西安交通大学IE'ANJIAOTONGUNIVEESITY第五节控制系统的根轨迹分析法
1 第五节 控制系统的根轨迹分析法
西安交通大学IE'ANJIAOTONGNIYEESITT4.5控制系统的根轨迹分析法利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正由给定参数确定闭环系统的零极点的位置；分析参数变化对系统稳定性的影响；分析系统的瞬态和稳态性能：根据性能要求确定系统的参数；对系统进行校正。2
2 利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正 ❖ 由给定参数确定闭环系统的零极点的位置； ❖ 分析参数变化对系统稳定性的影响； ❖ 分析系统的瞬态和稳态性能； ❖ 根据性能要求确定系统的参数； ❖ 对系统进行校正。 4.5 控制系统的根轨迹分析法
西安交通大学EE'ANJIROTONGNIVEESTY4.5控制系统的根轨迹分析法一、条件稳定系统的分析K,(s? +2s+4)[例4-11]：设开环系统传递函数为:G,(s)=s(s + 4)(s +6)(s? +1.4s+1)试绘制根轨迹，并讨论使闭环系统稳定时K。的取值范围。「解根据绘制根轨迹的步骤，可得：开环极点：0,一4,一6,一0.7±j0.714，零点：一1±i1.732渐近线：与实轴的交点：4Z- p, -- z, - 4-6-1.4 +2-3.1332n-m0元(2k +1)X元倾角：=十，元?03-2 ×n-m6-40-2实轴上根轨迹区间：（-o0,-6),[-4,0]- 43
3 一、 条件稳定系统的分析 [例4-11]：设开环系统传递函数为： ( 4)( 6)( 1.4 1) ( 2 4) ( ) 2 2 + + + + + + = s s s s s K s s G s g k 试绘制根轨迹，并讨论使闭环系统稳定时 Kg 的取值范围。 ➢ 开环极点：0,－4,－6,－0.7±j0.714，零点：－1±j1.732 ➢ 实轴上根轨迹区间： (−,−6),[−4,0] ➢ 渐近线：与实轴的交点： 3.13 3 4 6 1.4 2 = − − − − + = − − − − − = n m p z i i , 3 (2 1) = − + = n m k 倾角： [解]根据绘制根轨迹的步骤，可得： 0 −6 − 4 − 2 2 4 − 2 − 4 4.5 控制系统的根轨迹分析法
西安交通大学EEANJLAROTONAENIVEESTY4.5控制系统的根轨迹分析法》分离会合点：N(s)= s2 +2s+4, N'(s)=2s+2D(s)= s5 +11.4s4 +39s3 +43.6s? +24sD'(s)= 5s4 +45.6s3 +117s2 +87.2s +24N'(s)D(s)- N(s)D'(s)= 3s° + 30.8s5 +127.4s + 338.4s3 + 531.2s? +348.8s + 96 = 0用Matlab可算出分离点s=一2.3557；[另一根为一5.1108(略)]。D(s)求实轴分离点的近似值。K.另外可以根据gN(s)求出[-4，01之间的增益如下表所示-30-0.5-1-1.5-2.0-2.5-3.5-4s001.62838.809.3753.9495.9717.457KgdKgd的最大值为9.375，这时s=一2.5，是近似分离点。元分离角：024
4 ➢ 分离会合点： ( ) 2 4 ( ) 2 2 2 N s = s + s + ，N s = s + D(s) s 11.4s 39s 43.6s 24s 5 4 3 2 = + + + + ( ) 5 45.6 117 87.2 24 4 3 2 D s = s + s + s + s + 0 1.628 3 5.971 8.80 9.375 7.457 3.949 0 s 0 -0.5 -1 -1.5 -2.0 -2.5 -3 -3.5 -4 Kgd Kgd的最大值为9.375，这时s=－2.5，是近似分离点。 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 30.8 127.4 338.4 531.2 348.8 96 0 6 5 4 3 2 N s D s − N s D s = s + s + s + s + s + s + = 用Matlab可算出分离点s=－2.3557 ; [另一根为－5.1108(略)]。 另外可以根据 求实轴分离点的近似值。 求出[-4，0]之间的增益如下表所示 ( ) ( ) N s D s Kg = − 分离角： 2 d = 4.5 控制系统的根轨迹分析法
西安交通大学IE'ANJLAOTONAENIVEESTY4.5控制系统的根轨迹分析法出射角：0=±558>入射角：0,=±103°76>与虚轴的交点和5对应的增益值：15.64±1.213168.6367.5kan=71510 =3±2.151gr2=66168.6±3.7551= ±1.21300画出根轨迹如图所示，该图是用K= 15.6-1Matlab工具绘制的。±3.7550-2由图可知：当0168.6和15.6<K。<67.5-6时，系统是不稳定的。-7.这种情况称为条件稳定系统-85-6-5-8-7-4-3-20-1
5 由图可知：当 和 时，系统是 稳定的； 0 Kg 15.6 67.5 Kg 168.6 画出根轨迹如图所示，该图是用 Matlab工具绘制的。 ➢ 出射角： ， ➢入射角： c = 55 = 103 r ➢ 与虚轴的交点和 对应的增益值： = 168.6 67.5 15.6 gp k = 3.755 2.151 1.213 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 当 Kg 168.6和15.6 Kg 67.5 时，系统是不稳定的。 这种情况称为条件稳定系统 15.6 1.213 = = Kg 67.5 2.151 = = Kg 168.6 3.755 = = Kg 15.6 67.5 168.6 4.5 控制系统的根轨迹分析法
西安交通大学IE'ANJIROONAUNTYEESITT4.5控制系统的根轨迹分析法条件稳定系统：参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，这样的系统叫做条件稳定系统下面的系统就是条件稳定系统的例子：开环非最小相位系统，其闭环系统的根轨迹必然有一部分在S的右半平面；具有正反馈的环节。条件稳定系统的工作性能往往不能令人满意。在工程实际上，应注意参数的选择或通过适当的校正方法消除条件稳定问题6
6 条件稳定系统：参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，这 样的系统叫做条件稳定系统。 ❖ 具有正反馈的环节。 下面的系统就是条件稳定系统的例子： ❖ 开环非最小相位系统，其闭环系统的根轨迹必然有一部分在s 的右半平面； 条件稳定系统的工作性能往往不能令人满意。在工程实际上， 应注意参数的选择或通过适当的校正方法消除条件稳定问题。 4.5 控制系统的根轨迹分析法
西安交通大学EE'ANJIROTONGNIVEESTY4.5控制系统的根轨迹分析法kd试确定使系统[例1非最小相位系统：G;(s)(s-1)(s+2)稳定时的增益值。Root Locus[解]：根轨迹如右有闭环极点在右S半平面，系统是ew不稳定的。显然稳定临界点在原点。该点的增益临界值为kgp。-2.52-1.5-0.50.51.5-10RealAxis闭环特征方程为:s2+s+k。2=0，当s=0时,k。，=2，所以，系统稳定的条件是：k。>2
7 [例]非最小相位系统： ，试确定使系统 稳定时的增益值。 ( 1)( 2) ( ) − + = s s k G s g k [解]：根轨迹如右： 有闭环极点在右 半平面，系统是 不稳定的。显然 稳定临界点在原 点。该点的增益 临界值为 k gp 。 闭环特征方程为： ，当s=0时， ，所以，系 统稳定的条件是： 2 0 2 s + s + kg − = = 2 gp k 2 g k 4.5 控制系统的根轨迹分析法
西安交通大学EE'ANJIROTONGNIVEESTY4.5控制系统的根轨迹分析法二、瞬态性能分析和开环系统参数的确定利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况0以二阶系统为例：开环传递函数为G(S)=s(s+2g0n)2On闭环传递函数为Φ(s)=$? +250,$+0,共轭极点为:S12=-5の,±j/1-2の,在s平面上的分布如右图：CO闭环极点的张角β为：XCO=S,..β=cos-cos β=V(/1-5?o,)? +(Co,)2所以β称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。8
8 二、瞬态性能分析和开环系统参数的确定 利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系 统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。 以二阶系统为例：开环传递函数为 2 ( ) ( 2 ) n k n G s s s = + 闭环传递函数为 2 2 2 2 ( ) n n n s s s + + = 共轭极点为： n n s j 2 1,2 = − 1− 在s平面上的分布如右图： −n n j 2 1− 闭环极点的张角 为： 1 2 2 2 , cos ( 1 ) ( ) cos − = = − + = n n n 所以 称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。 4.5 控制系统的根轨迹分析法
西安交通大学IE'ANJLAROTONAENIVEESTY4.5控制系统的根轨迹分析法我们知道闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下：2元/1-2× 100% = e=ictgβ ×100%s%=e33o为极点实部）Lor08%和β的关系如下图若闭环极点落在下图中红线包围100的区域中，有：3S%≤e-ctgβ和t.≤800608%40B20B00306090β9
9 我们知道闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整 时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下： % 100% 100% 2 1 = = − − − ctg e e ( ) 3 3 为极点实部 = = − n s t − 若闭环极点落在下图中红线包围 的区域中，有： 3 % − s ctg e 和t −n n j 2 1− %和 的关系如下图 0 30 60 90 0 20 40 60 80 100 δ% β 4.5 控制系统的根轨迹分析法
西安交通大学IE'ANJLAOTONAENIVEESTY4.5控制系统的根轨迹分析法Kg[例4-12]单位反馈系统的开环传递函数为：G;(s)s(s + 4)(s +6)若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量s%≤18%，试确定开环放大系数。[解]：首先画出根RootLocus15轨迹如图。根据计算知道：根10轨迹与虚轴的交点5A为±24，这时的SXEB临界增益K。=240DelB-5当K。>240时，闭10环系统不稳定。15-20-15-105RealAxis10
10 [例4-12]单位反馈系统的开环传递函数为： 若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量 ，试确定 开环放大系数。 ( 4)( 6) ( ) + + = s s s K G s g k %18% A B 当 时，闭 环系统不稳定。 Kg 240 根据计算知道：根 轨迹与虚轴的交点 为 ，这时的 临界增益 = 240 Kgp 24 [解]：首先画出根 轨迹如图。 4.5 控制系统的根轨迹分析法