak 6/62 n→o∞ n→oo n=1 k=n n=1 k=n 分别称其为{An}的上极限和下极限（上极限有时也记为{A,i.o.}) GoBack FullScreen Close Quit

6/62 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½¬ 1.1.2 Ω = R. d§kåÃÅ´m(−∞, x)) §σìÍ(=ù¹8x {(−∞, x), x ∈ R}ÅσìÍ)° èR˛ Borel σìÍ, PèB(R), Ÿ•É°è Borel 8‹. aq/ß彬Rn˛Borel σìÍB(Rn ). ½¬ 1.1.3 {An, n ≥ 1}èò8‹S.- lim sup n→∞ An = \ ∞ n=1 [ ∞ k=n Ak; lim inf n→∞ An = [ ∞ n=1 \ ∞ k=n Ak ©O°Ÿè{An}˛4Å⁄e4Å(˛4ÅkûèPè{An, i.o.}).

显然有 lim sup An={wlw属于无穷多个An}={wn∈N,k≥n,使w∈A) n→0∞ lim inf An={wlw至多不属于有限多个An}={wl日n∈N,k≥n,有w∈A} n-→o0 从而恒有lim infn-→An C lim supn-→An: 若lim infn→oAn=lim supn→ooAn,则称{An}的极限存 在，并用limno An表示，即令limn→oAn=lim infn→oAn= 7/62 lim supn→An: 特别地，若对每个n,有An C An+1(相应地，An An+1),则称{An}为单调增（相应地，单调降）.对单调增或 单调降序列{An},我们分别令A=UnAn或A=∩nAn, 称A为{An}的极限，通常记为An个A或An↓A. GoBack FullScreen Close Quit

7/62 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit w,k lim sup n→∞ An = {w|w·uðıáAn} = {w|∀n ∈ N, ∃k ≥ n, ¶w ∈ Ak} lim inf n→∞ An = {w|wñıÿ·ukÅıáAn} = {w|∃n ∈ N, ∀k ≥ n, kw ∈ Ak} l ðklim infn→∞ An ⊂ lim supn→∞ An. elim infn→∞ An = lim supn→∞ AnßK° {An}4Å 3ßø^limn→∞ AnL´ß=-limn→∞ An = lim infn→∞ An = lim supn→∞ An. AO/ßeÈzánßkAn ⊂ An+1(ÉA/ßAn ⊃ An+1)ßK°{An}è¸NO(ÉA/߸N¸).ȸNO½ ¸N¸S {An}ß·Ç©O-A = S n An½A = T n Anß °Aè{An}4Åßœ~PèAn ↑ A½An ↓ A

例1.1.1设有某人在反复地投掷硬币，观察硬币朝上的 面是正面或反面.2={所有由投掷结果正面和反面组成的序列}， F={的所有子集}，记An为第n次投掷的是“正面'的事 件，则 lim sup An={有无限多个投掷结果是“正面”} n→o∞ lim inf An={除有限多个外，投掷结果都是“正面”} m→oo 8/62 GoBack FullScreen Close Quit

8/62 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~1.1.1 k,<3áE/›ïM1ß* M1ä˛ °¥°½á°. Ω = {§kd›ï(J°⁄á°|§S}, F = {Ω§kf8}, PAnè1ng›ï¥“°”Ø áßK lim sup n→∞ An = {kÃÅıá›ï(J¥“°”} lim inf n→∞ An = {ÿkÅıá ß›ï(J—¥“°”}

y 定义1.1.4设(2，F)是可测空间，P()是定义在F上 的实值函数.如果 (1)P(2)=1: (2)VA∈F,0≤P(A)≤1； (3)对两两互不相容事件A1,A2,·,(即当i≠时， A:∩A=0)有 9/62 P(UA:)=>P(A) i=1 i=1 则称P是(2，F)上的概率，(2，F,P)称为概率空间，F中的 元素称为事件，P(A)称为事件A的概率. GoBack FullScreen Close Quit

9/62 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½¬ 1.1.4 (Ω, F)¥åˇòmßP(·) ¥½¬3F˛ ¢äºÍ.XJ (1) P(Ω) = 1¶ (2) ∀A ∈ F, 0 ≤ P(A) ≤ 1; (3) ȸ¸pÿÉNØáA1, A2, · · · ß(=i 6= jûß Ai ∩ Aj = ∅)k P( [ ∞ i=1 Ai) = X ∞ i=1 P(Ai) K°P¥(Ω, F)˛V«ß (Ω, F, P)°èV«òmßF• É°èØáßP(A)°èØáAV«.

y 事件的概率有如下性质： (1)若A,B∈F,则P(AUB)+P(A∩B)=P(A)+ P(B)· (2)若A,B∈F,且ACB,则P(B-A)=P(B) P(A)(可减性). (3)若A,B∈F,且ACB,则P(A)≤P(B)(单调 性) 10/62 (4)若An∈F,n≥1，则P(Un>1An)≤∑n21P(An) (5)从下连续： 若An∈F且An个A∈F,则P(A)=1imn→P(An): (6)从上连续： 若An∈F且An↓A∈F,则P(A)=limn→oP(An) GoBack FullScreen Close Quit

10/62 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ØáV«kXe5üµ (1) eA, B ∈ F,KP(A ∪ B) + P(A ∩ B) = P(A) + P(B). (2) eA, B ∈ F,ÖA ⊂ BßKP(B − A) = P(B) − P(A)(å~5). (3) eA, B ∈ F,ÖA ⊂ BßKP(A) ≤ P(B)(¸N 5). (4) eAn ∈ F, n ≥ 1, KP( S n≥1 An) ≤ P n≥1 P(An). (5) leÎY: eAn ∈ FÖAn ↑ A ∈ FßKP(A) = limn→∞ P(An). (6)l˛ÎY: eAn ∈ FÖAn ↓ A ∈ FßK P(A) = limn→∞ P(An)