第4章 更新过程 4.1更新过程定义及若干分布 ·4.2更新方程及其应用 2/53 ·4.3更新定理 ·4.4更新过程的推广 GoBack FullScreen Close Quit
2/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 14Ÿ ç#Lß • 4.1 ç#Lß½¬9eZ©Ÿ • 4.2 ç#êß9ŸA^ • 4.3 ç#½n • 4.4 ç#LßÌ2
§4.1 更新过程定义及若干分布 定义4.1.1设{Xm,n=1,2,…}是一串独立同分布 的非负随机变量， 分布函数为F(x)(为了避免平凡的情况，设F(O)= P(Xn=0)≠1，记u=EXn=JxdF(x),则0<w≤ ∞).令Tn=∑21X:(m≥1)，T0=0.我们把由 3/53 N(t)=sup{n:Tn≤t} 定义的计数过程称为更新过程. 更新过程的一个典型例子是机器零件的更换.在0时刻， 安装上一个新零件并开始运行，设此零件在X1时刻损坏，马 上用一个新的来替换（假定替换不需要时间），则第二个零件 GoBack 在X1时刻开始运行，设它在X2时刻损坏，同样马上换第三 FullScreen Close Quit
3/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §4.1 ç#Lß½¬9eZ©Ÿ ½¬ 4.1.1 {Xn, n = 1, 2, · · · }¥òG’·”©Ÿ öKëÅC˛, ©ŸºÍèF(x)(è ;ù²Öú¹ß F(0) = P(Xn = 0) 6= 1ßPµ = EXn = R ∞ 0 xdF(x), K0 < µ ≤ ∞). -Tn = Pn i=1 Xi (n ≥ 1), T0 = 0. ·Çrd N(t) = sup{n : Tn ≤ t} ½¬OÍLß°èç#Lß. ç#Lßòá;.~f¥ÅÏ"áçÜ. 30ûèß SC˛òá#"áøm©$1ßd"á3X1ûèõÄßÍ ˛^òá#5OÜ(b½OÜÿIáûm)ßK1á"á 3X1ûèm©$1ßß3X2ûèõÄߔͲÜ1n
个，·很自然可以认为这些零件的使用寿命是独立同分布 的，那么到时刻为止所更换的零件数目就构成一个更新过 程. 注：在更新过程中我们将事件发生一次叫做一次更新， Xn就是第n-l次和第m次更新相距的时间，Tn是第n次更 新发生的时刻，而N(t)就是时刻之前发生的总的更新次数. 4/53 §4.1.1 N(t)的分布及E[N(t)]的一些性质 N(t)0，所以当n→时Tn→o,也就是 FullScreen Close Quit
4/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit áß· · · .Èg,å±@è˘ "á¶^Æ·¥’·”©Ÿ ß@otûèèé§çÜ"áÍ8“§òáç#L ß. 5µ3ç#Lß•·ÇÚØáu)ògâògç#ß Xn“¥1n − 1g⁄1ngç#ÉÂûmß Tn¥1ngç #u)ûèß N(t)“¥tûèÉcu)oç#gÍ. §4.1.1 N(t)©Ÿ9E[N(t)]ò 5ü N(t) 0, §±n → ∞ûTn → ∞, è“¥
说无穷多次更新只可能在无限长的时间内发生.于是有限时 间内最多只能发生有限次更新： N(t)≥n→Tn≤t 所以 P(N(t)=n)=P(N(t)≥n)-P(N(t)≥n+1) 5/53 =P(Tn≤t)-P(Tn+1≤t) n+1 =P(∑X:≤t)-P(∑X:≤t) i=1 i=1 以Fn记Tn的分布，则Fn是F的n重卷积， 因此 P(N(t)=n)=Fn(t)-Fn+1(t) GoBack FullScreen Close Quit
5/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit `ðıgç#êåU3ÃÅûmSu). u¥kÅû mSÅıêUu)kÅgç#. N(t) ≥ n ⇐⇒ Tn ≤ t §± P(N(t) = n) = P(N(t) ≥ n) − P(N(t) ≥ n + 1) = P(Tn ≤ t) − P(Tn+1 ≤ t) = P( X n i=1 Xi ≤ t) − P( X n+1 i=1 Xi ≤ t) ±FnPTn©ŸßKFn¥Fnڻߜd P(N(t) = n) = Fn(t) − Fn+1(t)
定理4.1.1 花 0O M(t)= F(t) m=1 其中M(t)=E[N(t)],称之为更新函数. 证明：由定义可得 M(t)=E[N(t)] 6/53 ∑nP(N(t)=n) n=1 = >Tn[Fn(t)-Fn+1(t)】 n=1 ∑F(t) A n=1 GoBack FullScreen Close Quit
6/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½n 4.1.1 M(t) = X ∞ n=1 Fn(t) Ÿ•M(t) = E[N(t)], °Éèç#ºÍ. y²µ d½¬å M(t) = E[N(t)] = X ∞ n=1 nP(N(t) = n) = X ∞ n=1 n[Fn(t) − Fn+1(t)] = X ∞ n=1 Fn(t)
y 定理4.1.2M(t)是t的不减函数，且对0≤t0)> 0),则存在a>0,使得P(Xn≥a)>0,从而P(Xn< a)<1.而 7/53 F(a)=P(Xn<a)=P(Xn<a)+P(Xn=a) 为了避免P(Xn=a)=P(Xn≥a)造成F(a)=P(Xn< a)+P(Xn≥a)=1的情况，不妨取0<b<a易见 F(b)≤P(Xn<a)<1 GoBack FullScreen Close Quit
7/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½n 4.1.2 M(t)¥tÿ~ºÍßÖÈ0 ≤ t 0) > 0)ßK3a > 0, ¶ P(Xn ≥ a) > 0, l P(Xn < a) < 1. F(a) = P(Xn ≤ a) = P(Xn < a) + P(Xn = a) è ;ùP(Xn = a) = P(Xn ≥ a)E§F(a) = P(Xn < a) + P(Xn ≥ a) = 1ú¹ßÿî0 < b < a ¥Ñ F(b) ≤ P(Xn < a) < 1
又对任意固定的t,恒能选定正整数k,使b≥t,所以 {Tk≤t}C{T≤kb}C{X1>b,X2>b,·,Xk>b} 于是 P(Tk≤t)≤1-P(X1>b,X2>b,·,Xk>b) =1-[1-F(b)] =1-B 8/53 这里B=(1-F(b)k>0.又因为 {Tmk≤t}C{Tk-To≤t,T2k-T≤t,·,Tmk-Tm-1)k≤t 且更新区间独立同分布，所以有 P(Tk-To≤t,T2k-Tk≤t,·,Tmk-Tm-1)k≤t) GoBack =[P(Tk≤t)]m FullScreen Close Quit
8/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit qÈ?ø½tßðU¿½Ík߶kb ≥ tߧ± {Tk ≤ t} ⊂ {Tk ≤ kb} ⊂ {X1 > b, X2 > b, · · · , Xk > b} c u¥ P(Tk ≤ t) ≤ 1 − P(X1 > b, X2 > b, · · · , Xk > b) = 1 − [1 − F(b)]k = 1 − β ˘pβ = (1 − F(b))k > 0. qœè {Tmk ≤ t} ⊂ {Tk−T0 ≤ t, T2k−Tk ≤ t, · · · , Tmk−T(m−1)k ≤ t} Öç#´m’·”©Ÿ, §±k P(Tk − T0 ≤ t, T2k − Tk ≤ t, · · · , Tmk − T(m−1)k ≤ t) = [P(Tk ≤ t)]m
由上两式，可得 液 P(Tmk≤t)≤[P(T≤t)]m≤(1-B)m 对任意整数1≥0，有 {Tmk+i≤t)C{Tmk≤t} 所以 (m+1)k-1 9/53 ∑ P(Tn≤t)≤kP(Tmk≤t). n=mk GoBack FullScreen Close Quit
9/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit d˛¸™ßå P(Tmk ≤ t) ≤ [P(Tk ≤ t)]m ≤ (1 − β) m È?øÍj ≥ 0ßk {Tmk+j ≤ t} ⊂ {Tmk ≤ t} §± (m+1) X k−1 n=mk P(Tn ≤ t) ≤ kP(Tmk ≤ t)
y 综上可得 M(t)=∑e1Fn(t) 三 ∑1P(Tn<t) =∑A-iP(Tn≤t)+∑2kP(T<t) ≤∑NP(Tn<t)+∑m=1kP(Tmk<t) ≤∑P(T<)+∑m=1k(1-)m 10/53 =∑1P(Tn≤t)+<∞ 例4.1.1考虑一个时间离散的更新过程{N,j= 1,2,·…},在每个时刻独立地做Bernoullii试验，i 设成功的 概率为p,失败的概率为g=1一p.以试验成功做为事件 (更新)求此过程的更新函数M()。 解：首先，易知更新的时间间隔{X}为独立的同几何 GoBack FullScreen Close Quit
10/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit n˛å M(t) = P∞ n=1 Fn(t) = P∞ n=1 P(Tn≤t) = Pk−1 n=1 P(Tn≤t)+P∞ n=k P(Tn≤t) ≤ Pk−1 n=1 P(Tn≤t)+P∞ m=1 kP(Tmk≤t) ≤ Pk−1 n=1 P(Tn≤t)+P∞ m=1 k(1−β) m = Pk−1 n=1 P(Tn≤t)+k β<∞ ~ 4.1.1 ƒòáûml—ç#Lß{Nj, j = 1, 2, · · · }, 3záûè’·/âBernoulli£ß§ı V«èpßî}V«èq = 1 − p. ±£§ıâèØá £ç#§¶dLßç#ºÍ M(k)" )µ ƒk, ¥ç#ûmmÖ{Xi}è’·”A¤
分布 花 P(Xi=n)=q-p,n=1,2,… 则第次成功（更新）发生的时刻T,=∑”1X服从负二项 分布 =列-(=n+1 11/53 因此 P(Nk=T) =P(T,≤k)-P(Tr+1≤k) -(）v-三(，) A GoBack FullScreen Close Quit
11/53 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ©Ÿ P(Xi = n) = q n−1 p, n = 1, 2, · · · K1rg§ı£ç#§u)ûèTr = Pr i=1 Xi—lKë ©Ÿ P(Tr = n) = n − 1 r − 1 ! q n−r p r , n = r, r + 1, · · · œd P(Nk = r) = P(Tr ≤ k) − P(Tr+1 ≤ k) = X k n=r n − 1 r − 1 ! q n−r p r − X k n=r+1 n − 1 r ! q n−r−1 p r+1