理论力学
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第十二章动量矩定理 §12-1动量矩 §12-2动量矩定理 §12-3刚体定轴转动微分方程 §12-4刚体对轴的转动惯量 d§12-5质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程 习题课
2 §12–1 动量矩 §12–2 动量矩定理 §12–3 刚体定轴转动微分方程 §12–4 刚体对轴的转动惯量 §12–5 质点系相对于质心的动量矩定理 · 刚体平面运动微分方程 习题课 第十二章 动量矩定理
力单 质点 动量定理:质点系动量的改变>外力(外力系主矢) 质心运动定理:质心的运动→外力(外力系主矢) 若当质心为固定轴上一点时,v=0,则其动量恒等于零, 质心无运动,可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了 质点和质点系相对于某固定点(固定轴)的动量矩的改变与外 力对同一点(轴)之矩两者之间的关系。 §12-1动量矩 质点的动量矩 质点对点O的动量矩:m0(mv)=F×m矢量 质点对轴z的动量矩:m(mV)=mo(m)代数量
3 质点 动量定理： 质点系 动量的改变—→外力（外力系主矢） 若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了 质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外 力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。 §12-1 动量矩 一．质点的动量矩 质点对点O的动量矩： 矢量 质点对轴 z 的动量矩： 代数量 m mv r mv O ( )= ( ) ( ) z O xy m mv =m mv 质心运动定理：质心的运动—→外力（外力系主矢）
B Z m1 mo(mv )=240AB ma (1 m(m)=+2△O4B mo(mv) 正负号规定与力对轴矩的规定相同 B/5对着轴看:顺时针为负 A ny 逆时针为正 质点对点O的动量矩与对轴z的动量矩之间的关系: m(v=m (mv 动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。kgm2 二.质点系的动量矩 质系对点O动量矩:=∑m0(m1)=∑石xmv 质系对轴z动量矩:L2=∑mm)E]
4 质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系： m (m(v) m (mv) O z = z mO (mv) =2OAB m (mv) 2 OA'B' z = 正负号规定与力对轴矩的规定相同 对着轴看：顺时针为负 逆时针为正 二．质点系的动量矩 质系对点O动量矩： 质系对轴z 动量矩： O O i i i i i L =m (m v )=r m v z z i i LO z L =m (m v )= kg·ｍ2 动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。 /s
学 刚体动量矩计算: 1.平动刚体Lo=m(mC)= re xmv (∑×m1v1=∑m×WC=Xm) L=m (mvc) 平动刚体对固定点(轴)的动量矩等于刚体质心的动量对该点 (轴)的动量矩。 2.定轴转动刚体L2=m2(m1v1)=∑m20=1= 定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速 度的乘积。 3.平面运动刚体L=m2(mvCc)+lcO 平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩,等于 刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴 作转动时的动量矩之和
5 3．平面运动刚体 平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于 刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴 作转动时的动量矩之和。Lz =mz mi vi =mi ri =Iz 2 ( ) Lz =mz (mvC )+I C 刚体动量矩计算： 1．平动刚体 O O C C C L =m (mv )=r mv ( ) i i i i i C C C r m v =m r v =r mv ( ) z z C L =m mv 平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点 （轴）的动量矩。 2．定轴转动刚体 定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速 度的乘积
学 例1滑轮A:m,R1,R12R2, 滑轮B:m2,R2,l2;物体C:m3 M YO A 求系统对O轴的动量矩。 解:Lo=LO4+LOg+LoC B =1m1+(202+m22R)+my2R 13 v3=v2=R2O2221 =(n2+2+m2+m3)R23 RR
6 3 2 2 2 1 1 2 1 v = v = R = R 2 2 3 2 3 2 2 2 2 1 ( m m )R v R I R I LO = + + + LO =LOA +LOB +LOC 1 1 2 2 2 2 2 3 3 2 = I + (I + m v R ) + m v R 解： [例1] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，I1 滑轮B：m2，R2，I2 ；物体C：m3 求系统对O轴的动量矩
学 §12-2动量矩定理 一.质点的动量矩定理 d(mv) =F 2 两边叉乘矢径F,有F d(my h×F 7mm)=rxm左边可写成 mny ×一 =(F×mv dt dt t X 而xm=Xmv=0,F×F=m0(F) dt 故: 下Xm)F×F,a[m(m)=m(F 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数,等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。 7
7 F dt d mv = ( ) §12-2 动量矩定理 一．质点的动量矩定理 两边叉乘矢径 , 有 r F dt d mv r = ( ) r 左边可写成 mv dt dr r mv dt d dt d mv r = ( ) − ( ) mv v mv 0 , r F m (F ), dt dr 而 = = = O ( ) , [m (mv )] m (F ) dt d r mv r F dt d = O = O 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。 故：
力单 将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影,得 m,(mv)=m,(F)d m1(m)=m,(F),m2(m)=m2(F 上式称质点对固定轴的动量矩定理,也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数, 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。 若m(F)=0(m(F)=0)则m(m)=常矢量(m(m)=常量) 称为质点的动量矩守恒
8 将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得 ( ) ( ), ( ) ( ), m (mv ) m (F) dt d m mv m F dt d m mv m F dt d x = x y = y z = z 上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。 称为质点的动量矩守恒。 若 m (F )=0 (m (F )=0) O z 则 mO (mv )= 常矢量 (m (mv)=常量) z
学 例2单摆已知m,l,t=0时∝=q,从静止 开始释放。求单摆的运动规律。 解:将小球视为质点。 受力分析;受力图如图示。 T mo(F)=mo(T)+mo(mg)=-mglsin 运动分析:v=l(,⊥OM。m(mV)=m10=m12q g 由动量矩定理m2(m)=mn(F) ap a(ml0)=-mglsin, i+ sin=0 微幅摆动时,sinφ≈φ,并令n 2=1 则+O2g=0 解微分方程,并代入初始条件(t=0,q=卯o,0=0)则运动方程 0=90V7,摆动周期7=2(
9 运动分析： v = l , ⊥OM 。 mO (mv)=ml l=ml 2 由动量矩定理 即 m (mv ) m (F ) dt d O = O ( ) sin , sin 0 2 = − + = l g ml mgl dt d 微幅摆动时， sin , 并令 l ，则 g n = 2 0 2 +n = 解微分方程,并代入初始条件 (t = 0, =0 , 0 = 0) 则运动方程 t l g cos =0 ，摆动周期 l g T = 2 mO (F )=mO (T )+mO (mg)=−mglsin 解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。 [例2] 单摆 已知m，l，t =0时= 0，从静止 开始释放。 求单摆的运动规律
力单 注:计算动量矩与力矩时,符号规定应一致(本题规定逆时 针转向为正) 质点动量矩定理的应用: 在质点受有心力的作用时。 质点绕某心(轴)转动的问题。 10
10 注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时 针转向为正） 质点动量矩定理的应用： 在质点受有心力的作用时。 质点绕某心（轴）转动的问题