西安交通大学IE'ANJIAOTONGUNIYEESITY第贝节控制系统根轨迹的绘制
1 第四节 控制系统根轨迹的绘制
西安交通大学IE'ANJLAOTONGUNIVEESITY4.4#控制系统根轨迹的绘制前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质）：这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下：标注开环极点“X”和零点○确定实轴上的根迹区间；画出n-m条渐进线。其与实轴的交点（称为重心）和倾角分别为：Zp,-Zzi(2k + 1)元k =0,±1,±2,±3...-0n-mn-m计算极点处的出射角和零点处入射角：出射角=元－（从其他极点到该极点的矢量幅角）+（从其他零点到该极点的矢量幅角）入射角=元+乙（从各个极点到该零点的矢量幅角）-乙（从其他零点到该零点的矢量幅角）2
2 前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质）， 这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下： 标注开环极点“ ”和零点 “ ”； ○ 画出n-m条渐进线。其与实轴的交点（称为重心）和倾角分 别为： , 0, 1, 2, 3. (2 1) ; = − + = − − − = − k n m k n m p z j i 确定实轴上的根迹区间； 计算极点处的出射角和零点处入射角： = − + （ ） （ ） 从其他零点到该极点的矢量幅角 出射角 从其他极点到该极点的矢量幅角 = + − （ ） （ ） 从其他零点到该零点的矢量幅角 入射角 从各个极点到该零点的矢量幅角 4.4 控制系统根轨迹的绘制
西安交通大学IE'ANJLROTONAENIVEESTY4.4控制系统根轨迹的绘制计算根轨迹和虚轴的交点；计算会合点和分离点： 由N'(s)D(s)-N(s)D'(s)=O求解元分离角0。="n利用前几步得到的信息绘制根轨迹注意：?后两步可能不存在：〇在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性3
3 计算根轨迹和虚轴的交点； 计算会合点和分离点： n d 分离角 = 由N(s)D(s)-N(s)D(s) = 0求解 利用前几步得到的信息绘制根轨迹。 注意： 后两步可能不存在； 在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。 4.4 控制系统根轨迹的绘制
西安交通大学E'ANJIROTONGNIVEESTY4.4控制系统根轨迹的绘制一、单回路负反馈系统的根轨迹前面所讨论的根轨迹（180度根轨迹）是基于单回路负反馈系统的。18画根[例开环传递函数为：G,(s)=s(s + 2)[(s + 3)? +16] '轨迹。[解]：①标出四个开环极点：0，-2，3±j4。有四条根轨迹23)实轴上根轨迹区间是：[-2，0];3元(2k +1)元元③渐进线倾角：=+与实轴的交点为：+44n-mZp,-Zzi0+2+6-20=4n-m5
5 一、 单回路负反馈系统的根轨迹 前面所讨论的根轨迹（180度根轨迹）是基于单回路负反 馈系统的。 [例]开环传递函数为： ，画根 轨迹。 ( 2)[( 3) 16] ( ) 2 + + + = s s s k G s g k ②实轴上根轨迹区间是：[-2，0]； ③渐进线倾角： , 与实轴的交点为： 4 3 , 4 (2 1) = − + = n m k 2 4 0 2 6 = − + + = − − − − = − n m p z j i [解] ：①标出四个开环极点：0，-2，− 3 j4 。有四条根轨迹。 4.4 控制系统根轨迹的绘制
西安交通大学EE'ANJIROTONGNIVEESTY4.4控制系统根轨迹的绘制j4④-3+4j处的出射角，：00 =元-(β, +β, +β)4BB+元-tg-4+90°)=-141.9三元一1933根据对称性，可知-3-i4处的出射角,为：,=141.9°与虚轴的交点：闭环特征方程为：34+8s3+37s?+50s+k。=0劳斯阵为：-Jj437.4481当劳斯阵某一行全为零时，有共S8500s轭虚根。这时，k。=192.2。0430.752s辅助方程为：30.75s2+192.2=0，1537.5-8k解得共轭虚根为：S1.2=土j2.500s30.75即为根轨迹与虚轴的交点。So00hg6
6 ④-3+4j处的出射角 1 ： −3 − 2 j4 − j4 0 1 2 3 1 4 90 ) 141.9 3 4 ( ( ) 1 1 1 1 2 3 = − − + − + = − = − + + − − t g t g 根据对称性，可知-3-j4处的出射 角 2 为： 2 =141.9 ⑤与虚轴的交点：闭环特征方程为： 8 37 50 0 4 3 2 s + s + s + s + kg = 劳斯阵为： 0 0 0 0 30.75 1537.5 8 30.75 0 8 50 0 1 37 0 1 2 3 4 g g g g k k k k s s s s s − 当劳斯阵某一行全为零时，有共 轭虚根。这时， kg =192.2 。 辅助方程为： ， 解得共轭虚根为： 30.75 192.2 0 2 s + = s1,2 = j2.5 即为根轨迹与虚轴的交点。 4.4 控制系统根轨迹的绘制
西安交通大学EEANJIROTONGNIVEESTY4.4控制系统根轨迹的绘制元③会合点与分离点（重根点）：分离角为0。=2由N'(s)D(s) - N(s)D(s) =0 得: 4s3 +24s2 +74s+ 50 = 0由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用下述近似方法：: k。 =-(s4 +8s3 +37s2 +50s)我们知道，分离点在负实轴[-2，01区间上，所以当s在实数范围内变化时，k。最大时为分离点。-0.2-0.4-1.0-1.2-1.4-1.6-2.0-0.6-0.8-1.8Sk8.5814.5718.2820.0120.018.4715.5911.496.28gd可见分离点在-0.8~-1.0之间，近似取-0.9。7
7 ⑥会合点与分离点（重根点）：分离角为 2 d = 由 N(s)D(s) − N(s)D(s) = 0 得： 4 24 74 50 0 3 2 s + s + s + = 由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用 下述近似方法： 我们知道，分离点在负实轴[-2，0]区间上，所以当s在实 数范围内变化时， k g 最大时为分离点。 ( 8 37 50 ) 4 3 2 k s s s s g = − + + + 8.58 14.57 18.28 20.01 20.0 18.47 15.59 11.49 6.28 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 -1.2 -1.4 -1.6 -1.8 -2.0 s gd k 可见分离点在-0.8~-1.0之间，近似取-0.9。 4.4 控制系统根轨迹的绘制
西安交通大学IE'ANJIAOTONG UNIVEESITY4.4控制系统根轨迹的绘制②绘制根轨迹，如下图所示。54141.9°32e0.90-1-2-3-4-51-4-3-2-1012Real Axis8
8 ⑦绘制根轨迹，如下图所示。 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Real Axis Imag Axis j2.5 − j2.5 −0.9 −141.9 4.4 控制系统根轨迹的绘制
西安交通大学EEANJIROTONGENIVEESTY4.4控制系统根轨迹的绘制kg(s+1)[例4-7]设开环系统传递函数为：G,(s)=(s +0.1)(s+0.5)试绘制根轨迹[解]：(1)开环零点-z, =-1，开环极点-P =-0.1,-P2=-0.5,根轨迹有两支。起点在极点处，终点一支在开环零点处。一支在无穷远处。(2)实轴上根轨迹区间：(0,-1],[-0.5,-1](3)分离点和会合点：例4-4中已求得，分别为分离点=元-0.33,会合点=-1.67，分离角0a-2(4)绘制根轨迹9
9 [解]：⑴开环零点 − z1 = −1 ，开环极点 0.1, 0.5, − p1 = − −p2 = − 根轨迹有两支。起点在极点处，终点一支在开环零点处。 一支在无穷远处。 ⑵实轴上根轨迹区间： (,−1],[−0.5,−1] 例4-4中已求得，分别为分离点= -0.33,会合点=-1.67，分离角 ⑶分离点和会合点： 2 d = −0.5 A−0.1 −1 ⑷绘制根轨迹。 [例4-7]设开环系统传递函数为： 试绘制根轨迹。 ( 0.1)( 0.5) ( 1) ( ) + + + = s s k s G s g k 4.4 控制系统根轨迹的绘制
西安交通大学E'ANJIROTONGNIVEESTY4.4控制系统根轨迹的绘制kg(s+2)「例4-81设系统开环传递函数为：Gt(s)=s(s +3)(s2 +2s +2)试绘制系统的根轨迹[解]：开环零，极点分别为：-z,=-2,-Pi=0,-P2=-3(1)根轨迹有四支。- P3,4 = -1± j5元(2k +1)元元0(2)渐近线倾角元334-1Zp,-Z70+3+2-2重心：-α-134-1(3)实轴上根轨迹区间(-80,-3],[-2,0](4)实轴上无分离点和会合点。10
10 [例4-8]设系统开环传递函数为： ( 3)( 2 2) ( 2) ( ) 2 + + + + = s s s s k s G s g k 试绘制系统的根轨迹。 [解]：开环零，极点分别为：− z1 = −2 p j p p − = − − = − = − 1 , 0, 3, 3,4 1 2 ⑴根轨迹有四支。 ⑵渐近线倾角 3 5 , , 4 1 3 (2 1) = − + = k 重心： 1 3 0 3 2 2 4 1 = − + + − = − − − − = − i i p z ⑶实轴上根轨迹区间 (−,−3],[−2,0] ⑷实轴上无分离点和会合点。 4.4 控制系统根轨迹的绘制
西安交通大学EEFAJIROTONGNIVEESTY4.4控制系统根轨迹的绘制(5)出射角：-1+j点：)。=180°-p,+z)i-1i=1=180°-(tg-'0.5+90°+135°)+(45°)=-26.60对-1-j点，02。=26.60?与虚轴的交点：闭环系统的特征方程为:s4+5s3+8s2+(6+k.)s+2k。=0劳斯阵列：劳斯阵有一行全为0，表示82kg1s有共轭虚根。令：506+k.50k。3s34-k6+k= 0,= k. =702kgS34-kas550kg辅助方程为：5.4s?+14=0s006+k34-k.So: S1,2 = ±j1.61002kg11
11 ⑹与虚轴的交点： 闭环系统的特征方程为： 5 8 (6 ) 2 0 4 3 2 s + s + s + + kg s + kg = 劳斯阵列： 2 0 0 0 0 34 50 6 2 0 5 34 5 6 0 1 8 2 0 1 2 3 4 g g g g g g g g k k k k k k k k s s s s s − + − − + 劳斯阵有一行全为0，表示 有共轭虚根。令： 0, 7 34 50 6 = = − + − g g g g k k k k 辅助方程为： 5.4 14 0 2 s + = s1,2 = j1.61 ⑸出射角： 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 180 ( 0.5 90 135 45 26.6 1 180 = − + + + = − − + = − + − − − = ）（ ） ： t g j p z n i m j 点 c i j 对 0 −1− j 1 点， 2c = 26.6 4.4 控制系统根轨迹的绘制