西安交通大学IE'ANJIAOTONGUNIYEESITY第三节参量根轨迹
1 第三节 参量根轨迹
西安交通大学EEANJIROTONGENIVEESTY4.3参量根轨迹上一节讨论了开环根轨迹增益K变化时系统的闭环根轨迹。在实际系统设计中，还常常碰到其它参数变化时对闭环特征方程的影响。比如，特殊的开环零、极点，校正环节的参数等。需要绘制除K。以外的其它参数变化时闭环系统特征方程根的轨迹，就是参量根轨迹绘制参量根轨迹的例子：如下图，绘制开环极点-p变化时的参量根轨迹（设K。=4）KgC(s)R(s)解]：闭环传递函数为：s(s+p)Kg4Φ(s):三+ps+Kgs? + ps + 492
2 上一节讨论了开环根轨迹增益 变化时系统的闭环根 轨迹。在实际系统设计中，还常常碰到其它参数变化时对 闭环特征方程的影响。比如，特殊的开环零、极点，校正 环节的参数等。 Kg 需要绘制除Kg以外的其它参数变化时闭环系统特征方 程根的轨迹，就是参量根轨迹。 s(s p) Kg - + R(s) C(s) [解]：闭环传递函数为： 4 4 ( ) 2 2 + + = + + = s ps K s ps K s g g 绘制参量根轨迹的例子：如下图，绘制开环极点-p变化时 的参量根轨迹（设Kg=4）。 4.3 参量根轨迹
西安交通大学EEANJIROTONGENIVEESTY4.3参量根轨迹ss?+ps+4=0=p特征方程为：s? +4II(s + z)i=K.-1此式与前述的根轨迹方程形式完全相同。II(s + p) j=1SP2+4相当于开环传递函数，称为等效开环传递函数。参数p称为等效根轨迹增益。画出p从0→o时的根轨迹如下3
3 特征方程为： 1 4 4 0 2 2 = − + + + = s s s ps p 相当于开环传递函数，称为等效开环传递函数。 参数p称为等效根轨迹增益。画出p从0→∞时的根轨迹如下： 4 2 s + s p 1 ( ) ( ) 1 1 = − + + = = n j j m i i g s p s z 此式与前述的根轨迹方程形式 K 完全相同。 4.3 参量根轨迹
西安交通大学EEANJLAOTONAENIVEESTY4.3参量根轨迹3口根轨迹有两支，起点为土2j，终点2一为0的零点，另一为无穷远零点。10口实轴上根轨迹为负实轴；-1-2-3元元-3-2-101口出射角：θ =元元(j2极点)2元79.=元(-j2极点)24
4 4.3 参量根轨迹 ❑实轴上根轨迹为负实轴； ❑根轨迹有两支，起点为±2j，终点 一为0的零点，另一为无穷远零点。 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 ❑出射角： ) ( 2 ) 2 2 ( 1 j 极点 = + − = )] ( 2 ) 2 2 [( 2 = + − − − = − j 极点 （
西安交通大学EEANJIROTONGNIVEESTY4.3参量根轨迹3口分离点和会合点：2根据 N(s)D(s)-N(s)D'(s)=01N(s)= S, N'(s)=l; D(s)= s2 +4, D(s)=2s0:.1x(s2+4)-2s×s=0， 解得： s=2-1对应p=±4，取p=+4，=一2为会合点。-2元-3会合角为:0g2-30-2-11由根轨迹可见在复平面上的根轨迹是半个圆，对应0<p<4。ppC由二阶系统特征方程可见：p=2のn，解得420n即0<p<4时 0<<1，这对应于欠阻尼情况。5
5 N(s) s N (s) 1 D(s) s 4 D (s) 2s 2 = ， = ； = + ， = 1(s + 4) − 2ss = 0，解得：s = 2 2 会合角为： 。 2 d = 对应p=±4，取p=+4，s =－2为会合点。 由根轨迹可见在复平面上的根轨迹是半个圆，对应0<p<4。 由二阶系统特征方程可见： ，解得 即 时 ，这对应于欠阻尼情况。 p = 2n 2 4 p p n = = 0 p 4 0 1 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 ❑分离点和会合点： 根据 N(s)D(s) − N(s)D(s) = 0 4.3 参量根轨迹
西安交通大学EE'ANJLAOTONGUNIVEESITT4.3参量根轨迹一般情况，只要所论参数是线性地出现在闭环特征方程中，总可以把方程写为不含可变参数的多项式加上可变参数和另一多项式的乘积。将不含可变参数的多项式除方程两边，便可得到以可变参数为根轨迹增益的等效根轨迹方程注意此时的等效是指闭环特征方程相同，而并不保证闭环传递函数相同，除非根轨迹参数是系统的开环增益绘制参量根轨迹的步骤：列出系统的闭环特征方程：以特征方程中不含参变量的各项除特征方程，得等效的系统根轨迹方程。该参量称为等效系统的根轨迹增益。用已知的方法绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。6
6 一般情况，只要所论参数是线性地出现在闭环特征方程中， 总可以把方程写为不含可变参数的多项式加上可变参数和另一 多项式的乘积。将不含可变参数的多项式除方程两边，便可得 到以可变参数为根轨迹增益的等效根轨迹方程。 绘制参量根轨迹的步骤： 列出系统的闭环特征方程； 以特征方程中不含参变量的各项除特征方程，得等效的系统 根轨迹方程。该参量称为等效系统的根轨迹增益。 用已知的方法绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根 轨迹。 注意 此时的等效是指闭环特征方程相同，而并不保证闭环传递函数 相同，除非根轨迹参数是系统的开环增益。 4.3 参量根轨迹
西安交通大学EEANILAOTONGENIVEESTY4.3参量根轨迹[例]：系统结构如图所示，9.5R(s)C(s)绘制以为参变量的根轨迹s(s +1)(s +5)并讨论速度反馈对系统阶跃响应的影响。TS解：1.先求等效开环传递函数。此时系统特征方程为9.59.5(1 + ts)01+GH =1+s(s + 1)(s + 5) + 9.5(1 + ts)s(s +1)(s +5)s(s+1)(s+5)+9.5(1+ts)=0 s3 +6s? +5s+9.5+9.5ts =09.5ts1+:0令t*=9.5t，等效开环传函为$3 +6s? +5s+9.5t st s13 +6s +5s+9.5(s + 5.4)(s +0.3- j1.292)(s +0.3+ j1.292)7
7 [例]：系统结构如图所示， 绘制以t 为参变量的根轨迹， 并讨论速度反馈对系统阶跃 响应的影响。 ( 1)( 5) 9.5 - s s + s + R(s) C(s) ts - 解：⒈先求等效开环传递函数。 此时系统特征方程为 0 ( 1)( 5) 9.5(1 ) 1 1 = + + + + = + s s s s GH t s(s +1)(s + 5) + 9.5(1+ts) = 0 6 5 9.5 9.5 0 3 2 s + s + s + + ts = 0 6 5 9.5 9.5 1 3 2 = + + + + s s s ts 令 t * = 9.5t ，等效开环传函为 6 5 9.5 ( 5.4)( 0.3 1.292)( 0.3 1.292) * 3 2 * * s s j s j s s s s s Gk + + − + + = + + + = t t ( 1)( 5) 9.5(1 ) 9.5 ( ) s s s s s + + + +t = 4.3 参量根轨迹
西安交通大学EEANJIROTONGNIVEESTY4.3参量根轨迹2.画参量根轨迹5T S(s + 5.4)(s+ 0.3 - j1.292)(s +0.3 + j1.292)①开环极点为一5.4、一0.3±j1.292，3开环零点为0。2(-1,1.17)②渐近线：-α=-3，θ=±90°(-2,0.866)③出射角：-50-32-41.2921.292290°=178.86°02°=元+0.35.1203c =-178.860-39.5-4Φ(s) :s(s + 1)(s + 5) + 9.5(1 + ts)-58
8 -5 -4 -3 -2 -1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ( 5.4)( 0.3 1.292)( 0.3 1.292) * * s s j s j s Gk + + − + + = t ⒉画参量根轨迹 ① 开环极点为－5.4、－0.3±j1.292， 开环零点为０。 ② 渐近线：− = −3, = 90 ③ 出射角： = + − − − = − − 90 178.86 5.1 1.292 ) 0.3 1.292 ( 1 1 2 c t g t g = −178.86 3c (-1,1.17) (-2,0.866) ( 1)( 5) 9.5(1 ) 9.5 ( ) s s s s s + + + +t = 4.3 参量根轨迹
西安交通大学EEANJLAOTONAENIYEESTY4.3参量根轨迹3.讨论①t*=0，此时闭环极点为等效开环极点，即一5.4、一0.3±j1.292，此时-5.4/0.3=18，可看作二阶系统。(=0.226, 8%=48.2%, t=10s②t*=5.375，此时闭环极点为一4、一1±j1.17，此时β=4/1=4，若看作二阶系统则：（=0.65，8%=6.8%，t,=3s③t*=7.75，此时闭环极点为一2、2±j0.866，此时β=2/2=1，已不能看作二阶系统。④t*=9.5，此时闭环极点为一1、2.5土i1.8，此时可看作一阶系统。-59.5Φ(s) =s(s + 1)(s + 5) + 9.5(1 + ts)9
9 ⒊讨论 ① τ *=0，此时闭环极点为等效开环极 点，即－5.4、－0.3±j1.292，此时 β=5.4/0.3=18，可看作二阶系统。 ζ=0.226，δ%=48.2%，ts=10s ② τ *=5.375，此时闭环极点为 －4、－1±j1.17，此时β=4/1=4，若 看作二阶系统则：ζ=0.65，δ%=6.8%， ts=3s ③ τ *=7.75，此时闭环极点为－2、－ 2±j0.866，此时β=2/2=1，已不能看 作二阶系统。 ④ τ *=9.5，此时闭环极点为－1、－ 2.5±j1.8，此时可看作一阶系统。 -5 -4 -3 -2 -1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ( 1)( 5) 9.5(1 ) 9.5 ( ) s s s s s + + + +t = 4.3 参量根轨迹
西安交通大学EANJIAOTONG UNIVEESITY4.3参量根轨迹c(t)1.4-01.2=5.375=T1.0510.950.8t*=7.750.6t*=9.50.40.2t0025671348910111210
10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.95 1 1.05 1.2 1.4 t*=0 t*=5.375 t*=7.75 t*=9.5 t c(t) 4.3 参量根轨迹