西安交通大学IE'ANJLROTONANIYEESTY第五节稳定裕度
1 第五节 稳定裕度
西安交通大学IE'ANJIAOTONG UNIVEESITY在频率响应方法中系统的相对稳定性是利用开环传递函数的极坐标图与(一1，jO)点的接近程度来反映闭环系统稳定或不稳定的程度。ImG(s)平面0c30g3-1ReQg10c2=0g920c1K2K3K,4
4 在频率响应方法中系统的相对稳定性是利用开环传递函数 的极坐标图与(－1，j0)点的接近程度来反映闭环系统稳定或不 稳定的程度。 -1 Re Im G(s)平面 K3 K2 K1 c1 c3 c2=g2 g1 g3
西安交通大学EEANJIROTONGNIVEESTY广定义极坐标图穿过负实轴（此时G(s)平面(の)=一180°)对应的频率为相角穿越频率,用の表示；A(0g)定义幅值A()=1对应的频率为幅09(0→8)-1值穿越频率，用の表示。0当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时：0Cp(o)系统处于临界稳定状态。这时：A(0g)=1, Q(0)=-180° ,0g=0c o最小相位系统稳定的条件为：当A()=1时，()>180°(0→0)当(0)=-180° 时A(0。)<15
5 - 1 0 → 0 j → ∞ c g A g c G ( s 平 面 定义极坐标图穿过负实轴 (此时 ( )= －180 ° )对应的频率为相角穿 越频率 , 用 g表示； 定义幅值A ( )=1对应的频率为幅 值穿越频率，用 c表示。 当频率特性曲线穿过 ( -1,j0)点时， 系统处于临界稳定状态。这时： A(g )=1, ( c )= －180 ° , g = c 。 最小相位系统稳定的条件为： 当 A ( c )=1时， ( c )＞－180 ° 当 ( g )= －180 ° 时A ( g ) ＜ 1
西安交通大学EE'ANILAOTONGENIVEEST定义：相角穿越频率时的幅频特性的倒数为幅值稳定裕度，即1G(s)平面K.XA(0g)A(0)(0→8)在对数坐标图上，采用L。表示K。的分贝值0g00Lg = 20 lg K = -20 lg A(αg)Cp(o)L.称为对数幅值稳定裕度或增益稳定裕度，由于L。应用较多，通常直接被称为幅值稳(0→0)定裕度。定义：幅值穿越频率时的相频特性与一180°之差为相角稳定裕度。即=Φ(@) -(-180°) = 180°+(。)6
6 定义：相角穿越频率时的幅频特性的倒数为幅值稳定裕度，即 ( ) 1 g g A K = 定义：幅值穿越频率时的相频特性与－180°之差为相角稳定 裕度。即 ( ) ( 180 ) 180 ( ) c c = − − = + Lg称为对数幅值稳定裕度或增益稳定裕度， 由于Lg应用较多，通常直接被称为幅值稳 定裕度。 在对数坐标图上，采用Lg表示Kg的分贝值 20lg 20lg ( ) Lg = Kg = − A g -1 0 →0 j →∞ c g Ag c G(s平面
西安交通大学IE'ANJIAOTONG UNIVEESITYL(o)G(s)平面A(0)Q800Q(0→8)100p(o) Qcp(o)-90Y0-18009(0-+0)-2707
7 -1 0 →0 j →∞ c g Ag c G(s平面 0 -270 -180 -90 Lg L() () c g
西安交通大学EEANLROTONGNIVEEST显然，当L。>0时，即A(の)0时，闭环系统是稳定的;否则是不稳定的。对于最小相位系统，L。>0和>0是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度。常用相位裕度。「幅值稳定裕度物理意义]：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加K。倍(奈氏图)或增加L。分贝(波德图)，则系统处于临界状态。若增加的倍数大于K.倍(或L.分贝)，则系统变为不稳定。幅值稳定裕度是闭环系统达到不稳定前允许开环增益增加的分贝数。[相位稳定裕度的物理意义]：稳定系统在幅值穿越频率の.处将相角减小度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。相位稳定裕度是闭环系统达到不稳定前系统开环频率特性在の点所充许增加的最大相位滞后。8
8 显然，当Lg＞0时，即A(g )＜1和 ＞0时，闭环系统是稳定的； 否则是不稳定的。对于最小相位系统，Lg＞0和 ＞0是同时发生 或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳 定裕度。常用相位裕度。 [幅值稳定裕度物理意义]：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增 加Kg倍(奈氏图)或增加Lg分贝(波德图)，则系统处于临界状态。 若增加的倍数大于Kg倍(或Lg分贝)，则系统变为不稳定。幅值稳 定裕度是闭环系统达到不稳定前允许开环增益增加的分贝数。 [相位稳定裕度的物理意义]：稳定系统在幅值穿越频率c处将相 角减小 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。 相位稳定裕度是闭环系统达到不稳定前系统开环频率特性在c 点所允许增加的最大相位滞后
西安交通大学EEANRNRRS当G(iの)图在任何非零的有限频率内与负实轴不相交时，由奈奎斯特稳定判据表明系统必然不包围(-1,jO)点，则增益稳定裕度为无穷大。从理论上讲，这意味着在出现不稳定之前，开环增益可达无穷大。越大，L。越大，则系统的相对稳定性越好。但对实际系统而言不可能选得非常大。一般可取在30°～60°，L。>6dB相对稳定性较好。9
9 当Gk (j)图在任何非零的有限频率内与负实轴不相交时，由 奈奎斯特稳定判据表明系统必然不包围(-1,j0)点，则增益稳定裕 度为无穷大。从理论上讲，这意味着在出现不稳定之前，开环 增益可达无穷大。 越大，Lg越大，则系统的相对稳定性越好。但对实际系 统而言不可能选得非常大。一般可取在30° ～60° ，Lg >6dB 相对稳定性较好
西安交通大学EANILAOTONGENIVEESTK.gG(s)=「例单位反馈系统的开环传递函数为s(s + 1)(s + 10)试分别确定K。=3、K。=30和K。=300时的相位裕度。解：本题传递函数以零极点的形式给出，故应先将其化成以时间常数形式的传递函数Kg/10KG(s)=s(s + 1)(0.1s + 1)s(s + 1)(0.1s + 1)式中，K=K。/10，为系统的开环增益。按题意是要求K-=0.3、K=3和K=30时的值。当K-0.3，=0.288，=72.3°(近似值0=0.3，=71.6°当K-3，0=1.583，=23.3°（近似值=1.73，=20.2°当K-30，=5.12，=-16°(近似值の=5.48，=-18.4°p(o)= -90°- tg-@ -tg-l0.10 =-180°令1.10= 90°1-0.102 = 00. = /10 = 3.16tg1- 0.10211
11 [例]单位反馈系统的开环传递函数为 ( 1)( 10) ( ) + + = s s s K G s g 试分别确定Kg=3、Kg =30和Kg=300时的相位裕度。 解：本题传递函数以零极点的形式给出，故应先将其化成以时 间常数形式的传递函数 ( 1)(0.1 1) ( 1)(0.1 1) 10 ( ) + + = + + = s s s K s s s K G s g 式中， K= Kg /10，为系统的开环增益。按题意是要求K=0.3、 K=3和K=30时的 值。 当K=0.3，c=0.288， =72.3°(近似值c=0.3， =71.6° ) 当K=3，c=1.583， =23.3°(近似值c=1.73， =20.2° ) 当K=30，c=5.12， =−16°(近似值c=5.48， =−18.4° ) 令 = − − − = − − − ( ) 90 0.1 180 1 1 t g t g = − − 90 1 0.1 1.1 2 1 tg 1 0.1 0 2 − = g = 10 = 3.16
西安交通大学IE'ANJIROTONGNIVEESTYK=3060=20dB/dec40K=.-.40dB/dec200K=0.3-20-60dB/dec-40-60-80-100-120-90...-.....-1200c=0.288..-1501=72.30..........:o=1.583:05.12.-180.....:..:Y2=23:3°i--16°C-210..1-240+ *+.：-27010.1101000g=3.1612
12 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 -270 -240 -210 -180 -150 -120 -90 0.1 1 10 100 K=0.3 K=3 K=30 c＝0.288 1=72.3° c＝1.583 2=23.3° c＝5.12 1=-16° －20dB/dec －40dB/dec －60dB/dec g＝3.16
西安交通大学EEANRNRRS一般而言，当L(の)在の处的斜率处于一20dB/dec段时，系统是稳定的；当L(の)在の.处的斜率处于一40dB/dec段时，系统可能稳定也可能不稳定，即使稳定，相位裕量也是较小的；当L(の)在の.处的斜率处于一60dB/dec段时，系统是一般是不稳定的，除非一60dB/dec段非常短，且该段两端所接折线的斜率大于一40dB/dec，此时即使稳定，相位裕量也是非常小的。13
13 一般而言，当L()在c处的斜率处于－20dB/dec段时，系 统是稳定的；当L()在c处的斜率处于－40dB/dec段时，系统 可能稳定也可能不稳定，即使稳定，相位裕量 也是较小的； 当L()在c处的斜率处于－60dB/dec段时，系统是一般是不稳 定的，除非－60dB/dec段非常短，且该段两端所接折线的斜率 大于－40dB/dec，此时即使稳定，相位裕量 也是非常小的