离散小波变换与框架 对连续小波的完全离散化
离散小波变换与框架 ————对连续小波的完全离散化
对连续小波的离散化处理 定义:b k jk∈Z,b>0 对W(b,a)离散化 Wu((bk,r==dik 其中:vk=2y(2t-kb)
对连续小波的离散化处理： 2 (2 ) ) , 2 1 W ( )( , W ( )( , ) , , 0 2 : 0 2 , , , , , 0 0 t k b f b f d f b a b j k Z b k b j j j k j k j j k j k k j j − = = = 其中： ＝ 对 离散化 定义
连续小波离散化后的问题 1.{d,}是否保留了f的全部信息。 2怎样由{dk}重构/
连续小波离散化后的问题： 1.{d j,k }是否保留了f的全部信息。 2.怎样由{d j,k }重构f
分析: ■函数可以被其“小波系数”完全表征。 即:如果有 对于所有的,k∈Z 则 f≡f2 等价地, =0,对于所有的k∈Z f=0
分析： ◼ 函数可以被其“小波系数”完全表征。 1 2 1 , 2 , , , , , f f f j k f j k j k Z = 则： 对于所有的 即：如果有 0 , 0, , , 则： ＝ 对于所有的 等价地， f f j k = j k Z
分析: ■我们希望的重构方法是 f=∑k j, k
分析： ◼ 我们希望的重构方法是： j k j k j k f f , , , ~ = ,
分析: ■为了保证“重构”方法的稳定性,我们 需要某种“稳定性”条件 存在0<A≤B<+0,对∈2, ∑|f,vk+≤ 则称v满足稳定性条件
分析： ◼ 为了保证“重构”方法的稳定性，我们 需要某种“稳定性”条件。 则称 满足稳定性条件。 存在 对 j k j k A f f B f A B f L , 2 2 , 2 2 , 0 , , + + −
框架的定义: 若函数v∈L2,生成的函数序列v,k满足稳定性条件, 则称{vk}是L2上的一个框架 A,B称为框架界。 若A=B,则称框架为紧框架
框架的定义： 则称 是 上的一个框架。 若函数 生成的函数序列 满足稳定性条件， 2 , , 2 { } , L L j k j k A,B称为框架界。 若A＝B，则称框架为紧框架
定理: 若v是Z上的一个框架,则存在函数序列vk, 使对任意的/∈L,有: f=∑k
定理： 使对任意的 ，有： 若 是 上的一个框架，则存在函数序列 ， 2 , 2 , ~ f L j k L j k j k j k j k f f , , , ~ = ,
定理的证明思想: 首先,定义一个映射T,T:2→D2, T=∑v1kV∈ j, k 由框架的稳定性条件,T是一个有界线性算子
定理的证明思想： , , , : , 2 , , , 2 2 Tf f f L T T L L j k = j k j k → 首先，定义一个映射 由框架的稳定性条件，T是一个有界线性算子
■算子T有如下特点: 1.T是连续算子。 2.T是一一映射。 3.T-也是连续算子
◼ 算子T有如下特点： 1. T是连续算子。 2. T是一一映射。 3. T－1也是连续算子