西安交通大学：《自动控制原理》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 自动控制系统的时域分析 第三节 二阶系统的瞬态响应

西安交通大学IE'ANJIAOTONGUNIYEESITY3.3二阶系统的阶跃响应第三节二阶系统的阶跃响应

1 第三节 二阶系统的阶跃响应 3.3 二阶系统的阶跃响应

西安交通大学EE'ANJLROTONAENIVEESTY3.3二阶系统的阶跃响应一、典型二阶系统的数学模型由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化为二阶系统来研究。0?C(s)R(S).s(s+260n)典型结构的二阶系统如图所示20nG(s)=开环传递函数为：? +250nsG(s)0闭环传递函数为：Φ(s1+G(s)s? +250,s+0?Φ(s)称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数，のn称为无阻尼振荡频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参数。2

2 一、典型二阶系统的数学模型 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程 中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化 为二阶系统来研究。 开环传递函数为: s s G s n n   2 ( ) 2 2 + = 闭环传递函数为: 2 2 2 1 ( ) 2 ( ) ( ) n n n G s s s G s s    + + = +  = ( 2 ) 2 n n s s   + R(s) C(s) - 称为典型二阶系统的传递函数， 称为阻尼系数， 称为 无阻尼振荡频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参 数。(s)  n 典型结构的二阶系统如图所示。 3.3 二阶系统的阶跃响应

西安交通大学EEANRNRRS3.3二阶系统的阶跃响应s? +250,s+0, =0特征方程为：Si,2 =-Son ±0, Vs2 -1特征根为：注意：当不同时，特征根有不同的形式，系统的阶跃响应形式也不同。它的阶跃响应主要有振荡和非振荡两种情况1．当=0时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。2．当0<<1时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程3．当=1时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程4．当1时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程

3 1 2 特征根为： s1,2 = −n n  − 注意：当 不同时，特征根有不同的形式，系统的阶跃响应形式 也不同。它的阶跃响应主要有振荡和非振荡两种情况。  特征方程为： 2 0 2 2 s + n s +n = ⒈ 当 时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系 统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。  = 0 ⒉ 当 时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称 为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。 0    1 ⒊ 当 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系 统，系统的阶跃响应为非振荡过程。  =1 ⒋ 当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统， 系统的阶跃响应为非振荡过程。  1 3.3 二阶系统的阶跃响应

西安交通大学EE'ANJIROTONGNIVEESTY3.3二阶系统的阶跃响应二、典型二阶系统的阶跃响应，有：当输入为单位阶跃函数时，R(s)==0?1C(s) =Φ(s)×=Xs? +250,s+0sSo?nc(t) = L-'[Φ(s) ×=] = L-'+20,s+03SS-C(t)1.当=0时，极点为：S=±jの2Vo?1sC(s)2s? +0s(s? +0,)St≥0c(t) = 1 - cosのnt此时输出将以频率のn做等幅振荡Ont0所以,称为无阻尼振荡频率，026841024

4 当输入为单位阶跃函数时， ，有： s R s 1 ( ) = s s s s C s s n n n 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 2  + + =   =    2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) n n n s s s s s C s    + = − + = c(t) =1− cosn t t  0 ⒈当  = 0 时，极点为： n s =  j 此时输出将以频率 做等幅振荡， 所以, 称为无阻尼振荡频率。 n n 二、典型二阶系统的阶跃响应 ] 1 2 ] [ 1 ( ) [ ( ) 2 2 2 1 1 s s s L s c t L s n n n  + + =   = − −    0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 = nt C(t) 3.3 二阶系统的阶跃响应

西安交通大学EEANJLAOTONAENIVEESTY3.3二阶系统的阶跃响应输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差e(t)=r(t)-y(t)=1-y(t)=coso,t, t ≥0StepResponse= 20误差曲线呈现等0.8幅振荡形式。即0.6系统在无阻尼情0.4况下，不能跟踪0.2输入的单位阶跃-0.2信号。-0.4-0.6-0.812340.52.53.5011.54.5Time (sec)5

5 输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ： e(t) = r(t) − y(t) =1− y(t) = cosn t，t  0 误差曲线呈现等 幅振荡形式。即 系统在无阻尼情 况下，不能跟踪 输入的单位阶跃 信号。 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Step Response Time (sec) Amplitude = 2 n 3.3 二阶系统的阶跃响应

西安交通大学E'ANJIROTONGUNIVEESTY3.3二阶系统的阶跃响应2.当0<<1时，系统极点为:P12=-,±jO,1-2a=の/1-2称为阻尼振荡频率10s+2G0,s? +250,$+0?s? +2G0,s+0?ss1s+250s? +250,s+(S0n)2 -(Go,) +0,s1s+Son+ons(s+Gon) +(/1-5?0,)21s+Lo,0s(s+So)+(/1-5o,)?(s+S0,)?+(/1-50,)6

6 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 ( ) n n n n n n s s s s s s s Y s       + + + = − + + =  2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 2 n n n n n s s s s      + + − + + = − 2 2 2 ( ) ( 1 ) 1 n n n n s s s      + + − + + = − 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) 1 n n n n n n s s s s         + + − − + + − + = − ⒉ 当 0   1 时，系统极点为： 2 p1,2 = −n  jn 1− d =n 1− 2 称为阻尼振荡频率。 3.3 二阶系统的阶跃响应

西安交通大学EEANJLAOTONAENIVEESTY3.3二阶系统的阶跃响应bs+ae-at sin( bt)e-tcos(bt)(s+a)?+b2(s+a)?+b2Cs+So/1-2(s+50,)2+(/1-520,)s(s+0,) +(/1-50,)y(t) = 1-e-s0n[cos( /1 - /1-52o,t)], t≥0-SontOt≥0y(t)ind.t+t057

7 sin( 1 )], 0 1 ( ) 1 [cos( 1 ) 2 2 2 −  − = − − + − y t e t t t n n t n        2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1 ) 1 ( ) ( 1 ) 1 1 n n n n n n s s s s            + + − − − − + + − + = − sin( ) ( ) 2 2 e bt s a b b  −at + + cos( ) ( ) 2 2 e bt s a b s a  −at + + + ), 0 1 sin( 1 1 ( ) 1 2 2 1 2  − − + − = − − − t t g t e y t n t n       3.3 二阶系统的阶跃响应

西安交通大学EEANJIROTONGNIVEESTY3.3二阶系统的阶跃响应两阶系统的瞬态响应2t≥0cot5系统极点为：C(t)2S1,2 =-Son±jon /1-20.4.0.10.50.20.3极点的负实部-Sのn决定了指数0.7衰减的快慢，虚部の=の,V1-2是振荡频率。称の.为阻尼振荡0.9圆频率。注意：a<の,Ont08261204108

8 3.3 二阶系统的阶跃响应 两阶系统的瞬态响应 ), 0 1 sin( 1 1 ( ) 1 2 2 1 2  − − + − = − − − t t g t e c t n t n       0 2 4 6 8 10 12 0 1 2        nt 系统极点为： C(t) 2 s1,2 = −n  jn 1− 极点的负实部 决定了指数 衰减的快慢，虚部 是振荡频率。称 为阻尼振荡 圆频率。注意： 。 2 d =n 1− d −n d n

西安交通大学EE'ANJIROTONGNIVEESTY3.3二阶系统的阶跃响应输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差：Step Response=0.3,0=10e(t) =r(t)- y(t) =1- y(t)0.800.62impt≥0+2-0.40.21.21.41.61.80.40.60.8Time (sec)误差也呈阻尼正弦振荡。当稳态时，即当时t→80有lim e(t)=0，表示欠阻尼二阶系统能够完全跟踪输入单位阶跃信号，没有稳态误差。9

9 输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ： ) 0 1 sin( 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 1 2 2  − + − − = = − = − − − t g t t e e t r t y t y t n t n ，       误差也呈阻尼正弦振荡。当稳态时，即当时 ， 有 ，表示欠阻尼二阶系统能够完全跟踪输入单位 阶跃信号，没有稳态误差。 t →  lim ( ) = 0 → e t t Step Response Time (sec) Amplitude 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 =0.3,n=10 3.3 二阶系统的阶跃响应

西安交通大学EEANJIAOTONG UNIVEESITY3.3二阶系统的阶跃响应两阶系统的瞬态响应3.当5=1时，极点为：Si,2 =-On阶跃响应函数为：2,1100C()=7+20,5+0.(s+o,)s(s+0nss+OnC(t)c(t)=1-e-"(1+0,t)211.0Ont020684101210

10 3.3 二阶系统的阶跃响应 c(t) 1 e (1 t) n t n   = − + − 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 2 ( ) 1 ( ) n n n n n n n n s s s s s s s s C s         + − + = − + = + + =  阶跃响应函数为： ⒊当  =1 时，极点为： n s1,2 = − 两阶系统的瞬态响应 0 2 4 6 8 10 12 0 1 2  nt C(t)