《时间序列（ARIMA）模型》第4讲 模型诊断与检验

第4讲模型诊断与检验 (1)回归函数的F检验 (2)回归参数的t检验。 3)检验线性约束条件是否成立的F检验 (4)JB正态性检验 (5)似然比(LR)检验 (6)W检验 (7)LM乘数检验。 (8)邹突变点检验( Chow Breakpoint Tests) (9)回归系数的稳定性检验(Chow检验) (10)是否为白噪声过程的Q检验 (11)平方的残差值序列的Q检验 (12) Ramsey reSeT检验( Ramsey模型设定误差检验) (13)异方差的 White检验(略) (14)自相关的LM检验(亦称BG检验)(略) (15)格兰杰非因果性检验 (16)内生性 Hausman检验(不讲) (1)回归函数的F检验。 多元回归模型, y=Bo+Bixn+ Bxn +. Ba-1xrk-1+ur H:B1=B=,,=B1=0;H1:房不全为零 原假设成立条件下,统计量 F= SSR/(-D-F(k-1T-k) 其中SSR是回归平方和,SSE是残差平方和。k表示被估参数个数。 注意:SSR旧指回归平方和( regression sum of squares),现指残差平方和( sum of squared residuals)。SE旧指残差平方和( error sum of squares( sum of squared errors),现指回归平方和 (explained sum of squares)o 检验规则是,若F≤Fa(k-1,T-k),接受H 若F>Fa(k-1,T-k),拒绝Ho (2)回归参数的t检验 对于多元回归模型, B+B1x1+Bx2+..+R-1xk1+m, (2) 如果F检验的结论是接受原假设,则检验止。如果F检验的结论是拒绝原假设,则进一步作t 检验 Ho:B=0;H1:B≠0,(=1,2,…,k-1) 原假设成立条件下,统计量 (7-k) s(B 判别规则:若|t|≤t(r-k),接受Ho 若|t|>a(7-k),拒绝H

1 第 4 讲 模型诊断与检验 （1）回归函数的 F 检验。 （2）回归参数的 t 检验。 （3）检验线性约束条件是否成立的 F 检验。 （4）JB 正态性检验 （5）似然比（LR）检验 （6）W 检验 （7）LM 乘数检验。 （8）邹突变点检验（Chow Breakpoint Tests） （9）回归系数的稳定性检验（Chow 检验） （10）是否为白噪声过程的 Q 检验 （11）平方的残差值序列的 Q 检验 （12）Ramsey RESET 检验（Ramsey 模型设定误差检验） （13）异方差的 White 检验（略） （14）自相关的 LM 检验（亦称 BG 检验）（略） （15）格兰杰非因果性检验 （16）内生性 Hausman 检验（不讲） （1）回归函数的 F 检验。 多元回归模型， yt = 0 +1xt1 + 2xt2 +…+ k- 1xt k -1 + ut , (1) H0：1= 2 = … = k-1 = 0；H1：j 不全为零 原假设成立条件下，统计量 F = /( ) /( 1) SSE T k SSR k − −  F(k-1,T-k) 其中 SSR 是回归平方和，SSE 是残差平方和。k 表示被估参数个数。 注意：SSR 旧指回归平方和（regression sum of squares），现指残差平方和（sum of squared residuals）。SSE 旧指残差平方和（error sum of squares (sum of squared errors)），现指回归平方和 （explained sum of squares）。 检验规则是，若 F  F (k-1,T-k)，接受 H0； 若 F > F (k-1,T-k) , 拒绝 H0。 （2）回归参数的 t 检验。 对于多元回归模型， yt = 0 +1xt1 + 2xt2 +…+ k- 1xt k -1 + ut , (2) 如果 F 检验的结论是接受原假设，则检验止。如果 F 检验的结论是拒绝原假设，则进一步作 t 检验。 H0：j = 0；H1：j  0，(j = 1, 2, …, k-1) 原假设成立条件下，统计量 t = ) ˆ ( ˆ j j s    t(−k) 判别规则：若 t  t(−k)，接受 H0； 若 t > t(−k)，拒绝 H0

(3)检验线性约束条件是否成立的F检验。 约束条件的F检验可以用来检验回归参数的一个或多个线性约束条件,如Ho:B1=0,B= 0,a1++负1=1,角1=0.8等。 在零假设“约束条件成立”条件下,统计量 (SSE -SEW)/n F(m,T-k SSE/T-k 其中SSEr表示施加约東条件后估计模型的残差平方和;SSEn表示未施加约東条件的估计模型 的残差平方和:m表示约東条件个数:T表示样本容量:k表示非约束模型中被估参数的个数 判别规则是,若FFa(2,7-4),约束条件不成立 例:(file:blc4)中国国债发行额模型 首先分析中国国债发行额序列的特征。1980年国债发行额是4301亿元,占GDP当年总量 的1%,2001年国债发行额是4604亿元,占GDP当年总量的48%。以当年价格计算,21年间 (1980-2001)增长了106倍。平均年增长率是249%。 DEBT Mean 1216395 Median 4346850 Maximum 4604000 4301000 Std. Dev 1485993 中国当前正处在社会主义市场经济体制逐步完善,宏观经济运行平稳阶段。国债发行总量 应该与经济总规模,财政赤字的多少,每年的还本付息能力有关系。选择3个解释变量,国内 生产总值,财政赤字额,年还本付息额,根据散点图(略)建立中国国债发行额模型如下: DEBT,=B0+PI GDPI+B2 DEF+B REPAYI+ ur 其中DEBT表示国债发行总额(单位:亿元),GDP1表示年国内生产总值(单位:百亿元), DEF1表示年财政赤字额(单位:亿元),REPY表示年还本付息额(单位:亿元)。用1980~2001 年数据(资料来源:《中国统计年鉴》2002,表8-19,表3-1,表8-1,表820)得输出结果如 DEBT=4.31 +0.35 GDP,+1. 00 DEF,+0. 88 REPAY. (0.2)(2.2)(31.5)(17.8) R2=0.999,DW=2.12,T=22,SSE=48460.78,(1980-2001) Correlation matrix DEBT GDP EPAY 0000009677510945247 09677511000008696430.954508 0.945247 86943100000787957 REAY09440954508078795710000 图112

2 （3）检验线性约束条件是否成立的 F 检验。 约束条件的 F 检验可以用来检验回归参数的一个或多个线性约束条件，如 H0：1 = 0，2 = 0，1 +0 + 1 =1，1 /2 =0.8 等。 在零假设“约束条件成立”条件下，统计量 F = /( ) ( )/ SSE T k SSE SSE m u r u − −  F( m , T – k ) 其中 SSEr 表示施加约束条件后估计模型的残差平方和；SSEu 表示未施加约束条件的估计模型 的残差平方和；m 表示约束条件个数；T 表示样本容量；k 表示非约束模型中被估参数的个数。 判别规则是，若 F < F (2, T - 4)，约束条件成立， 若 F  F (2, T - 4)，约束条件不成立。 例：（file: b1c4）中国国债发行额模型 首先分析中国国债发行额序列的特征。1980 年国债发行额是 43.01 亿元，占 GDP 当年总量 的 1%，2001 年国债发行额是 4604 亿元，占 GDP 当年总量的 4.8%。以当年价格计算，21 年间 （1980-2001）增长了 106 倍。平均年增长率是 24.9%。 0 1000 2000 3000 4000 5000 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 DEBT 中国当前正处在社会主义市场经济体制逐步完善，宏观经济运行平稳阶段。国债发行总量 应该与经济总规模，财政赤字的多少，每年的还本付息能力有关系。选择 3 个解释变量，国内 生产总值，财政赤字额，年还本付息额，根据散点图（略）建立中国国债发行额模型如下： DEBTt = 0 +1 GDPt +2 DEFt +3 REPAYt+ ut 其中 DEBTt 表示国债发行总额（单位：亿元），GDPt 表示年国内生产总值（单位：百亿元）， DEFt 表示年财政赤字额（单位：亿元），REPAYt 表示年还本付息额（单位：亿元）。用 19802001 年数据（资料来源：《中国统计年鉴》2002，表 8-19，表 3-1，表 8-1，表 8-20）得输出结果如 下； DEBTt = 4.31 +0.35 GDPt +1.00 DEFt +0.88REPAYt (11.7) (0.2) (2.2) (31.5) (17.8) R 2 = 0.9990, DW=2.12, T =22, SSEu= 48460.78, (1980-2001) 图 11.2

由上述4个变量的相关系数矩阵(图112)知,DEBT和GDP1的相关性最强。那么是否可 以从模型中删掉DEF和 REPAy呢? 可以用F统计量完成上述检验。原假设H是B3=B=0(约束DEF和 REPAY的系数为零) 给出约束模型估计结果如下 DEBT=-38840+4.49 GDP. (-3.1)(17.2) R2=0.94,DW=0.25,7=22,SSE=2942679,(1980-2001) 已知约束条件个数m=2,Tkl=18。根据(11.7)、(118)式,SSE=48460.78,SSE= 2942679。依照(11.6)式, F=(S-sE)/m=(2942679-4846078 537.5 SSE /(T-k-D 48460.78/(22-4) 因为F=537.5远远大于临界值Fo∞s(2,18)=3.5,所以拒绝原假设。不能从模型中删除解释变量 DEF和 REPAY EⅤiews可以有三种途径完成上述检验。 (1)在(11.7)式输出结果窗口中点击Vew,选 Coefficient Tests, Wald Coefficient Restrictions 功能(wald参数约束检验),在随后弹出的对话框中填入c(3)=c(4)=0。可得如图11.3结果。 其中F=537.5 Wald Test Equation: E@01 Test Statistic Valu df Probability F-statistic 53750502,18)0.000 Chi-square 1075012 Null Hypothesis Summary Normalized Restriction (0) alue Std. Err 09954030031613 C(4) 08797600049508 Restrictions are linear in coefficients 图11.3 (2)在(117)式输出结果窗口中点击vew,选 Coefficient Tests, Redundant variables Likelihood Ratio功能(模型中是否存在多余的不重要解释变量),在随后弹出的对话框中填入 DEF, REPAy。可得图11.4。计算结果同样是F=5375。 Redundant Variables: DEF REPAY F-statistic 537 5060 Probability Log likelihood ratio 90.33906 Probability 图114 (3)在(18)式输出结果窗口中点击View,选 Coefficient Tests, Omitted Variables- Likelihood Ratio功能(模型中是否丢了重要的解释变量),在随后弹出的对话框中填入拟加入的解释变量 DEF, REPAY。可得到如图11.5的结果。同样是F=5375

3 由上述 4 个变量的相关系数矩阵（图 11.2）知，DEBTt 和 GDPt 的相关性最强。那么是否可 以从模型中删掉 DEFt 和 REPAYt 呢？ 可以用 F 统计量完成上述检验。原假设 H0 是3 = 4 = 0（约束 DEFt 和 REPAYt 的系数为零）。 给出约束模型估计结果如下， DEBTt = -388.40 +4.49 GDPt (11.8) (-3.1) (17.2) R 2 = 0.94, DW=0.25, T =22, SSEr= 2942679, (1980-2001) 已知约束条件个数 m = 2，T- k-1 = 18。根据（11.7）、（11.8）式，SSEu= 48460.78，SSEr= 2942679。依照（11.6）式， F = /( 1) ( )/ − − − SSE T k SSE SSE m u r u = 48460.78 /(22 4) (2942679 48460.78)/ 2 − − = 537.5 因为 F=537.5 远远大于临界值 F0.05 (2, 18) =3.55，所以拒绝原假设。不能从模型中删除解释变量 DEFt 和 REPAYt。 EViews 可以有三种途径完成上述检验。 （1）在（11.7）式输出结果窗口中点击 View，选 Coefficient Tests, Wald Coefficient Restrictions 功能（Wald 参数约束检验），在随后弹出的对话框中填入 c(3) = c(4) = 0。可得如图 11.3 结果。 其中 F = 537.5。 图 11.3 （2）在（11.7）式输出结果窗口中点击 View，选 Coefficient Tests, Redundant Variables -Likelihood Ratio 功能（模型中是否存在多余的不重要解释变量），在随后弹出的对话框中填入 DEF，REPAY。可得图 11.4。计算结果同样是 F = 537.5。 图 11.4 （3）在（11.8）式输出结果窗口中点击 View，选 Coefficient Tests, Omitted Variables -Likelihood Ratio 功能（模型中是否丢了重要的解释变量），在随后弹出的对话框中填入拟加入的解释变量 DEF，REPAY。可得到如图 11.5 的结果。同样是 F = 537.5

Omitted Variables, DEF REPAY F-statistic 537 5060 Probability Log likelihood ratio 90 33906 Probability 图11.5 (4)JB正态性检验 在给出JB统计量的定义之前,先给出偏度( skewness)和峰度( kurtosis,峭度)的定义, 对于时间序列(yn,y2,…,y),偏度S定义为, 其中y是观测值,是样本平均数,表示y的标准差,s=1三 T是样本容量。由 公式知,若分布是以对称的,则偏度为零。所以若y服从正态分布,则偏度为零;若分布是 右偏倚的,则偏度S>0:若分布是左偏倚的,则偏度S3,反之则K<3。 JB( Jarque-Bera)统计量定义如下

4 图 11.5 （4）JB 正态性检验 在给出 JB 统计量的定义之前，先给出偏度（skewness）和峰度（kurtosis，峭度）的定义。 对于时间序列（y1, y2, …, yT），偏度 S 定义为， 3 1 ( ) 1 = − = T t t s y y T S 其中 yt 是观测值， y 是样本平均数，s 表示 yt 的标准差， 1 ( ) 1 2 − − = = T y y s T t t ，T 是样本容量。由 公式知，若分布是以 y 对称的，则偏度为零。所以若 yt 服从正态分布，则偏度为零；若分布是 右偏倚的，则偏度 S  0；若分布是左偏倚的，则偏度 S  0。 x < Md < Mo x = Md = Mo MO  Md  x 峰度 K 定义为 4 1 ( ) 1 = − = T t t s y y T K 其中 yt 是观测值， y 是样本平均数，s 是样本标准差，T 是样本容量。正态分布的峰度值为 3。 如果一个分布的两侧尾部比正态分布的两侧尾部“胖”，则该分布的峰度 K  3，反之则 K  3。 JB（Jarque-Bera）统计量定义如下， JB = ( 3) ] 4 1 [ 6 2 2 + − − S K T n   2 (2)

其中T表示观测值个数。对于直接得到的观测时间序列,取n=0。对于残差序列,取n等于原 回归模型中解释变量个数。S表示偏度。K表示峰度。计算结果 若JBx2(2),该分布不是正态分布 当用样本计算偏度和峰度时,T应换为T-1,σ2用y的样本方差s代替。 例:(fle:simu2,x) EViews操作如下。 ries: orkfile: SI12 spreadsheet eeze Edit+/- Smpl+/-Label+/ L: X Bar Graph ptive Statisti and Stat Tests for Descriptive Stats Stats by Classificati on 12000 ample 1 100000 10000 Observations 100000 8000 0.002371 Median 0.006320 4.546195 Minimum 4000 -0.014181 Kurtosis 3.009264 Jarque-Bera 3.709376 Probability 0. 156502 因为JB=3.71<x205(2)=599,所以上述分布为正态分布 0.5

5 其中 T 表示观测值个数。对于直接得到的观测时间序列，取 n = 0。对于残差序列，取 n 等于原 回归模型中解释变量个数。S 表示偏度。K 表示峰度。计算结果 若 JB   2 (2)，该分布为正态分布， 若 JB   2 (2)，该分布不是正态分布。 当用样本计算偏度和峰度时，T 应换为 T -1， 2 用 yt 的样本方差 s 2 代替。 例：（file: simu2, x）EViews 操作如下。 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 -2.5 0.0 2.5 Series: Y Sample 1 100000 Observations 100000 Mean 0.002371 Median 0.006320 Maximum 4.546195 Minimum -4.489619 Std. Dev. 0.998553 Skewness -0.014181 Kurtosis 3.009264 Jarque-Bera 3.709376 Probability 0.156502 因为 JB = 3.71 <  2 0.05 (2) = 5.99，所以上述分布为正态分布。 2 4 6 8 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

2800 2400 Sample 1 100000 2000 1600 Maximum 171e05 0288633 newness 0.001811 Kurtosis 400. Jarque-Bera 6009.177 0.75 因为JB=6009>x200(2)=599,所以上述分布不是正态分布。 英 K Pearson提出的分布律检验适用性更广。 (5)似然比(LR)检验 下面介绍三种常用的检验方法,即似然比(LR)检验,沃尔德(W)检验和拉格朗日( lagrange) 乘数(LM)检验。这三种检验所用统计量都是利用极大似然估计法计算的。LR检验由内曼 皮尔逊( Neyman- Pearson1928)提出,只适用于对线性约束的检验。W检验和LM检验既适用 于对线性约束条件的检验,也适用于对非线性约束条件的检验。 首先介绍LR检验。LR检验的基本思路是如果约束条件成立则相应约束模型与非约束模型 的极大似然函数值应该是近似相等的。用 logL(B, a2)=--l0g 2o2- ∑n2 (3) 表示非约束模型的极大似然函数。其中B和a2分别是对B(参数集合),a2的极大似然估计。 用 logl(b,0) 表示约束模型的极大似然函数。其中B和2分别是对B和σ2的极大似然估计。定义似然比 (LR)统计量为 LR=-2[ log L(B, 02)-l0gL(B, 62) 中括号内是两个似然函数之比(似然比检验由此而得名)。在零假设约束条件成立条件下 LR-(m) 其中m表示约束条件个数。用样本计算LR统计量。 判别规则是,若LRx2a(m),则拒绝零假设,约束条件不成立。 例:(fle:blc4)仍以中国国债发行总量(DEBT,亿元)模型为例。选择3个解释变量, 国内生产总值(百亿元),财政赤字额(亿元),年还本付息额(亿元),根据散点图建立中国国 债发行额(DEBT,亿元)模型如下:

6 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 Series: X Sample 1 100000 Observations 100000 Mean 0.499003 Median 0.499078 Maximum 0.999974 Minimum 1.71e-05 Std. Dev. 0.288633 Skewness 0.001811 Kurtosis 1.799088 Jarque-Bera 6009.177 Probability 0.000000 因为 JB = 6009 >  2 0.05 (2) = 5.99，所以上述分布不是正态分布。 英 K. Pearson 提出的分布律检验适用性更广。 （5）似然比（LR）检验 下面介绍三种常用的检验方法，即似然比（LR）检验，沃尔德（W）检验和拉格朗日（lagrange） 乘数（LM）检验。这三种检验所用统计量都是利用极大似然估计法计算的。LR 检验由内曼— 皮尔逊（Neyman-Pearson 1928）提出，只适用于对线性约束的检验。W 检验和 LM 检验既适用 于对线性约束条件的检验，也适用于对非线性约束条件的检验。 首先介绍 LR 检验。LR 检验的基本思路是如果约束条件成立则相应约束模型与非约束模型 的极大似然函数值应该是近似相等的。用 log L(  ˆ , 2  ˆ ) = - 2 T log 2 2  ˆ - 2 2 2 ˆ ˆ   t u (3) 表示非约束模型的极大似然函数。其中  ˆ 和 2  ˆ 分别是对 （参数集合），  的极大似然估计。 用 log L(  ~ , ~2  ) = - 2 T log 2 ~2  - 2 2 ~ 2 ~   t u (4) 表示约束模型的极大似然函数。其中  ~ 和 ~2  分别是对  和  2 的极大似然估计。定义似然比 （LR）统计量为 LR = - 2 [ log L(  ~ , ~2  ) - log L(  ˆ , 2  ˆ ) ] (5) 中括号内是两个似然函数之比（似然比检验由此而得名）。在零假设约束条件成立条件下 LR    (m) (6) 其中 m 表示约束条件个数。用样本计算 LR 统计量。 判别规则是，若 LR  2  (m) , 则拒绝零假设，约束条件不成立。 例：（file: b1c4）仍以中国国债发行总量（DEBTt，亿元）模型为例。选择 3 个解释变量， 国内生产总值（百亿元），财政赤字额（亿元），年还本付息额（亿元），根据散点图建立中国国 债发行额（DEBTt，亿元）模型如下：

DEBT:=B0+BI GDP+B2 DEF+B3 REPAY,+ ur 其中GDP表示年国内生产总值(百亿元),DEF表示年财政赤字额(亿元), REPAY表示年还 本付息额(亿元)。用1980-2001年数据得输出结果如下 DEBT=431 +0.35 GDP, +0.99 DEF, +O 88 REPAY (0.2)(2 (31.5)(17.8) R2=0.999,DW=2.12,T=22,logl=-115888(1980-2001) DEBTGDP DEFREPAY 100000096775109452470944498 09677110000008696430.954508 0945247 0869543 1000000 0.78795 09444809545080.78795710000 有相关系数矩阵知,DEBT;和GDP的相关性最强。那么是否可以从模型中删掉DEF和 REPAy呢? 用LR统计量检验是否可以对上式施加约束DEF和REPY的系数房=B=0。给出约束模 型估计结果如下, DEBT1=-38840+449GDP (11.8) (-3.1)(17.2) R2=094,DW=0.25,7=2,logL=-161.0583,(1980-2001) LR=-2[logL(B,G2)-lgL(B,a2)]=-2(-161.0583+115.888=90.34 因为LR=90.34>x2(2)=59,所以推翻原假设,即不能从模型中删除变量DEF1和 REPAY, 附录 EViews操作(1):在(11.7)式窗口中点击vew,选 Coefficient Tests, Redundant Variables Likelihood Ratio功能(模型中是否存在多余的不重要解释变量),在随后弹出的对话框中填入 DEF和 REPAy。可得如下结果 Redundant Variables: DEF REPAY F-statistic 537 5060 Probabilit Log likelihood ratio 90.33906 Probability EViews操作(2):在(1.8)式窗口中点击Vew,选 Coefficient Tests, Omitted Variables Likelihood Ratio功能(模型中是否丢了重要的解释变量),在随后弹出的对话框中填入拟加入 的解释变量DEF和REPY。也可得到如上结果。 (6)W检验 W检验的优点是只需估计无约東模型。当约束模型的估计很困难时,此方法尤其适用。 检验由沃尔德(wald1943)提出,适用于线性与非线性约束条件的检验 W检验的原理是测量无约束估计量与约束估计量之间的距离。先举一个简单例子。比如对 如下模型 y=B1xIt+B2x2r+ B3x3t+vr 检验线性约束条件负=B是否成立。W检验只需对无约束模型(进行估计,因为对约束模型, 上式必变化为y=月xn+B(x2x+x)+,所以对约束估计量B2和B3来说,必然有B2-B3=0

7 DEBTt = 0 +1 GDPt +2 DEFt +3 REPAYt+ ut 其中 GDPt 表示年国内生产总值（百亿元），DEFt 表示年财政赤字额（亿元），REPAYt 表示年还 本付息额（亿元）。用 1980-2001 年数据得输出结果如下； DEBTt = 4.31 +0.35GDPt +0.99 DEFt +0.88REPAYt (11.7) (0.2) (2.2) (31.5) (17.8) R 2 = 0.9990, DW=2.12, T =22, logL= -115.8888, (1980-2001) 有相关系数矩阵知，DEBTt 和 GDPt 的相关性最强。那么是否可以从模型中删掉 DEFt 和 REPAYt 呢？ 用 LR 统计量检验是否可以对上式施加约束 DEFt 和 REPAYt 的系数3 = 4 = 0。给出约束模 型估计结果如下， DEBTt = -388.40 +4.49 GDPt (11.8) (-3.1) (17.2) R 2 = 0.94, DW=0.25, T =22, logL= -161.0583, (1980-2001) LR = - 2 [ log L(  ~ , ~2  ) - log L(  ˆ , 2  ˆ ) ]= -2 (-161.0583 +115.8888) = 90.34 因为 LR = 90.34  2 (2) = 5.99，所以推翻原假设，即不能从模型中删除变量 DEFt 和 REPAYt。 附录： EViews 操作（1）：在(11.7)式窗口中点击 View，选 Coefficient Tests, Redundant Variables -Likelihood Ratio 功能（模型中是否存在多余的不重要解释变量），在随后弹出的对话框中填入 DEF 和 REPAY。可得如下结果。 EViews 操作（2）：在(11.8)式窗口中点击 View，选 Coefficient Tests, Omitted Variables -Likelihood Ratio 功能（模型中是否丢了重要的解释变量），在随后弹出的对话框中填入拟加入 的解释变量 DEF 和 REPAY。也可得到如上结果。 （6）W 检验 W 检验的优点是只需估计无约束模型。当约束模型的估计很困难时，此方法尤其适用。W 检验由沃尔德（Wald 1943）提出，适用于线性与非线性约束条件的检验。 W 检验的原理是测量无约束估计量与约束估计量之间的距离。先举一个简单例子。比如对 如下模型 yt = 1 x 1t + 2 x2 t + 3 x3 t + vt (7) 检验线性约束条件2 = 3 是否成立。W 检验只需对无约束模型(7)进行估计，因为对约束模型， 上式必变化为 yt = 1 x 1t + 2 (x2t + x3t) + vt ，所以对约束估计量 2 ~  和 3 ~  来说，必然有 2 ~  - 3 ~  = 0

如果约束条件成立,则无约束估计量2-B3应该近似为零。如果约束条件不成立,则无约束估 计量B2B3应该显著地不为零。关键是要找到一个准则,从而判断什么是显著地不为零。 首先需要知道(B2-B3)的抽样分布。依据经典回归的假定条件,(B2-B3)服从均值为 (B-B),方差为Ma(B2-B3)的正态分布。通常W(B2-B3)是未知的,使用的是wa(2-B3) 的样本估计量,定义W统计量为, 2-/√m(A2-)~NO,D) 在约束条件成立条件下,W渐进服从N(0,1)分布 下面讨论多个约束条件的情形。假定若干约束条件是以联合检验的形式给出 fB)=0 其中∫表示由约束条件组成的列向量。用B表示施加约束条件后对参数集合{B,B,…,B} 的估计。若把B代入上式,则上式一定成立。当把无约束估计值β代入上式时,通常上式不 会成立。W统计量定义如下, w=f()(xm)ar((p))(mxm)f()(mxl) 其中∫B)是用B代替B后的fB)表达式,VarB)是爪B)的估计的方差协方差矩阵。计算公 式如下 Arff(B) vartAn kxk) (10) 其中可()/B表示AB用无约束估计量B代替后的偏导数矩阵,其中第i行第j列位置上的 元素表示第i个约束条对第j个无约束估计量的偏导数值。Ⅴar(B)是B的估计的方差协方差矩 阵 在约束条件成立条件下,W=fBy[var(fB)]fB)渐近服从x2m)分布。 W=f(B(wmyn(fB)mxm)f(B(m)~-xom) 其中m表示被检验的约束条件的个数 举一个非线性约束的例子如下。假定对模型 y=B1xn+A2xn+B3 x13+ ur 检验约束条件BB=B是否成立。用B1,B2和B3分别表示,鱼和房的非约束估计量。B1 B2和B3既可以是极大似然估计量,也可以是最小二乘估计量。因为对于本例几B)只含有 个约束条件,所以改用fB)表示,有 f(B)=B B2-B3 (B=(9y(B)=(2B1-1

8 如果约束条件成立，则无约束估计量 2 ˆ  - 3 ˆ  应该近似为零。如果约束条件不成立，则无约束估 计量 2 ˆ  - 3 ˆ  应该显著地不为零。关键是要找到一个准则，从而判断什么是显著地不为零。 首先需要知道（ 2 ˆ  - 3 ˆ  ）的抽样分布。依据经典回归的假定条件，（ 2 ˆ  - 3 ˆ  ）服从均值为 （2-3），方差为 Var( 2 ˆ  - 3 ˆ  ) 的正态分布。通常 Var( 2 ˆ  - 3 ˆ  ) 是未知的，使用的是 Var( 2 ˆ  - 3 ˆ  ) 的样本估计量，定义 W 统计量为， W = ) ˆ ˆ ) Var( ˆ ˆ (2 − 3 2 − 3  N(0, 1) 在约束条件成立条件下，W 渐进服从 N(0, 1) 分布。 下面讨论多个约束条件的情形。假定若干约束条件是以联合检验的形式给出， f( ) = 0, (8) 其中 f() 表示由约束条件组成的列向量。用  ~ 表示施加约束条件后对参数集合 {1, 2, …, k } 的估计。若把  ~ 代入上式，则上式一定成立。当把无约束估计值  ˆ 代入上式时，通常上式不 会成立。W 统计量定义如下， ( 1) 1 ( ) ' (1 ) ) ˆ )) ( ˆ ) ( ( ˆ (  −   = W m m m m f  Var f  f  (9) 其中 f(  ˆ )是用  ˆ 代替 后的 f( )表达式，Var(f(  ˆ )) 是 f(  ˆ )的估计的方差协方差矩阵。计算公 式如下：   ' ( ) ( ) ( ) ˆ ) ˆ ( ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( )) ˆ ( ( k m k k m k                        =       f Var f Var f (10) 其中   ˆ ) ˆ f (  表示 f() 用无约束估计量  ˆ 代替后的偏导数矩阵，其中第 i 行第 j 列位置上的 元素表示第 i 个约束条对第 j 个无约束估计量的偏导数值。Var(  ˆ ) 是  ˆ 的估计的方差协方差矩 阵。 在约束条件成立条件下，W = f(  ˆ )' [Var( f(  ˆ ) ) ] –1 f(  ˆ ) 渐近服从   (m) 分布。 ( 1) 1 ( ) ' (1 ) ) ˆ )) ( ˆ ) ( ( ˆ (  −   = W m m m m f  Var f  f     (m) 其中 m 表示被检验的约束条件的个数， 举一个非线性约束的例子如下。假定对模型 yt = 1 xt1 +2 xt2 +3 xt3 + ut （11） 检验约束条件 1 2 = 3 是否成立。用 , ˆ  1 2 ˆ  和 3 ˆ  分别表示 ， 和  的非约束估计量。 1 ˆ  ， 2 ˆ  和 3 ˆ  既可以是极大似然估计量，也可以是最小二乘估计量。因为对于本例 f(  ˆ ) 只含有一 个约束条件，所以改用 f(  ˆ ) 表示，有 f (  ˆ ) = 1 ˆ  2 ˆ  - 3 ˆ  (12)   ˆ ) ˆ (  f = ( 1 ˆ ) ˆ (    f 2 ˆ ) ˆ (    f 3 ˆ ) ˆ (    f ) = ( 2 ˆ  1 ˆ  -1 ), (13)

Var() Cov(Bi B2)Cov B,B3) Var( B)=Cov(B1B2) Var(B2)Cov(B2B,) Cov(B,B3)Cov(B2 B3) Var(B3) AI Var(B)=(B2 B-1)Var(B)B 根据(9)式,W统计量的具体表达式是 W=-(P1B2-B3) 「B2 (B2 B-1)Var(P)Pl 在零假设BB=B成立条件下,W统计量近似服从x2(1)分布 例:( file: nonoil2)对台湾制造业生产函数,检验/B=0.5是否成立。 Lny=-8.4010+0.6731Lnxn+1.1816Lnx (15) (-3.1)(4.4) R2=0.98,F=3358,DW=1.3,T=15,(1958-1972) 检验B/B=0.5是否成立。 变换约束条件为 B2-0.56=0 因为只有一个约束条件,则 八B)=f(B)=B2-0.56 (B)=9()9902)=(0105) Coefficient Covariance Matrix OG(X1)L LOG C 73859620377604081578 LoG(X1)03776040023453004378 LoG(X2)081567800438780091226 在(15式窗口中点击Vew,选 Coefficient Covariance功能。 738600.3776-0.8157 Var(B)=037760.0235-00439 0.8157-0.04390.0912 Varve)=(g(B) 可f(B) )(var(B))() B

9 Var(  ˆ ) =             ) ˆ ) Var( ˆ ˆ ) Cov( ˆ ˆ Cov( ) ˆ ˆ ) Cov( ˆ ) Var( ˆ ˆ Cov( ) Cov ˆ ˆ ) ˆ ˆ ) Cov( ˆ Var( 1 3 2 3 3 1 2 2 2 3 1 1 2 1 3                (14) 和 Var(f(  ˆ )) = ( 2 ˆ  1 ˆ  -1) Var( ) ˆ              −1 ˆ ˆ 1 2   , 根据（9）式，W 统计量的具体表达式是， W =             −           − − 1 ˆ ˆ ) ˆ 1) ( ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ( 1 2 2 1 2 1 2 3         Var 在零假设 1 2 = 3 成立条件下，W 统计量近似服从   (1) 分布。 例：（file: nonli12）对台湾制造业生产函数，检验1/2 = 0.5 是否成立。  Lnyt = -8.4010 + 0.6731 Lnxt1 + 1.1816 Lnxt2 (15) (-3.1) (4.4) (3.9) R 2 = 0.98, F = 335.8, DW=1.3, T=15, (19581972) 检验2/3 = 0.5 是否成立。 变换约束条件为 2 - 0.53 = 0 因为只有一个约束条件，则 f(  ˆ ) = f (  ˆ ) = 2 - 0.53   ˆ ) ˆ (  f = ( 1 ˆ ) ˆ (    f 2 ˆ ) ˆ (    f 3 ˆ ) ˆ (    f ) = (0 1 -0.5 ) 在(15)式窗口中点击 View，选 Coefficient Covariance 功能。 Var(  ˆ ) =           − − − − 0.8157 0.0439 0.0912 0.3776 0.0235 0.0439 7.3860 0.3776 0.8157 Var(f(  ˆ )) = (   ˆ ) ˆ (  f ) (Var(  ˆ ) ) (   ˆ ) ˆ (  f )

738600.3776-0.815710 =p1-05]037760023500911-00903 0.8157-0.04390.0912 fB)=f(B)=B2-0.56=(0.6731-0.5×1.1816)=0.0823 w=f B)[Var(B))]fB) =0.0823( 0093)0.0823≈0823)2 0.0750 0.0903 因为W=0075<2(1)=3.8,所以,约束条件B=B1=0被接受,成立 在(15)式窗口中点击view,选 Coefficient Tests,Wad- Coefficient Restrictions功能得 m Equation: EQ01 Workfile: HONLI12 JO View Procs objects Print Name Freeze Estimate Forecastst Wald Test Equation: EQ01 Null Hypothesis: C(2)/C(=0.5 F-statistic 0.065787 Probability 0801917 Chi-square 0.065787 Probability 0.797573 概率大于0.05,说明统计量落在了零假设的接收域。结论是接受原假设(约束条件成立)。 (7)LM乘数检验 与W检验不同的是拉格朗日( Lagrange)乘数(LM)检验只需估计约束模型。所以当施 加约束条件后模型形式变得简单时,更适用于这种检验。LM检验是由艾奇逊一西尔维 ( Aitchison- Silvey1960)提出的。LM检验另一种表达式是由拉奥(Rao1948)提出的,称为得 分检验。 首先给出非约束模型的对数似然函数 B L(B, 0) 对于非约束极大似然估计量B必然有 gL 0.b (17) aB 若约束条件成立,则施加约束条件下房的极大似然估计量B,应与不施加约束条件下房的极大 似然估计量B非常接近。也就是说aogL/B,应近似为零。LM检验的原理是如果 alogL/aB 显著地不为零,则约束条件不成立。LM统计量定义为 aB)((B)-1(logL (18) 其中( alogL/aB)是以( voglI)为元素组成的列向量,同时用β,替换了B。B)称为信 息矩阵,其逆矩阵是B,的方差协方差矩阵。在约束条件成立条件下,LM近似服从x2m)分布。 LM-X(m)

10 = 0 1 − 0.5           − − − − 0.8157 0.0439 0.0912 0.3776 0.0235 0.0439 7.3860 0.3776 0.8157           − 0.5 1 0 = 0.0903 f(  ˆ ) = f (  ˆ ) = 2 - 0.53 = (0.6731-0.51.1816) = 0.0823 W = f(  ˆ )' [Var( f(  ˆ ) ) ]-1 f(  ˆ ) = 0.0823 ( 0.0903 1 ) 0.0823 = 0.0903 (0.0823) 2 = 0.0750 因为 W = 0.075 <   (1) = 3.8，所以，约束条件0 = 1 = 0 被接受，成立。 在(15)式窗口中点击 View，选 Coefficient Tests, Wald-Coefficient Restrictions 功能得 概率大于 0.05，说明统计量落在了零假设的接收域。结论是接受原假设（约束条件成立）。 （7）LM 乘数检验。 与 W 检验不同的是拉格朗日（Lagrange）乘数（LM）检验只需估计约束模型。所以当施 加约束条件后模型形式变得简单时，更适用于这种检验。LM 检验是由艾奇逊—西尔维 （Aitchison-Silvey 1960）提出的。LM 检验另一种表达式是由拉奥（Rao 1948）提出的，称为得 分检验。 首先给出非约束模型的对数似然函数 logL( ,   ) (16) 对于非约束极大似然估计量  ˆ j 必然有 j logL  ˆ   = 0,  j (17) 若约束条件成立，则施加约束条件下 j 的极大似然估计量  j ~ 应与不施加约束条件下j 的极大 似然估计量  ˆ j 非常接近。也就是说 logL/  j ~ 应近似为零。LM 检验的原理是如果 logL/  j ~ 显著地不为零，则约束条件不成立。LM 统计量定义为 LM = (  ~  logL )' (I( 1 )) ~ −  ( ~ )  logL (18) 其中（logL/  ~ ）是以（logL/j）为元素组成的列向量，同时用  j ~ 替换了j 。I(  ~ ) 称为信 息矩阵，其逆矩阵是  j ~ 的方差协方差矩阵。在约束条件成立条件下，LM 近似服从  2 (m) 分布。 LM   2 (m)