西安交通大学IE'ANJIAOTONG UNIVEESITY第2章自动控制系统的数学模型2.1控制系统的微分方程2.2控制系统的传递函数2.3方块图2.4控制系统的信号流图
第2章 自动控制系统的数学模型 2.1 控制系统的微分方程 2.2 控制系统的传递函数 2.3 方块图 2.4 控制系统的信号流图
西安交通大学IE'ANJIAOTONG UNIVEESITT2.1控制系统的微分方程2.1.1机械系统2.1.2电路系统2.1.3机电系统
2.1 控制系统的微分方程 2.1.1 机械系统 2.1.2 电路系统 2.1.3 机电系统
西安交通大学EEANJLAROTONAENIVEESTY2.1.1机械系统1.质量、弹簧、阻尼器系统。假设壁摩擦为粘性摩擦，试建立系统的微分方程biky墙摩擦bM质量Myyr(t)r(t)力dy+ky=r(t)r(t)-bdt2dt2dtdt
1． 质量、弹簧、阻尼器系统 。假设壁摩擦为粘性摩擦，试建 立系统的微分方程。 2 2 d d ( ) d d − − = y y r t b k y M t t k 墙摩擦b r(t) y 力 y by ky 质量M M r(t) 2.1.1 机械系统 2 2 d d ( ) d d + + = y y M b k y r t t t
西安交通大学EEANJLROTONGENIVEESTY2.1.1机械系统机械系统如图所示,r(t）为外力，M，M,为质量，b,和b,为阻尼系数的逮度和移为输入时为弹性系数。求以质量多为输出，的系统的微分方程。4 b,(n -v2)kx2+b,-,///LZ/L//Z//LM,M,M.r()b,(vf-y2)v,()1x;()Mii +b,(vi -V2)+b2Vi = rM,v0x(0)r(0)M,i2 + kx2 = b,(vi -V2)机械系统
r t( ) M1 M2 2.1.1 机械系统 机械系统如图所示, 为外力， ， 为质量， 和 为阻尼系数, 为弹性系数。求以质量 的速度 和位移 为输出， 为输入时 的系统的微分方程。 1 b 2 b k 1 v 1 x M1 r t( ) 2 b k 1 b M2 M1 r(t) v (t) 2 x (t) 2 x (t) 1 v (t) 1 机械系统 M v + b (v − v )+ b v = r 1 1 1 1 2 2 1 ( ) 2 2 2 1 1 2 M v + kx = b v − v M2 2 kx( ) 1 1 2 b v − v M1 2 1 b v ( ) 1 1 2 b v − v r(t)
西安交通大学IE'ANJLAROTONAENIVEESTY2.1.1机械系统2．设有一倒立摆安装在带有电动机的驱动车上，控制力作用于小车上，假设摆杆的重心位于其几何中心，试求这个系统的微分方程。EcosemgmgHHMMV
2． 设有一倒立摆安装在带有电动机的驱动车上，控制力作用于 小车上，假设摆杆的重心位于其几何中心，试求这个系统的 微分方程。 y o x x cos mg P u M 2.1.1 机械系统 y o x x mg u M V V H H
西安交通大学EEANJIROTONGNIVEESTY2.1.1机械系统简化物理模型列写控制系统各部分的微分方程在平衡点附近线性化系统的微分方程：线性化的方程：各部分的微分方程：(M+m)x+mlé= u=Vlsine-Hl cose10=Vl0-Hld2"d(x+ sin0)= Hmm(x+l0)=H(I + ml2)0 + mlx = mgl 0d?V- mg = 0(l cos)= V-mgmdtd'xMu-Hdt2
• 简化物理模型 • 列写控制系统各部分的微分方程 • 在平衡点附近线性化 2 2 d ( sin ) d m x H t + = 2 2 d ( cos ) d m V mg t = − 2 2 d d x M u H t = − 各部分的微分方程： I V H = − sin cos 线性化的方程： I V H = − m x H ( ) + = V mg − = 0 系统的微分方程： ( ) M m x m u + + = 2 ( ) I m m x mg + + = 2.1.1 机械系统
西安交通大学EEANJLROTONAENIVEESTY2.1.2.电路系统1：由电阻、电感和电容组成的无源网络如图所示，试列写以为输入量，为输出量的网络微分方程。RLdi(t)[ i(t)dt + Ri(t) = u;(t)3CRdti(t)C= u(t)u,;(t)[i(t)dtu (t) = 0消去中间变量（t），可得该无源网络的微分方程为d’u. (t)du.(t)RC1.u.(t) = u(t)dt?dt
1．由电阻、电感和电容组成的无源网络如图所示，试列写以为输 入量，为输出量的网络微分方程。 L i(t) R C u (t) ui(t) o i d ( ) 1 ( )d ( ) ( ) d i t L i t t Ri t u t t C + + = o 1 u t i t t ( ) ( )d C = 消去中间变量 i t( ) ，可得该无源网络的微分方程为 2 o o 2 o i d ( ) d ( ) ( ) ( ) d d u t u t LC RC u t u t t t + + = 2.1.2 电路系统
西安交通大学EE'ANRENRRS2.1.2.电路系统相似系统：RL3OG墙摩擦bi(t)uo(t)u;(t)质量MyOr(t)力dy11u(tVRC1.0u.(t) =u(t)Mbk1y=r(t)十di?dt?dtdt
L i(t) R C u (t) ui(t) o 2 2 d d ( ) d d + + = y y M b k y r t t t 2 o o 2 o i d ( ) d ( ) ( ) ( ) d d u t u t LC RC u t u t t t + + = 相似系统: k 墙摩擦b r(t) y 力 质量M 2.1.2 电路系统
西安交通大学EEANJLAROTONAENIVEESTY2.1.2.电路系统2．一有源电路如图所示，试求其输出电压与输入电压之间的关系。i2R2i2R2i3Ri1Rii1e_e_KKeieieoeoOOOOu_ =u = 0i=i+id(u_ -u)u-uu_-u.i=5=RdtR2duou.u;有源网络的微分方程为dtR2R
2． 一有源电路如图所示，试求其输出电压与输入电压之间的关系。 i e oe 1 i R1 −e − + 2 i C 3 i R2 + e K R1 2 i R2 + e−e − + i e oe 1 i K 1 2 3 i i i = + u u 0 − + = = i 1 1 u u i R − − = o 2 d( ) d − − = u u i C t o 3 2 − − = u u i R o o i 2 1 d d u u u C t R R 有源网络的微分方程为 − − = 2.1.2 电路系统
西安交通大学EEANJLROTONAENIVEESTY2.1.2.电路系统已知某运算放大器的输出分别反馈到放大器的正输入端和负输R入端，如图所示。其中NR为负反馈率，P=为正反馈率R +Rr+R如果图中的运算放大器为非理想运放，实际模型可用如下两个表107达式来描述：i=i=0[V-V.]试求该电路的微分方程。ouls+1VRoutVn= Ri+(V. -V)+rR+rR.m+0Mo+V, = R.i+R,i+V.214107R(V-V.)ou5+1V分out(1-N)107(N-1)107Voll(P-N)107 -(s+ 1) =s+1+(N - P)107Vin
( ) out in in V V R i V V r R r = + − + − + + V R i R i V in in f out = + + 7 10 ( ) 1 V V V out s = − + − + 7 7 7 7 (1 )10 ( 1)10 ( )10 ( 1) 1 ( )10 out in V N N V P N s s N P − − = = − − + + + − 2.1.2 电路系统 已知某运算放大器的输出分别反馈到放大器的正输入端和负输 入端，如图所示。其中 为负反馈率， 为正反馈率。 如果图中的运算放大器为非理想运放，实际模型可用如下两个表 达式来描述： in in f R N R R = + r P r R = + i i 0 + − = = 7 10 [ ] 1 V V V out s = − + − + 试求该电路的微分方程。 − + +− Rin Rf R r Vin Vout+− v− v+