西安交通大学IE'ANJLROTONANIYEESTY第四节奈奎斯特稳定判据
1 第四节 奈奎斯特稳定判据
西安交通大学EEANJIROTONAENIVEESTY一、辐角定理K(s+z)(s+z,)...(s+zm)F(s) =对于一个复变函数(s+p)(s+ p2)...(s+ pn)式中-z;(i=1,2,….,m)为F(s)的零点，-p:(j=1,2,….,n)为F(s)的极点。[柯西辐角原理l：S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线Cs包围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线Cs移动一周时，在F(s)平面上映射的封闭曲线C将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N-Z一P。s平面F(s)平面示意图C.顺时针C,顺时针2
2 一、辐角定理： 对于一个复变函数 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 n m s p s p s p K s z s z s z F s + + + + + + = 式中-zi (i=1,2,.,m)为F(s)的零点， -pj (j=1,2,.,n)为F(s)的极点。 [柯西辐角原理]：S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线CS包 围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲 线CS移动一周时，在F(s)平面上映射的封闭曲线CF将以顺时针方 向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=Z－P。 CF顺时针 F(s)平面 示意图 s平面 Cs顺时针
西安交通大学EEANJIROTONGNIVEESTY若N为正，表示CE顺时针运动，包围原点；若N为O，表示CF顺时针运动，不包围原点；若N为负，表示C逆时针运动，包围原点。K(s+z,)(s+z2).(s+zm)F(s)对于一个复变函数(s+ p)(s+ p2)...(s+pn)函数F(s)是复变量s的单值函数，s可以在整个S平面上变化，对于其上的每一点，除有限(n)个极点外，函数F(s)都有唯一的一个值与之对应。[例]设:F(s)平面s平面d,(-1, jl) :S+ 2F(s)s9d,(0,-jl) 3
3 若N为正，表示CF顺时针运动，包围原点； 若N为0，表示CF顺时针运动，不包围原点； 若N为负，表示CF逆时针运动，包围原点。 函数F(s)是复变量s的单值函数，s可以在整个S平面上变化，对 于其上的每一点，除有限(n)个极点外，函数F(s)都有唯一的一个 值与之对应。 对于一个复变函数 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 n m s p s p s p K s z s z s z F s + + + + + + = [例]设： s s F s 2 ( ) + = d ( 1, j1) s − d (0, j1) f − s平面 F(s)平面 −2 −1
西安交通大学EEANRNRRSK(s+z)(s+z,)...(s+zmF(s) =(s+p/)(s+ p2)...(s+ pn)F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面。其中S平面上的全部零点都映射到F(s)平面上的原点；S平面上的极点映射到F(s)平面上时都变成了无限远点。除了S平面上的零、极点之外的普通点，映射到Fs)平面上是除原点之外的有限点。注意，虽然函数F(s)从S平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然而逆过程往往并非如此。例如已知KKs(s +1)(s +2)F(s)=F(s)s(s + 1)(s +2)这个函数在有限的S平面上除S-0.一1，一2以外均解析，除此三点外，S平面上的每一个S值在F(s)平面只有一个对应点，但是F(s)平面上的每一个点在S平面上却有三个映射点。最简单的说明方式就是将方程改写成4
4 F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面。其中S平面上的全部 零点都映射到F(s)平面上的原点；S平面上的极点映射到F(s)平面 上时都变成了无限远点。除了S平面上的零、极点之外的普通点， 映射到F(s)平面上是除原点之外的有限点。 注意，虽然函数F(s)从S平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然 而逆过程往往并非如此。例如已知 ( 1)( 2) ( ) + + = s s s K F s ( ) ( 1)( 2) F s K s s + s + = 这个函数在有限的S平面上除S=0,－1, － 2以外均解析，除此三 点外，S平面上的每一个S值在F(s)平面只有一个对应点，但是 F(s)平面上的每一个点在S平面上却有三个映射点。最简单的说 明方式就是将方程改写成 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 n m s p s p s p K s z s z s z F s + + + + + + =
西安交通大学EEANJLROTONAENIVEESTY现考虑S平面上一点s映射到F(s)平面上的点F(s)可以用一个向量来表示，即当KII(s, +z,)-F(s)=I(s + p,) j=lAK IIs; + z;lejZ(si+p))ojZF(s)i=l=-F(s)=|F(s)lenjZ(si+p))Is + p,leIs, + pj j=1j=l向量的相角为向量的幅值为k/IIs + z,ZF(s.) =≥ Z(st + z,) - ≥Z(st + p,)-F(s)=i=1j=1s + p,lj=15
5 现考虑S平面上一点s1映射到F(s)平面上的点F(s1 )可以用一个向量 来表示，即当 = + = + + + = = n j j s p j m i j s z i j F s j i s p e K s z e F s F s e 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 向量的幅值为 = + − + = = n j j m i F s s zi s p 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) + − + = = + + = = = n j j m i i j s z s p n j j m i i e s p K s z 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 = = + + = n j j m i i s p K s z F s 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) = = + + = n j j m i i s p K s z F s 1 1 1 1 1 ( ) 向量的相角为
西安交通大学IE'ANJLROTONANIYEESTYIm S平面F(s)平面Imp(s)F(sReRe6
6 Re Im Re S平面 Im F(s)平面 (s) F(s) • •
西安交通大学EEANILAOTONGENIVEEST当S平面上动点s从s经过某曲线C到达S2，映射到F(s)平面上也将是一段曲线CE，该曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线C决定。若只考虑动点s从s到达S相角的变化量，则有△ZF(s)= ZF(s,)-ZF(s)[(s +2)-含(s +P)]-[<(s$ +2)-含($+P,)=i=11=[(s +2)-芸<($+2)]-[(s,+P)-(8 +P,)i=1i=lj=lA(s+2)-A(s+p,)i=1j=lS+2例F(s)= s△F(s) = ZF(s,)-ZF(s)=[Z(s2 +2) - Z(s2 + 0)]-[Z(s, +2) - Z(si +0)]=[Z(s2 +2) - Z(s +2)]-[Z(s2 +0)- Z(s, +0)]7
7 当S平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也 将是一段曲线CF ，该曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线CS 决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变化量，则有 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m n m n i j i j i j i j m m n n i i j j i i j j m n i j i j F s F s F s s z s p s z s p s z s z s p s p s z s p = = = = = = = = = = = − = + − + − + − + = + − + − + − + = + − + s s F s 2 ( ) + 例 = 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( 2) ( 0) ( 2) ( 0) ( 2) ( 2) ( 0) ( 0) F s F s F s s s s s s s s s = − = + − + − + − + = + − + − + − +
西安交通大学EEANJIROTONGENIVEESTYS+2当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从[例]设：F(s)(-1，jl)到(-1，jO)，映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从(O，-jl)到(-1，-jO），相角的变化为：s平面F(s)平面d, (0,-jl)△F(s)= ZF(s2)-ZF(s)=0°-180°-(45°-135°)= -9008
8 [例]设： ，当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从 (-1，j1)到(-1，j0) ，映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从(0，-j1) 到(-1，-j0) ，相角的变化为： s s F s 2 ( ) + = s平面 F(s)平面 − 2 −1 d ( 1, j1) s − d (0, j1) f − 2 1 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 180 (45 135 ) 90 = − F s F s F s = − − − = −
西安交通大学EEANIAOTONGUNIVEESTY1.围线Cs既不包围零点也不包围极点s平面BCA如图所示，在S平面上当变点s沿围线HDCs按顺时针方向运动一周时，我们C32α11来考察F(S)中各因子项的辐角的变化β规律。GFE现以图中未被包围的零点-2为例。当C,顺时针变点s沿Cs绕行一周后，因子(s+2)的μ辐角α的变化为0°。2同理，对未被包围的极点也是一样，F(s)平面1.51因子项(s+O)的辐角β在变点s沿Cs绕0.5行一周后的变化也等于0°H0于是，映射到F(S)平面上，当变点-0.5F(s)沿Cr绕行一周后的辐角变化也应-1A-1.5等于0°。这表明，围线Cr此时不包-211围原点。-1 -0.500.51.51253
11 - 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 - 2 - 1 . 5 - 1 - 0 . 50 0 . 51 1 . 52 F(s)平面A B CDE F G H 1. 围线 CS既不包围零点也不包围极点 如图所示，在 S平面上当变点 s沿围线 CS按顺时针方向运动一周时，我们 来考察 F( S)中各因子项的辐角的变化 规律。 A B C D G F E H −2 −1 s平面 CS顺时针 1 2 3 现以图中未被包围的零点 - 2为例。当 变点 s 沿 CS绕行一周后，因子 ( s+2) 的 辐角 a的变化为 0 ° 。 同理，对未被包围的极点也是一样， 因子项 ( s+0) 的辐角 b在变点 s 沿 CS 绕 行一周后的变化也等于 0 ° 。 于是，映射到 F( S)平面上，当变点 F( s ) 沿 CF绕行一周后的辐角变化也应 等于 0 °。这表明，围线 CF此时不包 围原点。 a b ◎
西安交通大学EEANJLROTONAENIVEESTY2.围线Cs只包围零点不包围极点如图所示围线Cs包围一个零点z=-2，先考察因子(s+2)辐角α，当变点s沿Cs顺时针绕行一周时，α的变化为-360°。映射到F(S)平面上对应变点F(S)沿C绕行一周后的辐角变化也应等于-360°21.5s平面CAB170.5DH0α-0.5-1GFE福C,顺时针-1.5-22-1.5-1-0.500.51.512同理，当围线Cs的内域包含Z个零点时(但不包含极点)，C应顺时针包围原点乙次12
12 2. 围线CS只包围零点不包围极点 如图所示围线CS包围一个零点z=-2，先考察因子(s+2)辐角a，当 变点s沿CS顺时针绕行一周时，a的变化为-360°。映射到F(S)平 面上对应变点F(S)沿CF绕行一周后的辐角变化也应等于-360° 。 同理，当围线CS的内域包含Z个零点时(但不包含极点)， CF应顺 时针包围原点Z次。 A B C D G F E H − 2 −1 s平面 CS顺时针 -2 -1.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 A C D E G a