西安交通大学：《自动控制原理》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 控制系统的频率法分析 第三节 极坐标图

西安交通大学EEANJEAOTONAUNIYERSITT第三节极坐标图

1 第三节 极坐标图

西安交通大学LEANJIAOTONG UNIYERSITT极坐标图是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以の为参变量表示幅值与相位之间的关系的图。极坐标图也称奈奎斯特(Nyquist)图根据频率特性和传递函数的关系，可知：频率特性曲线是S平面上变量s沿正虚轴变化时在G(s)平面上的映射。由于幅频特性是の的偶函数，而相频特性是の的奇函数，所以当の从0一→00的频率特性曲线和の从一0一→0的频率特性曲线是对称于实轴的。极坐标图的优点是可在一张图上绘出整个频率域的频率响应特性；缺点是不能明显地表示出开环传递函数中每个典型环节的作用。2

2 极坐标图是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以 其虚部为纵坐标，以w为参变量表示幅值与相位之间的关系的图。 极坐标图也称奈奎斯特(Nyquist)图 由于幅频特性是w的偶函数，而相频特性是w的奇函数，所 以当w从0→∞ 的频率特性曲线和w从－∞→0的频率特性曲线是 对称于实轴的。 根据频率特性和传递函数的关系，可知：频率特性曲线是S 平面上变量s沿正虚轴变化时在G(s)平面上的映射。 极坐标图的优点是可在一张图上绘出整个频率域的频率响 应特性；缺点是不能明显地表示出开环传递函数中每个典型环 节的作用

西安交通大学LEANORR一、典型环节的极坐标图G(jo) = KG(s)= K :1.比例环节：幅频特性:A(の)=K；相频特性：(の)=0实频特性:P(の)=K；虚频特性：Q(の)=0 ;比例环节的极坐标图为Im实轴上的K点。KRe3

3 实频特性 ：P(w)  K ；虚频特性：Q(w)  0； Re Im  K ⒈ 比例环节： G(s)  K ; G( jw)  K 幅频特性：A(w)  K；相频特性：(w)  0 比例环节的极坐标图为 实轴上的K点。 一、典型环节的极坐标图

西安交通大学LEANJIAOTONGUNIYERSTY积分环节的奈氏图K2.积分环节的频率特性：G(s)s元KKK2G(jo)频率特性：ejo00K元K0)p(の) = tgA() = 200KQ(0) = :ImP(o)= 000=0积分环节的极坐标图为负虚0=-80=8轴。频率の从0+一→特性曲线Re由虚轴的一00趋向原点。若考虑负频率部分，当频率从一80→0-，特性曲线由虚轴的原点趋向+00。0=0+4

4 频率特性： 2 ( )  w w w w      e K K j j K G j 2 ( ) ( 0) 1  w  w      K tg w w K A( )  w w K Q( )   P(w)  0 Re Im  w  0 w   ⒉ 积分环节的频率特性： s K G(s)  积分环节的极坐标图为负虚 轴。频率w从0 +→∞特性曲线 由虚轴的－∞趋向原点。 w    w  0 若考虑负频率部分，当频率 w从－∞→ 0－，特性曲线由虚 轴的原点趋向+∞ 。 积分环节的奈氏图

-西安交通大学LEANJIAOTONGUNIYERSTY惯性环节的奈氏图KKG(s)G(jo) :3.惯性环节的频率特性：Ts + 1Tjo +1Kp(o)= -tg-TaA(の) =/1+T?0?K-KToP(Q)0(@)1+T?0?1+T20?Imの =0时: A(O)=K, β(0)= 0P(0)= K, Q(0)= 00=8K=时： 4)=，)=-45°Re0K0=0P()=2'0(22の = 时: A(∞)=0, P(∞)=-90°0=TP(0) = 0, Q(0) = 05

5 ⒊ 惯性环节的频率特性： 1 ( )   Ts K G s 1 ( )   w w Tj K G j  w w w w tg T T K A 1 2 2 , ( ) 1 ( )      2 2 2 2 1 , ( ) 1 ( ) w w w w w T KT Q T K P      w   w  0 T 1 w  惯性环节的奈氏图  0时： ) 0 (0 (0) 0 (0) (0)     P K Q A K ， w ， 1 T  时： 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 45 1 ( 2 ) 1 ( K T Q K T P T K T A       ° ， w ，  时： ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 90          ° P Q A ， w ，

西安交通大学EEANJIAOTONGUNIYERSTY惯性环节的奈氏图极坐标图是一个圆，对Im称于实轴。证明如下：の = ±8KReP(0) =1+T?0?00=0-KToQ()1+T?020TQ(0)=-ToP(o)KK:P1+T?0上（下半个圆对应于正频率部分，而上半个圆对应于负整理得：频率部分。6

6 极坐标图是一个圆，对 称于实轴。证明如下： w w w T P Q   ( ) ( ) 2 2 2 1 ( ) 1 P Q K T K P      w 整理得： 2 2 2) 2 ) ( 2 ( K Q K P    2 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) w w w w w T KT Q T K P      下半个圆对应于正频率部 分，而上半个圆对应于负 频率部分。 w   w  0 T 1 w  惯性环节的奈氏图

国西安交通大学LEAN-IAOTONGUNIYERSTY振荡环节的频率特性KKo,4.振荡环节的频率特性：G(s) =T?5?+2gTs+1?+250,s+0n讨论0<<1时的情况。当K=1时，频率特性为：1G(j0)= {1-T'0-)+ j25oT实频、虚频、幅频和相频特性分别为：1-T?α?-2G0TP(0)=Q(0) :(1-T?0") +45*T2(1-T?) +4T?1A(0) = / P(α)? +Q(0) 2V(1-T?0)? +(2oT)250TQ(0)P(O1-T22P(o)7

7 实频、虚频、幅频和相频特性分别为： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) 4 2 , ( ) (1 ) 4 1 ( ) T T T Q T T T P w  w w w w  w w w         2 2 2 2 2 2 (1 ) (2 ) 1 ( ) ( ) ( ) T T A P Q w w w w w      2 2 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) w w w w  w T T tg P Q tg       ⒋ 振荡环节的频率特性： 2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) n n n s s K T s Ts K G s w w w        讨论 0    1时的情况。当K=1时，频率特性为： T j T G j w w w (1 ) 2 1 ( ) 2 2    振荡环节的频率特性

西安交通大学EANJIAOTONGUNIYERSTY振荡环节的奈氏图当 =0时，A(の)=1,P()=01-T?02P() =(1-T?)? +45?T?P(0) = 1,Q(0) = 0-2C0T1Q(0) :1元(1-T?)?+4?T2当の ==时,A(の225TA(0) =1/1 - T?02)? +(250T)3P(0) = 0,Q(0)(0) =-1gl_ 250T25当 = 8时， A(の)=0,(の)=-元1-T?0?P() = 0,Q(0) = 0Nyquist08当≥0时,Q()≤0System:hReat 0.000664Imag0.709曲线在3，4象限；当04Freq (rad/sec): -1SystermhReat -0.0001Reat: 12Imag-1.4e-006mag0の<0 时，与之对称Freafrad/sncytnreafradseck烟=80=0于实轴。0.2System,DReat -0.00318Imag-0.707实际曲线还与阻尼系数.0.6Freq (rad/sec):1.01GtsT有关。k=1,T=1,5=0.7s2+1.4s+10.58实部

8 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) 4 1 ( ) T T T P w  w w w     2 2 2 2 (1 ) (2 ) 1 ( ) T T A w w w    2 2 1 1 2 ( ) w w  w T T tg     2 2 2 2 2 2 (1 ) 4 2 ( ) T T T Q w  w w w     当 时， T 1 w  ; 2 , ( ) 2 1 ( )   w  A w     w w 2 1 P( )  0,Q( )   当w  时， A(w)  0,(w)   P(w)  0,Q(w)  0 当 时， ， 曲线在3，4象限；当 时，与之对称 于实轴。 w  0 Q(w)  0 w  0 w  0  w   k  1,T  1,  0.7 1.4 1 1 ( ) 2    s s G s 实际曲线还与阻尼系数 有关。 振荡环节的奈氏图 w  0 ( ) 1, ( ) 0 ( ) 1, ( ) 0     w w w  w P Q 当 时，A

西安交通大学LEANORR振荡环节的奈氏图Im由图可见无论是欠阻尼还是过阻尼系...0:1Re.8Q6=0.11=0.1统，其图形的基本0o士形状是相同的。当过阻尼时，阻尼系数越大其图形越接近圆。.5S当时，=0.8a0.40有谐振峰值。5=0.3V1-25?20T1--M-O.S---8-.....-.20..9

9 由图可见无论是欠 阻尼还是过阻尼系 统，其图形的基本 形状是相同的。 当过阻尼时，阻尼 系数越大其图形越 接近圆。T p 2 1 2 w   2 2 11 ( )   w  M p  A p  当 时， 有谐振峰值。 21   振荡环节的奈氏图

西安交通大学EEANJIAOTONATNIYERSTT微分环节的频率特性5.微分环节的频率特性：微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：G(s)= sG(s) = 1+ TsG(s)= T2s2 +2Ts +1频率特性分别为：G(jo)= joG(jo)=1+ jTG(jo)=1-T22 + j2GoT10

10 ⒌ 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函 数分别为： ( ) 2 1 ( ) 1 ( ) 2 2       G s T s Ts G s Ts G s s  频率特性分别为： G j T j T G j jT G j j w w w w w w w ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) 2 2       微分环节的频率特性