理论力学 第十
1
第十四章动能定理 §141力的功 §14-2动能 §14-3动能定理 §144功率·功率方程 §14-5势力场·势能·机械能守恒定理 §146动力学普遍定理及综合应用
2 §14–1 力的功 §14–2 动能 §14–3 动能定理 §14–4 功率 · 功率方程 §14–5 势力场 · 势能 · 机械能守恒定理 §14–6 动力学普遍定理及综合应用 第十四章 动能定理
学 与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同,动能定理用 能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重 要的应用,而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能 定理建立了与运动有关的物理量一动能和作用力的物理量—功 之间的联系,这是一种能量传递的规律。 14-1力的功 力的功是力沿路程累积效应的度量。 常力的功 W=FS a Mi M M2 =F S 力的功是代数量。a时负功。 单位:焦耳(J);1J=1Nm 3
3 与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用 能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重 要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能 定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功 之间的联系，这是一种能量传递的规律。 14-1 力的功 力的功是力沿路程累积效应的度量。 F S W FS = = cos 力的功是代数量。 时,正功； 时,功为零； 时,负功。 单位：焦耳（Ｊ）； 2 2 = 2 1J=1N1m 一．常力的功
学 二,变力的功 元功:W= Cosas -fds F·c ar Xdx+dv+zd (F=Xi+yj+Zk, dr=dxi+dv +dck F dr= Xdx+Yay+zdz 力F在曲线路程MM,中作功为 M W=∫ Fcosads=∫Fs(自然形式表达式) MI M F dr (矢量式) =「Xx+hy+Zh(直角坐标表达式) M
4 二．变力的功 F ds = = F dr = Xdx +Ydy + Zdz (F = Xi +Yj + Zk ,dr = dxi + dyj + dzk F dr = Xdx+Ydy + Zdz) 力 F 在曲线路程 M1 M2 中作功为 = = 2 1 2 1 cos M M M M W F ds F ds （自然形式表达式） = 2 1 M M F dr （矢量式） = + + 2 1 M M Xdx Ydy Zdz （直角坐标表达式） 元功： W =Fcosds
学 合力的功 质点M受n个力F,2…F作用合力为R=∑F则合力R 的功 M W=」Rd=(F1+F2+…+Fn)d M1 M M =「Fc+「F+…+「F1=W+W2+…+Wn 即 W=∑W 在任一路程上,合力的功等于各分力功的代数和
5 三．合力的功 质点M 受n个力 作用合力为 则合力 的功 F F Fn , , , 1 2 R = Fi R W R dr F F F dr n M M M M = = + ++ ( ) 2 1 2 1 1 2 F dr F dr F dr M M n M M M M = + ++ 2 1 2 1 2 1 1 2 W W +Wn = + + 1 2 即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。 W =Wi
力单 四.常见力的功 M 1.重力的功 M 质点:重力在三轴上的投影: mgh X=0,=0,Z=-mg Wy=「-mgt=mg(=1-=z2) 1 质点系:W=W=m8(=1-=2)=Mg(=1-=c2) 质点系重力的功,等于质点系的重量与其在始末位置重 心的高度差的乘积,而与各质点的路径无关
6 四．常见力的功 1．重力的功 = − = − 2 1 ( ) 1 2 z z W mgdz mg z z 质点系： ( ) ( ) i i i1 i2 C1 C2 W =W =m g z −z =Mg z −z 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重 心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。 X =0,Y =0, Z =−mg 质点：重力在三轴上的投影：
学 2.弹性力的功 弹簧原长lo,在弹性极限内F=-k(r-1) k弹簧的刚度系数,表示使弹簧发生单位 变形时所需的力。Nm,Ncm。on=F/r w=Fdr=]-k(r-lo Fo dr M M ro d r==dr= d(rr) )=2n(2)=d EXX 12 \M2 62 2[(-)2-(2-0)2]令6=-062=n2 即W=k(12-02)弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 变形有关,而与质点运动的路径无关。 7
7 2．弹性力的功 弹簧原长 ，在弹性极限内 k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位 变形时所需的力。N/m , N/cm。。 0 l 0 0 F =−k(r−l )r r r/r 0 = = = − − 2 1 2 1 0 0 ( ) m M M M W F dr k r l r dr d r dr r d r r r dr r r r dr = = = ( )= 2 1 ( ) 2 1 2 0 2 0 0 ( ) 2 ( ) 2 1 2 1 d r l k W k r l dr r r r r = − − =− − 1 1 0 2 2 0 2 2 0 2 1 0 [( ) ( ) ] , 2 r l r l r l r l k = − − − 令 = − = − ( ) 2 2 2 1 2 = − k 即 W 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 变形有关，而与质点运动的路径无关
学 3.万有引力的功w=cmn 万有引力所作的功只与质点的始末位置有关,与路径无关。 4.作用于转动刚体上的力的功,力偶的功 设在绕z轴转动的刚体上M点作用有力F,计算刚体转过 角度时力F所作的功。M点轨迹已知F=F+Fn+E sw=Fds=F rdo=m (f)do (9=92-):=了m(Fl 作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。 如果作用力偶,m,且力W=」mdo 偶的作用面垂直转轴 若m=常量,则W=m(2-91) 注意:功的符号的确定
8 W =F ds=F rd=mz (F)d ( ) =2 −1 = 2 1 ( ) W mz F d 作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。 = 2 1 W md 若m = 常量, 则 ( ) W = m 2 −1 注意：功的符号的确定。 3．万有引力的功 ) 1 1 ( 2 1 0 r r W = Gmm − 万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。 如果作用力偶，m , 且力 偶的作用面垂直转轴 4．作用于转动刚体上的力的功，力偶的功 设在绕 z 轴转动的刚体上M点作用有力 ，计算刚体转过 一角度 时力 所作的功。M点轨迹已知。 F F F = F + Fn + Fb
功学 5.摩擦力的功 (1)动滑动摩擦力的功W=1-Fs=-JfNb N=常量时,WfNS,与质点的路径有关。 (2)圆轮沿固定面作纯滚动时,滑动摩擦力的功 正压力N,摩擦力F作用于瞬心C处,而瞬心的元位移 C=vcd=08=Fd=F·va=0 (3)滚动摩擦阻力偶m的功 若m=常量则W=-m=m8 R
9 dr=vC dt=0 W =Fdr=FvC dt=0 正压力 N ，摩擦力 F 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移 (2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 (3) 滚动摩擦阻力偶m的功 5．摩擦力的功 (1) 动滑动摩擦力的功 = − =− 1 2 1 2 ' M M M M W F ds f Nds N=常量时, W= –f´N S, 与质点的路径有关。 R s 若m = 常量则 W =−m =−m
学 五.质点系内力的功 oW=Fdra+F'-drB=F.dr-F-drB =F d(ra-rB)=Fd( BA B IB 只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。 不可伸长的绳索内力功之和等于零 10
10 五．质点系内力的功 只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。 不可伸长的绳索内力功之和等于零。 A B W =Fdr +F' dr A B =Fdr −Fdr ( ) A B =Fd r −r =Fd(BA)